ปัญหาคณิตศาสตร์

[promath]

ปัญหาคณิตศาสตร์น่าคิด

คำถามที่001:จำนวนเด็ดของคุณครู ของคุณมานะ เอกจริยวงศ์


คุณครูกำหนดจำนวนสามหลักขึ้นมาจำนวนหนึ่ง แล้วให้สุดาหารด้วย 4 มานีหารด้วย 6 และ วีระหารด้วย 9 เพื่อหาเศษจากการหาร
สุดาตอบว่าได้เศษ 3 ขณะที่มานีได้เศษ 2 และวีระได้เศษ 1
ปรากฏว่า เมื่อตรวจสอบแล้ว มีเด็กคิดผิดอยู่คนหนึ่ง
อยากทราบว่า ใครคิดผิด และถ้าจำนวนที่ครูกำหนดขึ้นเป็นจำนวนที่เด็กสองคนซึ่งหาร ได้ถูกต้อง พบว่า ไม่มีจำนวนสามหลักใดน้อยกว่าอีกแล้ว อยากทราบว่า คุณครูกำหนดจำนวนใด มาให้
รหัส 157-006-2548-001

[gon]

สมมติให้ x แทนจำนวนเต็มดังกล่าว ;)

x หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 3 แล้ว จะสามารถเขียนได้ว่า
x = 4p + 3 เมื่อ p เป็นจำนวนเต็มใด ๆ
ในทำนองเดียวกัน x = 6q + 2 , x = 9r + 1

ตรวจสอบว่าอันใดไม่จริง : ลองจับคู่ 4p + 3 = 6q + 2 [:right] 6q - 4p = 1 จะพบว่าสมการนี้ไม่มีทางเป็นจริง เพราะ ด้านซ้ายมือของสมการ คือ 6q - 4p จะต้องมี 2 เป็นตัวประกอบเสมอ แต่ ด้านขวามือของสมการ คือ 1 ไม่มี 2 เป็นตัวประกอบ แสดงว่า ไม่ 4p + 3 ก็ 6q + 2 จะต้องมีอันใดอันหนึ่งไม่ถูกต้อง :rolleyes:

ลองจับคู่ 6q + 2 = 9r + 1 [:right] 9r - 6q = 1 จะพบว่าสมการนี้ไม่มีทางเป็นจริง เพราะ ด้านซ้ายมือของสมการ คือ 9r - 6q จะต้องมี 3 เป็นตัวประกอบเสมอ แต่ ด้านขวามือของสมการ คือ 1 ไม่มี 3 เป็นตัวประกอบ แสดงว่า ไม่ 6q + 2 ก็ 9r + 1 จะต้องมีอันใดอันหนึ่งไม่ถูกต้อง :rolleyes:

แต่ทั้ง 2 อันมี 6q + 2 อยู่ แสดงว่า 6q + 2 นั่นล่ะที่ไม่ถูก :cool: นั่นคือ x = 4p + 3 = 9r + 1 จากตรงนี้ทำต่อได้หลายวิธี วิธีทีง่าย ๆ คือ ให้หามาว่าจำนวนเต็มบวกใด ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่งหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 3 และ หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษ 1 (เป็นเลข 2 หลัก)

จากนั้นก็นำจำนวนดังกล่าว บวกทีละ 36 (ค.ร.น. ของ 4 กับ 9) ไปเรื่อย ๆ จนได้เลข 3 หลักที่มากที่สุด แต่ไม่เกิน 1000 ดังนั้นเลขดังกล่าวของครูคนนี้ คือ 9?? :D

[promath]

ปัญหาคณิตศาสตร์น่าคิด

คำถามที่002:หาเหรียญปลอม จากคุณเก่ง วิบูลย์ธัญญ์

มีถุงใส่เหรียญ 5 ถุง ในแต่ละถุงมีเหรียญอยู่มากกว่าถุงละ 7 เหรียญ โดยมีเหรียญปลอม อยู่ 2 ถุง เหรียญแท้และเหรียญปลอมแตกต่างกันเฉพาะน้ำหนัก โดยเหรียญแท้และเหรียญปลอมหนักเหรียญละ 50 และ 49 กรัม ตามลำดับ ให้หาถุงใดบ้างบรรจุเหรียญปลอมโดยการใช้ตาชั่งเพียงครั้งเดียวและต้องชั่งเหรียญน้อยอันที่สุด

รหัส 157-006-2548-002

[promath]

ปัญหาคณิตศาสตร์น่าคิด

คำถามที่003:สอบเชาวน์ จากคุณ นาวาเอกสอาด สุนทโรวาท

ในการสอบเชาวน์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ณ โรงเรียนแห่งหนึ่ง มีข้อสอบ ชวนฉงนอยู่ 2 ข้อ ปัญหาทั้งสองข้อนั้นคือ "นครใดอยู่ไกลขึ้นไปทางเหนือกว่ากัน กรุงเทพฯหรือมนิลา" กับ "ดวงอาทิตย์จะตกทางด้านไหนของคลองปานามาล่าช้ากว่ากัน ทางด้านมหาสมุทรปาซิฟิก หรือ ทางด้านมหาสมุทรอัตลันติก
มีนักเรียนตอบได้ถูกทั้งสามข้อรวม 37 คน หนึ่งในสามของนักเรียนทั้งหมดตอบผิดในปัญหาแลตติจูด หนึ่งในสี่ตอบผิดในปัญหาดวงอาทิตย์ตก และหนึ่งในห้าตอบผิดทั้งสองปัญหา
อยากทราบว่ามีนักเรียนเข้าตอบปัญหาเชาวน์นี้กี่คน

รหัส 157-006-2548-003

[promath]

:p ผู้ที่สนใจที่จะให้ความรู้เรื่องเกี่ยวกับ แคลคูลัสเบื้องต้น ที่มีหัวข้อดังนี้
[:right] ลิมิตของฟังก์ชัน
[:right] ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
[:right] อัตราการเปลี่ยนแปลง
[:right] อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
[:right] ความชันของเส้นโค้ง
[:right] การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร
[:right] อนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิท
[:right] อนุพันธ์อันดับสูง
[:right] การประยุกต์ของอนุพันธ์อย่างง่ายและอย่างยาก
[:right] ปริพันธ์
[:right] ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
[:right] ปริพันธ์จำกัดเขต
[:right] พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
[:right] โอเปอเรชันตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์
:D ;) สามารถโพสท์ข้อความมาในหัวข้อนี้ได้ครับ ให้หัวข้อเดียวก็ไม่เป็นไร แต่ถ้ามีมากหน่อย ก็จะดีครับ ขอขอบพระคุณล่วงหน้านะครับ :rolleyes:

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 157-006-2548-003 นี่ ผมว่าแปลกๆนะครับ

เพราะว่า มีคำถามอยู่ 2 อันแต่ลองดูข้อความนี่สิครับ "มีนักเรียนตอบได้ถูกทั้งสามข้อรวม 37 คน " ผมว่าคงเป็น ตอบถูกทั้งสองข้อมากกว่าครับ


คือ ให้ คนที่เข้าสอบทั้งหมด x คน
ใช้เซตเข้ามาช่วยนะครับ ให้
A = เซตของคนที่ตอบผิดข้อแรก
B = เซตของคนที่ตอบผิดข้อที่สอง

จากโจทย์ได้ว่า
n(A) = \displaystyle{ \frac{x}{3}}
n(B) = \displaystyle{ \frac{x}{4}}
n(A[:intersect]B) = \displaystyle{ \frac{x}{5}}
n((A[:union]B)') = 37
[:therefore] n(U) = \displaystyle{ \frac{x}{3}+ \frac{x}{4}- \frac{x}{5}+37}

ก็จะได้สมการว่า \displaystyle{ \frac{x}{3}+ \frac{x}{4}- \frac{x}{5}+37 = x}
ซึ่งแก้สมการได้ x = 60 ครับผม :D

ปล. คำถามที่เอามาจากไหนหรือครับ เห็นมีที่มาจากคนนั้นคนนี้ แล้วก็เอาไปทำอะไรหรอครับ เห็นมีรหัสด้วย อีกอย่าง จะตั้งคำถามไว้ 999 คำถามเลยหรือครับ เห็นตั้งรหัสซะ 001

[promath]

ปัญหาคณิตศาสตร์น่าคิด

คำถามข้อ004: เลขยกกำลัง1 จากpromath

โจทย์ต่อไปนี้มีคำตอบว่าอย่างไร ช่วยคิดหน่อยครับ :D
1) (2[:sqrt]3+[:sqrt]7)(2[:sqrt]3-[:sqrt]7) :p
2) [:sqrt]3x+4+[:sqrt]3x-5 = 9 :(

ตอบคำถามของคุณ R-Tummykung de Kamar
บางคำถามนั้นผมเอามาจากสมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทยครับ และที่มีชื่อคนอื่นเข้ามาด้วยเป็นการยกย่องผู้ที่ถามคำถามครับ จะได้รู้ว่าใครเป้นผู้ตั้งโจทย์หรือนำโจทย์มา ที่มีรหัสก็เพราะว่าเครื่องคอมพิวเตอร์ของผมมันมีระบบพิเศษที่ไม่ค่อยเหมือนชาวบ้านของเขาครับ และที่ตั้งไว้เป็น 001 เพราะอาจจะมีคำถามถึงข้อ 999 ก็เป็นได้ครับ อิอิ... :D ;)

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 004
1.) ก็ ผลต่างกำลังสองธรรมดา
[:therefore] มันคือ (2[:sqrt]3)2-([:sqrt]7)2 = 12 - 7 = 5

2.) ข้อนี้น่าจะสมมติตัวแปรให้
a = [:sqrt]3x+4
b = [:sqrt]3x-5

\displaystyle{ \begin{array}{rcl} a+b&=&9\\a^2-b^2&=&9\\ \therefore a-b&=&1 \\แก้สมการ\ \ ได้\ \ a\ =\ 5\ \ และ\ \ b\ =\ 4 \end{array} }
แทนค่ากลับได้ x = 7

ปล. R-Tummykung de Lamar ครับ ไม่ใช่ R-Tummykung de Kamar

[gon]

ข้อ 2. งงกับคำถามครับ. โจทย์บอกว่าเหรียญมันอยู่ในถุง แล้วจะชั่งเหรียญได้ยังไง แกะออกมาจากถุงชั่งได้หรือครับ. อีกอย่างตาชั่งบอกมาไหมว่า เป็นระบบแบบใด แบบมีตัวเลข หรือ แบบถ่วงน้ำหนักสมดุล :rolleyes:

[promath]

คำถามข้อที่005:หากจะจ่าย ต้องคิดแล้วคิดอีกจนเวียนหัว จากสสวท.

ร้านค้าแห่งหนึ่งมีลูกจ้าง 3 คน คือ แดง น้อย และจิต โดยแต่ละคนเสนอค่าจ้างทำงานชั่วโมงละ 100 110 120 บาท ตามลําดับ และมีงาน 3 อย่าง คือ a b และ c
จํานวนชั่วโมงที่แดงทํางาน a, b และ c คือ 7.5, 8 และ 4.5 ชั่วโมง ตามลําดับ
จํานวนชั่วโมงที่น้อยทํางาน a, b และ c คือ 6, 8.5 และ 5 ชั่วโมง ตามลําดับ และ
จํานวนชั่วโมงที่จิตทํางาน a, b และ c คือ 6.5, 7 และ 3.5 ชั่วโมง ตามลําดับ
อยากทราบว่านายจ้างควรใหลูกจ้างคนใดทํางานอย่างใดที่สามารถทํางานนั้นเสร็จ และจ่ายเงินน้อยที่สุด และถ้านายจ้างต้องการรับลูกจ้างเพื่อเข้าทํางานทั้งสามอย่างเพียงหนึ่งคน เขาควรรับลูกจ้างคนใดเข้าทํางานจึงจะจ่ายน้อยที่สุด
รหัส 157-006-2548-005 :)

ปล.1 ขอโทษครับสำหรับคุณ R-Tummykung de Lamar ขออภัยอย่างยิ่งครับ เนื่องจากผมพิมพ์เร็วไปหน่อยแล้วผิด ผมก็ไม่ได้ตรวจทานหรือกลับมาแก้ไขอีกรอบ มันอาจจะทำให้คุณไม่ค่อยพอใจในตัวผมเท่าไรนัก แต่ผมขอโทษอย่างสูง คราวหลังผมจะปรับปรุงให้ดีขึ้นกว่านี้ครับ :(

ปล.2 หากมีผู้ตอบคำถามถูกแล้ว ผมจะเข้าไปเฉลยให้ครับ :rolleyes:

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ promath:
คำถามข้อที่005:หากจะจ่าย ต้องคิดแล้วคิดอีกจนเวียนหัว จากสสวท.
ปล.1 ขอโทษครับสำหรับคุณ R-Tummykung de Lamar ขออภัยอย่างยิ่งครับ เนื่องจากผมพิมพ์เร็วไปหน่อยแล้วผิด ผมก็ไม่ได้ตรวจทานหรือกลับมาแก้ไขอีกรอบ มันอาจจะทำให้คุณไม่ค่อยพอใจในตัวผมเท่าไรนัก แต่ผมขอโทษอย่างสูง คราวหลังผมจะปรับปรุงให้ดีขึ้นกว่านี้ครับ :(
[ 06 พฤษภาคม 2005 16:11: ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ promath ]


แหม .. :p ผมก็ไม่ได้ขนาดนั้นซักหน่อย ความผิดพลาดเนี่ย มีบ้างก็เป็นเรื่องปกติครับ ไม่ต้องคิดมาก ;)

[nongtum]

ข้อที่005 ในที่นี้จะสันนิษฐานว่างานหนึ่งงานทำได้คนเดียว หากใครคิดกรณีสามัคคีชุมนุม(หนึ่งงานหลายคน)ได้ ลอง post มานะครับ
เราจะคิดค่าใช้จ่ายทีจะเกิดขึ้นเมื่อแต่ละคนทำงานแต่ละอย่างเสร็จดังนี้

\begin{array}{*{20}c}
{คนงาน} & {JobA} & {JobB} & {JobC} & {รวม} \\
{แดง} & {750} & {800} & {450} & {2000} \\
{น้อย} & {660} & {935} & {550} & {2145} \\
{จิต} & {780} & {840} & {420} & {2040} \\
\end{array}

จากตาราง เราจึงสรุปได้ว่า ควรจะให้ น้อยทำงาน A แดงทำงาน B จิตทำงาน C และหากต้องจ้างคนเดียว ควรจ้างแดง

[Grimmyredrum]

ข้อ2
สมมตว่าเปนตาชั่งแบบเปงตัวเลข
เราทราบว่า เหรียญจริงหนักกว่าปลอม 1 กรัม

โจทย์บอกให้ชั่งเหรียญให้น้อยอันที่สุด
>>>แสดงว่าน่าจะหยิบเหรียญออกมาจากถุงเพื่อนำมาชั่งได้

เราจะเลือกเหรียญจำนวนซ้ำกันไม่ได้ เพราะ หากเลือกเหรียญจำนวนซ้ำกัน จะไม่สามารถแยกได้ว่าถุงไหนเป็นเหรียญปลอม เพราะ นน.จะขาดหายไปเป็นจำนวนเท่าๆกันด้วย

ถุงแรกไม่หยิบ ถุงที่สองหยิบ1 ถุงที่สามหยิบ2 ถุงที่สี่หยิบ2 ถุงที่ห้าหยิบ3
หากนน. ขาดไป3กรัม ถุงที่มีเหรียญปลอมคือ ถุงที่สอง-สาม หรือ ถุงที่สอง-สี่ หรือถุงแรก-ห้า ซึ่งไม่สามารถสรุปได้ว่าเป็นถุงไหน?
หากนน ขาดไป 4 กรัม ก้อเป็นไปในทำนองเดียวกัน.

จะเห็นได้ว่าการหยิบแบบนี้จะชั่งได้ผลเพียง 2 กรณี(3กับ4กรัม) ซึ่งไม่ครอบคลุมกรณีทั้งหมด

เราจะต้องหากรณีที่แตกต่างกัน C5,2 = 10 กรณีเพื่อที่จะแยกได้ว่าถุงใดบ้างที่เป็นเหรียญปลอม

ถุงแรก เราจะไม่หยิบเหรียญออกมา
>>>ถ้าชั่งแล้ว นน. ครบ แสดงว่าถุงนี้เปงเหรียญปลอม ในกรณีที่ 4 ถุงที่เหลือนั้นมี เหรียญปลอมอยู่ 1 ถุง (กรณีอื่น แสดงว่าถุงนี้เป็นเหรียญจริง)
ซึ่งจะทราบได้จาก

ถุงที่สอง เราจะหยิบเหรียญออกมา 1 เหรียญ
>>>ถ้าชั่งแล้ว นน. ขาดไป 1 กรัม แสดงว่าถุงนี้เปงเหรียญปลอม

ถุงที่สาม เราจะหยิบเหรียญออกมา 2 เหรียญ
>>>ถ้าชั่งแล้ว นน. ขาดไป 2 กรัม แสดงว่าถุงนี้เปงเหรียญปลอม

ถุงที่สี่ เราจะหยิบเหรียญออกมา 4 เหรียญ
(หยิบ 3 เหรียญไม่ได้ เพราะ ถ้านน. ขาดไป3กรัม จะไม่สามารถบอกได้ว่า ถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงที่สอง-สาม หรือ ถุงแรก-สี่)
>>>ถ้าชั่งแล้ว นน. ขาดไป 4 กรัม แสดงว่าถุงนี้เปงเหรียญปลอม

ถุงที่ห้า เราจะหยิบออกมา 7 เหรียญ
(หยิบ 5 หรือ 6 เหรียญไม่ได้ในทำนองเดียวกัน)
>>>ถ้าชั่งแล้ว นน. ขาดไป 7 กรัม แสดงว่าถุงนี้เปงเหรียญปลอม

จากนั้นเอาจำนวนเหรียญที่ได้มาชั่งก้อจะทราบว่า ถุงใดเป็นถุงปลอม
ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 1 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงแรก + ถุงที่สอง(0+1 = 1)
ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 2 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงแรก + ถุงที่สาม(0+2 = 2)
ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 4 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงแรก + ถุงที่สี่(0+4 = 4)
ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 7 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงแรก + ถุงที่ห้า(0+7 = 7)
ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 3 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงที่สอง + ถุงที่สาม(1+2 = 3)
ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 5 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงที่สอง + ถุงที่สี่(1+4 = 5)
ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 8 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงที่สอง + ถุงที่ห้า(1+7 = 8)
ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 6 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงที่สาม + ถุงที่สี่(2+4 = 6)
ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 9 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงที่สาม + ถุงที่ห้า(2+7 = 9)
ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 11 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงที่สี่ + ถุงที่ห้า(4+7 = 11)

ซึ่งชั่งเหรียญทั้งหมด 0+1+2+4+7 = 14 เหรียญ(น้อยสุดยังอะ)
====================================
ถ้าเป็นตาชั่งแบบถ่วงดุล
. . .ถ้าให้ชั่งแค่ครั้งเดียว ตอนนี้ยังคิดไม่ออกคับ TT

[promath]

เฉลยปัญหาข้อที่005:หากจะจ่าย ต้องคิดแล้วคิดอีกจนเวียนหัว จากสสวท.

จากข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้ เราสามารถอธิบายข้อมูลชั่วโมงในการทำงานของแต่ละคนได้ดังนี้
งาน[br]a[br]b[br]c จำนวนเวลาทำงานของแดง[br]7.5[br]8[br]4.5 จำนวนเวลาทำงานของน้อย[br]6[br]8.5[br]5 จำนวนเวลาทำงานของจิต[br]6.5[br]7[br]3.5
จากนั้นหาคำตอบโดยคำนวนค่าใช้จ่ายกับชั่วโมงเวลา ดังนี้
งาน[br]a[br]b[br]c[br]รวม รายได้ของแดง[br]750[br]800[br]450[br]2,000 รายได้ของน้อย[br]660[br]935[br]550[br]2,145 รายได้ของจิต[br]780[br]840[br]420[br]2,040
[:therefore] ควรจ้างน้อยทำงาน a เพราะค่าจ้างน้อยที่สุด
[:therefore] ควรจ้างแดงทำงาน b เพราะค่าจ้างน้อยที่สุด
[:therefore] ควรจ้างจิตทำงาน c เพราะค่าจ้างน้อยที่สุด
[:therefore] และควรจ้างแดงทำงานคนเดียว(ถ้าเป็นเช่นนั้นจริง) เพราะจ่ายค่าจ้างน้อยที่สุด
:D ได้รับคำเฉลยแล้ว มีใครตอบถูกบ้างเอ่ย? :cool:

[promath]

คำถามที่006:เงินสิบสตางค์หายไปไหน จากคุณพิเชษฐ วิชัยดิษฐิ


:) :) :rolleyes: นายพานิช และ น.ส.บัญชี ต่างก็เป็นพ่อค้าและแม่ค้าในตลาดแห่งหนึ่ง เขาและเธอต่างก็ขายมะม่วงด้วยกัน นายพานิช ขายมะม่วง 3 ผล ราคา 5 สตางค์ วันหนึ่งเขาขาย 60 ผล ได้เงิน 1 บาท น.ส.บัญชี ขายมะม่วง 2 ผล ราคา 5 สตางค์ วันหนึ่งเขาขาย 60 ผล ได้เงิน 1.50 บาทเพื่อเป็นการเห็นอกเห็นใจกัน นายพานิช จึงเอ่ยปากชวน น.ส.บัญชีมาร่วมค้าขายกัน โดยขายมะม่วงไปคราวละ 5 ผล ราคา 10 สตางค์ (เพราะว่าราคาของพานิช 3 ผล 5 สตางค์ ของบัญชี 2 ผล 5 สตางค์ เอามาร่วมกัน 5 ผล ราคา 10 สตางค์) วันหนึ่ง ๆ จะขายไป 120 ผล ปรากฏว่าเงินที่ขายได้เท่ากับ 2.40 บาท :D
สุดท้ายนี้ใคร่ไหว้วานท่านผู้อ่านช่วยพ่อแม่ค้าทั้งสองด้วยว่า เงิน 10 สตางค์ หายไปไหน
รหัส 157-006-2548-006 :eek:

[Grimmyredrum]

-ข้อ6

เพราะว่าอัตราส่วนผลไม้ที่ขายไปของคนทั้งสองมันไม่เท่ากันครับ

คุณ พาณิช จะขายเป็นจำนวนมากกว่าครือขาย(3/5)*100%(72ผล) ส่วนอีกคนจะขาย(2/5)*100%(48ผล)

ไม่ได้ขายคนละ 60 ผลเท่ากัน จึงทำให้เงินที่ได้ไม่เท่ากับตอนแรกด้วย


ปล.
แต่ถึงแม้ว่าจะขายแบบนี้(รวมกัน 5ผล ผลละ10สต.) ก้อยังคงไม่มีใครได้กำไร-ขาดทุนจากตอนแรกเลยครับ :)

[promath]

:D สวัสดีครับ ผมมาอีกแล้วครับ หวังว่าคงจะไม่เบื่อกันนะครับ ถ้าใครมีปัญหาคิดไม่ออกและไม่ยากเกินไปที่จะให้ผมไปตอบล่ะก็ ผมจะลองแวะเข้าไปครับ แต่เอ! ทำไมห้องของเด็กประถมมีแต่คนระดับเจ๋ง ๆ (ที่ไม่ใช่ประถมเข้าไปตอบล่ะครับ) ผมเจอเข้าไปทีเดียว มึนครับ :confused:

คำถามข้อที่007:เศษส่วนชวนฉงน จาก promath's friend

คำถามข้อนี้เป็นคำถามที่ผมได้รับมาจากเพื่อนผมอีกทีครับ ตอนแรกเจอคำถามก็แสนจะง่าย คิดไม่ยาก แต่ไหง พอเฉลยแล้ว มันไม่ได้ตามที่ผมคิดครับ เลยอยากลองให้คนอื่นลองคิดดู (แต่จริง ๆ แล้ว วิธีเฉลยคำตอบของข้อนี้มันไม่ค่อยจะถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์หรอกนะครับ) คำถามมีอยู่ว่า

ถ้า \frac{1}{4} ของ 40 = 6
แล้ว \frac{1}{3} ของ 40 มีค่าเท่าไรครับ
คิดดูดี ๆ นะครับ :rolleyes:
ระวังโดนโจทย์หลอกนะ เดี๋ยวจะหาว่าผมไม่เตือน :cool:

รหัส 157-006-2548-007

[passer-by]

สำหรับคำถามข้อ 7
40 ในที่นี้ น่าจะเป็น 406 ถ้าเป็นเช่นนั้น ข้อนี้ต้องตอบ 8 ครับ

[promath]

มีใครคิดจะเพิ่มคำตอบหรือแสดงวิธีทำที่แปลกแตกต่างไปอีกไหมครับ ช้าเกินไป เดี๋ยวผมจะใส่เฉลยแล้วนะครับ (ไม่หรอก ถ้าผมเปิดเทอมแล้ว จะมาโพสท์ข้อความกับพี่ ๆ ไม่ได้บ่อยอย่างนี้แล้วนะครับ รีบรีบกันหน่อยนะ) :D :p :) :(

[Grimmyredrum]

อย่าบอกนะว่า
ถ้า 1/4 ของ 40 = 6
แล้ว 1/3 ของ 40 = 6*4/3 = 8 :(

หรือจะบอกว่า ตอบเท่าไหร่ก้อได้ ดีอ่า เพราะ
ถ้า---->แล้ว
F------>X [:identical] T

[R-Tummykung de Lamar]

แหม ผมก็ว่างั้นแหละ เพราะว่า 1/4 ของ 40 คือ 6 มันเป็นเท็จ ดังนั้น
F [:right] T [:identical] T
F [:right] F [:identical] T

ดังนั้น ผมว่า ตอบอะไรก็ถูกครับ
เห็นโจทย์ทิ้งท้ายนิดนึงว่า อย่าโดนโจทย์หลอกนะครับ :D

[passer-by]

จริงๆ ตอนแรก ก็จะตอบ ว่า เลขอะไรก็ได้ เหมือนคุณ R-Tummykung de Lamar ซึ่งเป็นไปตามหลักตรรกศาสตร์ แต่ไปสะดุดกับที่ คุณ promath ที่บอกว่า :
ข้อความเดิมของคุณ promath:
(แต่จริง ๆ แล้ว วิธีเฉลยคำตอบของข้อนี้มันไม่ค่อยจะถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์หรอกนะครับ)
ก็เลย คิดว่า มันคงมีอะไรแอบแฝงอยู่ในโจทย์มั้ง
บังเอิญเห็นว่า 40 ในฐาน 6 ทำให้ประโยค "เหตุ" เป็นจริง พอดี ก็เลย คิดว่าน่าจะตอบ 8 แต่ก็แน่นอนล่ะครับ ว่าถ้าตอบ 8 จริงๆ โจทย์ก็ไม่ควรเขียนเช่นนี้ เพราะ เลขฐานอื่นที่ไม่ใช่ฐานสิบ ก็ควรใส่ฐานกำกับไว้เสมอ

[promath]

ดูจากแต่ละคำตอบที่ส่งกันเข้ามานั้น ถูกต้องแล้วครับ
เพราะว่า \frac{1}{4} ของ 40 = 6 นั้นเป็นการคิดที่โดยใช้สมการแบบหมู อู๊ด ๆ คิดนั่นเองครับ ลองคิดตามดูนะครับ
1. ให้ x แทนจำนวนของ 40 และให้ y แทนจำนวนอีกจำนวนหนึ่ง จะได้ว่า
\frac{1}{4}x = 6 = y
2. แก้สมการตามปกติครับ โดยนำ 4 ไปคูณกับสมการทั้งสองข้างดังนี้
(4)(\frac{1}{4}x) = (6)(4) = y
3. คำตอบที่ได้จึงเป็น y = 24 นะครับ (อย่างงซะล่ะ :confused: คือ 6[:multiply]4 ต้องเท่ากับ y)
4. เมื่อได้ y = 24 แล้ว ก็นำ y ไปคูณกับ \frac{1}{3} ได้ดังนี้
\frac{1}{3}y = (\frac{1}{3})(24) = 8
5. คำตอบสุดท้ายจึงเป็น 8 ครับ (ผมก็งงเหมือนกันนะ ทำไมจึงเป็นแบบนี้ :confused: )
*เอาน่า ขำขำ อย่าเครียดมาก ลองคิดกันเล่น ๆ :D :rolleyes:

[promath]

มีหลายคนคงว่าผม ที่ตั้งคำถามที่มันยากจนทำให้ตนเองแทบเฉลย หรือเฉลยให้เข้าใจไม่ได้ ไม่เป็นไรครับ ขอแก้ตัวด้วยคำถามนี้ รับรองว่าง่ายและเฉลยให้เข้าใจกันได้แน่นนอนครับ (อย่ากังวล :( )

คำถามข้อที่008: อยู่ที่เดียวกัน ขัดกันไม่ได้ จาก promath เอง :D

แม่ค้า 3 คน นั่งขายมะม่วงอยู่ในตลาดติดกัน และต่างสัญญากันว่าจะต้องขายมะม่วงในราคาเดียวกัน และเมื่อขายหมดแล้ว ต้องได้เงินเท่ากันด้วยนะ ถ้าแม่ค้าคนแรกมีมะม่วง 33 กิโลกรัม คนที่สองมี 29 กิโลกรัม และคนที่สามมี 27 กิโลกรัม จงอธิบายว่าแม่ค้าทั้งสามคนขายมะม่วงในราคาอย่างไร จึงจะได้ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น
รหัส 157-006-2548-008

ปล. คราวนี้ไม่หลอกไม่ลวง คิดกันตรงๆ เลยนะครับ :) :cool:

[promath]

:o แหม! คำถามข้อที่008 ยังไม่มีใครตอบเลย ดันนึกคำถามข้อที่009และข้อที่010 ได้เสียและ

คำถามข้อที่009:เศษส่วนปริศนา จาก promath

;) ถ้าเราเขียน \frac{2}{5} ในรูปของผลบวกของจำนวนเศษส่วนที่มีเศษเป็น 1 จะได้ดังนี้ \frac{2}{5}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}
:rolleyes: เราอาจจะตีความสมการข้างบนได้ดังนี้ คือ ในการแบ่งของ 2 ชิ้น ให้กับคน 5 คน ก่อนอื่นเราจะแบ่งแต่ละชิ้นออกเป็น 3 ส่วนเท่ากัน (ซึ่งจะได้ 2[:multiply]3 = 6 ชิ้น) แล้วเอา 5 ชิ้นแบ่งให้กับ 5 คน หลังจากนั้นแบ่ง 1 ชิ้นที่เหลืออกเป็น 5 ส่วนเท่ากันอีกครั้ง แล้วแบ่งให้ทุกคน ก็เป็นอันเสร็จพิธี
:D อาศัยหลักการคิดข้างต้น ให้ลองหาตัวเลขที่อยู่ในช่องว่างสิครับ :D
\frac{3}{5}=\frac{1}{...}+\frac{1}{...}
\frac{4}{5}=\frac{1}{...}+\frac{1}{...}
เดี๋ยวมาแก้ไขอีกรอบนะครับ เอาแค่นี้ก่อนเด้อ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ promath:
1. ให้ x แทนจำนวนของ 40 และให้ y แทนจำนวนอีกจำนวนหนึ่ง จะได้ว่า
\frac{1}{4}x = 6 = y
2. แก้สมการตามปกติครับ โดยนำ 4 ไปคูณกับสมการทั้งสองข้างดังนี้
(4)(\frac{1}{4}x) = (6)(4) = y


ตรงนี้ผมว่าไม่ถูกต้องครับ เพราะว่า ถ้าจะคูณ ก็ต้องคูณทั้ง 3 ส่วนเลยครับ จุดนี้ จึงน่าจะกลายเป็น \displaystyle{\frac{1}{4}x\ \ =\ \ (6)(4)\ \ =\ \ 4y\qquad} ครับ :D


แล้วโจทย์ข้อนี้ ผมว่าคิดแบบนี้ไม่ได้อะครับ เพราะว่า 40 มันคือตัวเลข ไม่ใช่ตัวแปร แทนค่าลงไปมันก็ไม่จริงครับ ;)

[R-Tummykung de Lamar]

มีของ 3 ชิ้น ก็แบ่งอีกชิ้นละ 2 ส่วนเป้น 6 ส่วน
แจกๆๆๆ เหลือ 1 ส่วน แบ่งเป็น 5 ส่วนอีกครั้ง
[:therefore] \displaystyle{\frac{3}{5}\ \ =\ \ \frac{1}{2}+\frac{1}{10}}

อีกข้อ ไม่มีคำตอบ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก ครับ
คือ ถ้าแบ่งด้วยวิธีเดิม จะได้เป็น เศษส่วน 3 ตัวบวกกันครับ
เอาหละครับ เดี่ยวผมจะพิสูจน์ว่าไม่มีคำตอบ (กำหนดให้โดเมนคือ จำนวนเต็มบวกนะครับ)
\displaystyle{\begin{array}{rcl}\frac{4}{5}&=&\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\\ \frac{x+y}{xy}&=&\frac{4}{5}\\x+y&=&4a&...(1)\\xy&=&5a&...(2)\\y&=&4a-x\\x(4a-x)&=&5a\\x^2-4ax+5a&=&0\\ \therefore x&=&\frac{4a\pm \sqrt{16a^2-20a}}{2}\\&=&2a\pm \sqrt{a(4a-5)} \end{array}}
จะได้ a > 1 ในรากจะได้ไม่ติดลบ

กรณีที่ 1 a ไม่เป็นจำนวนประกอบของจำนวนกำลังสองสมบูรณ์
เนื่องจากต้องถอดรากลงตัว (เพื่อให้เป็นจำนวนเต็ม) ซึ่งในรากมีตัวประกอบตัวหนึ่งแล้ว
[:therefore]a|4a+5
จาก a|4a-5 และ a|4a[:therefore]a|5
a = 5 ซึ่งเมื่อแทนลงไปแล้วก็ถอดรากไม่ลงตัวครับ

กรณีที่ 2 a เป็นจำนวนประกอบของจำนวนกำลังสองสมบูรณ์
ให้ \displaystyle{a\ \ =\ \ pq^2_1 q^2_2 q^2_3\cdots q^2_n} เมื่อ p ไม่เป็นจำนวนประกอบของจำนวนกำลังสองสมบูรณ์
จาก x = 2a [:plusminus] \sqrt{\displaystyle{pq^2_1 q^2_2 q^2_3\cdots q^2_n(4a-5)}}
x = 2a [:plusminus] \displaystyle{q_1 q_2 q_3\cdots q_n\sqrt{p(4a-5)}}
ในรากต้องถอดลงตัว เพื่อให้ได้ x ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
จาก p|4a-5 และ p|4a [:therefore]p|5
p=1,5
ขั้นตอนนี้มาช่วยผมหน่อยนะครับ ว่า [:sqrt]4a-5 กับ [:sqrt]5(4a-5) ไม่มีทางเป็นจำนวนเต็ม (ผมลองใช้โปรแกรมหาแล้วครับ ว่าไม่มี)

จาก 2 กรณี ก็พอสรุปได้ว่า ไม่มีครับ :D
ปล.ถ้าป็นจำนวนลบได้ จะมีคำตอบคือ 1/1 - 1/5 คับ

[R-Tummykung de Lamar]

อันนี้ตอนแรกพิมพ์ผิดครับ ...board น่าจะมี option เพิ่มคือ สามารถลบข้อความของตัวเองได้ด้วยนะครับ ;)



ข้อนี้ ผมว่า น่าจะให้แม่ค้า แปลงสถานะเป็นลูกค้า ไปซื้อมะม่วงของแม่ค้าคนอื่น
ให้ แม่ค้า A มีมะม่วง 99 ลูก
ให้ แม่ค้า B มีมะม่วง 87 ลูก
ให้ แม่ค้า C มีมะม่วง 81 ลูก

A ขาย 99 ลูก
และซื้อจาก C มา 18 ลูก
ดังนั้นก็เหมือนกับว่า A ขายไป 81 ลูก (เนื่องจากราคามะม่วงเท่ากัน)

B ขาย 87 ลูก
และซื้อจาก C มา 6 ลูก
ดังนั้นก็เหมือนกับว่า B ขายไป 81 ลูก (เนื่องจากราคามะม่วงเท่ากัน)

C ขาย 81 ลูก

เห็นไหมครับ ทุกๆคนก็ขายตามมะม่วงที่ตนเองมี ราคาที่เท่ากัน และเมื่อขายหมดแล้วได้เงินเท่ากันด้วยครับ :cool:

[R-Tummykung de Lamar]

พิสูจน์ได้ละครับ :D
\displaystyle{\begin{array}{rcl}ให้\ \ \sqrt{4a-5}&=&y\\4a-5&=&y^2\\4a&=&y^2+5\\a&=&\frac{y^2+5}{4}\\&=&\frac{y^2+1}{4}+1\\ \therefore 4&|&y^2+1& จะได้\ \ y\ \ ต้องเป็นจำนวนคี่\ (กำลังสองได้คี่ บวกกันจะได้คู่ ให้ y = 2k+1)\\4&|&(2k+1)^2+1\\4&|&4k^2+4k+2\\&&\ \ เนื่องจาก 4\ |\ 4k^2\ \ และ\ \ 4\ |\ 4k\\\therefore 4&|&2 \end{array}}


เย้ ...ขัดแย้ง สรุปว่า ไม่มีจำนวนเต็มบวก a ที่ทำให้ [:sqrt]4a - 5 เป็นจำนวนเต็ม ;)

ส่วน [:sqrt]5(4a - 5)ก็คล้ายๆกันครับ สุดท้ายจะได้ 20|y2+5 ซึ่งก็ใช้ผลพลอยได้จากข้อ 1 ครับ คือ แม้แต่ 4 ยังหาร ไม่ลง แล้ว 20 จะหารลงหรือ จะพบว่าขัดแย้งเหมือนกันครับ :D

[promath]

ขออภัยคุณ R-Tummykung de Lamar ครับ สำหรับข้อ 009 โจทย์ข้อ 2 นี่ คุณพิมพ์และคิดอย่างหนักหน่วงเลยนะครับ ความจริงแล้ว ผมยังพิมพ์โจทย์ไม่เสร็จครับ เครื่องคอมพ์มันเจ๊งก่อน โจทย์เลยไม่ครบ ขออภัยครับ ผมขอแก้โจทย์ข้อ009ใหม่และเพิ่มโจทย์ให้พร้อมข้อ 010 ครับผม

คำถามข้อที่009:เศษส่วนปริศนา จาก promath :rolleyes:

:D ถ้าเราเขียน \frac{2}{5} ในรูปของผลบวกของจำนวนเศษส่วนที่มีเศษเป็น 1 จะได้ดังนี้ \frac{2}{5}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}

เราอาจจะตีความสมการข้างบนได้ดังนี้ คือ ในการแบ่งของ 2 ชิ้น ให้กับคน 5 คน ก่อนอื่นเราจะแบ่งแต่ละชิ้นออกเป็น 3 ส่วนเท่ากัน (ซึ่งจะได้ 2[:multiply]3 = 6 ชิ้น) แล้วเอา 5 ชิ้นแบ่งให้กับ 5 คน หลังจากนั้นแบ่ง 1 ชิ้นที่เหลืออกเป็น 5 ส่วนเท่ากันอีกครั้ง แล้วแบ่งให้ทุกคน ก็เป็นอันเสร็จพิธี
อาศัยหลักการคิดข้างต้น ให้ลองหาตัวเลขที่อยู่ในช่องว่างสิครับ
\frac{3}{5}=\frac{1}{....}+\frac{1}{.....}
\frac{4}{5}=\frac{1}{....}+\frac{1}{.....}+\frac{1}{.....}
\frac{57}{70}=\frac{1}{....}+\frac{1}{.....}+\frac{1}{.....}
\frac{43}{70}=\frac{1}{....}+\frac{1}{.....}+\frac{1}{.....}+\frac{1}{.....}
\frac{9}{10}=\frac{1}{....}+\frac{1}{.....}+\frac{1}{.....}

รหัส 157-006-2548-009=edit{1} :cool:

[promath]

:) :( อิอิ 2 ข้อต่อมาครับ (หัวไวคิดคำถามเร็ว)

คำถามข้อที่010:จำนวนธรรมชาติ จาก promath เองขอรับ :D

:D สมมติให้ < > เป็นเครื่องหมายแสดงถึงการบวกเลขแต่ละหลักของจำนวนธรรมชาติใด ๆ ต่อ ๆ กัน จนได้เลขหลักเดียว เช่น
<1456> = <1+4+5+6> = <16> = <1+6> = 7
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า <518> = <5+1+8> = <14> = <1+4> = 5
ถามว่าถ้า \displaystyle{<<A>\times17> = <A>-1}
ค่าของ <A> จะเป็นเท่าใด :confused:
และเมื่อเรียงเลขธรรมชาติ 4 หลัก A ที่มีค่า <A> = 5 จากน้อยไปหามาก จงหาว่าค่าที่สามจะเป็นเท่าใด

รหัส 157-006-2548-010

- - - - - - - - - - - - - -

คำถามข้อที่011:ที่ดินของบุญล้อม จาก promath เจ้าเก่า ;)

บุญล้อมมีที่ดินอยู่จำนวนหนึ่ง และเขาก็ต้องการที่จะใช้ลวดความยาว 2 ไมล์ ล้อมที่ดินของตนเอง
หากกำหนดให้ลวดที่มีความยาว 1 ไมล์ล้อมที่ดินรูปวงกลมได้ 40 เอเคอร์ แล้วบุญล้อมสามารถใช้ลวดที่มีอยู่ทั้งหมดล้อมกับไม้ 14 ท่อน ที่ติดอยู่รอบที่ดินตนเองโดยใช้จนหมด ไม่เหลือลวดอีกเลย และยังสามารถล้อมได้หมด 1 รอบด้วย อยากทราบว่าบุญล้อมมีที่ดินอยู่กี่เอเคอร์

:eek: *ALERT ไม่จำเป็นต้องคิดขนาดหรือพื้นที่ของไม้นะครับ คิดแค่เฉพาะขนาดของที่ดินอย่างเดียว เพราะไม้เหล่านั้นมันปักอยู่ในอาณาเขตที่ดินและที่ดินเป็นรูปวงกลมด้วยนะครับอย่าลืม

รหัส 157-006-2548-011 :rolleyes:

[promath]

คุณ R-Tummykung de Lamar ครับ ผมขอชมเชยและยกย่องว่าวิธีคิดคำตอบของคุณในข้อ008นั้น เยี่ยมยอดมากเลยครับ :D คราวนี้ผมลองเปลี่ยนตัวเลขในโจทย์ข้อ008ดู ขอย้ำว่าเปลี่ยนแล้ว ไม่ทราบว่าคุณจะลองคิดอีกรอบดีไหมครับ โดยให้พวกเธอทั้ง 3 คน ยังมีสถานะเป็นแม่ค้าเช่นเดิม มิเปลี่ยนแปลงครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ให้แม่ค้าแต่ละคนขายในราคาที่เท่ากันคือ 0 บาทครับ (แจกฟรี)
ดังนั้น เมื่อขายหมดแล้ว (ซึ่งผมว่าต้องหมดแน่นอน :D ) ก็จะได้เงินเท่ากันคือ 0 บาทครับ
(แหม.... สงสัยแม่ค้าอยากทำบุญวันวิสาขบูชา :cool: )

[promath]

เก่งมากครับคุณ R-Tummykung de Lamar แต่ผมคิดว่าแม่ค้า 3 คนนี้ ดูท่าจะงกมากนะครับ เพราะฉะนั้น งกขนาดนี้ ต้องเก็บเงินกันหน่อยแล้ว :D

มาดูกันดีกว่าว่าแม่ค้า 3 คนนี้ จะขายอย่างไร หากพวกหล่อนไม่ยอมแจกฟรีกันอย่างง่ายๆ ตามแบบฉบับของผม


วิธีขาย
1. ครั้งแรกตกลงขาย 3 กิโลกรัมต่อ 10 บาท
คนที่หนึ่งขายไป 30 กิโลกรัม ได้เงิน 100 บาท เหลือมะม่วง 3 กิโลกรัม
คนที่สองขายไป 24 กิโลกรัม ได้เงิน 80 บาท เหลือมะม่วง 5 กิโลกรัม
คนที่สามขายไป 21 กิโลกรัม ได้เงิน 70 บาท เหลือมะม่วง 6 กิโลกรัม

2. ครั้งหลังตกลงขายกิโลกรัมละ 10 บาท
คนที่หนึ่งขายไป 3 กิโลกรัม ได้อีก 30 บาท รวมเป็น 100 + 30 = 130 บาท
คนที่สองขายไป 5 กิโลกรัม ได้อีก 50 บาท รวมเป็น 80 + 50 = 130 บาท
คนที่สามขายไป 6 กิโลกรัม ได้อีก 60 บาท รวมเป็น 70 + 60 = 130 บาท #

หากทั่วประเทศไทยมีแม่ค้าฉลาดเช่นนี้ ลูกค้าอย่างเรา ๆ ต้องปรับระดับความฉลาดของมันสมองกันหน่อยแล้วล่ะครับ ไม่อย่างนั้น โดนแม่ค้าโกงเอาแน่เลย :eek:

[R-Tummykung de Lamar]

ไปแบ่งเป้น 2 ครั้งอย่างนี้ มันก็เหมือนกับว่า ขายในราคาที่ไม่เท่ากันน่ะสิครับ
ลองดูตัวอย่างนี้นะครับ
ครั้งที่ 1
ขาย 33 กก. 1 บาท
แม่ค้าคนที่ 1 ขาย 33 ลูก ได้เงิน 1 บาท
แม่ค้าคนที่ 2 ขาย 0 ลูก ได้เงิน 0 บาท
แม่ค้าคนที่ 3 ขาย 0 ลูก ได้เงิน 0 บาท
ครั้งที่ 2
ขาย 29 กก. 1 บาท
แม่ค้าคนที่ 1 ขาย 0 ลูก ได้เงิน 0 บาท
แม่ค้าคนที่ 2 ขาย 29 ลูก ได้เงิน 1 บาท
แม่ค้าคนที่ 3 ขาย 0 ลูก ได้เงิน 0 บาท
ครั้งที่ 3
ขาย 27 กก. 1 บาท
แม่ค้าคนที่ 1 ขาย 0 ลูก ได้เงิน 0 บาท
แม่ค้าคนที่ 2 ขาย 0 ลูก ได้เงิน 0 บาท
แม่ค้าคนที่ 3 ขาย 27 ลูก ได้เงิน 1 บาท

เห็นไหมครับ เหมือนกับแยกเป็นภาคๆอะครับ ดูเหมือนกับว่ากำหนดราคาไม่เท่ากัน :mad:
ดังนั้น ผมว่าถ้าจะให้โจทย์สมบูรณ์ ต้องบอกว่า ต้องขายราคาเดียวตลอดครับ :D

[nongtum]

เอาเท่าที่คิดออกก่อนนะครับ



\frac{3}{5}=\frac{5+1}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}
\frac{4}{5}=\frac{5+2+1}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}
\frac{43}{70}=\frac{35+5+2+1}{70}=\frac{1}{2}+\frac{1}{14}+\frac{1}{35}+\frac{1}{70}
\frac{9}{10}=\frac{15+10+2}{30}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}
ยังคิดแบบบวกกันสามตัวไม่ออก แต่ขอเสนอข้อสันนิษฐานดังนี้
\frac{57}{70}=\frac{35+22}{70}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}

นี่เป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่า การกระทำย้อนกลับไม่ง่ายเสมอไป คิดเลขกันอุตลุต

[R-Tummykung de Lamar]

\displaystyle{\frac{57}{70} \ \ แบ่งเป็น เศษส่วน\ 3\ ตัวไม่ได้ครับ ต้อง\ 4\ ตัวครับ (สงสัยโจทย์ผิด)\ ผมลองใช้\ \ \ computer\ \ search\ \ \ ดูแล้วครับ } :D

[nongtum]

W00t, สมมติฐานที่ตั้งไว้คงไม่จริงแล้วละครับ ในกรณีที่เขียนเป็นสี่ตัวบวกกัน จะได้
\frac{57}{70}=\frac{35+14+7+1}{70}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{70}
ยังไงรบกวนน้อง promath มาช่วยเช็คโจทย์หรือเฉลยด้วยครับ อ้อ เช็คโจทย์ข้อ 10 ด้วยครับ ไม่แน่ใจว่าตัวอย่างที่ให้ถูกไหม
ปล. น้อง tummy ครับ search ตก a ไปตัวนึงครับ ^^

[R-Tummykung de Lamar]

ขอบคุณมากครับ ..ถ้าเจอผมพิมพ์อะไรผิดช่วยบอกเลยนะครับ ยินดีแก้ไขครับ ;)

[Tony]

[promath]

ขอโทษครับ ผมพิมพ์โจทย์ผิดจริง ๆ ด้วยครับ ฉะนั้น ขอแก้ไขใหม่นะครับ
\frac{59}{70}\quad=\quad\frac{1}{...}+\frac{1}{...}+\frac{1}{...}

เฉลยครับผม
สำหรับปัญหาแรก ก็จะคิดได้ว่าเป็นการแบ่งของ 3 ชิ้น ให้กับคน 5 คน และสามารถทำได้โดย ก่อนอื่นแบ่งแต่ละชิ้นออกเป็น 2 ส่วนเท่ากัน (จะได้ทั้งหมด 6 ชิ้น) แล้วแจก 5 ชิ้นให้กับ 5 คน คนละชิ้นก่อน หลังจากนั้นแบ่งที่เหลืออีก 1 ชิ้นให้เป็น 5 ส่วน แล้วแจกอีกที เพราะฉะนั้น จะได้ว่า
\displaystyle{\begin{array}{rcl} \frac{3}{5} & = & \frac{3}{6}+\left[\frac{3}{6}\times\frac{(6-5)}{5}\right] \\ & = & \frac{1}{2}+\frac{1}{2\times5} \\ & = &\frac{1}{2}+\frac{1}{10} \end{array}}
สำหรับข้อต่อมา จะซับซ้อนนิดหน่อย ก่อนอื่นแบ่งของ 4 ชิ้น ออกเป็น 8 ส่วนเท่ากัน แล้วแจกให้ 5 คน คนละชิ้นก่อน ส่วนที่เหลือ 3 ชิ้น แบ่งออกเป็น 6 ส่วนเท่ากันอีกที แบ่ง 5 ส่วนให้ 5 คน ที่เหลืออีก 1 ส่วน ก็เอามาแบ่ง 5 ส่วนเท่ากัน แล้วแจกอีกทีเป็นอันเสร็จสมบูรณ์ นั่นก็คือ
\displaystyle{\begin{array}{rcl} \frac{4}{5} & = & \frac{4}{8}+\left[\frac{4}{8}\times\frac{(8-5)}{6}\right]+\left[\frac{4}{8}\times\frac{(8-5)}{6}\times\frac{1}{5}\right] \\ & = & \frac{1}{2}+\frac{1}{2\times2}+\frac{1}{2\times2\times5}\\&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20} \end{array}}
2 ข้อต่อมา ขอปิดไว้ก่อน เนื่องจากโจทย์มีปัญหา :(
โจทย์สุดท้าย ถ้าเราแยก 9\div10 ออกเป็นผลบวกของเลขเศษส่วนที่มีเศษเป็น 1 ตามวิธีของข้อแรกๆ โดยวิธีแบ่งครึ่งของส่วนที่เหลือเป็นหลัก จะได้ดังนี้
\begin{array}{rcl} \frac{9}{10} & = & \frac{9}{18}+\left[\frac{9}{18}\times\frac{(18-10)}{6}\right]+\left[\frac{9}{18}\times\frac{8}{16}\times\frac{(16-10)}{12}\right]+\left[\frac{9}{18}\times\frac{8}{16}\times\frac{6} {12}\times\frac{(12-10)}{10}\right] \\ & = & \frac{1}{2}+\frac{1}{2\times2}+\frac{1}{2\times2\times2}+\frac{1}{2\times2\times2\times5}\\&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{40} \end{array}
จะเห็นว่าได้ผลบวกของ 4 จำนวน ซึ่งมากกว่าโจทย์กำหนดให้ (3 จำนวน) และเราไม่สามารถรวม 2 จำนวนใด ๆ ในนี้ให้เป็นจำนวนเดียวกันที่มีเศษเป็น 1 ได้ แสดงว่าเราต้องลองเปลี่ยนวิธีแบ่งดูหน่อย โดยจะลองแบ่งแบบครึ่ง (2 ส่วน) ผสมกับแบบสามส่วน ดังนี้
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000007-000040.jpg

[nongtum]

ข้อเก้า \frac{59}{70}=\frac{35+14+10}{70}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}
ส่วนอีกข้อ (43/70) ไม่คิดว่ามีปัญหาครับ เพราะมีคำตอบ (post ไปแล้วด้วย)
ปัญหาที่เห็นอย่างหนึ่งของโจทย์ชุดนี้ คือ คำตอบไม่ได้มีคำตอบเดียว เช่น
\frac{4}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}


สังเกตว่า <a>=1,...,9 เราจึงแจงกรณีได้ดังนี้
<a>=1, <<a>\times17>=<17>=8\ne1-1
<a>=2, <<a>\times17>=<34>=7\ne2-1
<a>=3, <<a>\times17>=<51>=6\ne3-1
<a>=4, <<a>\times17>=<68>=5\ne4-1
<a>=5, <<a>\times17>=<85>=4=5-1
<a>=6, <<a>\times17>=<102>=3\ne6-1
<a>=7, <<a>\times17>=<119>=2\ne7-1
<a>=8, <<a>\times17>=<136>=1\ne8-1
<a>=9, <<a>\times17>=<153>=9\ne9-1
ดังนั้รจึงได้ <a>=5 เป็นคำตอบเดียวที่ต้องการ
จำนวนสี่หลัก a ที่ <a>=5 มีมากกว่าสี่ตัวนะครับ อยากให้ระบุให้ชัดเจนกว่านี้หน่อย ว่าสี่ตัวที่ว่า จะเอาสี่ตัวไหน

[SuperHero_Am_Pro]

3 ผล ขายได้ 5 สต.
2 ผล ขายได้ 5 สต.
เมื่อรวมกัน "มะม่วงต้องเฉลี่ยกัน"
ดังนั้น 5 ผล ออกคนละ 2.5ผล ได้ราคา 10/2 = 5สต. [ไม่ใช่คนหนึ่งออก 3 อีกคนออก 2]
ดังนั้น 120 ผล ราคา 120/2.5 x 5 = 240สต.

[bell18]

หลายข้อมาจากหนังสือรวมโจทย์ปราบเซียนคณิตศาสตร์ แต่ที่นี่ไม่สามารถปราบได้เพราะว่าเป็นเทพคณิตศาสตร์ครับ