โจทย์ตรีโกณ ช่วยคิดหน่อยครับ

[sck]

ช่วยแสดงวิธีทำให้ด้วยนะครับ ขอบคุณครับ :confused:
โอ้ ใส่ผิด board ต้อง board ม.ปลาย ถึงจะถูก แต่ก็แล้วกันนะครับ :rolleyes:
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/2-000062-000000.gif

[nongtum]

เอาไปก่อนสามข้อ

1. จากโจทย์จะได้ \frac{3\sin{A}}{\cos{A}}=\frac{\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}}{\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}}
คูณไขว้แล้วจัดรูปใหม่โดยใช้ \sin^2{A}=1-\cos^2{A},\ \sin{2A}=2\sin{A}\cos{A} จะได้ (2\sin{A}\cos{A})\cos{B}+(2\cos^2{A}-1)\sin{B}=2\sin{B}
นั่นคือ \sin{(2A+B)}=2\sin{B}

4. ไม่แน่ใจครับว่ามุม B โผล่มาจากไหน แต่หากอยากถาม tan A ทำได้ดังนี้ครับ
\sin^6{A}+\cos^6{A}=(\sin^2{A}+\cos^2{A})(\sin^4{A}-\sin^4{A}\cos^4{A}+\cos^4{A})=1-3\sin^2{A}\cos^2{A}=\frac{13}{16}
เนื่องจาก A อยู่ในจตุภาคที่สอง จะได้ sin(2A)=2sin(A)cos(A)=-1/2 หรือ A=\frac{11\pi}{12},\ \frac{7\pi}{12} ซึ่ง \tan{2A}=\frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}แก้สมการหา tan A จะได้ \tan{A}=\pm2-\sqrt{3} เป็นคำตอบ
(หมายเหตุ: สังเกตว่า tan 2A มีทั้งค่าบวกและค่าลบ เพราะ 180°<2A<360° การคิดคำตอบจึงต้องแยกกรณีคิดด้วย)

5. ด้านให้มาสามด้านครบ ดังนั้นสามารถใช้ cosine's law ได้ดังนี้
\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{1}{\sqrt{2}}
นั่นคือ C=45°, tan(C)=1 และ tan(A)+tan(B)-tan(A)tan(B)=-1

Edit3: แก้ข้อ 4,5
Edit4: แก้ข้อ 4

[sck]

ขอบคุณ คุณ nongtum ที่ช่วยตอบครับ
โจทย์ข้อ 4 ถามหา tan A ครับ พิมพ์ผิด
แต่ในตัวเลือกข้อ 4 ที่มีไม่มี \frac{-1}{\sqrt[]{3}} ครับที่มีเป็น
1. -(2+[:sqrt]3)
2. -(2-[:sqrt]3)
3. 2+[:sqrt]3
4. ข้อ 1 และ 2 ถูก

ยังไงก็ช่วยดูให้อีกทีนะครับ ผมคิดจนมึนแล้วจริงๆ

ส่วนข้อ 5 Cosine Law เป็น cos A =\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} ไม่ใช่หรือครับ
แต่ ผมพอดูข้อนี้ออกแล้ว :D ใช้ cos c แก้ ได้ c = 45 องศา
แล้วไปแก้ต่อได้ tan(A + B)= tan (180 - C) = -1
ทำต่อจะได้คำตอบ tan A + tan B - tan A tan B = -1 จะถูกไหมครับ
ไม่รู้ทำไม่ตอนแรกมองไม่ออก ยังไงก็ขอบคุณมากครับที่แนะแนวทาง
แล้วก็ :D ข้อที่เหลือด้วยนะครับ ;) ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[passer-by]

ข้อ 2 สนุกดี ครับ

ให้ S คือ ค่าที่ต้องการหา จากนั้นนำ 2sin 5 คูณตลอด จะได้\large \begin{array}{lc} 2k\cdot S= 2sin5^{\circ}cos45^{\circ}+2sin5^{\circ}cos5^{\circ}+2sin5^{\circ}cos15^{\circ}+2sin5^{\circ}cos35^{\circ}+ 2sin5^{\circ}sin35^{\circ}+ 2sin5^{\circ}sin65^{\circ} \\ \qquad= (sin 50^{\circ}-sin40^{\circ}) + sin 10^{\circ} +(sin 20^{\circ}-sin10^{\circ}) + (sin 40^{\circ}-sin30^{\circ}) +(cos 30^{\circ}-cos40^{\circ}) +(cos 60^{\circ}-cos70^{\circ}) \\ \qquad = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

(หวังว่าคุณ sck คงไปตัดให้เหลือ[:sqrt]3/2 ได้นะครับ ใช้เรื่อง co-function นิดหน่อย ก็เรียบร้อยแล้ว)

ดังนั้น S= [:sqrt]3/(4k)

[sck]

ขอบคุณ คุณ passer-by มากครับ มิน่าผมถึงมองไม่ออก
ดูข้อ 2 นี้เหมื่อนง่ายแต่ทำทีไร ติด [:sqrt]. กับ k เต็มไปหมด ทุกทีเลย :D

[nongtum]

แก้ข้อสี่กับห้าแล้ว หวังว่าคราวนี้คงไม่ผิด ว่าแล้วก็มาตอบข้อสุดท้าย...

2. เนื่องจาก \sin{A}=\sin{(180-A)}=\sin{3B}
=3\sin{B}-4\sin^3{B}=\frac{117}{125}
หากมอง sin B เป็นตัวแปรแล้วแก้หา sin B ออกมาจะพบว่า sin B=3/5 ตัวเดียวเท่านั้น (เพราะคำตอบอีกสองตัวเป็นลบ และค่า sine ของมุมในสามเหลี่ยมเป็นบวกเสมอ) :D

[sck]

ขอบคุณครับสำหรับทุกคำตอบนะครับ
ขอถามต่ออีกข้อนะครับ :)
จงหาค่าของ csc 4[:pi]/15 + csc 8[:pi]/15 + csc 16[:pi]/15 + csc 32[:pi]/15

[gon]

ชอบวิํีธีไหนครับ. "จัดรูปทางพีชคณิต หรือ ทฤษฎีสมการ " :)

[sck]

วิธีไหนก็ได้ครับ แต่ทำให้เด็ก ม.ปลาย ดูแล้วเข้าใจได้ ก็จะดีมากครับ :D

[gon]

งั้นเอาวิธีการจัดรูปทางพีชคณิตล่ะกันนะครับ งานนี้มีการเปิดเผยทริกส่วนตัวผมด้วย นำไปประยุกต์เล่นได้มากทีเดียวนะ :D

\because \quad \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{15} \Rightarrow \frac{1}{\sin \frac{4\pi}{15}} = \frac{1}{\sin\frac{2\pi}{3} \cos \frac{2\pi}{5} -\cos\frac{2\pi}{3} \sin \frac{2\pi}{5}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \frac{2\pi}{5} + \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{5} }
ทำนองเดียวกันกับอีก 3 พจน์ที่เหลือ เมื่อทำเสร็จจับคู่หาผลบวกของพจน์ที่ 1 กับ 3 และ 2 กับ 4 โดยแปลงให้อยู่ในมุมของ \frac{2\pi}{5}, \, \frac{4\pi}{5} โดยใช้เอกลักษณ์ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 ที่ตัวส่วน จะได้
\frac{\sqrt{3}\cos \frac{2\pi}{5}}{\cos^2\frac{2\pi}{5} - \frac{1}{4}} - \frac{\sqrt{3}\cos \frac{4\pi}{5}}{\cos^2\frac{4\pi}{5} - \frac{1}{4}}
เมื่อรวมร่างจะได้ \frac {\sqrt{3}[\cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} + \frac{1}{4}][\cos \frac{2\pi}{5} - \cos \frac{4\pi}{5}]}{\cdots} = 0

เพราะว่า \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} + \frac{1}{4} = 0 ซึ่งแสดงได้ง่าย ๆ ดังนี้

เนื่องจาก \cos 0, \cos \frac{2\pi}{5} , \cos \frac{4\pi}{5} เป็นรากของสมการ 2n\pi = 5\theta \Rightarrow \cos 3\theta = \cos 2\theta \Rightarrow 4\cos^3\theta - 3\cos \theta = 2\cos^2\theta - 1 \Rightarrow 4\cos^3\theta - 2\cos^2 \theta - 3\cos \theta + 1 = 0

หารด้วย \cos \theta - 1 เพราะจะไม่เอา \theta = 0 จะได้ 4\cos^2 \theta + 2\cos \theta - 1 = 0 นั่นคือ \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} = -\frac{1}{4} ;)