ข้อสอบ มอ.วิชาการ

[AK/Pain]

http://images.temppic.com/09-09-2011/images_vertis/1315570308_0.94712700.jpg


http://images.temppic.com/09-09-2011/images_vertis/1315570309_0.43712300.jpg]

ข้อ 6 โจทย์ผิดนะครับ

[กิตติ]

ข้อ18
$\frac{a+b-c}{c}= \frac{a-b+c}{b}= \frac{b+c-a}{a} $

$\frac{a+b}{c}-1= \frac{a+c}{b}-1= \frac{b+c}{a}-1 $

$\frac{a+b}{c}= \frac{a+c}{b}= \frac{b+c}{a} =k$

$\frac{a+b}{c}\times \frac{a+c}{b}\times \frac{b+c}{a} =k^3$

$(a+b)(b+c)(a+c)=k^3(abc)$


$\frac{a+b}{c}= \frac{a+c}{b}= \frac{b+c}{a} =k$ จะได้ว่า
$a+b=ck,a+c=bk,b+c=ak$
$(a+b)+(a+c)+(b+c)=ck+bk+ak=(a+b+c)k$
$2(a+b+c)=k(a+b+c)$....เมื่อ $a+b+c\not= 0$
$k=2$
จะได้ว่า$(a+b)(b+c)(a+c)=8abc$

ถ้า$a+b+c=0$...จะได้ค่า $k=-1$
จะได้ว่า$(a+b)(b+c)(a+c)=-abc$

[กิตติ]

ข้อ19....เคยมีคนเอามาถามในบอร์ดแล้ว
เหลือข้อ 5. ผมลองแจมด้วยนะครับ
จากเอกลักษณ์ $sec^2x-tan^2x=1$ และ $COSEC^2X-COT^X=1$
จะได้ว่า $sec^2(A+B)+cosec^2(A-B)=2$
จัดรูปเป็น$1+tan^2(A+B)+1+cot^2(A-B)=2$
$tan^2(A+B)+cot^2(A-B)=0$
เป็นจริงเมื่อ $tan(A+B)=0 และ cot(A-B)=0$
หรือ $sin(A+B)=0 และ COS(A-B)=0$
จะได้ $A=45^0 กับ B=315^0$
$2sinBcosA=-1$

ในกระืทู้นี้.....ปัญหาตรีโกณมิติอีกแล้วครับ (http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=11398)

[กิตติ]

ข้อ11....มีคนเอามาถามในบอร์ดแล้ว รู้สึกว่าคุณgonจะเฉลยแล้วได้เซตว่าง

ข้อหนึ่ง ถ้าผมคิดไม่ผิดพลาด คำตอบที่เป็นจำนวนจริงไม่น่าจะมีนะครับ.:rolleyes:
6372

สำหรับข้อ 1 นั้น เคยมีคนถามไปครั้งหนึ่งแล้วครับ.

ปัญหาตรีโกณมิติอีกแล้วครับ (http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=11398)

ปล. มีหนังสือตรีโกณเพื่อชาติในท้องตลาดด้วยหรือเปล่าครับ :confused:

ในกระทู้นี้......โจทย์ตรีโกณ 2 ข้อเพื่อชาติ (http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=14559)

[กิตติ]

10.$\cos(x+\frac{\pi}{3} )=\frac{1}{2}( \cos x)-\frac{\sqrt{3} }{2} (\sin x)$

$\sin x+\sqrt{3} \cos x=\sec (x+\frac{\pi}{3} )$
$(\sin x+\sqrt{3} \cos x)(\cos(x+\frac{\pi}{3} ))=1$
$(\sin x+\sqrt{3} \cos x)(\cos x-\sqrt{3} \sin x)=2$
$\sqrt{3}(\cos^2 x-\sin^2x)-2\sin x \cos x=2$
$\sqrt{3}(\cos 2x)-\sin 2x =2$
$\frac{\sqrt{3}}{2} (\cos 2x)-\frac{1}{2} (\sin 2x) =1$
$\cos \frac{\pi}{6}(\cos 2x)-\sin \frac{\pi}{6}(\sin 2x)=\cos 2\pi $
$\cos(\frac{\pi}{6}+2x)=\cos 0 =\cos 2\pi$
$\frac{\pi}{6}+2x=2n\pi$ เมื่อ $n=0,1,2,3,...$
$\frac{\pi}{12}+x=n\pi$
$x=-\frac{\pi}{12}+n\pi$ เมื่อ $n=0,1,2,3,...$


อีกวิธีหนึ่งแปลง
$\sin x+\sqrt{3} \cos x=2\left(\,\frac{1}{2}(\sin x) +\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos x)\right) $

$=2\left(\,\cos \frac{\pi}{3}(\sin x) +\sin \frac{\pi}{3}(\cos x)\right)$

$=2\sin(x+\frac{\pi}{3})$

$(2\sin(x+\frac{\pi}{3}))(\cos(x+\frac{\pi}{3} ))=1$

$=\sin2(x+\frac{\pi}{3})=\sin \frac{\pi}{2} $

$2(x+\frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{2}+2n\pi$ เมื่อ $n=0,1,2,3,...$

$x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+n\pi$

$x=-\frac{\pi}{12}+n\pi$ เมื่อ $n=0,1,2,3,...$

โจทย์จำกัดว่า$\left[\,0,2\pi\right] $

$x=\frac{11\pi}{12},\frac{23\pi}{12} $

[กิตติ]

16.$5\tan A=\tan(A+B)$........... $\frac{\sin(2A+B)}{\sin B} =?$

$\sin(2A+B)=\sin2A \cos B+\cos 2A \sin B$

$=2\sin A \cos A \cos B+(1-2\sin^2A)\sin B$

$2\sin A \cos A \cos B-2\sin^2A\sin B=\sin(2A+B)-\sin B$

$5\frac{\sin A}{\cos A} =\frac{\sin (A+B)}{\cos (A+B)}=\frac{\sin A \cos B+ \cos A \sin B}{\cos A \cos B-\sin A \sin B} $

$5\sin A\cos A \cos B-5\sin^2 A\sin B =\cos A \sin A \cos B+ \cos^2 A \sin B$

$2\left(\,2\sin A \cos A \cos B-2\sin^2 A\sin B\right) +\sin A\cos A \cos B-\sin^2 A\sin B=\cos A \sin A \cos B+ \cos^2 A \sin B$

$2\sin(2A+B)-2\sin B= \sin B$

$\frac{\sin(2A+B)}{ \sin B}=3 $

ลืมสปส.หน้าพจน์.....คำตอบที่ถูกคือ $\frac{\sin(2A+B)}{ \sin B}=\frac{๓}{๒} $

[AK/Pain]

เอ่อข้อ 10 เอาเฉพาะช่วง [0,2\pi ] นะ
ส่วนข้อ 16 รู้สึกผมจะคิดได้ \frac{3}{2}

[กิตติ]

โทษทีครับ พอดีรีบทำรีบโพสเพราะวันนี้มานั่งอยู่ร้านเกม ที่นนทบุรี เดี๋ยวแก้คำตอบใหม่ครับ
พอดีชั่วโมงเนตมันครบ

[กิตติ]

ข้อ 8.
$\sqrt[3]{3+x}+ \sqrt[3]{3-x}=\sqrt[3]{3} $
ให้ $\sqrt[3]{3+x}=A$
$\sqrt[3]{3-x}=B$
$A^3+B^3=6$
$(A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B)$
$3=6+3(\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{9-x^2} )$
$(\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{9-x^2} )=-1$
$27-3x^2+1=0$
$3x^2-28=0$
$x=\pm2\sqrt{\frac{7}{3}} \approx \pm 3.05 $
เหลือคำตอบเดียวคือ $x=-2\sqrt{\frac{7}{3}}$

คำตอบมีทั้งบวกและลบครับ เพราะลืมดูไปว่าค่า $x$ ติดในรากที่สาม

[No.Name]

คุณกิตติ เก็บซะหมดเลยครับสุดยอดครับ :great:

จะมาเติมข้อ 18

$\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}=k$

$(a+b+c)(2-k)=0$

จะได้ $k=2$ ได้คำตอบเป็น 8

และก็จะได้คำตอบที่คุณกิตติตอบครับ :)

[กิตติ]

ทำเท่าที่ทำได้ครับ ตอนนี้นั่งที่ท่ารถทัวร์ เล่นเนตบุ๊คของแฟนครับ เดี๋ยวใกล้สองทุ่มคงไม่ได้เข้ามาแล้วครับ
ท่านไหนว่าง เชิญโซ้ยต่อครับ ยังมีอีกหลายข้อครับ
จริงๆในHall เขาเขียนว่า
$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{e}{f}= \frac{g}{h}=...=k $
แล้ว
$\frac{a+c+e+g+...}{b+d+f+h+...}=k $
จับเศษบวกกัน จับส่วนบวกันเลยก็ได้ครับ

[lek2554]

ข้อ 16 เป็น IMO 2540 เมื่อก่อนโรงเรียนเตรียมฯ ชอบเอาไปออกข้อสอบ เสนออีกแนวหนึ่งครับ

$ktanA=tan(A+B)$
$k\dfrac{sinA}{cosA} =\dfrac{sin(A+B)}{cos(A+B)} $

$ksinAcos(A+B)=cosAsin(A+B)$

$ksinAcos(A+B)+kcosAsin(A+B)=(k+1)cosAsin(A+B)$

$ksin(2A+B)=(k+1)cosA(sinAcosB+cosAsinB)$

$ksin(2A+B)=(k+1)(sinAcosAcosB+cos^2AsinB)$

$2ksin(2A+B)=(k+1)(2sinAcosAcosB+2cos^2AsinB)$

$2ksin(2A+B)=(k+1)(sin2AcosB+(1+cos2A)sinB)$

$2ksin(2A+B)=(k+1)(sin2AcosB+cos2AsinB+sinB)$

$2ksin(2A+B)=(k+1)(sin(2A+B)+sinB)$

$2ksin(2A+B)=(k+1)sin(2A+B)+(k+1)sinB$

$(k-1)sin(2A+B)=(k+1)sinB$

$\dfrac{sin(2A+B)}{sinB}=\dfrac{k+1}{k-1} $

[หยินหยาง]

#6, #12
คุณหมอเริ่มเห็นว่าโจทย์ที่ถามล้วนเป็นโจทย์ที่เคยถามมาก่อน อีกหน่อยกคงไม่ตอบซิ หรือจะเป็นแบบท่าน สว. คือเห็นโจทย์เหมือนฆ่าศึก แต่สมาชิกได้ประโยชน์:great::laugh::laugh:

ข้อ 16 ผมเสนอวิธีของคนขี้เกียจ

$\frac{\sin(2A+B)}{\sin B} = \frac{\sin((A+B)+A)}{\sin ((A+B)-A)}$

$= \frac{\sin(A+B) \cos A+ \cos (A+B) \sin A}{\sin(A+B) \cos A- \cos (A+B) \sin A}$

$= \frac{\frac{\sin(A+B) \cos A+ \cos (A+B) \sin A}{\cos(A+B) \cos A} }{\frac{\sin(A+B) \cos A- \cos (A+B) \sin A}{\cos(A+B) \cos A} } = \frac{\tan (A+B)+\tan A}{\tan (A+B)-\tan A} = \frac{6\tan A}{4\tan A} = \frac{3}{2} $

[AK/Pain]

คุณหยินหยางคิดเหมือนผมตอนสอบเลย

[กิตติ]

ขอบคุณพี่เล็กกับท่านซือแป๋หยินหยางที่ได้สละเวลาเขียนเทคนิคแก้โจทย์ให้ดูครับ

[กิตติ]

ข้อ15...มีเงิน 7 บาทซื้อลูกอม 4 ยี่ห้อ ราคาเม็ดละ 1 บาท ซื้อได้กี่วิธี

ผมคิดว่าเหมือนการแจกของ 7 ชิ้นให้คน 4 คน โดยที่บางคนอาจไม่ได้รับของเลย
จะแจกได้เท่ากับ $\binom{7+4-1}{4-1}=\binom{10}{3} =120$ วิธี

[Sazs]

ช่วยอัพโหลดไฟล์ 2 ใหม่ได้มั๊ยครับ รู้สึกผมจะโหลดไม่ได้อ่ะครับ

[banker]

.... หรือจะเป็นแบบท่าน สว. คือเห็นโจทย์เหมือนฆ่าศึก แต่สมาชิกได้ประโยชน์:great::laugh::laugh:




แม้จะเป็นโจทย์เก่า เคยถาม

ลองทำใหม่เป็นการทบทวน เหมือนลับมีดให้คมอยู่เสมอ


สักวัน.... ผมต้องเก่งให้เกือบเท่าๆซือแป๋ให้ได้ :haha:

[PP_nine]

ข้อ 8 น่าจะเป็นเทคนิคทั่วไปสำหรับ สอวน. นะ :happy:

ก็คือ ถ้า $x+y+z=0$ แล้ว $x^3+y^3+z^3=3xyz$

โจทย์คือ $\sqrt[3]{3+x}+\sqrt[3]{3-x}+\sqrt[3]{-3}=0$

$\therefore 3+x+3-x-3=3\sqrt[3]{(3+x)(3-x)(-3)}$

จัดรูปได้ $9-x^2=-\frac{1}{3}$ แก้เป็น $x=\pm \sqrt{\frac{28}{3}}$

(เพิ่งเห็นว่ามีเฉลยแล้ว :wacko: แต่เราไม่ได้เช็คคำตอบแฮะ :p )
________________________________________________

ข้อ 2 ลองมองให้เป็น absolute หมดน่าจะง่ายกว่าแก้โดยตรง

ใส่ abs สมการเดิมเป็น $|z_1|^2|z_2|=\sqrt{2}$ และ $|z_1||z_2|^2=\sqrt{2}$

หารกันจึงได้ว่า $|z_1|=|z_2|$ และเท่ากับ $\sqrt[6]{2}$

เอาสมการเดิมมาลบกันได้ $z_1^2z_2-z_1z_2^2=2i$

ใส่ abs ได้ $|z_1||z_2||z_1-z_2|=2$

$\therefore |z_1-z_2|=\sqrt[3]{4}$
________________________________________________

ข้อ 4 จัดรูปนิดหน่อยเท่านั้นเอง

$z^4+z^2+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$

$z^2+\frac{1}{2}=\pm \frac{\sqrt{7}}{2}i$

$z^2=-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{7}}{2}i$

ใส่ abs ไปเลยได้ $|z|^2=\sqrt{2}$ เป็น $|z|=\sqrt[4]{2}$

นั่นคือค่าสัมบูรณ์แต่ละรากเท่ากัน รวมกันได้ $4\sqrt[4]{2}$

[กิตติ]

ขอบคุณคุณPP_nine......ผมแก้คำตอบข้อ8 แล้วครับ ไม่ต้องเช็คเพราะค่าอยู่ในรากที่สาม เป็นบวกได้ลบได้

[AK/Pain]

ผมแก้ภาพให้แล้วครับ ขอขอบคุณทุกคำเฉลยของทุกคน และต้องขอโทษด้วยที่ไม่สามารถพิมพ์เฉลยบ้างได้ เพราะผมพิมพ์สัญลักษณ์ไม่เป็นครับ

[กิตติ]

#6, #12
คุณหมอเริ่มเห็นว่าโจทย์ที่ถามล้วนเป็นโจทย์ที่เคยถามมาก่อน อีกหน่อยกคงไม่ตอบซิ หรือจะเป็นแบบท่าน สว. คือเห็นโจทย์เหมือนฆ่าศึก แต่สมาชิกได้ประโยชน์:great::laugh::laugh:


เห็นด้วยครับ เพราะทำโจทย์เก่าด้วยมุมมองใหม่ อาจได้วิธีเฉลยที่ดีขึ้น (บางทีผมทำแล้ววิธีมันยาวกว่าที่เคยทำ) 55555

[jom-yud]

เห็นด้วยครับ เพราะทำโจทย์เก่าด้วยมุมมองใหม่ อาจได้วิธีเฉลยที่ดีขึ้น (บางทีผมทำแล้ววิธีมันยาวกว่าที่เคยทำ) 55555

แล้วข้อที่ 12 มันจะเริ่มคิดยังไงอะครับผมรู้แค่ว่า det (abc-1) = det(A)det(b)/det(c) แล้วไปไงต่ออะครับนึกไม่ออก

[AK/Pain]

ขอโทษนะครับผมพิมพ์สัญลักษณ์ไม่่เปน
ข้อ 12 ค่า detbดึง A+I และ detc ดึง A-I ออกครับ
ที่เหลือจะตัดกันได้ คิดปกติต่อ ตอบ 4/9 ครับ

[jom-yud]

det(a) มันยังดึง A+I ได้อีกหรอคับ งง

[AK/Pain]

ขอโทษครับ แก้ให้แล้ว