ช่วยคิด 2 ข้อนี้หน่อยจิคับ

[prachya]

พอดีมีน้องม.3 มาค่ายคอมมาถามผมว่า ข้อนี้คิดยังไง ทีแรกเห็นเป็นอนุกรมก้อคิดว่าคงไม่ยากอะไร ไปๆมาๆ หุหุหุ -*- คิดหัวชนฝา ยังม่ายรู้จะทำยังไงกะเจ้า factorial นี่ดีอะครับ คุ้นๆว่าเคยทำ แต่ทำม่ายเปงละคับ แง้วว รบกวนพี่ๆถ้าว่างๆอธิบายให้ดูหน่อยนะคับ... แต่เชื่อว่าโจทย์คงจะโหลๆนะคับ คุ้นตายังไงก้อมะรู้

ข้อ 1. 1.1!+2.2!+3.3! +...+n.n! = ?? หาสูตรทั่วไปครับ
ข้อ 2. \frac{1}{(1+1)!}+\frac{2}{(2+1)!}+\frac{3}{(3+1)!}+\frac{n}{(n+1)!} หาสูตรทั่วไปเหมือนกันคับ

ยังไงรบกวนอธิบายละเอียดนิดนึงนะคับ ผมจะได้อธิบายน้องเค้าถูก (ม.5 ผมยังทำมะได้เร้ย ม.3 ทำได้ก้อเก่งแร้ว -*- ) ก้อไม่ค่อยรีบเท่าไรนะครับ เพราะน้องเค้าคงสอบในค่ายวันอาทิตย์ได้ พอมีเวลาคับ ยังไงรบกวนพี่ๆด้วยนะคับ
หรือถ้าเปงไปได้ขอแนวคิดด้วยนะคับ ว่า จะกำจัด factorial ยังไง ผมคิดหัวชนฝายังมะออกเลย หมดปัญญาแระ ถึงมาถามพี่ๆ

[passer-by]

ข้อ 1
\large n(n!)=(n+1-1)n!= (n+1)!-n!

ข้อ 2

\large \frac{n}{(n+1)!}=\frac{(n+1)-1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}

จากนั้นก็กระจาย แต่ละเทอมในรูปแบบข้างต้น ข้อใครข้อมัน แล้วบวกกัน ก็จะพบว่า เทอมต่างๆ ตัดกันไปจนเหลือ (n+1)!-1 สำหรับข้อ 1 และ 1 - (1/(n+1)!) ในข้อ 2

[M@gpie]

ถูกแย่งตอบไปซะก่อนแล้ว แหะๆ คงไม่ว่ากันนะคับ
พอดี ติดสอบไม่ค่อยได้เข้ามาตอบเท่าไร ก็ประเดิมด้วยกระทู้นี้เลยล่ะกันคับ
เริ่มจาก สังเกตกันซักนิดนึงว่า
n \cdot n! = n \cdot n! + n! - n! =(n+1)n! - n! = (n+1)! - n!
เมื่อลองแทนค่าจะพบว่า
n=1 \; \; \rightarrow 1 \cdot 1! = 2! - 1!
n=2 \; \; \rightarrow 2 \cdot 2! = 3! - 2!
n=3 \; \; \rightarrow 3 \cdot 3! = 4! - 3!
...
n=k-1 \; \; \rightarrow (k-1) \cdot (k-1)! = k! - (k-1)!
n=k \; \; \rightarrow k \cdot k! = (k+1)! - k!
เมื่อนำสมการทั้งหมดมาบวกกันจะได้ว่า
1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3\cdot 3! + ... + k \cdot k! = (k+1)! -1
เป็นรูปทั่วไปครับ เทคนิคนี้เรียกว่า Telescopic (ลองหาอ่านได้ในบทความหน้าเวบเรื่อง วิธีการผลต่าง หลักการเดียวกันครับ)
ข้อสองก็ยังคงใช้วิธีการผลต่างเช่นเดิมครับ
จากโจทย์
\begin{array}{rcl} \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + ... + \frac{n}{(n+1)!} & = & \frac{(1 + 1) - 1 }{2!} + \frac{(2 + 1) -1}{3!} + \frac{(3+1)-1}{4!} + ... + \frac{(n+1)-1}{(n+1)!} \\ & = & \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} + ... + \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} \\ & = & 1 - \frac{1}{(n+1)!}\end{array}

[prachya]

ขอบคุงพี่ passer-by กับพี่ m@gpie มากเลยนะครับ ;) เข้ามาตอบรวดเร็วทันใจเหมือนเดิมเลยนะครับ ^o^ ผมคิดหัวชนฝา จะตายไปข้างนึงแระ แก้ factorial มะออก -*- พี่ๆมาตอบ 2 บรรทัด จบ คริคริ :D