หา range และแก้สมการ exponential

[Ding Dong]

โจทย์นี้เคยโพสต์ไว้แล้วในกระทู้ Selected from ก.พ. แต่ตอบไม่ชัดเจน
ยังไงก็ช่วยคิดกันอีกทีละกันนะ อะคิ อะคิ :D

1.กำหนด f(x) = [:sqrt]2x² + x– 1
และ g(x) = log2( \frac{X}{1 - x²} )

จงหา R f+g

2.กำหนดให้ A = { x | 2 3x + 2 2x-1 - 2x-1 [:lesseq] 3 }
และ f : A [:right] R โดยที่
f(x) = [:sqrt]( x - 1)² ทุก x เป็นสมาชิกของเซต A
จงหาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดของ f

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Ding Dong:
2.กำหนดให้ A = { x | 2 3x + 2 2x-1 - 2x-1 [:lesseq] 3 }
และ f : A [:right] R โดยที่
f(x) = [:sqrt]( x - 1)² ทุก x เป็นสมาชิกของเซต A
จงหาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดของ fเพื่อหาเซ็ต A เราแก้อสมการข้างบนโดยให้ u=2^x แล้วเราจะได้ว่า u>0 และ p(u)\le0 โดยที่p(u)
=u^3+\frac{u^2}{2}-\frac{u}{2}-3p(u) มีรากจริงรากเดียวอยู่ที่r=
\frac{-1+\sqrt[3]{314+9\sqrt{1213}}+\sqrt[3]{314-9\sqrt{1213}}}{6}=
1.396451454492682\dotsเราจึงได้ว่า 0<u\le r นั่นคือ -\infty<x\le\log_2r=0.481765421394443\dots หรือ A=(-\infty,\log_2r] นั่นเอง

จาก f(x)=\sqrt{(x-1)^2}=|x-1| ดังนั้นเราจึงได้ R_f=[1-\log_2r,\infty)

สรุปคือ 1-\log_2r=0.518234578605556\dots เป็นค่าต่ำสุดของ f แต่ f ไม่มีค่าสูงสุดครับผม :)

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Ding Dong:
1.กำหนด f(x) = [:sqrt]2x&sup2; + x– 1
และ g(x) = log2( \frac{X}{1 - x&sup2;} )

จงหา R f+gเนื่องจาก D_f=(-\infty,-1]\cup[1/2,\infty) และ D_g=(-\infty,-1)\cup(0,1)
ดังนั้น D_{f+g}=D_f\cap D_g=(-\infty,-1)\cup[1/2,1)

เนื่องจาก\lim_{x\to1^-}(f+g)(x)=+\inftyและ (f+g)(x) เป็น strictly increasing continuous function ในช่วง [1/2,1) ดังนั้น range ของ (f+g)(x) ในช่วง [1/2,1) จึงเป็น [(f+g)(1/2),\infty) ซึ่งก็คือ [1-\log_23,\infty) นั่นเอง

เนื่องจากเมื่อ x<-1 แล้ว (f+g)(x)>0 เสมอ และจากที่ 1-\log_23<0 ทำให้เราสรุปได้ว่า R_{f+g}=[1-\log_23,\infty) ครับผม :)

[jae_bau]

พี่ warut ช่วยตรวจดู ข้อ 2 ที่ผมคิดด้วยครับ รู้สึกผมจะมั่วแล้วมันตะหงิดๆ อ่ะครับ
จาก 2u3+ u2 - u - 6 [:lesseq] 0
2u3[:lesseq]-[u-3][u+2]
เมื่อ ลองแทนค่า u ลงไปแล้วจะพบว่า
u [:lesseq]1
2x[:lesseq]1
xlog2[:lesseq]0
x[:lesseq]0

[:therefore] f(x) = 1-x
ค่ามากที่สุดคือ 1
ค่าน้อยสุดหาไม่ได้อ่ะครับ

[M@gpie]

ประเด็นของผมคือ ข้อสอบทุนเล่าเรียนหลวง ยากขนาดนี้เลยเหรอครับ???

[warut]

คือถ้าแทนค่า u = 1.2 ก็จะเห็นว่าใช้ได้เหมือนกัน ตัวที่ดีที่สุดคือตัวที่ผมให้ไว้ข้างบนครับ
อีกอย่างคือเราต้องใช้ f(x) = |x - 1| = |1 - x|, x [:element] A ครับผม :)

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
ประเด็นของผมคือ ข้อสอบทุนเล่าเรียนหลวง ยากขนาดนี้เลยเหรอครับ???ผมว่าน่าจะเป็นเพราะโจทย์ผิดมากกว่านะครับ แต่ผมเห็นน้องเค้าอยากได้คำตอบจริงๆผมก็เลยลองทำดูน่ะครับ

[Ding Dong]

ยังไงก็ขอบคุณพี่ warut และทุกคนมากนะคะที่ช่วยกันคิด ถึงแม้ว่าโจทย์จะผิดก็ตาม
แต่ก็ทำให้ได้รู้ถึงวิธีคิดแบบล้ำลึกของพี่ warut ยังไงล่ะคะ
ขอให้พี่ warut ได้ลงในนิตยสาร My Maths สมใจละกันนะคะ