ข้อสอบ เพชรยอดมงกุฎ รอบแรก ปี48 ช่วยแก้ ให้ หน่อยนะครับ

[Pramote]

กำหนด x,y,z,w เป็นจำนวนจริง ซึ่ง x2/n2-12+y2/n2-32+z2/n2-52+w2/n2-72=1 ทุกค่า n=2,4,6,8 แล้วค่าของ x2+y2+z2+w2 เป็นเท่าไร (ตอบ 36)

อีกข้อนะครับ

ถ้า [:ltop][br][:lvert][br][:lbot] 2003[br]1 [:rtop][br][:rvert][br][:rbot]+ [:ltop][br][:lvert][br][:lbot] 2003[br]4 [:rtop][br][:rvert][br][:rbot]+ [:ltop][br][:lvert][br][:lbot] 2003[br]7 [:rtop][br][:rvert][br][:rbot]+...+
[:ltop][br][:lvert][br][:lbot] 2003[br]2002 [:rtop][br][:rvert][br][:rbot] = k(22002-1) แล้ว k มีค่าเท่าไร
(ตอบ k=2/3)

[passer-by]

ข้อ 2 คุ้นมากๆ แต่นึกไม่ออกว่า เคยเห็นที่ไหน

รู้สึกว่า จะเริ่มจาก การกระจายฟังก์ชันข้างล่างนี้แหละครับ

\large x^{2}(1+x)^{2003}= {2003 \choose 0}x^{2}+ {2003 \choose 1}x^{3}+{2003 \choose 2}x^{4}+...+{2003 \choose 2003}x^{2005}

แล้วก็แทนค่า x= 1,[:omega],[:omega]-1 เมื่อ[:omega]3=1 แต่ [:omega][:notequal]1 หรือเท่ากับว่า 1+[:omega]+[:omega]2=0 นั่นเอง จากนั้นนำ 3 สมการที่ได้มาบวกกัน (ขั้นนี้ลองทำเองดูนะครับ) จะเหลือผลลัพธ์คือ

ถ้า S แทนผลบวกซ้ายมือของโจทย์
3S= 22003+ [:omega]2(1+[:omega])2003+[:omega]-2(1+[:omega]-1)2003= 22003-2

เมื่อ check จากโจทย์ จะได้ k= 2/3