ข้อสอบสิรินธรม.ปลายครั้งที่ 9 (8/1/2555)

[Ne[S]zA]

ไม่มีเครื่องแสกนนะครับ ขอข้อนี้ก่อนละกัน
ตอนที่ 2 ข้อที่ 15
กำหนดให้
$$f_n(x)=\dfrac{\sin (2n+1)x+\sin (2n+3)x+\sin (2n+5)x+\sin (2n+7)x}{\cos (2n+1)x+\cos (2n+3)x+\cos (2n+5)x+\cos (2n+7)x}$$
และ $g_n(x)=\dfrac{d}{dx} f_n(x)$ และ $A_n=\dfrac{1}{g_n(\pi )}$
จงหาค่าของ
$$\sum_{n = 0}^{2012} A_n A_{n+1}$$

[~ArT_Ty~]

zA;130130']ไม่มีเครื่องแสกนนะครับ ขอข้อนี้ก่อนละกัน
ตอนที่ 2 ข้อที่ 15
กำหนดให้
$$f_n(x)=\dfrac{\sin (2n+1)x+\sin (2n+3)x+\sin (2n+5)x+\sin (2n+7)x}{\cos (2n+1)x+\cos (2n+3)x+\cos (2n+5)x+\cos (2n+7)x}$$
และ $g_n(x)=\dfrac{d}{dx} f_n(x)$ และ $A_n=\dfrac{1}{g_n(\pi )}$
จงหาค่าของ
$$\sum_{n = 0}^{2012} A_n A_{n+1}$$

ข้อนี้ตอบ $\frac{2013}{16120}$ ครับ แต่ว่าผมทำผิด :cry:

ปีนี้ข้อสอบไม่ยากมากนะครับ แต่ว่าสะเพร่าเยอะ T_T

เพิ่มให้อีกข้อครับ

ข้อ 6 ตอนที่ 2

ให้ $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ที่สอดคล้องกับ

$$f(2011x-f(0))=2011x^2$$

แล้วค่าของ $f(2011)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับเท่าใดบ้าง?

[Ne[S]zA]

น่าจะถูกแล้วล่ะ แต่ผมคิดเลขผิดเอง แต่ เศษได้ 2013 เหมือนกัน

[Ne[S]zA]

ให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $x^2-\dfrac{1}{x}=2012$ จงหาค่าของ $\dfrac{a^2-b^2-c^2}{a^2+b^4c+c^4b}$

[MiNd169]

ตอบ 2/3 ครับ หาความสัมพันธ์ของรากไปเรื่อย

ปล มันเปลี่ยนยูนิเวอร์สบ่อยจัง จำนวนเต็มบวกบ้าง จำนวนเต็มบ้าง ผมโดนไปหลายข้อละที่สุดท้ายตอบเกิน T-T

[Ne[S]zA]

ใครมีเครื่องแสกนช่วยลงหน่อยนะครับ
ข้อนี้ผมบวกเลขผิด TT
จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่สอดคล้องกับสมการ
$$(n^2-4n+3)^{n^2+43}=(n^2-4n+3)^{20n-21}$$

[Ne[S]zA]

ข้อ 6 ตอนที่ 2

ให้ $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ที่สอดคล้องกับ

$$f(2011x-f(0))=2011x^2$$

แล้วค่าของ $f(2011)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับเท่าใดบ้าง?
$f(2011)=2011,8044$
ผมตอบไปแค่ $2011$ ลืมอีกกรณี TT

['' ALGEBRA '']

ผมเสียดายมากๆๆที่ไม่ได้สอบเพราะติดสอบ 7 วิชา
ข้อสอบปีนี้ที่ คุณNe[S]zA โพสต์ไว้ ดันเป็นเรื่องที่ผมชอบมากๆส่ะด้วยสิ
เสียดายจิงๆๆ
ใครแสกนได้ช่วยหน่อยนะครับ ขอบคุณมากๆครับ:)

[~ArT_Ty~]

ข้อ 14 เติมคำ

เซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ

$$|x^4-6x^2+8|\geqslant |x^4-6x^2+10|$$

คือเซตใด

['' ALGEBRA '']

ข้อ 14 เติมคำ

เซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ

$$|x^4-6x^2+8|\geqslant |x^4-6x^2+10|$$

คือเซตใด

ตอบ $ \left[-\sqrt{3},\sqrt{3} \right] $ รึป่าวคับ??

[Ne[S]zA]

ตอบ $ \left[-\sqrt{3},\sqrt{3} \right] $ รึป่าวคับ??
ตอบ $\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}$ อ่ะครับ ไม่ใช่ช่วงปิดนะ

['' ALGEBRA '']

#11 จิงด้วยแฮะ ผมลืมเช็คไปหน่อย :sung:

ขอตรีโกณ หรือไม่ก้อพีชคณิตสวยๆอีกสักข้อ 2ข้อก่อนนอนได้ป่ะคับคุณเนส เหอะๆๆ เด๋วนอนไม่หลับ ;)
ถ้าไม่ว่างก้อไม่เป็นไรนะคับ เอาไว้วันหลังก้อได้

[Ne[S]zA]

โทดทีครับ พอดี ข้อสอบให้อาจารย์ไปอิอิ ต้องให้คนอื่น ลงให้นะครับ อิอิ

['' ALGEBRA '']

zA;130198']โทดทีครับ พอดี ข้อสอบให้อาจารย์ไปอิอิ ต้องให้คนอื่น ลงให้นะครับ อิอิ

อ่อ ไม่เป็นไรคับ ขอบคุณมาก :)

[Metamorphosis]

#11
ผมแทน $x=0$ เข้าไป ทำไมไม่จริงอะครับ ตอบ เซตว่าง รึเปล่าครับ

------------------------------------------------------------------------------------


ให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $x^2-\dfrac{1}{x}=2012$ จงหาค่าของ $\dfrac{a^2-b^2-c^2}{a^2+b^4c+c^4b}$

ข้อนี้ดูเหมือนจะสลับซับซ้อน ถ้าทำจริงๆก็ไม่ยาก

จัดรูปก่อน $x^3-1 = 2012x , x^3-2012x-1=0$
เนื่องจาก $a,b,c$ เป็นรากของสมการ จะได้ $a+b+c = 0 , ab+bc+ca = -2012 , abc=1$

พิจารณา $a^2+b^4c+c^4b = a^2+bc(b^3+c^3) $
เนื่องจากถ้า $a+b+c = 0 $ แล้ว $a^3+b^3+c^3 = 3abc = 3 $ จะได้ $b^3+c^3 = 3-a^3$
จะได้ $a^2+bc(b^3+c^3) = a^2+bc(3-a^3) = a^2-a^3bc + 3bc = a^2-a^2+3bc = 3bc$

พิจารณาเศษคือ $a^2-b^2-c^2 = (a-b)(a+b) -c^2 = -c(a-b)-c^2 = c(-a+b-c) = c(-(a+c)+b) = c(2b) = 2bc$

เพราะฉะนั้น $\dfrac{a^2-b^2-c^2}{a^2+b^4c+c^4b} = \dfrac{2bc}{3bc}=\dfrac{2}{3} $

['' ALGEBRA '']

#15 $มีคำตอบ2ตัวครับ คือ-\sqrt{3} กับ\sqrt{3} ครับ ไม่ใช่เซตว่างนะคับ$:)

[Oriel]

$1\bullet$ สำหรับแต่ละจำนวนจริง $x$ ให้สัญลักษณ์ $[x]$ แทนจำนวนเต็มตัวมากสุดซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$ ให้ $A$ แทนเซตของจำนวนจริง $a$ ทั้งหมดซึ่งไม่ใช่จำนวนลบที่ทำให้สมการ $4[an]=n+[a[an]]$ เป็นจริงสำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก $n$ ข้อใดเป็นลักษณะของ $A$

1.เซตว่าง
2.เซตจำกัดที่มีสมาชิกเพียงหนึ่งเดียวในช่วงเปิด $(2,4)$
3.เซตจำกัดที่มีสมาชิกมากกว่าหนึ่งตัวและเป็นเซตย่อยของช่วงเปิด $(-1,5)$
4.เซตอนันต์ซึ่งทุกสมาชิกมีค่ามากกว่า $1$

$2\bullet$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก.สำรับแต่ละจำนวนเต็ม $n>6$ ถ้ามีจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $n^2(n^2+16)=720k$ แล้ว $n-1$ และ $n+1$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่
ข.สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม $n>6$ ถ้า $n-1$ และ $n+1$ ต่างเป็นจำนวนเฉพาะ แล้วจะมีจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $n^2(n^2+16)=720k$
ข้อใดถูก

$3\bullet $ จำนวนทั้งหมดของลำดับอนันต์เลขคณิต $\{a_n\}^\infty _{n=1}$ ของจำนวนเต็มซึ่งมี $2$ และ $2012$ อยู่ในสิบพจน์แรกเท่ากับเท่าใด

$4\bullet $ ข้อใดเป็นจำนวนของจำนวนเต็ม $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n^2-3$ เป็นตัวหารของ $n^4+5n^3-4n^2-15n+45$
1. 5$\quad $2. 6$\quad $3. 7$\quad $4. 8

$5\bullet$ ให้ $\mathbb{R}$ แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และทำให้ $g$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย
$$g(x)=(\cos x-\sin x-1)(\cos x+\sin x+1)$$ สำหรับทุกๆ $x \in \mathbb{R}$
ถ้า $A=\{\theta\in \mathbb{R} \;|\;g(\theta)$ มีค่ามากที่สุด$\}$ และ $B=\{\beta \in \mathbb{R} \;|\;g(\beta )$ มีค่าน้อยที่สุด$\}$ ข้อใดเป็นค่ามากสุดของ $g(\theta+\beta)$ โดยที่ $\theta\in A\cap [-\pi,\pi]$ และ $\beta \in B\cap [-\pi,\pi]$
1.$\frac{\sqrt{3}}{4}(3-\sqrt{3})^2$
2.$\frac{\sqrt{3}}{4}(3+\sqrt{3})^2$
3.$\frac{\sqrt{3}}{4}(1-\sqrt{3})^2$
4.$\frac{\sqrt{3}}{4}(1+\sqrt{3})^2$

$6\bullet$ ให้ $n$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $1\leqslant r\leqslant n$ และ $A=\{1,2,3,...,n\}$ ข้อใดเป็นผลรวมของสมาชิกตัวน้อยสุดของสับเซตทั้งหลายของ $A$ ที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ $r$ ตัว

$1.\sum_{k = 1}^{n-r+1}\binom{k}{1}\binom{n-k}{r-1}$
$2.\sum_{k = 1}^{n}\binom{k}{1}\binom{n-k}{r-1}$
$3.\sum_{k = 1}^{n-r+1}\binom{n-1}{r-1}$
$4.\sum_{k = 1}^{n}\binom{n-1}{r-1}$

[Oriel]

$$f(2011x-f(0))=2011x^2$$
$$f(x)=2011\left(\frac{x+f(0)}{2011}\right)^2$$
แทนค่า $x=0$
$$f(0)=2011\left(\frac{0+f(0)}{2011}\right)^2=\frac{f(0)^2}{2011}$$
$$f(0)^2-2011f(0)=f(0)(f(0)-2011)=0$$
$$\therefore f(0)=0,2011$$
หา$f(2011)$
ได้ $2011,8044$

[A.DreN@l_ine]

$(n^2-4n+3)^{n^2+43}=(n^2-4n+3)^{20n-21}$

ทำอย่างนี้ได้ไหมครับ
$(n^2-4n+3)^{n^2+43-20n+21}=1$
$(n^2-4n+3)^{n^2+-20n+64}=1$
มี 2 กรณี คือ เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ ฐานเป็น 1

$n^2+-20n+64=0$
$(n-4)(n-16)=0$
$n=4,16$

$n^2-4n+3=1$
$n^2-4n+2=0$ คำตอบไม่ใช่จำนวนเต็ม

$\therefore n=4,16$

[Ne[S]zA]

แยก 3 กรณีครับ
case I : เลขชี้กำลังเท่ากัน
$n^2+43=20n-21$
จะได้ว่า $n^2-20n+64=0$ นั่นคือ $n=4,16$

case II : ฐานเท่าักับ $0$
จะได้ว่า $n^2-4n+3=0$ นั่นคือ $n=1,3$ แต่ $n=1$ ทำให้เกิด $0^{-1}$ ซึ่ง ไม่นิยาม ดังนั้น $n=3$ เท่านั้น!!

case III : ฐานเท่ากับ $-1$
จะได้ว่า $n^2-4n+3=-1$ นั่นคือ $n=2$ เช็คแล้ว ใช้ได้
เพราะฉะนั้น $n=2,3,4,16$

[~ArT_Ty~]

zA;130730']แยก 3 กรณีครับ
case I : เลขชี้กำลังเท่ากัน
$n^2+43=20n-21$
จะได้ว่า $n^2-20n+64=0$ นั่นคือ $n=4,16$

case II : ฐานเท่าักับ $0$
จะได้ว่า $n^2-4n+3=0$ นั่นคือ $n=1,3$ ซึ่งไม่ทำให้เลขชี้กำลังเป็นศูนย์จึงใช้ได้

case III : ฐานเท่ากับ $-1$
จะได้ว่า $n^2-4n+3=-1$ นั่นคือ $n=2$ เช็คแล้ว ใช้ได้
เพราะฉะนั้น $n=1,2,3,4,16$

$0^{-1}$ ไม่นิยามนะครับ :mellow:

[Oriel]

n=2,3,4,16 รึปล่าวครับ

[Ne[S]zA]

$0^{-1}$ ไม่นิยามนะครับ :mellow:
งั้นตอบแค่ $n=2,3,4,16$
หลอกสุดๆไปเลยข้อนี้ :tired: