แสดงวิธีของคาร์ดาน

[ไซโคลน]

ผมไม่คล่องนะครับเรื่องสมการกำลัง3อยากให้ช่วยเอาโจทย์มาแล้วใช้วิธีของคาร์ดานให้ด้วยครับ

[kongp]

:) ผมก็จำไม่ได้ แต่รู้ว่าอยู่ในเรื่องของ Galois Theory ซึ่งอยู่ในเรื่องของการประมาณเส้นทางโคจรของดวงดาว ซึ่งอาจมีส่วยเกี่ยวโยงมาถึงการก่อสร้างในสมัยบาบิโลเนียน หรือสมัยใหม่จะอยู่ในเรื่องของวงจรไฟฟ้าที่เกี่ยวกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของประจุไฟฟ้า

เค้าว่าเป็นวิธีเก่า อาจเพราะมีการกำหนดตัวแปรโดยไม่จำกัดเขต จึงไม่แม่นยำพอ โดยวิธีใช้แบบที่ทำให้สูตรนี้แม่นยำก็มี
ซึ่งต้องคำนึงถึงเรื่อง Level of Abstraction กับ Complexity

โดยรวมสูตรนี้ผมมองว่าเค้าย่อยสมการเก่า โดยใช้ Square Root คุณลองคิดดูซิว่าหากใช้ Square Root กับ สมการเส้นตรงที่ทำมุม 45 องศากับแกน x แล้วพล็อตกราฟ จะเห็นว่าความชัน ณ. จุดใดๆ จะสูงเฉพาะในช่วงแรก ซึ่งบ่งถึงการลดลง โดยหากต้องการความชันมากๆ อันดับก็ต้องสูงมากขึ้นตามไปด้วย

ใครรู้ขั้นตอนช่วยโพสต์ด้วยครับ ให้แก้โจทย์เลย อาจทำให้ไม่เข้าใจสูตร

[catengland]

ซักคนอธิบายที่ครับผมก็อยากรู้ PLZZZZZZZZZZZZZZ

[Siren-Of-Step]

คาร์ดาน ศึกษาได้จาก พีชคณิต สอวน

ณ ตอนนี้ผมก็ยังใช้ไม่คล่อง

[September]

:) ผมก็จำไม่ได้ แต่รู้ว่าอยู่ในเรื่องของ Galois Theory ซึ่งอยู่ในเรื่องของการประมาณเส้นทางโคจรของดวงดาว ซึ่งอาจมีส่วยเกี่ยวโยงมาถึงการก่อสร้างในสมัยบาบิโลเนียน หรือสมัยใหม่จะอยู่ในเรื่องของวงจรไฟฟ้าที่เกี่ยวกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของประจุไฟฟ้า

เค้าว่าเป็นวิธีเก่า อาจเพราะมีการกำหนดตัวแปรโดยไม่จำกัดเขต จึงไม่แม่นยำพอ โดยวิธีใช้แบบที่ทำให้สูตรนี้แม่นยำก็มี
ซึ่งต้องคำนึงถึงเรื่อง Level of Abstraction กับ Complexity

โดยรวมสูตรนี้ผมมองว่าเค้าย่อยสมการเก่า โดยใช้ Square Root คุณลองคิดดูซิว่าหากใช้ Square Root กับ สมการเส้นตรงที่ทำมุม 45 องศากับแกน x แล้วพล็อตกราฟ จะเห็นว่าความชัน ณ. จุดใดๆ จะสูงเฉพาะในช่วงแรก ซึ่งบ่งถึงการลดลง โดยหากต้องการความชันมากๆ อันดับก็ต้องสูงมากขึ้นตามไปด้วย

ใครรู้ขั้นตอนช่วยโพสต์ด้วยครับ ให้แก้โจทย์เลย อาจทำให้ไม่เข้าใจสูตร

:wacko: ช่วยขยายความสักนิดได้ไหมครับ ว่าจะใช่ "คาร์ดาน" ในความหมายเดียวกับที่ จขกท ถามรึเปล่า

[kongp]

น่าจะใช่ แต่ในหนังสือของ สวอน. เดาว่ากล่าวอย่างย่อ ใครลองโพสต์ให้ดูก็ดีครับ ผมไม่ได้ซื้อไว้

ของผมก็เป็นการแก้สมการกำลังสาม แต่สำหรับอะไรนั้นขออุ๊บ เพราะมันแล้วแต่คนนะซีครับ ที่จะนำไปใช้

[Switchgear]

ลองอ่านเนื้อหาที่หน้า 480 ของ Higher algebra (Hall) และทำแบบฝึกหัดท้ายบทนั้นดู
ส่วนเฉลยก็มีอยู่ในเล่ม Solutions ด้วย ตามที่ผมทำ Link ไว้ในความเห็น #14 ของกระทู้ข้างล่างนี้

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=10359

[Ne[S]zA]

สมการกำลังสามที่อยู่ในรูป $x^3+ax^2+bx+c=0\_\_\_\_(I)$
สามารถแปลงใหม่ได้โดย Taylor's Formula $f(x)=f(k)+f'(k)(x-k)+\dfrac{f''(k)}{2!}(x-k)^2+\dfrac{f'''(k)}{3!}(x-k)^3$
ให้ $x=y+k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ใดๆ จะได้ว่า $f(y+k)=f(k)+f'(k)y+\dfrac{f''(k)}{2!}y^2+\dfrac{f'''(k)}{3!}y^3$
เพราะว่า $f(k)=k^3+ak^2+bk+c$ และ $f'(k)=3k^2+2ak+b$ และ $\dfrac{f''(k)}{2!}=3k+a$ และ $\dfrac{f'''(k)}{3!}=1$
นั่นคือ $f(y+k)=(k^3+ak^2+bk+c)+(3k^2+2ak+b)y+(3k+a)y^2+y^3$
เราต้องทำให้เทอม $y^2$ หายไป เราจึงได้ว่า $3k+a=0$ หรือ $k=-\dfrac{a}{3}$
นั่นคือ $f(y-\dfrac{a}{3})=(c-\dfrac{ab}{3}+\dfrac{2a^3}{27})+(b-\dfrac{a^2}{3})y+y^3$
เพราะฉะนั้นจะได้สมการใหม่คือ $y^3+py+q=0\_\_\_\_(II)$ โดย $p=b-\dfrac{a^2}{3}$ และ $q=c-\dfrac{ab}{3}+\dfrac{2a^3}{27}$
จากสมการ $(II)$ แทนค่า $y=u+v$ ลงในสมการ $(II)$ จะได้ว่า $u^3+v^3+(p+3uv)(u+v)+q=0\_\_\_\_(III)$
ต่อไปจะหาความสัมพันธ์ระหว่าง $u,v$ โดยสมมติให้ $p+3uv=0$ หรือ $uv=-\dfrac{p}{3}$ จะได้ $u^3v^3=-\dfrac{p^3}{27}$ และจาก $(III)$ จะได้ $u^3+v^3=-q$
นั่นคือ $u^3+v^3=-q$ และ $u^3v^3=-\dfrac{p^3}{27}$ ซึ่ง $u^3,v^3$ เป็นรากของสมการ $t^2+qt-\dfrac{p^3}{27}=0\_\_\_\_(IV)$
ซึ่งรากของสมการ $(IV)$ คือ $t_1=u^3=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$ และ $t_2=v^3=-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$
ดังนั้น $u$ ที่เป็นไปได้คือ $u=\sqrt[3]{t_1},\omega \sqrt[3]{t_1},\omega ^2\sqrt[3]{t_1}$ และ $v$ ที่เป็นไปได้คือ $v=\sqrt[3]{t_2},\omega \sqrt[3]{t_2},\omega ^2\sqrt[3]{t_2}$ เมื่อ $\omega =\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$
ดังนั้นค่ารากของสมการ $y^3+py+q=0$ คือ
$$y_1=\sqrt[3]{t_1}+\sqrt[3]{t_2}$$
$$y_2=\omega \sqrt[3]{t_1}+\omega \sqrt[3]{t_2}$$
$$y_3=\omega ^2\sqrt[3]{t_1}+\omega ^2\sqrt[3]{t_2}$$
เมื่อ $t_1=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$ และ $t_2=-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$

ตัวอย่าง จงแก้สมการ $x^3+x^2-2=0$

[kongp]

นี่จากในหนังสือใช่มั้ยครับ ที่ผมเคยเรียนมา วิธีหาค่านี้จะถูกนำไปสร้าง Z-Chart, Y-Chart ในภายหลัง ซึ่งเค้าสมมติอะไรอีกเยอะแยะกว่าจะเอาไปใช้จริงในงานวิศวกรรม และหนังสือเรื่อง Galois Theory ของ David A. Cox ได้ลงเรื่อง Cubic equation ไว้ สรุปเป็นอันเดียวกันครับ แล้วแต่คนจะเอาไปใช้

แต่ทราบมาว่างานด้านแก้สมการนี้ ก้าวหน้าไปพอสมควร สำหรับผมคงบอกได้ว่าได้แต่เรียนรู้ ปรับใช้ในงานออกแบบเครื่องจักรในตอนนี้ ด้วยโปแกรมอาจจะเป็น Comsol หรือ Proengineer หรือ Zmax ก็ดูอลังการ http://www.zemax.com/ เค้าทำเรื่อง Optics Software

ซ็อฟแวร์ฝรั่งมีเยอะมาก ผมพยายามคิดอยู่ว่าจะเป็นไปได้ไหม หากจะซื้อเค้ามาใช้ เคยเห็นโฆษณาเค้ามาก่อนนะครับ สนใจไหมครับ

[kimchiman]

zA;90802']สมการกำลังสามที่อยู่ในรูป $x^3+ax^2+bx+c=0\_\_\_\_(I)$
สามารถแปลงใหม่ได้โดย Taylor's Formula $f(x)=f(k)+f'(k)(x-k)+\dfrac{f''(k)}{2!}(x-k)^2+\dfrac{f'''(k)}{3!}(x-k)^3$
ให้ $x=y+k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ใดๆ จะได้ว่า $f(y+k)=f(k)+f'(k)y+\dfrac{f''(k)}{2!}y^2+\dfrac{f'''(k)}{3!}y^3$
เพราะว่า $f(k)=k^3+ak^2+bk+c$ และ $f'(k)=3k^2+2ak+b$ และ $\dfrac{f''(k)}{2!}=3k+a$ และ $\dfrac{f'''(k)}{3!}=1$
นั่นคือ $f(y+k)=(k^3+ak^2+bk+c)+(3k^2+2ak+b)y+(3k+a)y^2+y^3$
เราต้องทำให้เทอม $y^2$ หายไป เราจึงได้ว่า $3k+a=0$ หรือ $k=-\dfrac{a}{3}$
นั่นคือ $f(y-\dfrac{a}{3})=(c-\dfrac{ab}{3}+\dfrac{2a^3}{27})+(b-\dfrac{a^2}{3})y+y^3$
เพราะฉะนั้นจะได้สมการใหม่คือ $y^3+py+q=0\_\_\_\_(II)$ โดย $p=b-\dfrac{a^2}{3}$ และ $q=c-\dfrac{ab}{3}+\dfrac{2a^3}{27}$
จากสมการ $(II)$ แทนค่า $y=u+v$ ลงในสมการ $(II)$ จะได้ว่า $u^3+v^3+(p+3uv)(u+v)+q=0\_\_\_\_(III)$
ต่อไปจะหาความสัมพันธ์ระหว่าง $u,v$ โดยสมมติให้ $p+3uv=0$ หรือ $uv=-\dfrac{p}{3}$ จะได้ $u^3v^3=-\dfrac{p^3}{27}$ และจาก $(III)$ จะได้ $u^3+v^3=-q$
นั่นคือ $u^3+v^3=-q$ และ $u^3v^3=-\dfrac{p^3}{27}$ ซึ่ง $u^3,v^3$ เป็นรากของสมการ $t^2+qt-\dfrac{p^3}{27}=0\_\_\_\_(IV)$
ซึ่งรากของสมการ $(IV)$ คือ $t_1=u^3=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$ และ $t_2=v^3=-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$
ดังนั้น $u$ ที่เป็นไปได้คือ $u=\sqrt[3]{t_1},\omega \sqrt[3]{t_1},\omega ^2\sqrt[3]{t_1}$ และ $v$ ที่เป็นไปได้คือ $v=\sqrt[3]{t_2},\omega \sqrt[3]{t_2},\omega ^2\sqrt[3]{t_2}$ เมื่อ $\omega =\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$
ดังนั้นค่ารากของสมการ $y^3+py+q=0$ คือ
$$y_1=\sqrt[3]{t_1}+\sqrt[3]{t_2}$$
$$y_2=\omega \sqrt[3]{t_1}+\omega \sqrt[3]{t_2}$$
$$y_3=\omega ^2\sqrt[3]{t_1}+\omega ^2\sqrt[3]{t_2}$$
เมื่อ $t_1=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$ และ $t_2=-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$

ตัวอย่าง จงแก้สมการ $x^3+x^2-2=0$

ตั้งหารสังเคราะห์ด้วย x-1 ก็ออกแล้วนี่ครับ
ไม่เห็นต้องใช้คาร์ดานเลยนี่

[kongp]

ที่ถามว่าใช่คาร์ดานเดียวกันหรือเปล่า ขอตอบว่าใช่อีกครับ คือว่าสมการการจริงๆ ก็เป็นเมตริก(ตัววัด)อันหนึ่ง มองแบบนี้แล้วเหมือนกันครับ ต่างกันก็เขียนมากเขียนน้อย ซึ่งคงเพราะแล้วแต่การนำไปใช้ เช่น สมการอันดับสูงๆ ก็นิยมใช้ ใน Concrete Mathematics เป็นโดยมากที่พบเจอนะครับ

[Onasdi]

ตั้งหารสังเคราะห์ด้วย x-1 ก็ออกแล้วนี่ครับ
ไม่เห็นต้องใช้คาร์ดานเลยนี่
เป็นตัวอย่างให้ลองเฉยๆมั้งครับ จะได้เช็คคำตอบได้ :p

[a104373]

โหย โคตรยากเลย

[Mwit22#]

ตัวคำตอบจะติด i เสมอหรือเปล่าครับ เพราะตัว โอเมก้ามันมี i อยู่

[krit]

ตัวคำตอบจะติด i เสมอหรือเปล่าครับ เพราะตัว โอเมก้ามันมี i อยู่

ไม่เสมอไปครับ อย่างเช่นสมการ $x^3-6x^2+11x-6=0$ ได้คำตอบเป็น $1,2,3$

[~ArT_Ty~]

ตัวคำตอบจะติด i เสมอหรือเปล่าครับ เพราะตัว โอเมก้ามันมี i อยู่

ก็เสมือนติดครับ แต่สัมประสิทธิ์หน้า i จะเป็น 0 เท่านั้นเองครับ

[chaimongkol]

แล้ว กรณี4q2+p327 ติดลบละคร้าบ

[gon]

แล้ว กรณี4q2+p327 ติดลบละคร้าบ

$\sqrt{-4} = 2i$

$\sqrt{-5} = \sqrt{5}i$

เป็นต้นครับ.

เมื่อโปรแกรมเมอร์ ...เขียนโปรแกรมคณิตศาสตร์ อะไรจะเ้กิดขึ้น. :laugh:

[kongp]

ประเด็นมันน่าจะอยู่ตรงวิธีแยกแฟกเตอร์ของสมการกำลังสาม ซึ่งจะมีทั้งซีกบวกและลบเทียบกับระนาบแกน X และอย่างเพิ่งแน่ใจนะครับว่าการคำนวนข้างบนนั้นดีเพราะหากนำไปใช้ไม่ได้ดี ก็เอาไว้ตอบคำถามข้อสอบ ฝรั่งลองแกะสมการ อย่างในเวปนี้ เห็นเค้าปรับ Discriminant วัด Bianchi Orbitfold ที่ http://www.math.cornell.edu/~hatcher/