โจทย์ให้พิสูจน์ค่ะ ช่วยทีนะ

[Ding Dong]

ไม่รู้จะพิสูจน์ไงดี ก็เลยคูณแบบถึกๆ
(1-[:omega]1)(1-[:omega]2)(1-[:omega]3)(1-[:omega]4)
= 1 - [:omega]2 - [:omega]1 + [:omega]1[:omega]2 - [:omega]3 + [:omega]2[:omega]3 + [:omega]1[:omega]3 - [:omega]1[:omega]2[:omega]3 - [:omega]4 + [:omega]2[:omega]4 + [:omega]1[:omega]4 - [:omega]1[:omega]2[:omega]4 + [:omega]3[:omega]4 - [:omega]2[:omega]3[:omega]4 - [:omega]1[:omega]3[:omega]4 + [:omega]1[:omega]2[:omega]3[:omega]4
= 4 - [:omega]1 - [:omega]2 - [:omega]3 - [:omega]4
เนื่องจาก [:omega]1[:omega]2 - [:omega]3=o , [:omega]2[:omega]3=1 , [:omega]1[:omega]3 - [:omega]4=0 , - [:omega]1[:omega]2[:omega]3 + [:omega]2[:omega]4=0 , [:omega]1[:omega]4=1 , - [:omega]1[:omega]2[:omega]4 + [:omega]3[:omega]4=0 , - [:omega]2[:omega]3[:omega]4= - [:omega]4 ,
- [:omega]1[:omega]3[:omega]4= - [:omega]3 , [:omega]1[:omega]2[:omega]3[:omega]4=1
แต่พอทำมาถึงเท่านี้ก็หยุดกึกทำต่อไม่เป็น เพราะไม่รู้ว่า - [:omega]1 - [:omega]2 - [:omega]3 - [:omega]4 หาได้ยังไง
ใครรู้ช่วยตอบที
หรือถ้ามีวิธีอื่นดีๆก็มาพิสูจน์ให้ดูหน่อยนะ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000064-000000.gif

[M@gpie]

วิธีที่คุณ Ding Dong ทำมานั้นเกือบเสร็จแล้วครับ
ขออนุญาต ยกยอดจากที่คุณ Ding Dong ทำไว้ (คิดว่าถูกนะครับ) นั่นคือ
(1- \omega _1)(1-\omega _2)(1-\omega _3)(1-\omega _4) = 4 - (\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 + \omega_4)
ส่วนค่าที่ต้องการคือ \omega_1 + \omega_2 + \omega_3 + \omega_4 หาได้จากการแก้สมการ x^5 = 1 ครับ
ซึ่งโดยผลบวกของรากจะได้ว่า 1 + \omega_1 + \omega_2 + \omega_3 + \omega_4 = 0
ดังนั้น \omega_1 + \omega_2 + \omega_3 + \omega_4 = -1
แทนค่ากลับไปก็จะได้ คำตอบตามต้องการ
วิธีการคิด ตรงกับบทความเรื่อง รากที่ n ของ 1 ในหน้าหลักของเวบ นะคร้าบ ลองศึกษาเพิ่มเติมได้

[nooonuii]

\Large{ \text{ It is well-known that } \omega_{1},\omega_{2},\omega_{3},\omega_{4} \text{ are fifth roots of unity(because their fifth power are all equal to 1).} }
Thus \Large{ (z-1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = z^5 - 1 = (z-1)(z-\omega_{1})(z-\omega_{2})(z-\omega_{3})(z-\omega_{4}) }
and hence
\Large{ (z-\omega_{1})(z-\omega_{2})(z-\omega_{3})(z-\omega_{4}) = z^4 + z^3 + z^2 + z + 1. } The result follows by letting z=1. :)