ช่วยพิสูจน์ให้ผมทีครับ

[Ta]

จงพิสูจน์ว่า [:integral](sinx)/x dx = pi/2
ผมดูวิธีทำให้หนังสือไม่เข้าใจเลย ขอวิธิทำแบบละเอียดเลยนะครับ ขอบคุณครัย

[M@gpie]

ถ้าเป็นแบบไม่จำกัดเขต ก็หาเป็นฟังก์ชันออกมาไม่ได้ครับ
อินทิกรัลที่ถูกต้อง น่าจะเป็นแบบนี้ครับ
\int _0 ^{\infty} \frac{\sin x }{x } dx = \frac{\pi}{2}
ทำได้หลายวิธีมากๆครับ หนังสือที่คุณ Ta อ่านมาเป็นวิธีไหนเหรอครับ ถ้าพอจะรู้ก็จะพยายามอธิบายให้ตรงกับวิธีนั้นครับ

[Mastermander]

Search มาเจอ

เลยมาท้วงว่าต้องเป็น

$$\int _0 ^{\infty} \frac{\sin x }{x } dx = \frac{\pi}{2}$$

[M@gpie]

แก้ไขแล้วขอบคุณน้อง Mastermander ครับ

[DAKONG]

เพิ่งจะรู้จักมาเมื่อไม่นานมานี้เองครับ


http://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html

[Mastermander]

Proving with Laplace Transform

$$L\{f(t)\}=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\ dt$$

$$\displaystyle{L\{\sin t\}=\frac{1}{s^2+1} ,\; s>0}$$

$$\displaystyle{L\bigg\{ \frac{\sin t}{t}\bigg\}=\int_s^\infty \frac{dr}{1+r^2}=\frac{\pi}{2}-\arctan s}$$

$$F(s)=\int_0^\infty e^{-st}\frac{\sin t}{t} dt=\frac\pi2-\arctan s$$

$$F(0)=\int_0^\infty \frac{\sin t}{t} dt=\frac{\pi}{2}$$

[nooonuii]

$F(s)$ นิยามสำหรับ $s>0$ แล้วเราหา $F(0)$ ได้ยังไงครับ:confused:

[Timestopper_STG]

หาลิมิตหรือเปล่าครับ???

[M@gpie]

ใช่แล้วครับจริงๆ ควรจะเขียนว่าลิมิตเมื่อ $s\rightarrow 0$ แต่ หนังสือส่วนใหญ่วิศวกรเป็นคนแต่งก็มักเขียนแบบนี้ครับ 55

[Mastermander]

ทดสอบโดย Dirichlets's Test (http://mathworld.wolfram.com/DirichletsTest.html) ทำให้ได้ว่า $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n}$$ Convergence.
ซึ่งทำให้ $\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\ dx$ ลู่เข้าด้วย
เนื่องจาก $\int_0^1 \frac{\sin x}{x}\ dx \in \mathbb{R}$
ทำให้ได้ว่า
$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\ dx$$ ลู่เข้าด้วย

เมื่อเราทดสอบได้แล้วว่าอินทิกรัลลู่เข้า ก็สามารถแทน $s=0$ ได้

ปล. ผมมั่วถูกรึเปล่าครับ

[M@gpie]

พี่คิดว่า คนละเรื่องกันแล้วนะครับน้อง Mastermander ตอนแรกใช้ Laplace transform ซึ่งอินทิเกรตแล้วเป็น s-domain ซึ่งอยู่บน complex plane ซึ่งการแทนค่า $s$ นี้ขึ้นกับ Region of convergence ของ Laplace transform ในข้อนี้ Region of convergence เป็น $Re(s) > 0$ ไม่ใช่ $s>0$ เพราะ $s\in \mathbb{C}$

อีกอย่างคือตัวฟังก์ชัน $\frac{\sin x}{x}$ เองเนี่ยก็ไม่นิยามที่ 0 อยู่แล้วครับ แต่จะละไว้โดยการทำให้มันต่อเนื่องได้โดยให้มันเป็น 1 แต่วิธีการแสดงว่าลู่เข้าของอินทิกรัลนี้ คิดว่าถูกต้องแล้วครับแต่ไม่เกี่ยวกับการแทน $s=0$ ได้ เพราะจริงๆแล้วแทนไม่ได้แน่นอนครับผม