ข้อสอบตรีโกณมิติ PAT1 (ก.ค.2553)

[ครูหนุ่ม]

(sum cos n/sum sin n)-(sum sin n/sum cos n)=?????

โดยที่ sum=sigma และ n=nองศา

[PoSh]

ผมว่าโจทย์มันไม่ครบนะครับเพราะมีเพื่อนผมนำมาถามแล้ว $(\frac{\sum_{n = 1}^{44}cos(n) }{\sum_{n = 1}^{44}sin(n) }-\frac{\sum_{n = 1}^{44}sin(n) }{\sum_{n = 1}^{44}cos(n) } )$

แล้วเดี๋ยวผมจะเขียนวิธีคิดแล้วสแกนมาให้ดู

[Ne[S]zA]

จาก $\sum_{n = 1}^{44}\sin(45^{\circ}-n)=\sum_{n = 1}^{44}(\sin 45^{\circ}\cos n - \cos 45^{\circ}\sin n)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sum_{n = 1}^{44}(\cos n - \sin n)$
เนื่องจาก $\sum_{n = 1}^{44}\sin(45^{\circ}-n)=\sum_{n = 1}^{44}\sin n$
ดังนั้น $\sum_{n = 1}^{44}\sin n=(\sqrt{2}-1)\sum_{n = 1}^{44}\cos n$
จากโจทย์ $\dfrac{\sum_{n = 1}^{44}cos(n) }{\sum_{n = 1}^{44}sin(n) }-\dfrac{\sum_{n = 1}^{44}sin(n) }{\sum_{n = 1}^{44}cos(n) }=\dfrac{\sum_{n = 1}^{44}cos(n) }{(\sqrt{2}-1)\sum_{n = 1}^{44}cos(n) }-\dfrac{(\sqrt{2}-1)\sum_{n = 1}^{44}cos(n) }{\sum_{n = 1}^{44}cos(n) }=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}-(\sqrt{2}-1) =2$

[PoSh]

คำตอบคล้ายคำแต่วิธีคิดแตกต่างนิดหน่อยครับ ^ ^ ไม่ได้สแกนเลยครับเพราะเครื่องเสีย T T

[Ne[S]zA]

สรุปมันถูกไหมครับ ไม่มั่นใจ

[Beta]

ผมตอบสองครับ วิธีทำไม่เหมือนกันครับ
เริ่มมาผมจะเปลี่ยนจากรูปของ Sum เป็นตรีโกณธรรมดาก่อนครับ
โดยการจับคู่ของ Sumครับ

[กิตติ]

ข้อนี้ผมก็คิดได้2....วิธีของน้องNe[S]zA น่าสนใจครับ
ผมเดาว่าคงมองก่อนว่า$cos \ n -sin \ n = \sqrt{2} (sin \ 45^o cos\ n−cos \ 45^o sin \ n)$..
..แล้วค่อยแปลงต่อ คล้ายๆกับวิธีที่ผมทำแต่ผมแปลงค่า$cos$ ไปเป็นค่า $sin$ ตามนี้

ข้อ29...ผมเสนออีกวิธีหนึ่งครับ
$\sum_{n = 1}^{44} sin \ n^o = sin \ 1^o+sin \ 2^o+...+sin \ 43^o+sin \ 44^o =A$
$ \sum_{n = 1}^{44} cos \ n^o = cos \ 1^o+cos \ 2^o+...+cos \ 43^o+cos \ 44^o =B$
$cos \ 1^o+cos \ 2^o+...+cos \ 43^o+cos \ 44^o=sin \ 46^o+sin \ 47^o+...+sin \ 88^o+sin \ 89^o= B$

$A+B=(sin \ 1^o+sin \ 2^o+...+sin \ 43^o+sin \ 44^o ) +(sin \ 46^o+sin \ 47^o+...+sin \ 88^o+sin \ 89^o)$
$=(sin \ 1^o+sin \ 89^o)+(sin \ 2^o+sin \ 88^o)...+(sin \ 43^o+sin \ 47^o ) +(sin \ 44^o+sin \ 46^o)$
$=(2sin \ 45^o cos \ 44^o)+(2sin \ 45^o cos \ 43^o)+(2sin \ 45^o cos \ 42^o)+...+(2sin \ 45^o cos \ 2^o)+(2sin \ 45^o cos \ 1^o)$
$= 2sin \ 45^o(cos \ 1^o+cos \ 2^o+...+cos \ 43^o+cos \ 44^o)$
จะได้ว่า$A+B= 2\times \frac{\sqrt{2}}{2} \times B $
$A+B= \sqrt{2}B$
$A=(\sqrt{2}-1)B$
โจทย์ถาม$\frac{B}{A} -\frac{A}{B} $
$\frac{B}{A}=\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}+1$
$\frac{A}{B} =\sqrt{2}-1$
$\frac{B}{A} -\frac{A}{B} = \sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1) = 2$
ตอบ $ 2 $

[Ne[S]zA]

ลองมาดูใหม่ ยัง งงว่าตัวเองทำไปได้ไง เหอๆๆ
ดูสักพักเข้าใจละ อิอิ

[อยากเก่งเลขทำไงดีครับบบ]

โจทย์ข้อนี้เคยมีในของเพชรยอดด้วยนิ ช่ายป่ะครับ