ปัญหาทฤษฎีจำนวน

[zzz010307]

จงหาจำนวนเต็มบวก m ทั้งหมด
ซึ่งมีคุณสมบัติว่า
จำนวนของตัวหารบวกทั้งหมดของ m ยกกำลังสอง
มีค่าเท่ากับ m

(เช่น 9 มีตัวหารบวกทั้งหมด 3 ตัว คือ 1,3 และ 9
ซึ่ง 3 ยกกำลังสอง มีค่าเท่ากับ 9
แต่ 16 มีตัวหารบวกทั้งหมด 5 ตัว คือ 1,2,4,8 และ 16
ซึ่ง 5 ยกกำลังสอง ไม่เท่ากับ 16)

[R-Tummykung de Lamar]

จากสมบัติที่ให้มาจะได้ว่า m เป็นจำนวนกำลังสอง ให้
$$m=p_1^{2k_1}p_2^{2k_1}\cdots p_n^{2k_n}$$
จำนวนตัวประกอบยกกำลังสอง
$$((2k_1+1)(2k_2+1)+...(2k_n+1))^2=p_1^{2k_1}p_2^{2k_1}\cdots p_n^{2k_n}$$
นั่นคือ
$$(2k_1+1)(2k_2+1)+...(2k_n+1)=p_1^{k_1}p_2^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$$
เนื่องจากทางซ้ายเป็นจำนวนคี่ดังนั้น รู้แค่ว่า m เป็นจำนวนคี่แหละ หุหุ ;)

[suthee]

จากสมบัติที่ให้มาจะได้ว่า m เป็นจำนวนกำลังสอง ให้
$$m=p_1^{2k_1}p_2^{2k_1}\cdots p_n^{2k_n}$$
จำนวนตัวประกอบยกกำลังสอง
$$((2k_1+1)(2k_2+1)...(2k_n+1))^2=p_1^{2k_1}p_2^{2k_1}\cdots p_n^{2k_n}$$
นั่นคือ
$$(2k_1+1)(2k_2+1)...(2k_n+1)=p_1^{k_1}p_2^{k_1}\cdots p_n^{k_n} = A$$
จะได้ว่า A เป็นจำนวนคี่
ให้ m = k1+k2+...+kn
จะได้ว่า A [:greateq] 3m
เมื่อพิจารณาค่าของ (2k1+1)(2k2+1)...(2kn+1) = B จะได้ว่า B มีค่ามากที่สุดเมื่อ
k1 = k2 = ... = kn = 1
ดังนั้น B [:lesseq] 3 m [:lesseq] A
แต่เงื่อนไขของโจทย์คือ A = B
ดังนั้น 3k = 2k+1 ซึ่งมีคำตอบเดียวที่เป็นจำนวนนับคือ 1
ดังนั้น A = B = 3 และ A2 = 9
จึงมีเพียงคำตอบเดียวเท่านั้นคือ 32 = 9

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ suthee:

เมื่อพิจารณาค่าของ (2k1+1)(2k2+1)...(2kn+1) = B จะได้ว่า B มีค่ามากที่สุดเมื่อ
k1 = k2 = ... = kn = 1
ดังนั้น B [:lesseq] 3 m [:lesseq] A


ไม่เข้าใจตรงนี้อะครับ ทำไมไม่เป็นเป็นค่าน้อยที่สุด อะครับ
หรือสรุปได้เพียงว่า ดังนั้น 3 m [:lesseq] A,B :confused:

[zzz010307]

แล้ว 1 ใช้ไม่ได้เหรอครับ??

ตัวหารบวกของ 1 ก็คือ 1
ซึ่ง 1 ยกกำลังสองก็มีค่าเท่ากับ 1 นิ??

[zzz010307]

จงหาจำนวนเต็มบวก m ,n ทั้งหมด ที่ทำให้

m(a+b+c) + n(1/a + 1/b + 1/c) = abc

ทุกจำนวนจริงบวก a,b,c