สูตรใช้ในการหาสมการเส้นสัมผัสวงกลมจากจุดใดๆ

[kumpirun]

0 http://img535.imageshack.us/img535/6821/ccc0.png (http://imageshack.us/photo/my-images/535/ccc0.png/)
http://img338.imageshack.us/img338/185/ccc1.png (http://imageshack.us/photo/my-images/338/ccc1.png/)
http://img560.imageshack.us/img560/2999/ccc2.png (http://imageshack.us/photo/my-images/560/ccc2.png/)
http://img808.imageshack.us/img808/3632/ccc3.png (http://imageshack.us/photo/my-images/808/ccc3.png/)
http://img85.imageshack.us/img85/2877/ccc4.png (http://imageshack.us/photo/my-images/85/ccc4.png/)
http://img515.imageshack.us/img515/3743/ccc5.png (http://imageshack.us/photo/my-images/515/ccc5.png/)
http://img443.imageshack.us/img443/5976/ccc6.png (http://imageshack.us/photo/my-images/443/ccc6.png/)
http://img444.imageshack.us/img444/2530/ccc7.png (http://imageshack.us/photo/my-images/444/ccc7.png/)
http://img72.imageshack.us/img72/5713/ccc8.png (http://imageshack.us/photo/my-images/72/ccc8.png/)
http://img19.imageshack.us/img19/2484/ccc9.png (http://imageshack.us/photo/my-images/19/ccc9.png/)
http://img828.imageshack.us/img828/9459/ccc10.png (http://imageshack.us/photo/my-images/828/ccc10.png/)

[kongp]

ผมสนใจคณิตคิดเร็ว สำหรับปัญหาข้อนี้ถ้าแปลงให้อยู่ในรูปการแก้สมการเมตริกซ์ รูปสมการจะคล้ายกับการ Transform เอาไปใช้เช่นการฉายเงาสะท้อนผิว การฉายเงาตกกระทบ สนุกครับคณิตศาสตร์จำลองการทดลองวิทยาศาสตร์เนี่ย คงต้องมีการศึกษาระดับสูงพอควร

[แม่ให้บุญมา]

คุณ kumpirun แสดงที่มาของสูตร พร้อมตัวอย่างการนำไปใช้สำหรับโจทย์คณิตที่เกี่ยวข้องที่น่าสนใจ และนำไปใช้ได้ในระดับมัธยม ดีมากทีเดียวครับ

ผมขอเสริมกรณีที่เกี่ยวข้อง คือ ให้หาสมการเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมที่จุดที่กำหนด $({{x}_{3}},{{y}_{3}})$ บนเส้นรอบวง
ถ้าให้วงกลมรํศมี= R มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (h,k) (คุณ kumpirun ให้เป็น $(x_2,y_2))$

จากสมการวงกลม \[{{(x-h)}^{2}}+{{(y-k)}^{2}}={{R}^{2}}\]
จะได้จากการ $\frac{d}{dx}$ จะได้ความชันของเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด (x,y) ใดๆบนเส้นรอบวง ได้ดังนี้
\[2(x-h)=2(y-k)\frac{dy}{dx}=0\to \frac{dy}{dx}=-\frac{x-h}{y-k}\]
ถ้าจุดสัมผัสนั้นคือ $T(x_3,y_3)$ ซึ่งเทียบเท่ากับความชันของเส้นตรง $\frac{y-{{y}_{3}}}{x-{{x}_{3}}}$ จะได้
\[\frac{y-{{y}_{3}}}{x-{{x}_{3}}}=-\frac{{{x}_{3}}-k}{{{y}_{3}}-h}=m\to \]

ดังนั้นสมการเส้นตรงคือ
\[y=-\frac{{{x}_{3}}-k}{{{y}_{3}}-h}(x-{{x}_{3}})+{{y}_{3}}=-\frac{{{x}_{3}}-k}{{{y}_{3}}-h}x+\left( \frac{{{x}_{3}}-k}{{{y}_{3}}-h}{{x}_{3}}+{{y}_{3}} \right)\]

[แม่ให้บุญมา]

การหาสมการเส้นตรง ที่สัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ O(h,k) ที่จุดสัมผัสบนเส้นรอบวงที่ $T(x_3,y_3)$ อาจใช้วิธีทางเรขาคณิต โดยรากเส้นตรงจากจุดศูนย์กลาง O(h,k) ไปยังจุด P(x,y) ใดๆ บนเส้นตรงที่สัมผัสกับวงกลมนั้น จะได้สามเหลี่ยมมุมฉาก OPT โดย OT เป็นเส้นรัศมียาว R หน่วย ทำมุมฉากกับเส้นสัมผัส TP จาก ทฤษฎีของปีทากอรัสจะได้ว่า
$OP^2=PT^2+OT^2$
\[\begin{align}
& {{(x-{{x}_{3}})}^{2}}+{{(y-{{y}_{3}})}^{2}}=[{{(x-h)}^{2}}+{{(y-k)}^{2}}]+{{R}^{2}} \\
& {{(x-h)}^{2}}+{{(y-k)}^{2}}={{(x-{{x}_{3}})}^{2}}+{{(y-{{y}_{3}})}^{2}}+{{R}^{2}} \\
& ({{{\not{x}}}^{2}}-2hx+{{h}^{2}})+({{{\not{y}}}^{2}}-2ky+{{k}^{2}})=[({{{\not{x}}}^{2}}-2{{x}_{3}}x+x_{3}^{2})+({{{\not{y}}}^{2}}-2{{y}_{3}}y+y_{3}^{2})]+{{R}^{2}} \\
& 2({{x}_{3}}-h)x+2({{y}_{3}}-k)y+({{h}^{2}}+{{k}^{2}}-{{R}^{2}})=0 \\
& y=-\frac{{{x}_{3}}-h}{{{y}_{3}}-k}x+\frac{{{R}^{2}}-({{h}^{2}}+{{k}^{2}})}{2({{y}_{3}}-k)} \\
\end{align}\]