พิสูจน์ข้อนี้ให้ทีนะครับ

[ZiLnIcE]

ผมคิดว่าได้แล้วแต่อยากได้วิธีที่น่าศรัทธาหน่อยครับ จงแสดงว่า n^2-n+41 เป็นจำนวนเฉพาะเมื่อ n = 3,5,7 :D

[ZiLnIcE]

จงแสดงว่า ถ้า n^{}2-n+41 เป็นจำนวนเฉพาะ เมื่อn=3,5,7

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ ZiLnIcE:
จงแสดงว่า ถ้า n^{}2-n+41 เป็นจำนวนเฉพาะ เมื่อn=3,5,7

ลองแทน n=4 จะได้ 42-4+41 เป็นจำนวนเฉพาะด้วย ไม่ใช่แค่ 3,5,7
ไม่เก็ทครับ ว่า'น่าศรัทธา'ของน้องเป็นขนาดไหน แต่ที่แน่ๆ n2-n+41 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะเสมอไป เช่นเมื่อ n=41

[นักเรียนทุน]

ถึงคุนnongtumนะคับ คือโจดของกระทู้แรกอ่ะ เค้าหั้ยเราพิสูดหั้ยดูว่า ตามที่โจดพูดอ่ะจิง ไม่ใช่หั้ยเราไปเถียงโจดว่าที่เค้าบอกมานม่ายจิง คือคุนลองอ่านโจดดีๆนะคับ แล้วจารู้ว่าโจดมานบอกว่าหั้ยพิสูดว่าข้อความดังกล่าวเปงจำนวนเฉพาะเมื่อ n= 3, 5, 7 เหงมั้ยว่าโจดบอกว่ามานจาเปงจำนวนเฉพาะเมื่อn= 3, 5, 7 แต่พูดเฉยๆๆมานม่ายค่อยน่าเชื่อ จึงต้องพิสูจน์ให้เหงกานไปจิงๆๆเลย และโจดก้อไม่ได้บอกด้วยว่า n=4 คุนจาไปเถียงโจดไม่ได้หรอกคับ
วิทีพิสูดนะคับ
[n][/2] -n+41 = n(n-1)+41
เนื่องจากโจทย์บอกว่า [n][/2] -n+41 เปนจำนวนเฉพาะ แสดงว่า n(n-1)+41 เปนจำนวนเฉพาะด้วย ดังนั้นจำนวนเฉพาะที่เปงไปได้นั้นต้องมีค่ามากกว่า 41 นั่นคืออาจเป็น 43,47,53...ซึ่งมีหลายค่า
แต่เนื่องจาก 47 เปงจำนวนเฉพาะ
กำหนดให้ n(n-1)+41 =47
n(n-1) = 6
เมื่อแก้สมการออกมา ได้คำตอบคือ -2 หรือ 3 แต่เราไม่ใช้ค่าลบ
ดังนั้น n=3
เหนไม่คับว่ากานพิสูจน์ของผมนั้นไม่ได้แทนค่า nจากที่โจดบอกเลย มานออกมาเองเลยว่า n=3
แต่ยางไม่จบเพราะว่าเรายางไม่พิสูดเลยว่า n=5,7
เพื่อความรวบลัดผมบอกสมการไว้แล้วกานนะคับ เพราพิสูจน์ก้เหมือนกับที่ผมทำมาแล้วข้างบน n(n-1)+41 =61 จาเหงเลยว่า n=5
n(n-1) +41=83 จาเหงเลยว่า n=7
บางคนสงสัยว่า ทามมายต้องให้มานเท่ากับ 47 61 และ83ด้วย อธิบายง่ายๆนะคับว่า ลองใช้จำนวนเฉพาะของคุนตัวอื่นดูดิคับ บางทีอาจจาแยกตัวประกอบไม่ได้คำตอบออกมาเปงจำนวนเต็ม หรือถ้าแยกได้และคำตอบเปงจำนวนเต็มแต่ก้อไม่มีค่าเท่ากับ 3 5 7ตามที่โจดหั้ยเราพิสูจน์

[nongtum]

ขอมาตอบประเด็นทั้งสองกระทู้ของคุณนักเรียนทุนที่นี่ละกัน

โอเคครับ น่าสนใจ นั่นก็เป็นอีกวิธี(การพิสูจน์โจทย์หนึ่งข้อไม่ได้มีวิธีเดียว) แต่ด้านบนผมแค่ยกตัวอย่างเฉยๆ ไม่ได้ค้านอย่างที่คุณนักเรียนทุนว่ามาซะหน่อย ส่วนประเด็นอื่นไม่ขอเถียงต่อละครับ

ปล. ระวังเรื่องภาษาที่ใช้ตอบหรือถามด้วยครับ หากจะคุยอะไรต่อ pm มาได้ครับ

[M@gpie]

อืมมม อย่าเถียงกันต่อไปเลยดีกว่าครับ เดี๋ยวจะยาว ผมว่า วิธีพิสูจน์ มันก็ จะทำยังไงก็ได้อ่ะนะคับ วิธีการแทนค่า ผมว่าก็เป็นวิธีการพิสูจน์แบบหนึ่งเหมือนกัน เรียกว่า พิสูจน์ทางตรง direct proof

ส่วนกรณีที่คุณ nongtum ยกประเด็นขึ้นมานั้นคงอยากแสดงแนวคิดว่า พหุนามนั้น ไม่ได้เป็นจริงเฉพาะ n= 3 ,5 ,7 เท่านั้น แต่ยังมีค่าอื่นๆอีกเผื่อว่าผู้ตั้งกระทู้จะได้ไปศึกษา หรือ ดูต่อไปว่าแล้วค่าที่เท่าไรมันจะไม่เป็นจำนวนเฉพาะ แต่ไม่ได้บอกว่า n=3,5,7 ไม่จริง แต่อย่างใด ก็ไม่ถือว่าขัดกับโจทย์หรอกนะครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ใช่ครับ :D
แล้วที่คุณนักเรียนทุนทำมา ก็เหมือนแค่เอามันเขียนจากหลังไปหน้าเท่านั้นแหละครับ สมมติว่า ผมเปลี่ยนโจทย์เป็นพิสูจน์ เมื่อค่า n เป็น 41

ห้ามใช้วิธีแทนค่าของคุณ nongtum นะครับ
...
เป็นอย่างไรครับ ผมว่า ถ้าทำแบบคุณ ก็ต้องพยายามหาจำนวนเฉพาะมั่วๆขึ้นมา (ก็อยากไม่แทนค่าเองนี่นา) แล้วลบด้วย 41 แล้วมาแยกตัวประกอบอีก ผมว่าคงไม่ค่อยน่าสนุกนะครับ :mad:

[นักเรียนทุน]

ใช่คับ การพิสูจน์ของผมมานเหมือนกับว่าคิดจากหลังไปหน้า ซึ่งก้อเปงวิทีพิสูจน์แบบหนึ่งเช่นกันที่เรามักจาทามกานในกอระนีที่สิ่งที่จะพิสูจน์โดยใช้วิธีตรงนั้นยาก แต่ไล่ขึ้นไปมานจาง่ายกว่าก้อเปงหลัการ 1 คับ แต่การแทนค่าใส่เค้าไปเลยแล้วบอกว่าเปงจำนวนเฉพาะนั้นผมว่ามานดูท่าจาแปลกๆอ่ะ อานนี้ผมว่าครายๆเค้าก้อทามกานได้เหมือนกับว่าจาไม่ใช่การพิสูจน์แต่เปนกานแสดงหั้ยโจทย์เหนเฉยๆๆ ผมว่าการพิสูจน์อ่ะ มานต้องทำเหตุให้ออกมาเปงผน โดยการทำนั้นเราต้องแกล้งทำเปนไม่รู้ผลว่าผลคือราย แต่ใช้เหมือนกับว่าเป็นหลักคอยช่วยหั้ยการพิสูจน์นั้นง่ายขึ้นโดยเหตุต้องปรากดออกมาเปงผลได้เอง อย่างที่คุนบอกว่า n=41
ก้อพิสูจน์ได้เหมือนกานคับ อีกอย่างเราไม่ต้องมั่วแลกด้วยมานมีวิทีกานคิดคือเอาnไปแทนค่าแล้วหาค่าออกมาเพื่อจาดูว่าค่านั้นคืออะไร แต่เวลาพิสูดก้ออย่าไปแทนค่าหั้ยเหนจะๆๆไปเลย อ.บางท่านอาจไม่ยอมรับ
ผมก้อบอกว่า เนื่องจาก 1763เปงจำนวนเฉพาะ กำหนดให้ n(n-1)+41 = 1763 แล้วแก้สมการออกมามานก้โชหั้ยเหนเลยว่า n=41

[tunococ]

โจทย์มันห่วยอะครับ อาจารย์ไม่น่าจะออกโจทย์แบบนี้

แล้วก็ ... วิธีพิสูจน์ตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะเมื่อ n = 3, 5, 7 หนะ ของผมยังมีหลักการกว่าอีก ตอนแรกทำไมคุณเลือก 47 ก็ไม่มีเหตุผล

สรุปแล้ว หลักการของคุณก็คือ หยิบจำนวนเฉพาะมาเรื่อย ๆ แล้วลองหาว่ามี n เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ n^2 - n + 41 เท่ากับเลขตัวนั้นรึเปล่า ซึ่งถ้าโจทย์มันยากกว่านี้ n เป็นค่ามากกว่านี้ คุณก็ต้องแทนค่าอีกนานกว่าจะหาได้

แต่วิธีของผม ใช้เวลาเพียง O(\sqrt{n} \log n) ก็รู้แน่นอน ว่าผลลัพธ์เป็นจำนวนเฉพาะรึเปล่า

อีกอย่าง ... การแสดงว่าตัวเลขตัวนึง ไม่มีตัวประกอบจำนวนเต็มบวกนอกจาก 1 กับตัวมันเอง มันก็เป็นการพิสูจน์ว่าเลขตัวนั้นเป็นจำนวนเฉพาะนะ

นิยาม: p \in Z^+ เป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ \{ x \in Z^+ \mid x \ หาร\ p\ ลงตัว\} มีสมาชิกสองตัว

[M@gpie]

รู้สึกจะกลายเป็นกระทู้ล่อเป้าไปแล้ว สรุปก็เอาง่ายๆก็แล้วกันนะครับ
ใครใคร่แทนค่าให้แทน ใครใคร่แก้สมการก็แก้เถอะครับ

ถ้าเราทำไปแล้ว อ.บางท่านอาจไม่ยอมรับ ก็ต้องถามใจอาจารย์แล้วล่ะครับ ว่าท่านมีวิสัยทัศน์ในด้านคณิตศาสตร์กว้างพอรึเปล่า ผมเชื่อว่าถ้าเป็นผุ้ที่มีใจรักคณิตศาสตร์จริงๆก็ไม่น่าจะมีปัญหาอะไร นอกจาก โจทย์จะสั่งว่า ห้ามใช้วิธีแทนค่า ก็ว่าไป
แต่ผมว่าโดยส่วนมาก โจทย์พิสูจน์จะไม่ง่ายให้แทนค่าแบบนี้หรอกครับ เหมือนกับไม่มีประโยชน์ที่จะพิสูจน์ เพราะใครๆก็ทำได้อย่างที่ว่าแหละครับ

จบข่าว .....

[ZiLnIcE]

ขอบคุณมากครับทุกคนที่ช่วยตอบกระทู้เดิม

[tunococ]

คือ ผมสรุปให้ว่า โจทย์นี้ต้องแทนค่าอย่างเดียวครับ

วิธีที่ผมแสดงให้เห็นในอีกกระทู้นึง คือ วิธีตรวจสอบว่า เมื่อแทนค่าแล้ว เลขที่ได้ "เป็นจำนวนเฉพาะ"

แต่ถ้าหากคิดว่า ขั้นตอนนั้นไม่จำเป็น (คือ สมมติว่ารู้อยู่แล้วว่า 61 เป็นจำนวนเฉพาะ) การแทนค่าเพียงอย่างเดียวก็เพียงพอครับ และก็ "ไม่น่าจะ" ทำอย่างอื่นได้ด้วย

ตัวอย่างที่ผมยกให้ดูในความเห็นข้างบน เป็นการบอกว่า วิธีของคุณนักเรียนทุน ไม่แตกต่างจากการแทนค่า นอกจากนั้น การตั้งสมการ P(n) = P(3) แล้วหาคำตอบนั้น ยังไงก็ต้องได้ n = 3 เป็นคำตอบอยู่แล้ว เป็นขั้นตอนที่สิ้นเปลืองและเปล่าประโยชน์ ผมไม่เข้าใจว่าขั้นตอนนี้ ทำให้ดูเหมือนเป็นการพิสูจน์ที่มีหลักการตรงไหน (มันอาจจะลึกล้ำจนเกินความเข้าใจของผมก็ได้ :p )

ถ้าจะให้ผมเสนออีกวิธีนึง ที่อาจจะดูมีหลักการมากกว่าการแทนค่านิดนึง (ผมก็ไม่เห็นว่ามันดีกว่าจริง ๆ แหละ ถ้าโจทย์ถามแบบนี้) ก็คือ คุณต้องหาเซตของ n ทั้งหมดที่ทำให้ P(n) เป็นจำนวนเฉพาะให้ได้ก่อน แล้วจึงบอกว่า {3, 5, 7} เป็น subset ของเซตนั้น ซึ่ง ... ผมยังไม่สามารถหาเซตดังกล่าวได้ครับ ใครหาได้ช่วยบอกด้วย :D

อย่างไรก็ตาม การที่จะบอกว่า {3, 5, 7} เป็น subset ของเซตดังกล่าว ก็ไม่จำเป็นต้องหาเซตดังกล่าวทั้งเซต ไป ๆ มา ๆ ผมก็เลือกที่จะแทนค่าหละครับ ผมไม่สามารถหาวิธีที่ง่ายและถูกต้องกว่านี้ได้อีกแล้ว

ป.ล. ผมไม่คัดค้านวิธีที่ "ดีกว่า" นะ

[prachya]

แหงะ ผมสอบเลยไม่ได้เข้ามา พักเดียวมาเถียงกันซะง้าน :rolleyes:
ก้ออย่างที่พี่ M@gpie ว่าแหละครับ หุหุ พิสูจน์ได้หลายแบบ อยากทำแบบไหนก้อทำปาย (เหมือนเราเป็นศิษย์ของพี่เค้าซะงั้น รู้สึกจะอ้างคำพูดพี่เค้าบ่อย อิอิ)
แต่สุดท้าย คะแนนก้ออยู่ที่ปลายปากกาอาจารย์ - -" ถามอาจารย์ให้ทำแนวไหนดีสุดคับ

แล้วไม่แน่นะครับว่า อาจารย์เค้าอาจจะเห็นสมการนี้จากหนังสืออารัยสักอย่าง แล้วมาให้นร.ทำเล่นๆก็ได้ ไม่ได้อะไรจริงจัง เผื่อให้นักเรียนลองแทนค่าอื่นๆเล่นดู จะได้คิดต่อยอดไป (แบบที่พี่ nongtum พูดถึง)[แต่งงจัง พี่เค้าแค่พูดให้ฟังว่า 41 ม่ายเปงจริงไมต้องไปว่าพี่เค้าซะงั้น แหะๆ]

ส่วนตัวผมเห็นสมการนี้ในหนังสือทฤษฎีจำนวนอ่ะครับ ที่เค้าบอกว่า

เมื่อหลายศตวรรษมาแล้วมีความเชื่อว่า ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว n^2 +n +41 เป็นจำนวนเฉพาะ สูตรนี้เป็นจริงสำหรับ n = 0, 1, 2 ..39 ซึ่งให้จำนวนเฉพาะติดกัน 40 จำนวน
แต่ม่ายเป็นจริงสำหรับ n = 40,41 กับอีกสูตรติดต่อกันถึง 80 จำนวน n^2 -79n +1601
<<แต่ภายหลังพิสูจน์ได้ว่าไม่มีพหุนามใดๆที่ให้แต่จำนวนเฉพาะ>>

[ZiLnIcE]

ขอบคุณครับคุณ tunococ ที่ให้คำแนะนำ