PDA

View Full Version : การแก้สมการกำลังสาม (Cubic Equation)


TOP
27 สิงหาคม 2011, 23:58
การแก้สมการกำลังสาม (Cubic Equation)

บทความนี้เป็นการแก้ไขที่ผิด และปรับปรุงส่วนหนึ่งของบทความ เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์เรื่อง สมการกำลังสาม,สี่ (http://www.mathcenter.net/sermpra/sermpra07/sermpra07p01.shtml)

สมการกำลังสามคือ สมการที่เขียนอยู่ในรูป $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

น้องบางคนอาจเคยพบสมการกำลังสามเหล่านี้ และได้พยายามแก้ตามทฤษฎีที่ได้เรียนมาโดย ตั้งสมมติฐานว่าค่า $x$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ ตัวประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $d$ หารด้วยตัวประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $a$ หลังจากที่น้องได้ทำการแทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเหล่านี้แล้วพบว่าสมการก็ยังไม่เป็นจริง หลายคนอาจสรุปทันทีว่าคำตอบของสมการนี้เป็นจำนวนเชิงซ้อน (กรณีนี้รวมถึงสมการที่มีกำลังมากกว่าสามด้วยนะครับ) นั่นเป็นความเข้าใจผิดอย่างเต็มที่เลยครับ ที่ว่าเข้าใจผิดอย่างเต็มที่ก็เพราะว่าในทฤษฎีกล่าวไว้แต่เพียงว่า คำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดเหล่านี้ ล้วนแต่เป็นคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจำนวนตรรกยะเท่านั้น จึงยังไม่ได้ครอบคลุมกรณีที่คำตอบจะเป็นจำนวนอตรรกยะ

ก่อนจะเข้าสู่เนื้อหา ขอย้อนอดีตถึงที่มาของบทความนี้กันก่อน เมื่อครั้งที่พี่ยังเรียนหนังสืออยู่ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายวิชาคณิตศาสตร์เรื่องระบบจำนวนจริงที่สอนให้เราแก้สมการพหุนามที่มีดีกรีมาก กว่าสองขึ้นไปได้ พี่รู้สึกทึ่งมากและคิดว่าเราแก้ได้ทุกสมการแล้ว ลองหาสมการจากแบบฝึกหัดในแบบเรียนและคู่มือคณิตศาสตร์ทั้งหลายมาแก้ก็แก้ได้ทั้งหมด ไม่เห็นมันยากตรงไหน แต่แล้วความรู้สึกชื่นชมก็หายไป หลังจากยังไม่หายร้อนวิชา ลองตั้งสมการพหุนามมั่วๆขึ้นมาดูเองซิว่าจะแก้ได้หรือเปล่า เช่น $x^3 + 2x - 6 = 0$ ฮ่าๆคำตอบของสมการนี้ต้องอยู่ในเซต $\{\pm1 , \pm2 , \pm3 , \pm6\}$ แน่ๆ แต่ทำไมลองแทนค่าทั้งหมดแล้วมันไม่ถูกต้องสักคำตอบ บัดนั้นพี่จึงรู้แจ้งถึงสัจธรรม นี่แสดงว่าสมการที่เราเคยพบและแก้มาทั้งหมด เป็นสมการพหุนามที่เขาเลือกมาแล้วว่าหาคำตอบด้วยวิธีในหนังสือเรียนได้ ส่วนสมการที่แก้ไม่ได้นอกจากจะไม่ได้ใส่ไว้ ยังไม่ได้บอกอีกว่ามีสมการพหุนามอีกเยอะที่แก้ด้วยวิธีนี้ไม่ได้ ที่แย่กว่านั้น พี่พบว่าไม่มีใครในชั้นเรียน (ถ้าจะพูดให้ถูกต้องกว่านี้คือ ในโรงเรียน) รู้ว่ามีสมการพหุนามที่แก้ไม่ได้ และแม้พี่จะแสดงสมการพหุนามเหล่านี้ให้เพื่อนๆดู แต่ละคนจะแสดงสายตาดูถูกประมาณว่า สมการกำลังสามง่ายๆแค่นี้ แก้กันไม่เป็นหรืออย่างไร หลังจากเพื่อนๆแก้กันไปพักใหญ่ก็เริ่มรู้แล้วว่าวิธีที่เรียนมาแก้ไม่ได้ ทุกคนยอมรับตามนั้นทันที โดยไม่มีใครสงสัยหรืออยากรู้เพิ่มเติมถึงวิธีแก้ แล้วน้องละครับอยากรู้วิธีแก้หรือเปล่าละ

เดิมทีเราเคยศึกษาการแก้สมการกำลังสองกันมาแล้ว แต่น้องทราบหรือไม่ว่ากว่าจะแก้สมการกำลังสามได้นี่เขาใช้เวลากันเป็นร้อยปีทีเดียว จนกระทั่งมีอัจฉริยะผู้หนึ่งกำเนิดขึ้นมา จำไม่ได้แล้วว่าชื่ออะไร อาจารย์ได้มอบหมายการบ้านในการแก้สมการกำลังสามแก่เขา ซึ่งเขาก็สามารถแก้ได้ การบ้านข้อนั้นคือให้แก้สมการกำลังสามที่อยู่ในรูป $x^3 + px + q = 0$ ถ้าน้องคนใดคิดว่าโจทย์ข้อนี้น่าสนใจหรือคิดว่าตัวเองก็เป็นอัจฉริยะเช่นกัน จะลองแก้โจทย์ข้อนี้ด้วยตัวเองดูก่อนก็ได้

น้องบางคนอาจเกิดความสงสัยได้ว่า รูปแบบของโจทย์ที่อาจารย์ให้มานี้กับรูปแบบของสมการกำลังสามที่เราจะแก้ มีรูปแบบไม่เหมือนกัน แล้วอย่างนี้จะถือได้ว่าสามารถแก้สมการกำลังสามในรูปแบบที่เราต้องการได้หรือ ก่อนที่จะแสดงให้เห็นจริงนั้นก็จะขอพูดถึงเรื่องการเปลี่ยนรูปของสมการพหุนามกันก่อน

การเปลี่ยนรูปพหุนาม

หากเราแทนค่า $x = y - c$ ลงไปในพหุนาม $a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ จะได้
$\begin{array}{rl}
& a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1x + a_0\\
= & a_n (y - c)^n + a_{n-1}(y - c)^{n - 1} + a_{n - 2}(y - c)^{n - 2} + \cdots + a_2 (y - c)^2 + a_1 (y - c) + a_0\\
= & a_n y^n + (-n a_n c + a_{n - 1}) y^{n - 1} + \left(\binom{n}{2} a_n c^2 - \binom{n - 1}{1} a_{n - 1} c + a_{n - 2}\right) y^{n - 2} + \cdots
\end{array}$

ไม่ต้องตกใจนะครับที่เห็นพหุนามที่ได้มันจะยุ่งๆ ในที่นี้เราให้ความสนใจเฉพาะเทอมของ $y^{n - 1}$ เท่านั้น
น้องจะพบว่าหากเราต้องการให้พหุนามใดๆก็ตามที่เปลี่ยนรูปแล้ว ทำให้เทอมของ $y^{n - 1}$ หายไป
ก็คือทำให้ค่า $-n a_n c + a_{n - 1} = 0$ หรือ $c = \frac{a_{n - 1}}{n a_n}$ นั่นเอง


ลองนำความรู้เรื่องการเปลี่ยนรูปมาใช้กับสมการกำลังสอง (Quadratic Equation) $ax^2 + bx + c = 0$
เพราะว่า $n = 2$ จะได้ $c = \frac{a_1}{2 a_2} = \frac{b}{2a}$
แทนค่า $x = y - \frac{b}{2a}$ ลงไป จะได้
$\begin{array}{rl}
ax^2 + bx + c & = 0 \\
a\left(y - \frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(y - \frac{b}{2a}\right) + c & = 0\\
ay^2 - by + \frac{b^2}{4a} + by - \frac{b^2}{2a} + c & = 0\\
ay^2 + \left(\frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c\right) & = 0\\
y^2 & = \dfrac{2b^2 - b^2 - 4ac}{4a^2}\\
y & = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{array}$

เห็นไหมครับว่าสมการกำลังสองแก้ได้ง่ายขึ้นเยอะ
ถึงตรงจุดนี้เราจึงได้รากคำตอบของสมการกำลังสองคือ
$x = y - c = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} - \frac{b}{2a} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
ตรงกับรูปแบบที่เรารู้จักดีนั่นเอง


เมื่อเรานำความรู้เรื่องการเปลี่ยนรูปมาใช้กับสมการกำลังสาม
เราสามารถเปลี่ยนรูปเพื่อให้เทอมของ $y^2$ หายไปได้เช่นเดียวกัน
โดยเลือกค่า $c = \frac{a_2}{3 a_3} = \frac{b}{3 a}$
แทนค่า $x = y - \frac{b}{3 a}$ ลงไปจะได้
$\begin{array}{rl}
ax^3 + bx^2 + cx + d & = 0\\
a\left(y - \frac{b}{3 a}\right)^3 + b\left(y - \frac{b}{3 a}\right)^2 + c\left(y - \frac{b}{3 a}\right) + d & = 0\\
ay^3 + \left(c - \frac{b^2}{3a}\right)y + \left(\frac{2b^3}{27a^2} - \frac{bc}{3a} + d\right)& = 0\\
y^3 + \left(\frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}\right)y + \left(\frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}\right)& = 0
\end{array}$

เห็นไหมครับว่าสมการเปลี่ยนมาอยู่ในรูปแบบ $y^3 + py + q = 0$ เรียบร้อยแล้ว
โดยมีค่า $p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}$ และ $q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}$

การแก้สมการ $y^3 + py + q = 0$

ทีนี้ก็มาถึงการแก้ปัญหาที่อาจารย์ให้มาสักที การแก้ปัญหานี้ทำได้หลายวิธี
วิธีหนึ่งในการแก้สมการนี้คือ สมมติให้ $y = u + v$
แทนค่าลงไปจะได้ $u^3 + v^3 + (p + 3uv)(u + v) + q = 0$

เราจะลดความยุ่งยากของสมการลงโดยการทำให้เทอมที่สามหายไป โดยใช้การกำหนดเงื่อนไขทำให้เทอมที่สามหายไป
นั่นคือเราต้องการให้ $p + 3uv = 0$ หรือ $uv = -\frac{p}{3}$
จะได้ $u^3 + v^3 + 0 \cdot (u + v) + q = 0$ หรือ $u^3 + v^3 = -q$
หากเราสามารถแก้สมการหาค่า $u$ และ $v$ ออกมาได้ ก็จะหาค่า $y$ ได้
ซึ่งถ้าสังเกตให้ดีจะพบว่าจากเงื่อนไข $uv = -\frac{p}{3}$ หรือ $u^3v^3 = -\frac{p^3}{27}$ และ $u^3 + v^3 = -q$
เห็นรูปแบบคุ้นๆไหม :rolleyes: ผลคูณของสองจำนวน($u^3 \cdot v^3$)ได้ค่าหนึ่ง และผลบวกของสองจำนวน($u^3 + v^3$)ได้ค่าหนึ่ง
นี่คือรากคำตอบของสมการกำลังสอง $t^2 - (u^3 + v^3)t + u^3v^3 = 0$ หรือ $t^2 + qt - \frac{p^3}{27} = 0$ นั่นเอง :)

เพราะว่ารากคำตอบของสมการกำลังสองคือ $t = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}$

โดยไม่เสียนัยทั่วไป เราสามารถกำหนดให้
$u^3 = -\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}$ จะได้ $u = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}$
และ $v^3 = -\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}$ จะได้ $v = \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}$
ดังนั้น $y = u + v = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}$
และ $x = y - c = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} - \frac{b}{3 a}$


วิเคราะห์รากคำตอบ

เรื่องราวทั้งหมดน่าจะจบลงตรงนี้หากเราสนใจเพียงแค่รู้ว่ามีวิธีการแก้สมการกำลังสาม
แต่ในการนำสูตรนี้ไปใช้งานยังมีปัญหาหลายประการ เราลองมาวิเคราะห์กันอีกสักหน่อย :rolleyes:

เนื่องจากรากที่ $3$ ของจำนวนเชิงซ้อนมีทั้งหมด $3$ ค่า เราจึงมีค่า $u$ และ $v$ ที่เป็นไปได้อย่างละ $3$ ค่า
นั่นหมายความว่าเราจะได้ค่าของ $y$ ที่เป็นไปได้ $3 \times 3 = 9$ ค่า หรือมีค่า $x$ ที่เป็นไปได้ 9 ค่า อย่างนั้นหรือ :confused:

เราไม่สามารถเลือกคู่ $u , v$ ได้อย่างอิสระ ค่าที่เลือกมาต้องสอดคล้องกับเงื่อนไข $uv = -\frac{p}{3}$ ด้วย
สมมติว่า $u = A$ และ $v = B$ เป็นคู่หนึ่งที่ทำให้ $uv = AB = -\frac{p}{3}$

เพื่อความสะดวกในการเขียนสัญลักษณ์
กำหนดให้ $\omega$ เป็นคำตอบของสมการ $\omega^3 = 1$ โดยที่ $\omega \neq 1$ ($\omega = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} , \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}$)
($\omega$ มี $2$ ค่า เลือกค่าไหนก็ได้)

เพราะว่าค่า $u$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $u = A , \omega A , \omega^2 A$
และค่า $v$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $v = B , \omega B , \omega^2 B$
จับคู่ผลคูณ $uv$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด จะพบว่ามีเพียง 3 ค่าที่แตกต่างกันเท่านั้นคือ $AB , \omega AB , \omega^2 AB$

เนื่องจาก $AB = -\frac{p}{3}$ เป็นจำนวนจริง ในขณะที่ $\omega AB , \omega^2 AB$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ค่าเหล่านี้จึงใช้ไม่ได้
(ยกเว้นกรณี $p = 0$ ซึ่งเราไม่สนใจ เพราะหาคำตอบได้ง่ายว่า $y = -q^{\frac{1}{3}}$)

ดังนั้น คู่ $u , v$ ที่ทำให้ได้ $uv = -\frac{p}{3}$ จึงเป็น $(A , B) , (\omega A, \omega^2 B) , (\omega^2 A , \omega B)$ เพียง $3$ คู่เท่านั้น
จึงได้ว่า $y = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} = \cases{A + B\cr \omega A + \omega^2 B\cr \omega^2 A + \omega B}$ เพียง $3$ ค่าเท่านั้น (ไม่ใช่ $9$ ค่าอย่างที่ตั้งข้อสังเกตไว้ตอนแรก)


พิจารณาค่าของ $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}$

ค่าของ $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}$ บอกอะไรเราหลายอย่างเกี่ยวกับรากคำตอบของสมการ
(คล้ายๆกับ $b^2 - 4ac$ ในสมการกำลังสอง :))


กรณี $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} \geqslant 0$ หรือ $4p^3 + 27q^2 \geqslant 0$

จะพบว่า $A = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}}$
และ $B = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}}$
สอดคล้องกับเงื่อนไข $u^3 + v^3 = A^3 + B^3 = -q$ และ $uv = -\frac{p}{3}$
ดังนั้นจะได้ $y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}}$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ

ส่วนรากคำตอบอีกสองค่าที่เหลือก็คือ
$\omega A + \omega^2 B = \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)A + \left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right)B = -(A+B)\cos \frac{\pi}{3} + i(A-B)\sin \frac{\pi}{3}$
และ $\omega^2 A + \omega B = \left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right)A + \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)B = -(A+B)\cos \frac{\pi}{3} - i(A-B)\sin \frac{\pi}{3}$
เป็นคู่จำนวนเชิงซ้อนสังยุค โดยที่ผลคูณของสองค่านี้คือ
$\begin{array}{rl}
(\omega A + \omega^2 B)(\omega^2 A + \omega B) & = A^2 + \omega^2 AB + \omega AB + B^2 = A^2 + B^2 + (\omega^2 + \omega + 1)AB - AB \\
& = A^2 + B^2 + 0 \cdot AB - AB = A^2 + B^2 - AB
\end{array}$

เราสามารถพิสูจน์ในทางย้อนกลับได้อีกด้วยว่า รากคำตอบที่เป็นคู่จำนวนเชิงซ้อนสังยุคและจำนวนจริงหนึ่งค่า จะอยู่ในกรณีนี้ทั้งหมด
สมมติว่า รากคำตอบที่เป็นคู่จำนวนเชิงซ้อนคือ $a + bi , a - bi$ จะมีรากคำตอบที่เป็นจำนวนจริงคือ $-2a$ (เพราะว่าผลรวมของรากคำตอบทั้งหมดต้องเป็นศูนย์)
สร้างเป็นสมการกำลังสามได้ดังนี้
$\begin{array}{rl}
(y - (a+bi))(y - (a-bi))(y +2a) & = 0\\
y^3 + (b^2 - 3a^2)y + (2a^3 + 2ab^2) & = 0
\end{array}$
จะได้ $p = b^2 - 3a^2$ และ $q = 2a^3 + 2ab^2$
เราพบว่า $4p^3 + 27q^2 = 4(b^2 - 3a^2)^3 + 27(2a^3 + 2ab^2)^2 = 4b^2(9a^2 + b^2)^2 \geqslant 0$ เสมอ


กรณีนี้ $p = 2$ และ $q = -6$
มีค่า $4p^3 + 27q^2 = 1004 > 0$
จะได้ $u = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(3 + \sqrt{\frac{8}{27} + 9}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(3 + \sqrt{\frac{251}{27}}\right)^{\frac{1}{3}}$
และ $v = \left(3 - \sqrt{\frac{251}{27}}\right)^{\frac{1}{3}}$
ดังนั้น $y = \sqrt[3]{3 + \sqrt{\frac{251}{27}}} + \sqrt[3]{3 - \sqrt{\frac{251}{27}}}$ เป็นคำตอบหนึ่ง

กรณีเฉพาะ $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} = 0$ หรือ $4p^3 + 27q^2 = 0$

จะพบว่า $A = B = -\sqrt[3]{\frac{q}{2}}$
สอดคล้องกับเงื่อนไข $u^3 + v^3 = A^3 + B^3 = -q$ และ $uv = \sqrt[3]{\frac{q^2}{4}} = -\frac{p}{3}$
นอกจากนี้รากคำตอบอีกสองค่าจะซ้ำกันคือ $\omega^2 A + \omega A = (\omega^2 + \omega + 1)A - A = 0 \cdot A - A= -A$
ดังนั้นจะได้ $y = \cases{2A = -2\sqrt[3]{\frac{q}{2}}\cr -A = \sqrt[3]{\frac{q}{2}}}$


กรณี $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} < 0$ หรือ $4p^3 + 27q^2 < 0$

จะพบว่า $A, B$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนทุกค่า
เราได้พิสูจน์ให้เห็นแล้วว่ากรณีที่รากคำตอบเป็นคู่จำนวนเชิงซ้อน จัดอยู่ในกรณี $4p^3 + 27q^2 \geqslant 0$ ทั้งหมด
ดังนั้นรูปแบบของคำตอบที่เหลือที่เป็นไปได้มีเพียงกรณีเดียวคือ รากคำตอบทั้งหมดเป็นจำนวนจริง
(หากมีราคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อน $1$ หรือ $3$ ค่า เมื่อสร้างกลับเป็นสมการกำลังสาม จะมีสัมประสิทธิ์บางตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน)

กรณีนี้ เราสามารถแก้สมการกำลังสามโดยใช้ความรู้เรื่องตรีโกณมิติมาช่วยได้

จากเอกลักษณ์ $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$
หรือ $4\sin^3 \theta - 3\sin \theta + \sin 3\theta = 0$

สมมติให้ $\sin \theta = y$ แทนค่าลงไป จะได้ว่า
$4y^3 - 3y + \sin 3\theta = 0$ หรือ $y^3 - \frac{3}{4}y + \frac{\sin 3\theta}{4} = 0$

จะเห็นว่า ในกรณีที่ $p = -\frac{3}{4}$ และ $q = \frac{\sin 3\theta}{4}$
จะมีรากคำตอบของสมการคือ $y = sin \theta$ โดยที่ $\theta = \frac{1}{3}\sin^{-1}(4q)$ และ $|q| \leqslant \frac{1}{4}$

อืมเหมือนจะใช้ได้นะ แล้วในกรณีที่ $p \neq -\frac{3}{4}$ ละ :confused:

ลองแบบนี้สิ สมมติว่า $\sin \theta = \frac{y}{a}$ แทนค่าลงไป จะได้
$\frac{4}{a^3}y^3 - \frac{3}{a}y + \sin 3\theta = 0$ หรือ $y^3 - \frac{3a^2}{4}y + \frac{a^3\sin 3\theta}{4} = 0$
มีค่า $p = - \frac{3a^2}{4}$ และ $q = \frac{a^3\sin 3\theta}{4}$

เมื่อเราทราบค่า $p, q$ ก็สามารถหาค่า $a$ และ $\theta$ ที่เหมาะสมได้เป็น
$a = \sqrt{-\frac{4p}{3}}$
และ $\theta = \frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{4q}{a^3}\right) = \frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right)$
จึงได้ $y = a\sin \theta = \sqrt{-\frac{4p}{3}} \sin\left(\frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right)\right)$

แล้วคำตอบที่เหลืออีกสองค่าละ :confused:
ก็ได้จากตอนหาค่า $\sin^{-1}$ ที่ได้มุมออกมาหลายค่านั่นเอง
ดังนั้นรากคำตอบทั้งหมด $y = \sqrt{-\frac{4p}{3}} \sin\left(\frac{1}{3}\left(\sin^{-1}\left(\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right) + 2n\pi\right)\right)$ โดยที่ $n = 0, 1, 2$

ยังมีอีก $2$ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการหารากคำตอบเหล่านี้คือ
$-\frac{4p}{3} \geqslant 0$ หรือ $p \leqslant 0$
และ
$\begin{array}{rl}
\left|\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right| & \leqslant 1\\
\left(\frac{9q^2}{p^2}\right)\left(-\frac{3}{4p}\right) & \leqslant 1\\
-\frac{27q^2}{4p^3} & \leqslant 1\\
4p^3 + 27q^2 & \leqslant 0
\end{array}$

สอดคล้องกับเงื่อนไขของกรณีที่เราต้องการหารากคำตอบพอดี
แสดงว่าวิธีนี้ใช้หารากคำตอบที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดได้เท่านั้น :wub:

Washirawit101
14 มกราคม 2013, 21:25
สุดยอดครับ

Verda7788
25 กรกฎาคม 2013, 16:26
สุดยอดเลยค่ะ ขอบคุณน่ะ ค่ะ

นกกะเต็นปักหลัก
25 กรกฎาคม 2013, 21:09
ขอบคุณครับ เข้าใจเลย

Guntitat Gun
28 กรกฎาคม 2013, 09:05
ขอบคุณมากขอรับ
--ขอคารวะ--

kongp
08 กันยายน 2013, 13:59
สมมติฐานบางอย่างดูไม่ครอบคุมนะครับ ไม่มีที่มาซะดื้อๆ (อาจจะมีข้อคิดอื่นที่เครียร์กว่า)สามารถแตกแขนงออกได้อีก และ ถ้ามีกราฟโชว์ด้วยจะดีมาก

Sirius
12 ตุลาคม 2013, 11:43
ขอบคุณมากครับ

s1xsax
24 พฤศจิกายน 2013, 21:54
...นี้สส.ส.ส..นุง...
...ละเอียด...ครบถ้วนครับ...
...แต่...อธิบายเป็นเชิงทฤษฐีมากๆแบบนี้...
...สำหรับ...เด็กที่อ่าน...น้อยคนที่จะอ่านแล้วพิจารณาทำความเข้าใจตามไปด้วย...ตั้งแต่ต้นจนจบ...หรือลายตาซะก่อนนั่นเองครับ...
...แนะนำว่า...ถ้าเป็นไปได้...ให้ทำเป็บคลิปสอน...แล้วอัปขึ้น youtube ครับ...
...จริงๆนะครับ...จะทำให้...ติดตามและทำความเข้าใจได้ดียิ่งขึ้นครับ...

Setthi
29 พฤศจิกายน 2013, 18:18
สุดยอดคราฟฟๆๆ

tngngoapm
30 สิงหาคม 2016, 00:13
ผมรวบรวมรายละเอียดการวาดกราฟสมการกำลังสาม(Cubic equation) ไว้ในแบบที่เข้าใจง่ายเพื่อประกอบกับสูตรการหารากสมการกำลังสาม เผื่อจะเป็นประโยชน์กับผู้ที่สนใจ ดังรูปสรุปแบบต่างๆดังนี้ครับ ขอบคุณครับ

tngngoapm
07 กันยายน 2016, 13:37
ยกตัวอย่างเราจะวาดกราฟ $y=2x^{3}-12x^{2}+22x-11$
$[A=2,B=-12,C=22,D=-11$]

1)พิจารณาค่า $A=2$ มีค่าเป็นบวก $(A>0)$
2)พิจารณาค่า $a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3A} =\frac{\sqrt{(-12)^{2}-(3)(2)(22)} }{(3)(2)}=\frac{\sqrt{3} }{3} $ หาค่า a เป็นจำนวนจริงได้
จากข้อ 1)+2) แสดงว่า......กราฟที่ได้จะเป็นรูปตัว Z
3)หาจุดเปลี่ยนเว้า $(r,f(r)),r=-\frac{B}{3A} =-\frac{-12}{(3)(2)}=2$
$f(r)=f(2)=2(2^{3})-12(2^{2})+22(2)-11=1$
แสดงว่า....(2,1)=จุดเปลี่ยนเว้าของกราฟ หรือ เส้นตรง $x=2,y=1=แกนสะท้อนของกราฟ$
4)หาระยะสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์วัดจากแกนสะท้อน$=2\left|\,A\right|a^{3}= (2)(2)(\frac{\sqrt{3} }{3} )^{3}=\frac{4\sqrt{3} }{9}\approx 0.77 $
5)หาระยะแคบ/กว้างของตัวZจากค่า $\sqrt{3}a=(\sqrt{3} )(\frac{\sqrt{3} }{3} )=1$
หลังจากนั้นก็วาดกราฟได้ดังรูป....จะเห็นว่า ค่า $2\left|\,A\right| a^{3}<\left|\,f(r)\right|$ .......(0.77<1)
แสดงว่ากราฟตัดแกน $x$ แค่ 1 จุด ...สมการ$2x^{3}-12x^{2}+22x-11=0$ จึงมีรากที่เป็นจำนวนจริงแค่ 1 ค่าเท่านั้น รากอีก 2 ค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน

tngngoapm
23 กันยายน 2016, 23:42
ก่อนอื่นขออารัมภบทก่อนว่า............
จากทฤษฎีการวาดกราฟสมการกำลังสามที่ผมรวบรวมขึ้น มาจากการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์ คือ
ถ้ากำหนด $y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D โดยที่ A\not= 0,B,C,D\in R$
$$x_{(relatively...min./max.)}=\frac{-B\pm \sqrt{B^{2}-3AC} }{3A} $$
แล้วมาต่อยอดเป็น ค่า $r=-\frac{B}{3A} $ ค่า $a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3A} $
โดยที่ $(r,f(r))=จุดเปลี่ยนเว้า$ และค่า $a จะเกี่ยวข้องกับค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์$
แต่เพื่อความสะดวกในการวาดกราฟ ถ้าค่า $a$สามารถหาค่าเป็นจำนวนจริงได้ ผมจะให้ค่า $a เป็น+ เสมอ$ คือ $a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3\left|\,A\right| } $แต่ค่า $r=-\frac{B}{3A} $ เหมือนเดิม
คือสมการ $y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 $ ถ้าเราสามารถหาค่า $r,a$ ได้แล้ว จะสามารถจัดรูปใหม่ให้อยู่ในรูปแบบของ $A[(x-r)^{3}-3a^{2}(x-r)+\frac{f(r)}{A} ]=0$ ได้เสมอ ซึ่งจะเป็นไปตามสูตรของคาร์ดาน
$X^{3}+pX+q=0$ โดย $p=-3a^{2},q=\frac{f(r)}{A}$
.....ในการหาคำตอบของสมการกำลังสามที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริง เราจะสามารถจำแนกรากของสมการที่เป็นจำนวนจริงได้จากค่าที่เขาเรียกว่า "ดิสคริมิแนนต์" แต่ผมจะขอสรุปในรูปแบบทฤษฎีของผมดังนี้ครับ
.....กรณี $a\not\in R$-$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 $ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง 1ค่า และจำนวนเชิงซ้อน 2 ค่า
......กรณี $a\in R\not= 0$-$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 $ จะสามารถให้คำตอบได้ดังนี้
1. ถ้า $\left|\,f(r)\right| < 2\left|\,A\right| a^{3}$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง3ค่าที่แตกต่างกัน
2. ถ้า $\left|\,f(r)\right| = 2\left|\,A\right| a^{3}$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง2ค่าที่แตกต่างกันเท่านั้น
3. ถ้า $\left|\,f(r)\right| > 2\left|\,A\right| a^{3}$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง 1ค่า และจำนวนเชิงซ้อน 2 ค่า
......กรณี $a\in R= 0$ -$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D =0$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง 1ค่าเท่านั้น
ลองดูวิธีการหาค่ารากของสมการกรณีที่เป็นจำนวนจริง 3 ค่า โดยใช้กราฟกับฟังก์ชัน sine มาประยุกต์ในการหาเพราะถ้าใช้ตามสูตรของคาร์ดานน่าจะมีความซับซ้อนในกรณีที่รากเป็นจำนวนจริง3ค่าอยู่พอสมควรและถ้ามองกันดีดี กราฟของสมการกำลังสามมีช่วงที่คล้ายกับฟังก์ชัน sine ครับ วิธีก็จะคล้ายกับเจ้าของบทความในกระทู้ครับแต้ผมเพิ่มเติม idea บางอย่างให้ดูง่ายขี้นเข้าไปครับ

pure_mathja
28 กันยายน 2016, 11:36
กำลังหาข้อมูลเรื่องนี้พอดีเลยครับ

tngngoapm
28 กันยายน 2016, 21:37
กำลังหาข้อมูลเรื่องนี้พอดีเลยครับ

ยังมีข้อมูลบางอย่างอีกครับเกี่ยวกับสมการกำลังสามที่ผมค้นคว้าอยู่ แต่ผมยังไม่ได้เปิดเผยที่ไหน อาทิเช่น ทฤษฎีการเป็นลำดับเลขคณิตของรากสมการกำลังสาม และยิ่งค้นก็ยิ่งลึกครับ แต่คาดว่าจะนำข้อมูลทฤษฎีต่างๆมาลงไว้ที่นี่ทีเดียวแหละครับ แต่อาจจะช้าหน่อยเพราะผมค้นคว้างานด้านคณิตศาสตร์เหมือนทำงานด้านศิลปะอย่างหนึ่งครับ มันต้องมีความอยากแล้วถึงจะสร้างสรรค์ผลงานได้อย่างเป็นชิ้นเป็นอันครับ ก็ต้องขอบคุณเจ้าของบทความที่เปิดช่องให้ผมได้เห็นอะไรบางอย่าง อ่านปุ้บไอเดียมาเต็ม ติดตามผลงานกันด้วยนะครับ

tngngoapm
06 ตุลาคม 2016, 01:05
คราวนี้เมื่อเรารู้จักสมการกำลังสามดีพอแล้ว เราจะมาหาผลเฉลยของสมการ
$$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ x,y,z\in I^{+}$$
ซึ่งนักคณิตศาสตร์เขาบอกว่าไม่มี แต่ผมไม่เชื่อก็เลยพยายามค้นหาว่ามันมี แต่หายังไงก็ยังไม่เจอ ก็เลยเปลี่ยนเงื่อนไขนิดหน่อยเป็น
$$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ z\in I^{+},(x+y)\in I^{+},(xy)\in I^{+}....x,y\in R^{+}$$
ซึ่งถ้าผมรู้ผลเฉลยของมันก็แสดงว่าผมเข้าใกล้ผลเฉลยของ$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ x,y,z\in I^{+}$อีกนิด
ซึ่งปรากฎว่าหาผลเฉลยได้หลายผลเฉลยเลยครับ ผลเฉลยชุดหนึ่งก็คือ
$$x=\frac{9+\sqrt{5} }{2} ,y=\frac{9-\sqrt{5} }{2},z=6$$

ลองดูวิธีหาของผมครับ.............

tngngoapm
13 ตุลาคม 2016, 22:19
คราวนี้เมื่อเรารู้จักสมการกำลังสามดีพอแล้ว เราจะมาหาผลเฉลยของสมการ
$$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ x,y,z\in I^{+}$$
ซึ่งนักคณิตศาสตร์เขาบอกว่าไม่มี แต่ผมไม่เชื่อก็เลยพยายามค้นหาว่ามันมี แต่หายังไงก็ยังไม่เจอ ก็เลยเปลี่ยนเงื่อนไขนิดหน่อยเป็น
$$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ z\in I^{+},(x+y)\in I^{+},(xy)\in I^{+}....x,y\in R^{+}$$
ซึ่งถ้าผมรู้ผลเฉลยของมันก็แสดงว่าผมเข้าใกล้ผลเฉลยของ$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ x,y,z\in I^{+}$อีกนิด
ซึ่งปรากฎว่าหาผลเฉลยได้หลายผลเฉลยเลยครับ ผลเฉลยชุดหนึ่งก็คือ
$$x=\frac{9+\sqrt{5} }{2} ,y=\frac{9-\sqrt{5} }{2},z=6$$

ลองดูวิธีหาของผมครับ.............

ผลเฉลยที่ผมหาได้อีกชุดหนึ่งครับ
$$x=(18+\sqrt{142})s.....,y=(18-\sqrt{142})s....,z=30s....เมื่อ..s\in I^{+}$$

tngngoapm
23 ตุลาคม 2016, 08:33
กำหนด $y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D เมื่อ A\not= 0,B,C,D เป็นจำนวนจริงและB^{2}-3AC>0 $
1.$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$จะมีรากเป็นจำนวนจริง 3 ค่าและเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตก็ต่อเมื่อ$f(-\frac{B}{3A} )=0$
2.กรณีที่$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 และ f(-\frac{B}{3A} )\not= 0$จะสามารถหาจำนวนจริง $k\in R$ ได้เพียงค่าเดียวที่ทำให้ $y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=k$ มีรากสมการเป็นลำดับเลขคณิต
3.$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=k เมื่อ k=f(-\frac{B}{3A})$จะมีรากของสมการเป็นลำดับเลขคณิตเสมอ และถ้า $x_{1},x_{2},x_{3}$ เป็นรากของสมการที่เรียงจากน้อยไปมาก$$x_{1}=-\frac{B}{3A}-\sqrt{3}a,x_{2}=-\frac{B}{3A}และ x_{3}=-\frac{B}{3A}+\sqrt{3}a เมื่อ a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3\left|\,A\right| } $$

kongp
30 ตุลาคม 2016, 21:28
คิดแบบนี้ ถึงมี กาลัวร์ฟิวด์ :0-1 แบบว่ามี C กับ D ไม่เอาไปคิดด้วย คงเพราะว่าง่าย เหมือนๆ X^3-X-1 =0

กลายเป็น 1 2 3 4 ... ส่วน ทำให้มีหลายระบบ เช่น Metric อังกฤษ กับ Metric อเมริกา ไหนจะ เยรมัน

Aquila
31 ตุลาคม 2016, 03:49
คราวนี้เมื่อเรารู้จักสมการกำลังสามดีพอแล้ว เราจะมาหาผลเฉลยของสมการ
$$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ x,y,z\in I^{+}$$
ซึ่งนักคณิตศาสตร์เขาบอกว่าไม่มี แต่ผมไม่เชื่อก็เลยพยายามค้นหาว่ามันมี แต่หายังไงก็ยังไม่เจอ ก็เลยเปลี่ยนเงื่อนไขนิดหน่อยเป็น
$$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ z\in I^{+},(x+y)\in I^{+},(xy)\in I^{+}....x,y\in R^{+}$$
ซึ่งถ้าผมรู้ผลเฉลยของมันก็แสดงว่าผมเข้าใกล้ผลเฉลยของ$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ x,y,z\in I^{+}$อีกนิด
ซึ่งปรากฎว่าหาผลเฉลยได้หลายผลเฉลยเลยครับ ผลเฉลยชุดหนึ่งก็คือ
$$x=\frac{9+\sqrt{5} }{2} ,y=\frac{9-\sqrt{5} }{2},z=6$$

ลองดูวิธีหาของผมครับ.............

เพราะอะไรถึงคิดแบบนี้ครับ อธิบายหน่อยได้มั้ยครับ

ที่มาของไอเดีย หรือ เหตุผลสนับสนุนก็ได้ครับ

tngngoapm
31 ตุลาคม 2016, 08:20
ถ้าผมรู้ผลเฉลยของ$x^{3}+y^{3}=z^{3},(x+y)และ(xy)และzเป็นจำนวนเต็มบวก$ผมก็จะเข้าใกล้ผลเฉลยของ$x^{3}+y^{3}=z^{3},xและyและzเป็นจำนว นเต็มบวก$
เพราะอะไรถึงคิดแบบนี้ครับ อธิบายหน่อยได้มั้ยครับ

ที่มาของไอเดีย หรือ เหตุผลสนับสนุนก็ได้ครับ

....คือที่มาของความคิดนี้ก็หลักการพื้นฐานครับคือผมจะไม่เชื่ออะไรที่พูดต่อๆกันมาหรือได้ยินต่อๆกันมาแต่ผมจะเชื่อเมื่อได้พิสูจน์ด้ว ยตัวเองแล้วเท่านั้น ทำให้จำเป็นต้องขยายกรอบหรือเซตคำตอบให้มันกว้างขึ้น และถ้าในเซตคำตอบนั้นไม่มีสิ่งที่เราต้องการแล้วข้อสรุปก็น่าจะตามมาก็น่าจะเป็นวิธีในการพิสูจน์อย่างหนึ่งครับ

tngngoapm
31 ตุลาคม 2016, 08:26
คิดแบบนี้ ถึงมี กาลัวร์ฟิวด์ :0-1 แบบว่ามี C กับ D ไม่เอาไปคิดด้วย คงเพราะว่าง่าย เหมือนๆ X^3-X-1 =0

กลายเป็น 1 2 3 4 ... ส่วน ทำให้มีหลายระบบ เช่น Metric อังกฤษ กับ Metric อเมริกา ไหนจะ เยรมัน

กาลัวฟิวด์0-1คืออะไรเหรอครับ?

Aquila
31 ตุลาคม 2016, 18:40
ถ้าผมรู้ผลเฉลยของ$x^{3}+y^{3}=z^{3},(x+y)และ(xy)และzเป็นจำนวนเต็มบวก$ผมก็จะเข้าใกล้ผลเฉลยของ$x^{3}+y^{3}=z^{3},xและyและzเป็นจำนว นเต็มบวก$


....คือที่มาของความคิดนี้ก็หลักการพื้นฐานครับคือผมจะไม่เชื่ออะไรที่พูดต่อๆกันมาหรือได้ยินต่อๆกันมาแต่ผมจะเชื่อเมื่อได้พิสูจน์ด้ว ยตัวเองแล้วเท่านั้น ทำให้จำเป็นต้องขยายกรอบหรือเซตคำตอบให้มันกว้างขึ้น และถ้าในเซตคำตอบนั้นไม่มีสิ่งที่เราต้องการแล้วข้อสรุปก็น่าจะตามมาก็น่าจะเป็นวิธีในการพิสูจน์อย่างหนึ่งครับ

เป็นไอเดียที่ดีนะครับ และถ้าหากว่าเซตคำตอบที่เราขยายออกไปมีสิ่งที่เราต้องการละครับ

เราจะย่อสิ่งๆนั้นกลับมาที่โจทย์แล้วสรุปผลยังไงละครับ

ปล.พักนี้ไม่รู้เป็นไร อยากหาคนคุยด้วย :laugh:

tngngoapm
01 พฤศจิกายน 2016, 15:49
เป็นไอเดียที่ดีนะครับ และถ้าหากว่าเซตคำตอบที่เราขยายออกไปมีสิ่งที่เราต้องการละครับ

เราจะย่อสิ่งๆนั้นกลับมาที่โจทย์แล้วสรุปผลยังไงละครับ

ปล.พักนี้ไม่รู้เป็นไร อยากหาคนคุยด้วย :laugh:

ก็ตรงไปตรงมาครับ คือสรุปว่ามีผลเฉลยอย่างน้อย1ชุดของสมการกำลังสาม$x^{3}+y^{3}=z^{3}โดยที่x,yและzเป็นจำนวนเต็มบวก$

Aquila
01 พฤศจิกายน 2016, 18:44
ก็ตรงไปตรงมาครับ คือสรุปว่ามีผลเฉลยอย่างน้อย1ชุดของสมการกำลังสาม$x^{3}+y^{3}=z^{3}โดยที่x,yและzเป็นจำนวนเต็มบวก$

มันสรุปแบบนั้นไม่ได้น่ะสิครับ

เพราะชุดคำตอบ $x,y,z$ ที่คุณหาออกมา มี $x,y$ ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก

มีเฉพาะ $z$ เท่านั้น ที่คุณหาออกมาได้ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกนิครับ

ปล. ผมคิดว่าไอเดียขยายเซตคำตอบเป็นไอเดียที่ดีครับ

แต่มันเป็นไอเดียที่มีปัญหาและไม่สมบูรณ์ คือใช้ได้แค่ระดับนึงเท่านั้น

kongp
02 พฤศจิกายน 2016, 14:38
เออ ตามหัวข้อโจทย์มีคนเอา เงื่ิอนไขตอนท้ายไปใส่ในสมการ $x^3$ + $y^3$ = $z^3$ หา x, y, z ที่เป็นจำนวนเต็ม

ส่วน Galois Theory ลองหาหนังสืออ่านดูครับ เค้าเริ่มจากแก้สมการกำลังสาม Cubic Equation ชื่อคนแต่ง David A .Cox

ไม่ใช่งานของผม

kongp
03 พฤศจิกายน 2016, 18:03
ไม่มีสัมประสิทธิ์หนัาตัวแปรให้ทอนลงมา ที่เป็นจำนวนเต็ม นักคณิตศาสตร์ก็คงหันไปคำนวนเลขชี้กำลังก่อน เพราะทอนจาก 3 เป็นกำลัง 2 และ 1 ได้ หรือ 3 เทอมในสมการ ทอนลงให้เหลือ 2 สมการ ที่เป็นกำลัง 2 แล้วเเข้าสูตร x = $(-b $+/-$ $sqt($b^2$-4ac))$/2a$

:)

tngngoapm
06 พฤศจิกายน 2016, 20:46
เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนในการใช้ภาษา ผมจะขอสรุปผลเฉลยของสมการ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ โดยใช้สัญลักษณ์ทางเซตดังนี้นะครับ.....
กำหนดให้....
$$A=\left\{\,(x,y,z)\in R^{+}\times R^{+}\times I^{+}\mid x^{3}+y^{3}=z^{3}\right\} $$
$$B=\left\{\,(x,y,z)\in I^{+}\times I^{+}\times I^{+}\mid x^{3}+y^{3}=z^{3}\right\} $$
จากเซต $A$และ$B$ ข้างต้นจะได้ว่า $B\subset A$
แต่จากการหาผลเฉลยของเซตคำตอบของ $A$ โดยใช้เวลาอยู่พอสมควรแล้ว
ผมสรุปเซตคำตอบของ $A$ ได้ทั้งหมด $4 ชุดคำตอบ$แล้วครับ (มันยังมีอีก.........)
$$ชุดที่1....(x,y,z)=((9+\sqrt{5} )s,(9-\sqrt{5})s,12s)....เมื่อ 12s\in I^{+}$$
$$ชุดที่2....(x,y,z)=((12+\sqrt{33} )s,(12-\sqrt{33})s,18s)....เมื่อ 18s\in I^{+}$$
$$ชุดที่3....(x,y,z)=((18+\sqrt{142} )s,(18-\sqrt{142})s,30s)....เมื่อ 30s\in I^{+}$$
$$ชุดที่4....(x,y,z)=((36+\sqrt{899} )s,(36-\sqrt{899})s,66s)....เมื่อ 66s\in I^{+}$$

ซึ่งจากเซตคำตอบดังกล่าวยังไม่มี $(x,y,z)\in I^{+}\times I^{+}\times I^{+}$
แต่คาดว่าผลเฉลยมันน่าจะมีเป็นอนันต์ชุด(ไม่แน่ใจ) ดูจากแนวโน้มแล้ว มันก็น่าจะมีสัก 1 ชุดคำตอบน่าที่ใช่........

kongp
11 พฤศจิกายน 2016, 15:49
ขอให้ไปในแนวทางนี้จนถึงที่สุดเลยครับ .

Aquila
12 พฤศจิกายน 2016, 04:03
เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนในการใช้ภาษา ผมจะขอสรุปผลเฉลยของสมการ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ โดยใช้สัญลักษณ์ทางเซตดังนี้นะครับ.....
กำหนดให้....
$$A=\left\{\,(x,y,z)\in R^{+}\times R^{+}\times I^{+}\mid x^{3}+y^{3}=z^{3}\right\} $$
$$B=\left\{\,(x,y,z)\in I^{+}\times I^{+}\times I^{+}\mid x^{3}+y^{3}=z^{3}\right\} $$
จากเซต $A$และ$B$ ข้างต้นจะได้ว่า $B\subset A$
แต่จากการหาผลเฉลยของเซตคำตอบของ $A$ โดยใช้เวลาอยู่พอสมควรแล้ว
ผมสรุปเซตคำตอบของ $A$ ได้ทั้งหมด $4 ชุดคำตอบ$แล้วครับ (มันยังมีอีก.........)
$$ชุดที่1....(x,y,z)=((9+\sqrt{5} )s,(9-\sqrt{5})s,12s)....เมื่อ 12s\in I^{+}$$
$$ชุดที่2....(x,y,z)=((12+\sqrt{33} )s,(12-\sqrt{33})s,18s)....เมื่อ 18s\in I^{+}$$
$$ชุดที่3....(x,y,z)=((18+\sqrt{142} )s,(18-\sqrt{142})s,30s)....เมื่อ 30s\in I^{+}$$
$$ชุดที่4....(x,y,z)=((36+\sqrt{899} )s,(36-\sqrt{899})s,66s)....เมื่อ 66s\in I^{+}$$

ซึ่งจากเซตคำตอบดังกล่าวยังไม่มี $(x,y,z)\in I^{+}\times I^{+}\times I^{+}$
แต่คาดว่าผลเฉลยมันน่าจะมีเป็นอนันต์ชุด(ไม่แน่ใจ) ดูจากแนวโน้มแล้ว มันก็น่าจะมีสัก 1 ชุดคำตอบน่าที่ใช่........

ไม่ค่อยมีเวลา แต่อยากเสนอให้ฟังคร่าวๆครับ ดังนี้

สมมติว่าเรามีสมการกำลังสองอยู่หนึ่งสมการ สมมติว่าเป็น

$x^2+4x+6=0$ ก็แล้วกัน ลองสังเกตดูว่าเราหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงไม่ได้

จริงไหมครับ แต่พอมีใครซักคนคิดระบบของจำนวนเชิงซ้อนออกมา ก็มีคำตอบทันที

ก็เท่ากับว่า คนๆนั้นใช้ตรรกะในการขยายเซตคำตอบเหมือนกัน

คือแทนที่จะหาคำตอบบนเซตของจำนวนจริง ก็ไปหาเป็นเซตของเชิงซ้อนแทน

ทีนี้ไอเดียคือการขยายเซตคำตอบออกไปเป็นจำนวนเชิงซ้อน

มันยังสรุปไม่ได้ 100% ถึงพฤติกรรมการเกิดรากของเซตคำตอบก่อนขยายครับ

ลองมองแบบนี้ดู สมการ $x^2+4x+6=0$ หารากบน $\mathbb{R}$ จะได้ว่า "ไม่มี"

พอมาทำเป็นหารากบน $\mathbb{C}$ โดยที่ $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ เหมือนกับว่าจำนวนเชิงซ้อนมีความทั่วไปกว่าจำนวนจริง

(โดยการเซทให้สัมประสิทธิ์หน้า $i$ เป็นศูนย์) ปรากฏว่ามีรากพอดี

ก็เท่ากับว่ามันมีรากบนขอบเขตที่ขยายออกไป แต่ "ไม่มี" รากบนขอบเขตเดิม

----------------------------------------------------------------------

กลับมาดูที่ความเห็นล่าสุดของคุณข้างบน คือการดู $(x,y) \in \mathbb{R}^2$

แล้วปรากฏว่าไปเจอคำตอบ พอลดขอบเขตมาเป็น $(x,y) \in \mathbb{N}^2$

มันจะสรุปว่าไม่มีหรือมีแบบตัวอย่างที่ผมยกไว้ข้างบนไม่ได้ เพราะตัวอย่างข้างบน

เรารู้ๆกันด้วยความรู้ของจำนวนเชิงซ้อนม.ปลายที่ไม่ได้ซับซ้อนมาก ว่ามีหรือไม่มีคำตอบ

พอกลับมามองที่ FLT กรณี $n=3$ การที่คุณกำลังจะสรุปคำตอบโดยวิธีขยายขอบเขต

ต่อให้เจอคำตอบบนขอบเขตที่ขยายออกไป ก็สรุปกลับมาที่ขอบเขตก่อนขยายไม่ได้ครับ

สมมติว่าถ้ามัน "ไม่มี" คำตอบบนขอบเขตที่ขยาย แล้วสรุปว่า "ไม่มี" คำตอบในขอบเขตก่อนขยาย

อันนี้ "อาจจะ" ได้ครับ เพราะ $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ และ $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ เซตนึงมีความทั่วไปมากกว่าอีกเซต

กลับมาที่คำถามที่ผมเคยถามว่า ว่าถ้าหากเซทที่ขยายออกไป ดัน "มี" คำตอบมาละ

มันก็ใช่ว่าจะสรุปกลับมาที่ขอบเขตก่อนขยายได้ว่า มีหรือไม่มี 100% ครับ

การสรุปผล เราจะสรุปจากสิ่งที่เพียงพอให้สรุปเท่านั้นครับ และคำตอบที่คุณหาออกมาได้

เป็นแค่คำตอบกรณีเฉพาะที่ $x+y , xy$ เป็นจำนวนเต็มบวกแค่นั้นครับ

คำตอบบนโดเมนขยายขอบออกไป มีได้เป็นอนันต์ไม่ต้องสงสัยครับ

ปล. FLT มีความ sharp และ strong สูงมากครับ พวก capability ต่ำๆไม่มีทางทุบลงครับ

tngngoapm
16 พฤศจิกายน 2016, 14:45
ขอให้ไปในแนวทางนี้จนถึงที่สุดเลยครับ .
ขอบคุณครับ.............
ไม่ค่อยมีเวลา แต่อยากเสนอให้ฟังคร่าวๆครับ ดังนี้

สมมติว่าเรามีสมการกำลังสองอยู่หนึ่งสมการ สมมติว่าเป็น

$x^2+4x+6=0$ ก็แล้วกัน ลองสังเกตดูว่าเราหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงไม่ได้

จริงไหมครับ แต่พอมีใครซักคนคิดระบบของจำนวนเชิงซ้อนออกมา ก็มีคำตอบทันที

ก็เท่ากับว่า คนๆนั้นใช้ตรรกะในการขยายเซตคำตอบเหมือนกัน

คือแทนที่จะหาคำตอบบนเซตของจำนวนจริง ก็ไปหาเป็นเซตของเชิงซ้อนแทน

ทีนี้ไอเดียคือการขยายเซตคำตอบออกไปเป็นจำนวนเชิงซ้อน

มันยังสรุปไม่ได้ 100% ถึงพฤติกรรมการเกิดรากของเซตคำตอบก่อนขยายครับ

ลองมองแบบนี้ดู สมการ $x^2+4x+6=0$ หารากบน $\mathbb{R}$ จะได้ว่า "ไม่มี"

พอมาทำเป็นหารากบน $\mathbb{C}$ โดยที่ $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ เหมือนกับว่าจำนวนเชิงซ้อนมีความทั่วไปกว่าจำนวนจริง

(โดยการเซทให้สัมประสิทธิ์หน้า $i$ เป็นศูนย์) ปรากฏว่ามีรากพอดี

ก็เท่ากับว่ามันมีรากบนขอบเขตที่ขยายออกไป แต่ "ไม่มี" รากบนขอบเขตเดิม

----------------------------------------------------------------------

กลับมาดูที่ความเห็นล่าสุดของคุณข้างบน คือการดู $(x,y) \in \mathbb{R}^2$

แล้วปรากฏว่าไปเจอคำตอบ พอลดขอบเขตมาเป็น $(x,y) \in \mathbb{N}^2$

มันจะสรุปว่าไม่มีหรือมีแบบตัวอย่างที่ผมยกไว้ข้างบนไม่ได้ เพราะตัวอย่างข้างบน

เรารู้ๆกันด้วยความรู้ของจำนวนเชิงซ้อนม.ปลายที่ไม่ได้ซับซ้อนมาก ว่ามีหรือไม่มีคำตอบ

พอกลับมามองที่ FLT กรณี $n=3$ การที่คุณกำลังจะสรุปคำตอบโดยวิธีขยายขอบเขต

ต่อให้เจอคำตอบบนขอบเขตที่ขยายออกไป ก็สรุปกลับมาที่ขอบเขตก่อนขยายไม่ได้ครับ

สมมติว่าถ้ามัน "ไม่มี" คำตอบบนขอบเขตที่ขยาย แล้วสรุปว่า "ไม่มี" คำตอบในขอบเขตก่อนขยาย

อันนี้ "อาจจะ" ได้ครับ เพราะ $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ และ $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ เซตนึงมีความทั่วไปมากกว่าอีกเซต

กลับมาที่คำถามที่ผมเคยถามว่า ว่าถ้าหากเซทที่ขยายออกไป ดัน "มี" คำตอบมาละ

มันก็ใช่ว่าจะสรุปกลับมาที่ขอบเขตก่อนขยายได้ว่า มีหรือไม่มี 100% ครับ

การสรุปผล เราจะสรุปจากสิ่งที่เพียงพอให้สรุปเท่านั้นครับ และคำตอบที่คุณหาออกมาได้

เป็นแค่คำตอบกรณีเฉพาะที่ $x+y , xy$ เป็นจำนวนเต็มบวกแค่นั้นครับ

คำตอบบนโดเมนขยายขอบออกไป มีได้เป็นอนันต์ไม่ต้องสงสัยครับ

ปล. FLT มีความ sharp และ strong สูงมากครับ พวก capability ต่ำๆไม่มีทางทุบลงครับ

ขอบคุณครับ.....ความเข้าใจน่าจะตรงกันครับ แต่อาจจะอธิบายกันคนละทางเท่านั้นเอง
.......................................................................................................
ผมก็ขอสรุปผลเฉลยของสมการ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ โดยที่ทั้ง x,yและ z เป็นจำนวนเต็มบวก นั้นไม่มีผลเฉลยครับ
เพราะว่าจากการพิจารณาผลเฉลยของสมการ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ โดย xและy เป็นจำนวนจริงบวกใดๆก็ได้ ส่วน zเป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น
ซึ่งมีเป็นจำนวนอนันต์ผลเฉลย ไม่มีผลเฉลยใดๆเลยที่ค่า xและy เป็นจำนวนเต็มบวกเลยครับ ส่วนวิธีการพิสูจน์นั้นผมสรุปมาคราวๆได้ประมาณ 4 หน้ากระดาษ
โดยผมพยายามจะใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ให้มากที่สุด เพื่อให้เกิดความชัดเจน ถูกก็คือถูก ผิดก็คือผิด
หากมีข้อผิดพลาดหรือช่องว่างประการใด ขอน้อมรับไว้ทุกประการครับ ขอบคุณครับ

tngngoapm
25 พฤศจิกายน 2016, 11:21
หลังจากการค้นคว้าข้อมูลเกี่ยวกับสมการพหุนามกำลังสามมาพอสมควร วิธีการหารากของสมการถ้าใครสะดวกใช้สูตรของคาร์ดานก็ตามสบายครับ(ถ้ามีเวลาลองใช้ดู...ได้ผลยังไงบอกผมด้วย) แต่ผมจะขอเสนอวิธีการหาอีกแบบหนึ่งในแบบ engineering style คือขอให้มีเครื่องคิดเลขที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ ดินสอ 1 แท่ง กระดาษ A4 1 ใบ เป็นใช้ได้ใช้เวลาไม่นานครับ ยกตัวอย่างเช่น
ตัวอย่างที่ 1
จงหารากของสมการ $2x^{3}-12x^{2}+22x-11=0$
วิธีทำ
1. จากโจทย์ได้ $A=2,B=-12,C=22,D=-11$
2. ตรวจสอบว่า $B^{2}-3AC$ อยู่กรณีไหนมากกว่าศูนย์ เท่ากับศูนย์ หรือน้อยกว่าศูนย์
$B^{2}-3AC=(-12)^{2}-(3)(2)(22)=12>0$
3. หาค่าพารามิเตอร์ต่างๆ
หาค่า $r=-\frac{B}{3A}=-\frac{-12}{(3)(2)}=2$
หาค่า $a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3A} =\frac{\sqrt{(-12)^{2}-(3)(2)(22)} }{(3)(2)}=\frac{\sqrt{3} }{3}$
หาค่า $f(r)=Ar^{3}+Br^{2}+Cr+D=2(2^{3})-12(2^{2})+22(2)-11=1$
หาค่า $\rho =\frac{f(r)}{2Aa^{3}}=\frac{1}{(2)(2)(\frac{\sqrt{3} }{3})^{3} }\approx 1.299......\left|\,\rho \right|>1$
4. หาค่ารากของของสมการ โดยหามุมทางตรีโกณมิติก่อนโดยใช้เครื่องคิดเลข
$\alpha =\frac{1}{2}sin^{-1}(\frac{1}{\rho } )=\frac{1}{2}sin^{-1}(\frac{1}{1.299})\approx 25.169 ^{\circ }$
รากของสมการเท่ากับ $x=r-a\sqrt[3]{tan\alpha } -\frac{a}{\sqrt[3]{tan\alpha } } =2-\frac{\sqrt{3} }{3} \sqrt[3]{tan25.169^{\circ }} -\frac{\sqrt{3} }{3\sqrt[3]{tan25.169^{\circ }} } \approx 0.809$
ส่วนตัวอย่างต่อๆไป ผมจะทยอยเอามาลงให้ครับ........แต่ผมสรุปวิธีการหาให้แล้วครับดังนี้
หมายเหตุ:ตามเอกสารที่แนบมีแก้ไข1จุดครับ จาก $\rho =\frac{f(r)}{2Aa^{3}}$แก้เป็น $\rho =\frac{f(r)}{2\left|\,A\right| a^{3}}$

Aquila
26 พฤศจิกายน 2016, 18:58
ขอบคุณครับ.............


ขอบคุณครับ.....ความเข้าใจน่าจะตรงกันครับ แต่อาจจะอธิบายกันคนละทางเท่านั้นเอง
.......................................................................................................
ผมก็ขอสรุปผลเฉลยของสมการ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ โดยที่ทั้ง x,yและ z เป็นจำนวนเต็มบวก นั้นไม่มีผลเฉลยครับ
เพราะว่าจากการพิจารณาผลเฉลยของสมการ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ โดย xและy เป็นจำนวนจริงบวกใดๆก็ได้ ส่วน zเป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น
ซึ่งมีเป็นจำนวนอนันต์ผลเฉลย ไม่มีผลเฉลยใดๆเลยที่ค่า xและy เป็นจำนวนเต็มบวกเลยครับ ส่วนวิธีการพิสูจน์นั้นผมสรุปมาคราวๆได้ประมาณ 4 หน้ากระดาษ
โดยผมพยายามจะใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ให้มากที่สุด เพื่อให้เกิดความชัดเจน ถูกก็คือถูก ผิดก็คือผิด
หากมีข้อผิดพลาดหรือช่องว่างประการใด ขอน้อมรับไว้ทุกประการครับ ขอบคุณครับ

ที่พิมพ์ไว้มันมีปัญหาที่ผมเห็นคร่าวๆคือตรงการให้ $(x,y)=(a+\sqrt{b},a-\sqrt{b})$

แล้วบอกว่าเซตคำตอบของ FLT ในเคสที่ $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ จะโดน cover ด้วยค่าของ $x,y$ ในรูปจำนวนเต็มบวก $a,b$ อะครับ

มันเป็นวิธีคิดที่ไม่สมบูรณ์ครับ ยังมีจำนวนจริงหลายๆตัว ที่เป็นคำตอบของ FLT ในเคส $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ อยู่อีกมาก

แต่ไม่จำเป็นว่าต้องเขียนได้ในรูป $a,b$ แบบนั้นเสมอไป เช่น $(x,y,z)=(e,\sqrt[3]{8-e^3},2)$ ก็เป็นอีกหนึ่งคำตอบ

แต่ไม่มี $(x,y)$ ที่เขียนได้ในรูป $a,b$ โดยที่ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกเลย

บทพิสูจน์นี้ใช้ได้แค่ case เล็กๆเท่านั้นครับ ลองนึกดูครับ มันมี trivial solution อีกมากมาย

ส่วนรายละเอียดอื่นๆ เดี๋ยวไว้ว่างๆกว่านี้ผมจะมาอ่านให้นะครับ :great:

tngngoapm
29 ธันวาคม 2016, 16:51
ผมจะยกตัวอย่างการหาค่ารากสมการกำลังสามมาให้ดูอีกสัก 1 ตัวอย่างนะครับ โดยดูสูตรการหาจากความเห็นที่ #31 ประกอบได้
เช่น จงหารากของสามการ $x^{3}+2x^{2}+3x+4=0$
วิธีทำ
หาค่า A,BC และ D ได้คือ $ A=1,B=2,C=3,D=4$
1. หาค่า $B^{2}-3AC=2^{2}-(3)(1)(3)=-5$ ได้ค่าน้อยกว่า 0 แสดงว่ารากของสมการมีเพียงค่าเดียว
2. หาค่า $r=-\frac{B}{3A} =-\frac{2}{(3)(1)} =-\frac{2}{3} $
3. หาค่า $a=\frac{\sqrt{3AC-B^{2}} }{3A} =\frac{\sqrt{5} }{3} \approx 0.7454$
4. หาค่า $f(r)=Ar^{3}+Br^{2}+Cr+D=(-\frac{2}{3})^{3}+(2)(-\frac{2}{3})^{2}+(3)(-\frac{2}{3})+4\approx 2.5926$
5. หาค่าพารามิเตอร์ $\rho =\frac{f(r)}{2Aa^{3}} =\frac{2.5926}{(2)(1)(0.7454)^{3}}\approx 3.13$
6.หาค่ามุมทางตรีโกณมิติ $\beta =\frac{1}{2}tan^{-1}(\frac{1}{\rho } )=(\frac{1}{2})(tan^{-1}(\frac{1}{3.13})) \approx 8.859^{\circ }$
7. ค่ารากของสมการคือ=$x=r+a\sqrt[3]{tan\beta } -\frac{a}{\sqrt[3]{tan\beta } } =-\frac{2}{3}+(0.7454)(\sqrt[3]{tan8.859^{\circ }}) -\frac{0.7454}{\sqrt[3]{tan8.859^{\circ }} } \approx -1.651$
ถ้าผิดพลาดตรงไหนติได้เตือนได้เลยครับ

tngngoapm
24 มกราคม 2017, 00:11
ตัวอย่างสมการกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม แต่ค่ารากของสมการเป็นจำนวนอตรรกยะหมดและมีลักษณะพิเศษ
เช่น $8x^3-12x^2-12x+17=0$ มีค่ารากเป็น
$$x_1=-sin10^{\circ }+sin30^{\circ }+sin50^{\circ }$$$$x_2=sin10^{\circ }+cos20^{\circ }+sin30^{\circ }$$$$x_3=-cos20^{\circ }+sin30^{\circ }-cos40^{\circ }$$
เพราะว่าค่ารากทุกค่ามีค่ามุมทางตรีโกณมิติเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตหมด:mad:

tngngoapm
18 มีนาคม 2017, 19:50
ตัวอย่างสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมีรากของสมการเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ
......1) $4x^2+2x-1=0$
มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{5} ,cos\frac{4\pi }{5}$

......2) $8x^3+4x^2-4x-1=0$
มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{7} ,cos\frac{4\pi }{7},cos\frac{6\pi }{7} $

......3) $16x^4+8x^3-12x^2-4x+1=0$
มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{9} ,cos\frac{4\pi }{9},cos\frac{6\pi }{9},cos\frac{8\pi }{9} $

......4) $32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0$
มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{11} ,cos\frac{4\pi }{11},cos\frac{6\pi }{11},cos\frac{8\pi }{11} , cos\frac{10\pi }{11} $

และคาดว่าก็ต้องมีพหุนามที่มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{13} ,cos\frac{4\pi }{13},cos\frac{6\pi }{13},cos\frac{8\pi }{13} , cos\frac{10\pi }{13} , cos\frac{12\pi }{13} $

tngngoapm
06 เมษายน 2017, 23:52
สมการพหุนามกำลังสามที่มีรากของสมการเป็นจำนวนจริงทั้งสามจำนวนสามารถหาผลเฉลยโดยใช้เรขาคณิตของวงกลมผลเฉลยของรากสมการกำลังสามที่มีรั ศมีเท่ากับ 2a หน่วยหรือเท่ากับความกว้างของกรอบตัวZได้ โดยรากของสมการจะแบ่งวงกลมของผลเฉลยออกเป็น3ส่วนเท่าๆกัน ส่วนละ 120 องศาตามรูป ดูไปก็คล้ายๆ Mohr's circle อยู่เหมือนกันนะ:aah:
หมายเหตุ:ตามเอกสารที่แนบมีแก้ไข2จุดครับ
1. จาก $\rho =\frac{f(r)}{2Aa^{3}}$แก้เป็น $\rho =\frac{f(r)}{2\left|\,A\right| a^{3}}$
2.จาก $y=-2Aa^3sin3\theta +f(r)$ แก้เป็น$y=-2\left|\,A\right|a^3sin3\theta +f(r)$

tngngoapm
09 เมษายน 2017, 20:35
......การหาค่ารากของสมการกำลังสามจะโดยการประมาณหรือหาแบบตรงเป๊ะก็แล้วแต่นั้นไม่ใช่เรื่องง่ายเลยครับ ผมว่าถ้าลองตั้งโจทย์แบบสุ่มดูหรือพูดอีกแบบก็มั่วๆแบบแยกตัวประกอบไม่ออก แล้วลองให้เด็กม.ปลายแก้ผมเชื่อว่าที่แก้ถูกน่าจะนับคนได้ แต่เทคนิคหนึ่งที่นำมาใช้คือวิธีฟังก์ชันพาราเมตริก เป็นยังไงผมขอยกตัวอย่างแค่สัก1เคสคือกรณีกราฟของฟังก์ชันพหุนามกำลังสามมีลักษณะเป็นรูปตัวZ แต่ทำไมคนอื่นเขามองเป็นรูปตัวNหว่า:confused:
......คือช่วงของกราฟที่อยู่ในกรอบตัวZเราจะใช้ฟังก์ชัน sine ของมุมสามเท่ามาอ้างอิงซึ่งผมได้สาธยายไปแล้ว
.....ส่วนช่วงของกราฟนอกกรอบตัวZทางด้านซ้ายและขวาก็มีลักษณะคล้ายกันคือเราจะใช้ฟังก์ชัน cosec ของมุมสองเท่ามาอ้างอิง แต่ถ้าจะเอาให้ง่ายควรใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิค cosh มาอ้างอิงครับ
......ด้วยวิธีการนี้เราสามารถหาค่าหรือประมาณค่ารากของสมการพหุนามกำลังสามได้ในที่สุดโปรดติดตามตอนต่อไปอาจจะช้าหน่อย น่าจะเบื่อกันหมดแล้วมั้งครับเนี่ย :huh:

tngngoapm
16 เมษายน 2017, 22:44
........สมการกำลังสามรูปตัวZที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริงและมีค่าพารามิเตอร์$-1<\rho <1$จะมีรากเป็นจำนวนจริงทั้งสามค่า ซึ่งหาได้จากฟังก์ชั่น sine.....
........ส่วนสมการกำลังสามรูปตัวZที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริงและมีค่าพารามิเตอร์ $\rho <-1หรือ\rho >1$จะมีรากเป็นจำนวนจริง1ค่าส่วนอีก2ค่าอยู่ในรูปจำนวนเชิงซ้อนนั้น สามารถหาได้จากฟังก์ชันไฮเปอร์บอลิค coshและ sinh ดังนี้.....
........ส่วนฟังก์ชันพหุนามกำลังสามแบบรูปกังหันที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริงคือค่า $\rho $ไม่ได้เป็นจำนวนจริง ก็สามารถใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์บอลิค coshและ sinh หารากได้เช่นกัน รวมถึงฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่ด้วยนะครับ จะค่อยๆนำมาลงให้ดูกันครับ

tngngoapm
30 เมษายน 2017, 16:58
........ส่วนฟังก์ชันพหุนามกำลังสามแบบรูปกังหันที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริงคือสัวเกตจากค่า $B^2-3AC<0$ ก็สามารถใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์บอลิค coshและ sinh หารากได้เช่นกัน
.......แล้วต่อไปจะนำลักษณะกราฟของฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่มาเล่าสู่กันฟังครับ ซึ่งแบ่งได้เป็น 3 ลักษณะคือ 1.กราฟแบบนมสาว 2.กราฟแบบจรวด ซึ่งทั้งคู่เป็นกราฟแบบสมมาตร และ 3.กราฟแบบอสมมาตร

tngngoapm
25 พฤษภาคม 2017, 11:52
กราฟฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่แบบที่1ที่จะนำเสนอก่อนเลยคือ กราฟพหุนามกำลังสี่แบบสมมาตรจุดยอด2จุด หรือเรียกแบบไทยไทยว่า "กราฟนมสาว" ก็คงไม่ต้องบรรยายอะไรมากหลายคนคงน่าจะเดากันออกว่าเป็นแบบไหน วิธีเช็คว่าพหุนามกำลังสี่นั้นเป็นกราฟนมสาวหรือไม่ มีเงื่อนไข 2 ข้อครับ คือถ้ากำหนด $y=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E,A\not= 0,B,C,D,Eเป็นจำนวนจริง$
1. $D=\frac{4ABC-B^3}{8A^2} $
2. $9B^2-24AC>0$
.......แล้วต่อไปผมจะนำเสนอกราฟแบบที่2คือกราฟพหุนามกำลังสี่แบบสมมาตรจุดยอดจุดเดียวหรือเรียกตามรูปพรรณสัณฐานว่า กราฟแบบจรวด จะนำมาบอกเล่าให้ติดตามในตอนต่อไปครับ
แก้ไข:มีเพิ่มเติมนิดคือ ถ้าสัมประสิทธิ์ของ$x^4$ คือ $A>0$ จะเป็นกราฟนมสาวแบบหงาย ดังรูปแนบ
ส่วนถ้า $A<0$ จะเป็นกราฟนมสาวแบบคว่ำ(สะท้อนลง) แต่มีรายละเอียดต่างๆเหมือนแบบหงายทุกประการ

tngngoapm
16 มิถุนายน 2017, 11:47
ตัวอย่างเช่น ลองวาดกราฟของ $y=2x^4-8x^3+16x+1$ แล้วสามารถนำมาวิเคราะห์จำนวนรากที่เป็นจำนวนจริงได้ว่ามีกี่จำนวน อีกทั้งยังสามารถประยุกต์ไปถึงการหาค่ารากของสมการออกมาได้ด้วย

tngngoapm
22 มิถุนายน 2017, 11:16
กราฟพหุนามกำลังสี่แบบที่2 เป็นกราฟแบบสมมาตรที่มีจุดยอดเดียว ลักษณะคล้ายกราฟพาราโบลาแต่โดยส่วนใหญ่มีความโค้งมากกว่า หรือมีความผอมกว่า ซึ่งถ้ารู้จักวิธีวาดกราฟพาราโบลาเป็นอย่างดีก็สามารถนำมาประยุกต์ในการวาดกราฟแบบนี้ได้ แต่ Rocket graph จะไม่มีจุดโฟกัสเหมือนกับ Parabola graph
แก้ไข:มีเพิ่มเติมนิดคือ ถ้าสัมประสิทธิ์ของ$x^4$ คือ $A>0$ จะเป็นกราฟจรวดแบบหงาย ดังรูปแนบ
ส่วนถ้า $A<0$ จะเป็นกราฟจรวดแบบคว่ำ(สะท้อนลง) แต่ลักษณะต่างๆเหมือนแบบหงายทุกประการ

tngngoapm
29 มิถุนายน 2017, 10:46
กราฟฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่แบบอสมมาตรหรือเรียกตามรูปร่างช่วงหนึ่งว่า Snake graph หรือกราฟงู แบ่งเป็น 2 แบบ
1. แบบมีกระดูกงู คือจะเป็นกราฟพหุนามกำลังสี่ที่พันอยู่รอบแกนกระดูกงู แบ่งเป็น 2 ชนิด
1.1) ชนิดที่มี 3 จุดวกกลับ และมี 2 จุดเปลี่ยนเว้า หรือเรียกสั้นๆว่าชนิด 3R2I
1.2) ชนิดที่มี 1 จุดวกกลับ และมี 2 จุดเปลี่ยนเว้า หรือเรียกสั้นๆว่าชนิด 1R2I
2. แบบไม่มีกระดูกงู คือจะเป็นกราฟพหุนามกำลังสี่ที่ไม่มีจุดเลี่ยนเว้า แต่มีจุดวกกลับเพียง 1 จุด หรือเรียกสั้นๆว่าชนิด 1R

..................พหุนามกำลังสี่แบบมีกระดูกงูชนิด 3R2I จะมีเกณฑ์ในการบอกว่าเป็นกราฟนี้หรือไม่คือค่าพารามิเตอร์ a และ b
..................มีลักษณะสำคัญคือถ้าลากเส้นตรงผ่านจุดเปลี่ยนเว้าทั้ง2จุด จะได้เส้นตรงที่ตัดผ่านกราฟทั้งหมด 4 จุดเสมอ
..................เรียกชื่อจุดจากล่างขึ้นบนแบบไทยๆได้ว่า ๑.จุดหัวงู ๒.จุดเปลี่ยนเว้าจุดที่หนึ่ง ๓.จุดเปลี่ยนเว้าจุดที่สอง และ ๔. จุดหางงู
และมีจุดวกกลับทั้ง 3 จุดแทรกอยู่ระหว่างจุดทั้งสี่
..................โดยที่ไม่ว่ากราฟจะมีสมการอย่างไรอัตราส่วนระยะห่างระหว่างจุดทั้ง4 จะคงที่เสมอ และอัตราส่วนหนึ่งในนั้นจะมีอัตราส่วนทอง(golden ratio)ซ่อนอยู่ด้วย

tngngoapm
04 สิงหาคม 2017, 11:55
............คือจะเป็นกราฟงูแบบที่มีกระดูกงูและมี 1 จุดวกกลับ กับมี 2 จุดเปลี่ยนเว้า
............พหุนามกำลังสี่แบบมีกระดูกงูชนิด 1R2I จะมีเกณฑ์ในการบอกว่าเป็นกราฟนี้หรือไม่คือค่าพารามิเตอร์ a และ b
ค่า $a=\frac{\sqrt{9B^2-24AC} }{12A} $ ต้องสามารถหาค่าได้เป็นจำนวนจริง และค่า $b=D-\frac{4ABC-B^3}{8A^2},โดย \left|\,b\right| \geqslant 8Aa^3$
............พหุนามกำลังสี่แบบมีกระดูกงูชนิด 1R2I แบ่งได้เป็น 2 type คือ
1R2I(typeI) จะมีจุดวกกลับอยู่ระหว่าง จุดหัวงู(head of snake) กับ จุดเปลี่ยนเว้าจุดที่ 1 (1st inflection point) พิจารณาจากค่า $8Aa^3\leqslant \left|\,b\right| <8\sqrt{5}Aa^3$
1R2I(typeII) จะมีจุดวกกลับอยู่ที่จุดหัวงูหรือนอกจุดหัวงู(head of snake)คืออยู่เลยออกไป พิจารณาจากค่า $ \left|\,b\right| \geqslant 8\sqrt{5}Aa^3$

tngngoapm
12 สิงหาคม 2017, 17:12
............คือจะเป็นกราฟงูแบบที่ไม่มีกระดูกงูแต่จะมีเพียงแกนสัมผัสอ้างอิง และมี 1 จุดวกกลับเท่านั้น
............พหุนามกำลังสี่แบบไม่มีกระดูกงูชนิด 1R จะมีเกณฑ์ในการบอกว่าเป็นกราฟนี้หรือไม่ดูจากค่า $9B^2-24AC <0$ และค่า $D\not= \frac{4ABC-B^3}{8A^2}$
............พหุนามกำลังสี่แบบไม่มีกระดูกงูชนิด 1R จะมีลักษณะสำคัญคือมีลักษณะเป็นโค้งหงายหรือโค้งคว่ำแบบไม่สมมาตร และทอดเอียงไปตามแกนเส้นสัมผัสอ้างอิงโดยถ้า
$A>0 กราฟจะทอดตัวเอียงอยู่เหนือแกนเส้นสัมผัสอ้างอิง$แต่ถ้า$A<0 กราฟจะทอดตัวเอียงอยู่ใต้แกนเส้นสัมผัสอ้างอิง$

kongp
05 กันยายน 2017, 14:38
ศึกษา B-Spine ดูครับ ทั้งนี้อาจารย์ท่านอื่นอาจจะว่า ไม่น่าบอกน้องเช่นนี้ ผมสายอเมริกา ไม่ใช่สายยุโรป ดิบเถื่อนค่อนข้างจะมาก

ตอนเรียนไม่ว่าเรื่องอะไรที่มีในโลก ก็ต้องศึกษา น้องลองตรองดูนะ

tngngoapm
15 กันยายน 2017, 07:25
ศึกษา B-Spine ดูครับ ทั้งนี้อาจารย์ท่านอื่นอาจจะว่า ไม่น่าบอกน้องเช่นนี้ ผมสายอเมริกา ไม่ใช่สายยุโรป ดิบเถื่อนค่อนข้างจะมาก

ตอนเรียนไม่ว่าเรื่องอะไรที่มีในโลก ก็ต้องศึกษา น้องลองตรองดูนะ

ขอบคุณครับสำหรับคำแนะนำที่เป็นประโยชน์ คือทฤษฎีกราฟพหุนามกำลังสามและกำลังสี่ที่ผมได้เขียนขึ้นมาเกิดมาจากทฤษฎีทางแคลคูลัสและใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ในระดับชั้นมัธยมปลายไปจั บคำนิยามหรือศัพท์ที่ใช้บางคำก็คิดขึ้นมาใหม่อาจจะมีความผิดพลาดอยู่บ้าง คำแนะนำต่างๆจึงเป็นประโยชน์มาก และถ้ายังพอมีเวลาอยู่ผมจะนำตัวอย่างทางพืชคณิตมาลงประกอบให้คู่กับทฤษฎีที่ผมเขียนเผื่อจะเป็นประโยชน์แก่ผู้ที่สนใจไม่มากก็น้อยครับ

tngngoapm
20 กันยายน 2017, 09:32
เช่น ถามว่า $x^4+4x^3-2x^2+x-5=0$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริงกี่ค่า
วิธีหนึ่งที่สามารถวิเคราะห์คำตอบเบื้องต้นคือการวาดกราฟพหุนามกำลังสี่ $y=x^4+4x^3-2x^2+x-5$
.....หาค่าพารามิเตอร์ต่างๆ $r,a,f(r),b,e$
1) $y=x^4+4x^3-2x^2+x-5......ได้ A=1,B=4,C=-2,D=1,E=-5$
2) $r=-\frac{B}{4A}=-\frac{4}{4(1)} =-1$
3) $a=\frac{\sqrt{9B^2-24AC} }{12A} =\frac{\sqrt{9(4^2)-24(1)(-2)} }{12(1)} =\frac{2\sqrt{3} }{3}$
4) $f(r)=f(-1)=(-1)^4+4(-1)^3-2(-1)^2+(-1)-5 =-11$
5) $b=D-\frac{4ABC-B^3}{8A^2} =1-\frac{4(1)(4)(-2)-4^3}{8(1^2)}=13$
6) $e=f(r)-5Aa^4 =-11-5(1)(\frac{2\sqrt{3} }{3})^4=-\frac{179}{9} $
.....ค่าต่างๆที่หาได้ วิเคราะห์ได้ว่า
1) $a$เป็นจำนวนจริงและ $b\not= 0$ แสดงว่าเป็นกราฟงูชนิด 3R2I หรือ 1R2I
2) ค่า $8Aa^4\leqslant b<8\sqrt{5}Aa^4......12.317\leqslant b<27.541$ ลองแทนค่าดู
แสดงว่าเป็นชนิด 1R2I คือ เป็นกราฟงูที่มีกระดูกงูและมีจุดวกกลับ 1จุด จุดเปลี่ยนเว้า 2 จุด
แกนกระดุกงูมีสมการเป็น $y=b(x-r)+e=13(x+1)-\frac{179}{9} $
......................
ส่วนรายละเอียดอื่นๆลองแกะดูตามรายละเอียดที่ผมแสดงไว้ก่อนหน้านะครับ จะได้ว่าสมการ$x^4+4x^3-2x^2+x-5=0$จะมีคำตอบเป็นจำนวนจริง จำนวน 2 ค่า
แก้ไขเพิ่มเติมรูปภาพแนบ:ระยะ$\sqrt{5}a=\frac{2\sqrt{15}}{3} $ในรูปต้องวัดจากระยะ$-1ถึง-3.58$นะครับไม่ใช่ระยะจาก$-2.15ถึง-3.58$ตามรูปแนบ

tngngoapm
06 ตุลาคม 2017, 08:05
ช่วงนี้ขอออกชิ้นงานมาเล่าสู่กันฟังอีกสักชิ้นนะครับ....ประโยชน์ในการนำสมการพหุนามกำลังสามมาใช้แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น.....
.....ในเรื่องของสามเหลี่ยม เช่นถ้ากำหนดสามเหลี่ยมมารูปหนึ่งมีพื้นที่เท่ากับ 6 ตารางหน่วย มีรัศมีของวงกลมแนบในสามเหลี่ยมเท่ากับ 1 หน่วย และมีรัศมีของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมเท่ากับ 2.5 หน่วย ถามว่าสามเหลี่ยมรูปนี้มีด้านทั้งสามยาวเท่าใดบ้าง?.....
......ก่อนอื่นในหลักการถ้าเราทราบพื้นที$(A)$และรัศมีวงกลมแนบใน$(r)$ เราสามารถหาค่าของ $(s=\frac{a+b+c}{2})$ ได้โดยสูตร.....$A=rs$...ซึ่งจะได้ค่าของ $a+b+c$ ออกมา
......ต่อไปโดยค่าของพื้นที่$(A)$และรัศมีวงกลมล้อมรอบ$R$ เราสามารถหาค่าของ $abc$ ออกมาได้ โดยสูตร.....$A=\frac{abc}{4R} $
.....ต่อมาโดยสูตรพื้นที่ $(A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} )$กระจายค่าต่างๆ โดยรู้ค่าของ $s,abc,(a+b+c)$ ก็สามารถหาค่าของ $ab+bc+ca$ ได้
......นำมาสร้างสมการพหุนามกำลังสาม $x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0$ โดยตอนนี้เราทราบค่า $a+b+c,ab+bc+ca,abc$ หมดแล้ว แก้สมการก็จะได้ค่า $x=a,b,c$ ในที่สุด
.....ที่อธิบายมานี่โดยหลักการนะครับ ต้องอาศัยความเข้าใจและทักษะทางพีชคณิตพอสมควร
.....ถ้าย่นระยะเวลาเอาก็สามารถใช้สูตรที่สามารถหาสมการกำลังสามได้เลยดังนี้ครับ $$x^3-\frac{2A}{r}x^2+(\frac{A^2}{r^2} +r^2+4Rr)x-4AR=0$$
โดย $A=พื้นที่สามเหลี่ยม , R=รัศมีวงกลมล้อมรอบ , r=รัศมีวงกลมแนบใน$
.....ลองแทนค่า $A=6,R=2.5,r=1$ ดูครับจะได้สมการกำลังสาม $x^3-12x^2+47x-60=0$ แก้สมการแยกตัวประกอบได้ $x=3,4,5$ สำหรับข้อที่แยกตัวประกอบจำนวนตรรกยะไม่ได้ก็หารากของสมการเอาครับ
.....โดยวิธีการนี้ถ้าเราทราบพื้นที่ของสามเหลี่ยม รัศมีวงกลมแนบใน และรัศมีวงกลมล้อมรอบ เราสามารถวิเคราะห์ได้ว่าเราสามารถสร้างสามเหลี่ยมที่มีสมบัติดังกล่าวได้หรือไม่สามารถสร้างได้ และถ้าได้แล้วก็สามารถรู้ว่าแต่ละด้านของสามเหลี่ยมมีขนาดเท่าใดด้วย

tngngoapm
06 พฤศจิกายน 2017, 12:53
.....อีกหนึ่งตัวย่างของการนำสมการพหุนามกำลังสามไปใช้ก็คือในทางวิศวกรรมอย่างเช่นในการหาระยะค่าการแอ่นตัวของคาน ในทางวิศวกรรมเป็นที่ทราบกันว่าค่าการแอ่นตัวของคานนั้นขึ้นอยู่กับค่าโมเมนต์ดัดที่คานได้รับ รวมถึงขึ้นอยู่กับลักษณะของความแข็งเกร็งของวัสดุที่ใช้ทำคาน รวมถึงลักษณะรูปร่างหรือพื้นที่หน้าตัดของคานนั้นด้วย.....

.....ซึ่งการหาค่าการแอ่นตัวของคานนั้นมีประโยชน์ในการออกแบบคานและยังใช้ประโยชน์ในการคำนวณโครงสร้างแบบ
Indeterminate ที่เงื่อนไขที่ได้จากสมการนิวตันไม่เพียงพออีกด้วย.....

.....แต่ในที่นี้ผมจะกล่าวถึงการนำรูปแบบหรือกราฟของสมการกำลังสามมาใช้หาสมการการแอ่นตัวของคานทางวิศวกรรม
โดยเน้นไปที่วิธีทางคณิตศาสตร์เชื่อมโยงไปถึงหลักการทางวิศวกรรม โดยอันดับแรกเราต้องมาทำความรู้จักกับรูปแบบมาตรฐานของสมการกำลังสามแบบตัวZก่อนคือ...$(y-k)=A[(x-h)^3-3a^2(x-h)]$ เมื่อ (h,k) เป็น inflection point ของกราฟ และ a,A เป๋นค่าคงที่ที่เกี่ยวกับความแอ่นโค้งของกราฟ ซึ่งผมได้อธิบายเป็นรูปแนบอย่างละเอียด.....

.....หลักการให้ดูที่สมการโมเมนต์ ให้สร้างสมการโมเมนต์ของคานออกมา โดยกำหนดเครื่องหมายให้โมเมนต์ตามเป็น+ และโมเมนต์ทวนเป็น- ......ถ้าสมการโมเมนต์เป็นสมการกำลังหนึ่ง สมการการแอ่นตัวจะเป็นสมการกำลังสามแต่ถ้าสมการโมเมนต์เป็นสมการกำลังสอง สมการการแอ่นตัวจะเป็นสมการกำลังสี่

.....จากรูปแบบมาตรฐานของสมการกำลังสาม $(y-k)=A[(x-h)^3-3a^2(x-h)]$ เมื่อพิจารณาองศาความเป็นอิสระของกราฟ จะเห็นว่ามี degree of freedom=4 ในการแก้ปัญหาจึงต้องการเงื่อนไขอย่างน้อย 4 เงื่อนไขมาแก้สมการ แต่ในเรื่องของการแอ่นตัวของคานอย่างง่าย(Simple beam) ค่า (h,k) เราสามารถทราบได้ก็คือจุดที่คานมีโมเมนต์เป็นศูนย์ เพราะฉะนั้นทำให้องศาความเป็นอิสระเหลือแค่ 2 ก็เป็นการไม่ยากนั้นโดยการพิจารณาจุดต่อของสมการโมเมนต์ 2 สมการคือระยะแอ่นต้องเท่ากันและslopeการแอ่นต้องเท่ากันด้วย ก็น่าจะได้สมการการแอ่นตัวในที่สุด

.....เพื่อให้เห็นภาพถึงการนำกราฟสมการกำลังสามไปประยุกต์ใช้ในทางวิศวกรรมฯ ก็ขอยกตัวอย่างSimple beamอย่างง่ายที่สุดคือมีแรงกดลงคานตรงตำแหน่งกลางคานพอดี...ลองพิจารณาความถูกผิดกันดูนะครับ ขอบคุณครับ

tngngoapm
07 พฤศจิกายน 2017, 09:40
.....มีผิดในรูปแนบแผ่นที่(5)ตรงเครื่องหมาย+/-ครับ แก้ให้แล้วตามรูปแนบข้างล่างครับ ลบรูปแล้วเพิ่มไม่เป็นครับ

tngngoapm
17 พฤศจิกายน 2017, 08:05
ขอออกแนวฟิสิกส์หน่อยๆนะครับหวังว่าคงไม่ว่ากัน......
......ในกรณีคานอย่างง่ายคือมีฐานรองรับที่ปลายทั้งสองข้าง และมีน้ำหนักตกตรงกลางคานพอดี
ลักษณะการแอ่นตัวของคานไม่ใช่โค้งพาราโบลาแต่โค้งการแอ่นตัวมีลักษณะคล้ายส่วนหนึ่งของโค้งพหุนามกำลังสาม
แน่นอนว่าการแอ่นตัวที่เกิดขึ้นมากที่สุดก็ตรงตำแหน่งกึ่งกลางคานหรือตรงที่น้ำหนักตกกระทำนั่นเอง.....
.......และเช่นเดียวกันถ้าน้ำหนักเขยิบออกไปจากตำแหน่งกึ่งกลางสมมติว่าออกมาทางขวาสักประมาณหนึ่ง
ตำแหน่งที่เกิดระยะแอ่นตัวมากที่สุดก็จะเขยิบมาทางขวาด้วย การใช้รูปแบบมาตรฐานของกราฟกำลังสาม
มาหาโค้งกำลังสามการแอ่นตัวก็ยังใช้ได้อยู่ และจะมีความซับซ้อนขึ้นแต่ยังอยู่บนหลักการเดิม......
......ด้วยวิธีนี้จะได้โค้งการแอ่นตัวของคานอย่างง่ายสำหรับแรงตกกระทำ 1 แรง ซึ่งเมื่อนำมาวิเคราะห์
รวมกับหลักการรวมกันทางคณิตศาสตร์(Superposition) จะทำให้ได้โค้งการแอ่นตัวของคานอย่างง่ายสำหรับแรงตกกระทำหลายแรง
และนำไปสู่การหาค่าระยะแอ่นตัวมากที่สุดได้ ซึ่งผมจะค่อยๆนำเสนอในโอกาสต่อไป ผิดพลาดประการใดขออภัยด้วยขอบคุณครับ......

tngngoapm
17 พฤศจิกายน 2017, 08:19
:blood:แก้ไขรูปสมการโมเมนต์นิดครับ

tngngoapm
04 ธันวาคม 2017, 13:30
เมื่อx,yและzเป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
$$\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{z} $$
จะไม่สามารถหาจำนวนตรรกยะx,y,zพร้อมกันทั้งสามค่าได้
เว้นแต่ทั้งสามค่าจะเป็นกำลังสามสมบูรณ์
ตัวอย่าง
1) $\sqrt[3]{8} +\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{125} $
จะเห็นว่าทั้ง 8,27,125เป็นจำนวนกำลังสามสมบูรณ์
2) $\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{5+3\sqrt[3]{18} +3 \sqrt[3]{12}} $
จะเห็นว่าถ้าตัวเลขในรากไม่ใช่กำลังสามสมบูรณ์ก็จะมีตัวเลขใดตัวเลขหนึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะอย่างน้อย1ค่าเสมอ
3)$ \sqrt[3]{3-\sqrt{5} }+ \sqrt[3]{1+\sqrt{5} }= \sqrt[3]{7+3\sqrt{5} } $
จะเห็นว่าตัวเลขในรากเป็นจำนวนอตรรกยะทั้งสามค่า แต่แทบมองไม่ออกเลยว่าเท่ากันได้ยังไง
4)$\sqrt[3]{\sqrt{5}-1}+ \sqrt[3]{3+\sqrt{5} } =\sqrt[3]{11+5\sqrt{5} } $
อันนี้แถมให้เหมือนกับตัวอย่างที่สาม
ขอบคุณครับ

tngngoapm
22 ธันวาคม 2017, 16:43
เมื่อx,yและzเป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
$$\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{z} $$
จะไม่สามารถหาจำนวนตรรกยะx,y,zพร้อมกันทั้งสามค่าได้
เว้นแต่ทั้งสามค่าจะเป็นกำลังสามสมบูรณ์
ตัวอย่าง
1) $\sqrt[3]{8} +\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{125} $
จะเห็นว่าทั้ง 8,27,125เป็นจำนวนกำลังสามสมบูรณ์
2) $\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{5+3\sqrt[3]{18} +3 \sqrt[3]{12}} $
จะเห็นว่าถ้าตัวเลขในรากไม่ใช่กำลังสามสมบูรณ์ก็จะมีตัวเลขใดตัวเลขหนึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะอย่างน้อย1ค่าเสมอ
3)$ \sqrt[3]{3-\sqrt{5} }+ \sqrt[3]{1+\sqrt{5} }= \sqrt[3]{7+3\sqrt{5} } $
จะเห็นว่าตัวเลขในรากเป็นจำนวนอตรรกยะทั้งสามค่า แต่แทบมองไม่ออกเลยว่าเท่ากันได้ยังไง
4)$\sqrt[3]{\sqrt{5}-1}+ \sqrt[3]{3+\sqrt{5} } =\sqrt[3]{11+5\sqrt{5} } $
อันนี้แถมให้เหมือนกับตัวอย่างที่สาม
ขอบคุณครับ

นี่ครับสมการกำลังสามสำหรับหาค่าzเมื่อรู้ค่าxและy
$$z^3-3(x+y)z^2+[3(x+y)^2-27xy]z-(x+y)^3=0$$

tngngoapm
21 พฤศจิกายน 2018, 21:53
ถ้า $a,b,c$ เป็นสมาชิกของเซตของจำนวนจริงแล้ว
และ $a+b+c=\alpha $, $ab+bc+ca=\beta $
โดยกำหนดให้
$r=\frac{\alpha }{3} $
$p=\frac{\sqrt{\alpha ^2-3\beta } }{3} $
จะได้ว่าทุกๆจำนวนจริงa,bและc $$r^3-3p^2r-2p^3\leqslant abc\leqslant r^3-3p^2r+2p^3$$

tngngoapm
22 พฤศจิกายน 2018, 12:19
ถ้า $a,b,c$ เป็นสมาชิกของเซตของจำนวนจริงแล้ว
และ $a+b+c=\alpha $, $ab+bc+ca=\beta $
โดยกำหนดให้
$r=\frac{\alpha }{3} $
$p=\frac{\sqrt{\alpha ^2-3\beta } }{3} $
จะได้ว่าทุกๆจำนวนจริงa,bและc $$r^3-3p^2r-2p^3\leqslant abc\leqslant r^3-3p^2r+2p^3$$

ยกตัวอย่างเช่น
สมการกำลังสาม$x^3-3x^2+2x+1=0$ มีรากเป็นจำนวนจริงกี่จำนวน
จะได้ $\alpha =3 , \beta =2และ abc=-1$
และคำนวณ $r=1 , p=\frac{\sqrt{3} }{3} $
จะได้ $ - \frac{2\sqrt{3} }{9} \leqslant abc\leqslant \frac{2\sqrt{3} }{9} $
แสดงว่าค่า $abcไม่อยู่ในช่วงของรากจำนวนจริง3ค่า$
สมการ$x^3-3x^2+2x+1=0$จึงมีรากเป็นจำนวนจริงแค่1จำนวนเท่านั้น

tngngoapm
18 ธันวาคม 2018, 21:00
การนำพหุนามไปประยุกต์กับเรขาคณิตของสามเหลี่ยม

tngngoapm
15 กรกฎาคม 2020, 14:38
............คือจะเป็นกราฟงูแบบที่ไม่มีกระดูกงูแต่จะมีเพียงแกนสัมผัสอ้างอิง และมี 1 จุดวกกลับเท่านั้น
............พหุนามกำลังสี่แบบไม่มีกระดูกงูชนิด 1R จะมีเกณฑ์ในการบอกว่าเป็นกราฟนี้หรือไม่ดูจากค่า $9B^2-24AC <0$ และค่า $D\not= \frac{4ABC-B^3}{8A^2}$
............พหุนามกำลังสี่แบบไม่มีกระดูกงูชนิด 1R จะมีลักษณะสำคัญคือมีลักษณะเป็นโค้งหงายหรือโค้งคว่ำแบบไม่สมมาตร และทอดเอียงไปตามแกนเส้นสัมผัสอ้างอิงโดยถ้า
$A>0 กราฟจะทอดตัวเอียงอยู่เหนือแกนเส้นสัมผัสอ้างอิง$แต่ถ้า$A<0 กราฟจะทอดตัวเอียงอยู่ใต้แกนเส้นสัมผัสอ้างอิง$



อย่างเช่น...กราฟของพหุนาม...$y=x^4+3x^2+10x+4$
มีลักษณะจุดวกกลับจุดเดียวแบบไม่สมมาตร

มีพารามิเตอร์ประมาณนี้...
//สัมประสิทธิ์...$A=1,B=0,C=3,D=10และE=4$
//จุดหมุน...$r=0$
//ประเภทการหมุน...$a'=\frac{\sqrt{2} }{2} $
//แกนหมุน...$y=10x+4$
//พารามิเตอร์...$\rho'=\frac{5}{\sqrt{2}} $
//มุมไซน์ไฮเปอร์โบลิก...$\beta=\frac{1}{3} sinh^{-1}(\rho') \approx 1.9754$
//ตำแหน่งวกกลับ...$x=r-2a'sinh(\beta)=(-1)$
...ทำให้บอกได้ว่าฟังก์ชันนี้มีค่าต่ำสุดที่...$x=(-1)$
คือมีค่าต่ำสุดเท่ากับ...$(-2)$

http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=19258&stc=1&d=1502532255

tngngoapm
05 พฤศจิกายน 2020, 17:46
ถ้า $a,b,c$ เป็นสมาชิกของเซตของจำนวนจริง
ในเงื่อนไขที่ $a\leqslant b\leqslant c...,a+b+c=\alpha ..., ab+bc+ca=\beta $แล้ว
จะสามารถระบุขอบเขตของจำนวน$a,b,c$ได้
$$a\in \left[r-2p,r-p\right]...,b\in \left[r-p,r+p\right]
และ...c\in \left[r+p,r+2p\right] $$โดยที่$r=\frac{\alpha }{3} $...,$p=\frac{\sqrt{\alpha ^2-3\beta } }{3} $

tngngoapm
01 ธันวาคม 2020, 11:03
...เช่น...ฟังก์ชันพหุนามกำลังสามที่อยู่ในรูปทั่วไป...$y=ax^3+bx^2+cx+d$
จะสามารถหาค่า...$x$...ที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์ได้ตามสูตรคือ...
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a} $$...เช่นพหุนาม...$y=2x^3+3x^2+x-1$
จะสามารถหาค่า...$x$...ที่ตำแหน่งสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์ได้...$ x=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{6}$