ข้อสอบเพชรยอดมงกุฎ ม.ปลาย ปี 48 รอบชิงชนะเลิศ

[thee]

ใครรู้วิธีคิดก็ช่วยแสดงวิธีคิดให้ดูหน่อยนะครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000077-000000.gif

[thee]

ต่อครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000077-000001.jpg

[thee]

เหลืออีก 2
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000077-000002.jpg

[thee]

อีก1
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000077-000003.gif

[thee]

อันสุดท้ายครับ ถ้าผมคิดได้แล้วผมจะมาเฉลยให้นะครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000077-000004.gif

[nongtum]

เท่าทีดู ยากเอาการแฮะ...
โจทย์ข้อเจ็ด ส่วนคำถามหายไปครับ ส่วนข้ออื่นยังไม่ได้คิดเลยเพราะเนตที่หอกำลังเจ๊ง TT ไว้คิดได้สักสามสี่ข้อจะมาโพสต์นะครับ

[passer-by]

ข้อ 16

เพราะ [:sqrt]2cos(45-n)= cos(n)+sin( n)

จากนั้นก็แทน n= 1,2,3,...,44 ลงไป ก็จะได้สมการ 44 สมการ ซึ่งเมื่อนำมารวมกัน จะได้

\sqrt{2}\sum_{i=1}^{44}cos(i) =\sum_{i=1}^{44}cos(i) +\sum_{i=1}^{44}sin(i)
เมื่อหารด้วย summation ของ sine จะได้ คำตอบที่ต้องการ นั่นคือ

[:sqrt]a +[:sqrt]b= [:sqrt]2 +1

ข้อนี้จึงตอบ 3

[nongtum]

1. จาก \displaystyle\large{30\cdot5^x=151\cdot25-\frac{5^x}{5}} จะได้ x=3 และจาก \displaystyle\large{\frac{a^{x^2}}{5}=\frac{1}{5\cdot10^9}} จะได้ a=0.1

2. เนื่องจาก log23>1 ดังนั้น f(3+log23)=f(log224)=1/24

3. จาก 100(2^{1-\sqrt{4x+1}})=3^{\sqrt{4x+1}}-\frac{16}{2^{\sqrt{4x+1}}} จะได้ x=2=k และ det(kB)3=(4det(B))3=-512

5. gcd(3295-3083,3666-3295)=53=p, r=9, pr=477

8. เราจะได้ว่า rOn=3rOn+1 รัศมีวงกลม r_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\frac{12^2}{18}=2\sqrt{3} และพื้นที่วงกลมทั้งสามเป็น (1+\frac{1}{9}+\frac{1}{81})(2\sqrt{3})^2\pi=\frac{364}{27}\pi

9. จากโจทย์จะได้ x^n=16,\ nx^{n-1}y=160,\ \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}y^2=600 นั่นคือ \frac{y}{x}=\frac{10}{n},\ \frac{n-1}{2}\frac{y}{x}=\frac{15}{2}\Rightarrow\ n=4,\ x=2,\ y=5
ดังนั้นเทอมที่สี่ได้แก่ 1000

10. A=\sum(\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1})=1, B=\sum(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2})=1 ดังนั้นคำตอบคือ 2

11. ให้ (f+g)(x)=ax^2+bx+c จะได้ f((f+g)(x))=2ax^2+2bx+2c+1=x^2+2x+4 หรือ a=1/2, b=1, c=3/2
g(x)=(f+g)(x)-f(x)=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}, (g\circ{f})(x)=g(2x+1)=2x^2,\ f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}
ดังนั้นจะได้พจน์ที่โจทย์ถามคือ (g\circ{f})(x)\cdot{f^{-1}(x)}=x^3-x^2

12. ให้ y=\frac{1-x}{1+x} จะได้ x=\frac{1-y}{1+y} และ f(y)=\frac{2y}{y^2+1} นั่นคือ f(\sqrt{2}-1)=\frac{1}{\sqrt{2}} ตามเงื่อนไขโจทย์จะได้ \theta=\frac{3\pi}{4}

13. \frac{\cos{3x}}{\cos{x}}=4\cos^2{x}-3=\frac{1}{3} จะได้ \cos^2{x}=\frac{5}{6},\ \sin^2{x}=\frac{1}{6} และ \frac{\sin{3x}}{\sin{x}}=3-4\cdot\frac{1}{6}=\frac{7}{3}

14. วงกลมทั้งสามมีรัศมียาวเท่ากันคือ r=4\sqrt{2} เส้นผ่านศูนย์กลางของทั้งสามวงกลม colinear และวงกลม O2, O3 สัมผัสที่จุดศูนย์กลางของวงกลม O1
ดังนั้นพื้นที่แรเงาจึงเป็น 3\pi{r^2}
-2(\frac{1}{3}\pi{r^2}+2(\frac{1}{6}\pi{r^2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\pi{r^2}))
=32(\frac{4}{3}\pi-\sqrt{3})

17. เราจะได้ \frac{5}{\log{a}}=\frac{1}{\log{b}}+\frac{1}{\log{c}} นั่นคือ \frac{\log_{b}{a}+\log_{c}{a}}{5\log_{a}{b}-\log_{c}{b}}
=\frac{\log{a}}{\log{b}}\cdot\frac{5/\log{a}}{1/\log{b}}=5

19. F(x)=(fog)(x)=\sqrt{x}+1,\ F^{-1}(x)=(x-1)^2,x\ge1\Rightarrow\ F'(x)=2(x-1),\ F^{-1}(2)=2

21. โดย little Fermat จะได้ n^{13}\equiv{n}\bmod{13},n^{5}\equiv{n}\bmod{5} ดังนั้น 65|\underbrace{(5n^{13}-5n)+(13n^5-13n)}_{=5n^{13}+13n^5-18n}
ดังนั้น จาก -18+65k=9a จะได้ว่า 9 หารทางซ้ายมือลงตัวเมื่อ 9|k ดังนั้นจะได้จากโจทย์ว่า k=9 แทน k แล้วแก้สมการหา a จะได้ a=63 เป็นค่าต่ำสุด

22. A=\frac{z}{(z-1)^2} คำตอบคือ -1/3

23. (ไม่ชัวร์) \frac{\sum(\bar{x}-x_i)}{120}=\frac{25}{4} ดังนั้น SD=2.5, Mean=3000/120=25, Z(สมศรี)=(30-25)/2.5=2 ดังนั้นครูสมัยจะเกษียณในอีก 31.25 หรือ 28.75 ปี (โจทย์ไม่ได้บอกว่าใครแก่กว่า)

24. จาก f(a)+f(2^n-a)=n^2 เราจะทำดังนี้
f(46)+f(2002)=121, f(18)+f(46)=36, f(14)+f(18)=25, f(14)+f(2)=16, f(2)+f(2)=4
ดังนั้น f(2)=2, f(14)=14, f(18)=11, f(46)=25, f(2002)=96

มีที่พลาดตรงไหนบอกด้วยนะครับ แล้วจะมาแก้หากได้เข้าเนต ^_^
Edit1: แก้คำผิด
Edit2: ตามล้างตามเช็ดที่ผิดตามคำแนะนำด้านล่าง (ข้อสอบกินแร~~~ง) ข้อ 14 คำตอบไม่ตรงกันอีกแล้ว
Edit3: แก้ข้อ 21 ตามคำท้วงจากกระทู้อื่น

[passer-by]

มาเก็บตกรายละเอียดของคุณ nongtum ซักเล็กน้อยนะครับ

ข้อ 3

เนื่องจาก B มีมิติ 2x2 ดังนั้น det(2B)3 = (det(2B))3=(4det(B))3 = -512


ข้อ 11
ผมว่า เขาถามตัวนี้ นะครับ \large ((g\circ f) \cdot f^{-1})(x)
แต่ที่คุณ nongtum ตอบ คือ \large ((g\circ f) \circ f^{-1})(x)

ข้อ 13
ในส่วนของวิธีทำ \large cos^{2}x=\frac{5}{6}

ข้อ 14
ผมได้คำตอบ \large \frac{32\pi}{3}+64\sqrt{3}
ยังไงก็ check อีกทีแล้วกันนะครับ

ข้อ 19
ฝากเจ้าของข้อสอบมายืนยัน อีกที นะครับว่า รอย dash จางๆ เหนือ F-1 คือ diff ใช่หรือไม่

แล้วก็แถมข้อ 15 ให้ครับ

จาก B= -BT ดังนั้น det(B) =0 และทำให้ det(D) =0

และ จาก A= B-C ...(1)
transpose both sides
AT= BT-CT=-B-C ...(2)

จาก (1) และ (2) จะได้ \large C= \frac{-1}{2}(A+A^{T})

ซึ่งเมื่อคำนวณ C ออกมาแล้ว จะได้ det(C)= -12

ข้อนี้ จึงตอบ -12

[thee]

ขอบคุณมากครับ โพสต์แค่วันเดียวก็มาตอบกันเยอะขนาดนี้แล้ว งั้นเดี๋ยวผมจะโพสต์ของ ม.ต้นต่อให้นะครับ
ส่วนอันนี้ ข้อ 7 ที่หายไปครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000077-000009.gif

[thee]

อะข้อ 11 ของคุณ nongtum เข้าใจผิดนะครับ มันต้องเป็นการคูณ ฟังก์ขันครับ
รู้สึกข้อ 11 จะตอบ x3-x2 นะครับ ส่วนอันนี้ข้อสอบของ ม.ต้น ครับ

ผมอยากรูวิธีคิด ข้อ 4 ของ ม.ต้น อะครับ ใครว่างก็ช่วยบอกทีนะครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000077-000010.gif

[thee]

ต่อเลยนะครับ อะลืมบอกไปรู้สึกอันนี้จะเป็นของรอบชิง ม.ต้น เพชรยอดมงกุฎอะครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000077-000011.gif

[thee]

ส่วนใครอยากได้ตัวข้อสอบที่ผมพิมพ์ทั้งชุดก็บอกได้นะครับ เดี๋ยวผมจะโพสต์ลิงค์ให้โหลดกัน
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000077-000012.gif

[thee]

ต่อเลยนะครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000077-000013.gif

[thee]

ขอบคุณมากนะครับสำหรับคนที่ช่วยตอบให้
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000077-000014.gif

[thee]

ข้อ 19 ใช่แล้วครับ diff ของ F-1(2) ครับ

[TOP]

ข้อสอบม.ต้น ข้อที่ 18 นำมาจาก เก็บจากข้อสอบเข้า ม.ต้นของญี่ปุ่น ข้อที่ 9 (http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=523) นี่เอง :)

[tunococ]

ข้อ 6 ของม.ปลายนะครับ ให้หาจำนวนเต็มบวก n ที่มากที่สุดที่ทำให้ \sqrt{n+\sqrt{1966}} - \sqrt{n-1} เป็นจำนวนเต็มบวก

คิดแล้วมันไม่มีคำตอบอะ ช่วยตรวจสอบให้หน่อยนะครับ

แบ่งเป็นสองกรณีดังนี้

1. ถ้าทั้งสองพจน์เป็นจำนวนเต็มบวก เราจะรู้ว่า
n + \sqrt{1966} = m^2
เมื่อ m เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งเมื่อย้ายข้างเป็น

n = m^2 - \sqrt{1966}
ไม่สามารถหาจำนวนเต็มบวก n ได้

2. ถ้าทั้งสองพจน์เป็นจำนวนอตรรกยะ จะต้องมีจำนวนเต็ม k ที่ทำให้
\sqrt{n+\sqrt{1966}} = k + \sqrt{n-1}
ซึ่งเมื่อยกกำลังทั้งสองข้าง จะเห็นว่า
\begin{eqnarray}
n + \sqrt{1966} & = & k^2 + (n - 1) + 2k\sqrt{n - 1} \\
1 - k^2 + \sqrt{1966} & = & 2k\sqrt{n - 1} \\
(1 - k^2)^2 + 1966 + 2(1 - k^2)\sqrt{1966} & = & 4k^2(n - 1)
\end{eqnarray}
เนื่องจากฝั่งขวาของสมการเป็นจำนวนเต็ม จึงมีค่า k^2 เพียงค่าเดียวที่เป็นไปได้คือ k^2 = 1 แทนค่ากลับลงไปจะเห็นว่า

1966 = 4(n - 1)
จะเห็นว่า ไม่สามารถหา n ที่เป็นจำนวนเต็มได้ เพราะว่า 4 หาร 1966 ไม่ลงตัว

สรุป: ไม่มีคำตอบ

[tunococ]

ขอให้ความเห็นนิดนึง ผมว่าโจทย์ชุดนี้ไม่ค่อยดีเลยอะ ใช้แรงงานเยอะด้วย

ข้อ 7 ม.ปลาย

กำหนดให้ h(x) = \frac{1}{x^4 + 1}
หาอนุพันธ์จะได้ h'(x) = \frac{-8x^3}{(x^4+1)^2} (ก่อนนี้คิดผิดเป็น \frac{-8x^3}{x^4+1} แก้ให้แล้วครับ)

จากโจทย์ g(x) = f(x)h(x)
หาอนุพันธ์จะได้ g'(x) = f'(x)h(x) + f(x)h'(x)

คำตอบคือ \int_0^1 g''(x) dx = g'(1) - g'(0) = f'(1)h(1) + f(1)h'(1) - f'(0)h(0) - f(0)h'(0)
แทนค่าทั้งแปดค่า จะได้ว่า \int_0^1 g''(x) dx = (1)(\frac{1}{2}) + (1)(-1) - (-2)(1) - (-2)(0) = \frac{3}{2}

(แก้ที่แทนค่าผิดให้อีกทีแล้วครับ ช่วยหาที่ผิดให้อีกก็ดีนะครับ :p )

ข้อ 20 ม.ปลายนะครับ

เนื่องจากตัวเลขให้เลือกมีแค่ 5 ถึง 9 และต้องการให้ผลรวมเป็น 30
คิดซะว่า มีตัวเลขให้เลือก 0 ถึง 4 แล้วต้องการให้ผลรวมเป็น 10 ก็ได้

แล้วก็ พิจารณากรณีทั้งหมดที่เลข 4 ตัวตั้งแต่ 0 ถึง 4 รวมกันได้ 10
\begin{eqnarray}
0 \ 2 \ 4 \ 4 & \rightarrow & 12\ วิธี \\
0 \ 3 \ 3 \ 4 & \rightarrow & 12\ วิธี \\
1 \ 1 \ 4 \ 4 & \rightarrow & 6\ วิธี \\
1 \ 2 \ 3 \ 4 & \rightarrow & 24\ วิธี \\
1 \ 3 \ 3 \ 3 & \rightarrow & 4\ วิธี \\
2 \ 2 \ 2 \ 4 & \rightarrow & 4\ วิธี \\
2 \ 2 \ 3 \ 3 & \rightarrow & 6\ วิธี \\
รวมทั้งหมด & = & 68\ วิธี
\end{eqnarray}
เอามาหารด้วย space ทั้งหมด คือ 5^4 จะได้คำตอบ = \frac{68}{625}

[passer-by]

คุณ tunococ diff h(x) ในข้อ 7 ของ ม.ปลาย ไม่ถูกนะครับ

ส่วนข้อ 19 หลังจากที่น้อง thee มายืนยัน โจทย์แล้ว ข้อนี้ ก็ต้องตอบ 2

สำหรับข้อ 4 ของ ม.ต้น

เพราะ \large 104040=2^{3}\cdot 5 \cdot 3^{2} \cdot 17^{2}

ถ้า x เป็น เลขคู่ แสดงว่า 8 ต้องหาร x2+2 ลงตัว ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ดังนั้น x เป็นเลขคี่

เมื่อพิจารณา constant term หรือ -104034 ซึ่งบ่งบอกถึงผลคูณคำตอบของสมการแล้ว พบว่า เลขคี่ ที่เป็นตัวประกอบของ constant term คือ [:plusminus]1 ,[:plusminus]3 ,[:plusminus]7 ,[:plusminus]21 ,[:plusminus] 2477

เมื่อแทนค่าลงไปในสมการ พบว่า มีเพียงค่าเดียวที่เป็นจริง คือ -7

หมายเหตุ : จริงๆ จากโจทย์นี้ แล้วลองประมาณจากสายตา ก็จะพบว่า แทนค่า [:plusminus]3 กับ[:plusminus]7 ก็พอแล้ว เพราะค่าอื่นมีแนวโน้มจะให้ค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าค่าทางขวามือของโจทย์

[nongtum]

สำหรับโจทย์ม.ต้น ส่วนใหญ่เป็นโจทย์ระดับแบบฝึกหัด (very routine!!) ซึ่งจะขอละวิธีทำส่วนใหญ่ เช่น แก้สมการ A ได้ B แทนค่า C ใน D ฯลฯ (แอบอู้งานไปในตัว :D ) หากสงสัยหรืออยากทราบวิธีทำข้อไหนเป็นพิเศษ ขอมาได้ครับ

1. 1/10
2. 54
3. 2
4. (ดูวิธีทำของคุณ Passer-by)
5. 16
6. r=8\sqrt{3},\ s=100,\ \Delta=rs=800\sqrt{3}
7. 1,3,-1
8. 2240 (ข้อนี้จะเสียเวลามากหากแจงกรณีไม่เป็น ยังเสียวๆอยู่ว่าแจงถูกบวกลบเลขถูกหรือเปล่า)(ง่ายกว่าที่คิด)
9. a^2-b^2
10. 4/15
11. 2\sqrt{3}-\pi
12. 7500
13. 34
14. 12
15. 18
16. 1/2
17. 521 (ข้อนี้นอกจากจะกินแรงคนคิดแล้ว ยังต้องอาศัยความ'เก๋า'และ'อึด'ระดับหนึ่งด้วย)
18. โจทย์น่าจะผิด เพราะหากทำในทำนองเดียวกับลิงค์ของคุณ top เราจะได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 8 ด้านประกอบมุมฉากตรงข้ามมุม 63° ยาว 6.4 ซึ่งจะได้ด้านที่เหลือยาว 4.8 ซึ่งเป็น pythagoras triple ตระกูลเดียวกับ (3,4,5) ซึ่งมีมุมภายในเป็น 90,37,53 (มุมมาตรฐานสำหรับฟิสิกส์ ม.ปลาย) แต่หากใครหาเหตุผลหักล้างหรือแสดงวิธีคิดได้ ช่วยบอกด้วยครับ 38.4(ขอบคุณคุณ top สำหรับ tip ข้อนี้ครับ)
19. 2\cdot1003^2
20. 17

Edit1: แก้ข้อ 18
Edit2: แก้ข้อที่ทดเร็วๆพิมพ์เร็วๆแล้วผิดคามคำแนะนำของคุณ passer-by
Edit3: แก้ข้อ 2 (ไม่มีใครท้วงก็แบบนี้แหละ :sweat: )

[TOP]

เฉลยในลิงก์นั้นยังไม่ถูกต้องครับ วิธีคิดแบบเด็กประถมสั้นและเรียบง่ายกว่านั้น
ลองหมุนสามเหลี่ยมทั้งสองรูป มาประกบกันดีๆ จะได้รูปสามเหลี่ยมที่หาพื้นที่ได้ง่ายมากรูปหนึ่ง

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ TOP:
เฉลยในลิงก์นั้นยังไม่ถูกต้องครับ วิธีคิดแบบเด็กประถมสั้นและเรียบง่ายกว่านั้น
ลองหมุนสามเหลี่ยมทั้งสองรูป มาประกบกันดีๆ จะได้รูปสามเหลี่ยมที่หาพื้นที่ได้ง่ายมากรูปหนึ่ง


แหะๆๆๆๆ เส้นผมบังภูเขาอีกแล้ว หากคิดมุมสักหน่อยก็เสร็จไปนานแล้ว... ตามไปแก้ข้างบนแล้วครับ ^_^'

[passer-by]

มาเก็บตกของคุณ nongtum บางข้อครับ

ข้อ 3 ได้ 2
ข้อ 7 มี -1 เป็น solution ด้วย
ข้อ 8 ได้ (8)(8)(7)(5)= 2240
ข้อ 11 ได้ 2[:sqrt]3-[:pi]

Comment : รู้สึกว่า ข้อสอบเพชรยอด มงกุฎ ทั้ง ม.ต้น และ ม.ปลาย คราวนี้ จะไป copy ข้อสอบจากที่อื่น แล้วมา adapt หลายข้ออยู่นะเนี่ย

[nongtum]

สรุปตอนนี้เหลือแต่ข้อ 18 กับ 25 ของม.ปลายที่ยังรอเซียนท่านอื่นมาแสดงวิทยายุทธ์นะครับ

[tunococ]

อุ้ย ... ทำผิดจริงด้วย :p

ไปแก้ให้แล้วครับ

[thee]

ต้องขอโทษด้วยครับ ข้อ 6 ม.ปลายต้องแก้จาก 1966 เป็น 1996 ครับ พอดีผมพิมพ์ผิดครับ

[thee]

รู้สึกว่าข้อ 25 จะเป็นข้อที่ตอนสอบรอบชิงไม่มีใครตอบถูกเลยอะครับ ผมก็เลยอยากรู้วิธีคิดมากครับ

[tunococ]

ผมว่าข้อ 25 โจทย์มันแหม่ง ๆ อะครับ

เป็นผม จะตอบว่า 0 ถ้าโจทย์เขียนหยั่งงี้แล้วหมายความหยั่งงี้จริง ๆ

พิสูจน์ง่าย ๆ อะนะ "คนสองคนที่นั่งติดกันทุกคู่มาจากจังหวัดเดียวกัน" แปลว่า ทุกคนมาจากจังหวัดเดียวกัน ซึ่งเป็นไปไม่ได้

[tunococ]

ข้อ 18 มันไม่ยาก แต่ขี้เกียจอ่านโจทย์จังเลย

จากเงื่อนไขการเลือกวิชาเรียน จะสรุปได้ว่า ใน 3 วิชานั้น นักเรียนจะเลือกได้เพียง 1

สมมติว่า

นักเรียนที่เลือกคณิตศาสตร์ = m
นักเรียนที่เลือกอังกฤษ = e
นักเรียนที่เลือกไทย = t
นักเรียนทั้งหมด = u

โจทย์ให้มาครบแล้ว 4 สมการ สำหรับ 4 ตัวแปร คือ

\begin{eqnarray}
u - m & = & 84\\
u - t & = & 76\\
u - e & = & 80\\
m + e & = & 60
\end{eqnarray}
แล้วเค้าถามว่า \frac{m}{u} = \ ?

แก้สมการนิดหน่อย (ไม่ต้องใช้สมการ u - t = 76 เลยด้วยซ้ำ) จะได้ว่า u = 112 และ m = 28 ดังนั้นคำตอบคือ \frac{28}{112} = \frac{1}{4}

(แก้ที่ผิดตามคำบอกกล่าวของคุณ passer-by ครับ)

[tunococ]

ข้อ 6 ก็ดูจากวิธีทำอันเก่าของผมได้ครับ ถ้าเอา 1996 ลงไปแทนที่ 1966 ก็จะได้ n = 500 เป็นคำตอบครับ

แต่คิดน้อย ๆ หน่อยก็ได้ครับ (ของเดิมคิดยาวเพราะจะพิสูจน์ว่าไม่มีคำตอบ)

กรณีที่ทั้งสองพจน์เป็นจำนวนเต็ม จะไม่มีคำตอบ สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีเดียวกับที่เคยเขียนไปแล้ว

อีกกรณีนึง เราต้องพยายามทำให้พจน์แรกอยู่ในรูป k + \sqrt{n-1} ซึ่งจะเริ่มต้นได้โดยการพยายามแกะกรณฑ์ซ้อนสองชั้น ให้กลายเป็นชั้นเดียว

จากโจทย์

\sqrt{n + \sqrt{1996}} - \sqrt{n - 1} = \sqrt{n + 2\sqrt{499}} - \sqrt{n - 1}


และจากสิ่งที่รู้อยู่แล้ว

(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}
หรือก็คือ
\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}}


จะเห็นว่า เราจะสามารถถอนกรณฑ์ออกได้ชั้นนึง ถ้าสามารถหา a กับ b ได้ตรงเงื่อนไขต่อไปนี้

\begin{eqnarray}
a + b & = & n \rightarrow a + b \ เป็นจำนวนเต็ม \\
ab & = & 499
\end{eqnarray}

พอลองเอาจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ถึง 19 ไปหาร 499 ดูแล้วมันไม่ลงตัวเลย ก็เลยรู้ว่า 499 เป็นจำนวนเฉพาะ เราจึงสามารถกำหนดให้ a = 499, b = 1 ได้เลย จะได้ค่า n = 500

ลองแทนค่ากลับในสมการแรกเพื่อตรวจสอบ จะเห็นว่า

\sqrt{500 + 2\sqrt{499}} - \sqrt{500 - 1} = \sqrt{499} + \sqrt{1} - \sqrt{499} = 1
เป็นจำนวนเต็ม

จากข้อนี้ เราอาจจะได้ข้อสังเกตอีกอย่างนึง ก็คือ

\sqrt{(n + 1) + 2\sqrt{n}} - \sqrt{n} = 1
ซึ่งถ้าเรารู้เรื่องนี้อยู่แล้ว ก็จะทำข้อนี้ได้เร็วขึ้น

ป.ล. อย่างไรก็ตาม ในโจทย์ถามถึงค่า n ที่มากที่สุด ดังนั้นถึงเราจะรู้ข้อสังเกตนี้ ก็ไม่ยืนยันคำตอบว่าเป็นค่าที่มากที่สุด ... โชคดีที่มันมี n แค่ค่าเดียวเพราะ 499 เป็นจำนวนเฉพาะ

[passer-by]

จากข้อ 7 ของคุณ tunococ ตอนที่ diff h(x) เลข 8 ควรจะเป็นเลข 4 นะครับ
ข้อนี้ จึงตอบ 1.5

และข้อ 18 ของคุณ tunococ มาพลาดตอนจบนิดเดียวเองครับ ต้องได้ u= 112 และ m= 28 ทำให้ข้อนี้ตอบ 1/4

[tunococ]

คิดเลขผิดอีกแล้ว >_<

สงสัยต้องจิ้มเครื่องซะแล้ว

(ตอนสอบเอ็นทรานซ์ ไม่เคยทำเลขได้เต็มเลย T_T)

[น้องเดียร์]

[QUOTE]ข้อความเดิมของคุณ thee:
[QB]ส่วนใครอยากได้ตัวข้อสอบที่ผมพิมพ์ทั้งชุดก็บอกได้นะครับ เดี๋ยวผมจะโพสต์ลิงค์ให้โหลด


ขอด้วยคนค่ะ

[หยินหยาง]

มาเก็บตกของคุณ nongtum บางข้อครับ

ข้อ 3 ได้ 2
ข้อ 7 มี -1 เป็น solution ด้วย
ข้อ 8 ได้ (8)(8)(7)(5)= 2240
ข้อ 11 ได้ 2[:sqrt]3-[:pi]

Comment : รู้สึกว่า ข้อสอบเพชรยอด มงกุฎ ทั้ง ม.ต้น และ ม.ปลาย คราวนี้ จะไป copy ข้อสอบจากที่อื่น แล้วมา adapt หลายข้ออยู่นะเนี่ย

ผมคิด ข้อ 8. ได้ไม่ตรงคำตอบกับคุณ passer-by หากมีเวลารบกวนช่วยดูให้ด้วยครับว่าผมคิดผิดหรือเปล่า
หลักคิด คือ แยกเป็น 2 กรณี ดังนี้ (เนื่องจากเป็นเลขคู่และห้ามซ้ำ)
กรณีที่ 1 ให้หลักพันเป็นเลขคี่
-หลักพันเป็นเลขคี่ จะมีเลข 1,3,5,7 ดังนั้นเลือกได้ 4 วิธี
-หลักหน่วยเป็นเลขคู่ จะมีเลข 0,2,4,6,8 ดังนั้นเลือกได้ 5 วิธี
-หลักร้อยจะสามารถเลือกเลขได้อีก 8 วิธี
-หลักสิบจะสามารถเลือกเลขได้อีก 7 วิธี
ดังนั้นกรณีนี้ จะมีจำนวน $=4*5*8*7 = 1120$

กรณีที่ 2 ให้หลักพันเป็นเลขคู่
-หลักพันเป็นเลขคู่ จะมีเลข 2,4,6,8 ดังนั้นเลือกได้ 4 วิธี
-หลักหน่วยเป็นเลขคู่ จะมีเลขที่เหลือให้เลือกอีกได้ 4 วิธี (จากเลขคู่ทั้งหมด 0,2,4,6,8 แต่หลักพันเลือกไปแล้ว 1ตัว)
-หลักร้อยจะสามารถเลือกเลขได้อีก 8 วิธี
-หลักสิบจะสามารถเลือกเลขได้อีก 7 วิธี
ดังนั้นกรณีนี้ จะมีจำนวน $=4*4*8*7 = 896$
รวมทั้ง 2 กรณี $= 1120+896 = 2016$ จำนวน

[bell18]

ทำไมเห็นแต่ของปี48 ไม่มีของปี49 หรือ50 บ้างเลยหรือครับ
ใครมี กรุณาโพสต์ให้ทุกคนช่วยคิดด้วยครับ

[passer-by]

ผมคิด ข้อ 8. ได้ไม่ตรงคำตอบกับคุณ passer-by หากมีเวลารบกวนช่วยดูให้ด้วยครับว่าผมคิดผิดหรือเปล่า
หลักคิด คือ แยกเป็น 2 กรณี ดังนี้ (เนื่องจากเป็นเลขคู่และห้ามซ้ำ)
กรณีที่ 1 ให้หลักพันเป็นเลขคี่
-หลักพันเป็นเลขคี่ จะมีเลข 1,3,5,7 ดังนั้นเลือกได้ 4 วิธี
-หลักหน่วยเป็นเลขคู่ จะมีเลข 0,2,4,6,8 ดังนั้นเลือกได้ 5 วิธี
-หลักร้อยจะสามารถเลือกเลขได้อีก 8 วิธี
-หลักสิบจะสามารถเลือกเลขได้อีก 7 วิธี
ดังนั้นกรณีนี้ จะมีจำนวน $=4*5*8*7 = 1120$

กรณีที่ 2 ให้หลักพันเป็นเลขคู่
-หลักพันเป็นเลขคู่ จะมีเลข 2,4,6,8 ดังนั้นเลือกได้ 4 วิธี
-หลักหน่วยเป็นเลขคู่ จะมีเลขที่เหลือให้เลือกอีกได้ 4 วิธี (จากเลขคู่ทั้งหมด 0,2,4,6,8 แต่หลักพันเลือกไปแล้ว 1ตัว)
-หลักร้อยจะสามารถเลือกเลขได้อีก 8 วิธี
-หลักสิบจะสามารถเลือกเลขได้อีก 7 วิธี
ดังนั้นกรณีนี้ จะมีจำนวน $=4*4*8*7 = 896$
รวมทั้ง 2 กรณี $= 1120+896 = 2016$ จำนวน

Sorry for replying late (again) :sweat:

Your answer is correct krab.

Now I correct to be $ 7 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 4 + 8 \cdot 8 \cdot 7 = 2016 $

(First term for the case ending up with 2,4,6,8 and another term for case ending up with 0)