เพชรยอดมงกุฎ ยากพอสมควร

[gnopy]

ช่วยกันหาคำตอบหน่อยนะครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-001105-000000.gif

[gnopy]

มีต่อ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-001105-000001.gif

[gnopy]

ต่ออีก
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-001105-000002.gif

[kanji]

ข้อ 7
จาก $f(1-x)=-(1+x)$
จะได้ว่า $f(-2)=f(1-3)=-(1+3)=-4$ และ $f(5)=f(1-(-4))=-(1+(-4))=3$
$\therefore \,\,f(-2)+f(5)+7=-4+3+7=6$

[kanji]

ข้อ 5
จากสมการพาราโบลา คือ $y^2=8x$ เราจะได้ว่า เป็นพาราโบลาตะแคงขวา จุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด
และความยาวโฟกัส $c=2$ ดังนั้นจุดโฟกัสคือ $(2,0)$
และจาก$\overline{PQ}$ ขนานกับ $y=2\sqrt{2}x+1$ จะได้ความชันของ $\overline{PQ}=2\sqrt{2}$ และ $\overline{PQ}$ ผ่านจุดโฟกัส
ดังนั้นจะได้สมการเส้นตรงของ $\overline{PQ}$ คือ $y=2\sqrt{2}(x-2)$
ต่อไปหาจุดตัดระหว่าง สมการพาราโบลากับ เส้นตรง $\overline{PQ}$
แทน $y=2\sqrt{2}(x-2)$ ในสมการพาราโบลา จะได้
$\begin{array}{rcl}
(2\sqrt{2}(x-2))^2 &=& 8x\\
8(x^2-4x+4) &=& 8x\\
x^2-5x+4&=&0\\
(x-4)(x-1)&=&0
\end{array}$
ดังนั้น $x=1,4$ นำไปแทนใน สมการพาราโบลา เพื่อหาค่า y จะได้ $(1,\pm 2\sqrt{2})$ และ $(4,\pm 4\sqrt{2})$ แต่ $\overline{PQ}$ ต้องผ่านจุดโฟกัส ดังนั้น
$P=(1, 2\sqrt{2}) \,\, Q=(4,-4\sqrt{2})$ หรือ $P=(1,-2\sqrt{2}) \,\, Q=(4,4\sqrt{2})$
แต่ ความชันเป็น $2\sqrt{2}$ ดังนั้นจะได้ $P=(1,-2\sqrt{2}) \,\, Q=(4,4\sqrt{2})$
และหา $|\overline{PQ}|=\sqrt{(1-4)^2+(-2\sqrt{2}-4\sqrt{2})^2}=\sqrt{81}=9$

[nongtum]

ข้อสอบไม่ยากมาก แต่อย่าเชื่อจนกว่าจะได้ทดเอง หากสงสัยวิธีทำถามได้ครับ

1. 4
2. 44
3. m=1, n=-1, m+n=0
4. 60
5. 9
6. $\mathbb{R}-\{6,\frac{1}{2}\}$
7. 6
8. 5236
9. 0
10. 5
11. 3

[kanji]

ข้อ 9
จาก
$\begin{array}{rcl}
(\sin\frac{\pi}{6})^{4x}&=&(\sqrt[5]{2^{30}})(\sec^2\frac{\pi}{3})\\
\left(\frac{1}{2} \right)^{4x} &=& 2^6.2^2\\
2^{-4x} &=& 2^8\\
-4x &=& 8\\
x &=& -2
\end{array}$
ดังนั้น $x^3-4x=(-2)^3-4(-2)=0$

[kanji]

ข้อ 6
หา $R_{f.g}$
พิจารณา
$\begin{array}{rcl}
f(x).g(x) &=& \frac{6x}{x+1}.\frac{x+1}{2x+1}\\
y &=& \frac{6x}{2x+1} \,\,\text{เมื่อ}\,x \not= -1\\
2yx+y &=& 6x\\
y &=& 6x-2yx \\
\frac{y}{6-2y}&=& x
\end{array}$
ดังนั้น $R_{f.g}=\mathbb{R}-\{3\}$
แต่จาก $f(x).g(x)=\frac{6x}{2x+1}$ เมื่อ $x\not= -1$ แต่ $f(-1).g(-1) = 6$
$\therefore R_{f.g}=\mathbb{R}-\{6,3 \}$

หมายเหตุ จะเห็นว่า เรนจ์ของ $f.g$ เป็น $\frac{1}{2}$ ได้ เมื่อ $x=\frac{1}{10}$

[kanji]

ข้อ 3
โดย division algorithm
42=28(1)+14 ..................*
28=14(2)+0

ดังนั้น (42,28)=14
และจาก (*) จะได้ว่า 42(1)+28(-1)=14
เพราะฉะนั้น m= -1 n=1 m+n= 0

[kanji]

ข้อ 4
เนื่องจาก $50=2\times 5\times 5$

ดังนั้น สมาชิกของ B แต่ละตัว ต้องมี 2 เป็นตัวประกอบ แต่ ไม่มีมี 5 เป็นตัวประกอบ
ให้ $C=\{x\in A | \,\,\,2|x \} $ คือเซตที่สมาชิกมี 2 เป็นตัวประกอบ
$E=\{x\in A |\,\, \,10|x \} $ คือ เซตที่สมาชิกมี 2 และ 5 เป็นตัวประกอบ

ดังนั้น $n(B)=n(C)-n(E)=75-15=60 $

[kanji]

ข้อ 10
ให้ $k=3^{\sqrt{x^2+x-2}}$
จะได้
$\begin{array}{rcl}
3k+ \frac{9}{k} &=& 28\\
3k^{2} -28k +9 &=& 0\\
(3k-1)(k-9) &=& 0
\end{array}$
ดังนั้น $k=\frac{1}{3},9$
จะได้ $3^{\sqrt{x^2+x-2}}=3^{-1}$ $\Rightarrow$ $\sqrt{x^2+x-2}=-1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
และ
$\begin{array}{rcl}
3^{\sqrt{x^2+x-2}}&=&3^2\\
\sqrt{x^2+x-2}&=&2\\
x^2+x-2&=&4\\
x^2+x-6&=&0\\
(x+3)(x-2)&=&0
\end{array}$
$x=-3,2$ ตรวจสอบแล้วพบว่าใช้ได้ทั้งสองค่า ให้ $A=-3 \,\,B=2$
ดังนั้น $|A-B|=|-3-2|=5$

[kanji]

http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-001105-000011.gif

[ZiLnIcE]

ข้ออื่นผมคิดได้เท่าคุณ nongtum แต่ข้อ 11 ไม่ทราบว่าคุณ nongtum คิดเลขผิดหรือเปล่าครับ ผมได้3ครับ

มีอีกข้อครับข้อ6 ครับผมได้ R-{6,1/2}ครับ

[nongtum]

ตามไปแก้แล้ว หวังว่าจะไม่มีที่ผิด

[kanji]

ผมขอแก้ข้อ 6 ใหม่นะครับ
สำหรับ $D_{f.g}=D_f \cap D_g$ แต่ไม่จำเป็นที่ $R_{f.g}=R_f \cap R_g$

[gnopy]

ตอนนี้เป็นส่วนของ การวัดความรู้พื้นฐานฮะ มี 20 ข้อ ก็ไม่ยากเท่าไหร่ แต่เวลามันจำกัดอะ แบบว่าข้อละประมาณ 2 นาที แล้ววิธีทำเยอะด้วย คงไม่มีใครทำได้เต็มอะนะ มีต่อครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-001105-000016.gif

[gnopy]

ก็มีคนคะแนสูงสุดคือ 70 คะแนน ครับ จากเต็ม 120 ต่อเลยละกัน
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-001105-000017.gif

[nongtum]

เหมือนเดิม อย่าเชื่อจนกว่าจะได้ทดเอง อยากดูวิธีทำข้อไหนขอได้ครับ

12. 3
13. 6
14. (คิดว่าข้อนี้โจทย์ผิด เพราะ f ไม่ใช่สมการเชิงเส้น)
15. 0 (ข้อนี้โจทย์ง่ายผิดปกติ มันต้องมีอะไรผิดแน่ๆ)
16. 15 (ดูวิธีคิดด้านล่าง)
17. 716680
18. 1680 (ทำได้โดยสังเกตผลต่างกำลังสอง แล้วใช้ telescope sum)

[Mastermander]

12.
$$ 2=3x+y\qquad ,\;x-y=3 $$

17.
$$ \sum_{n=1}^{40} n^2(n+2)=\sum_{n=1}^{40} n^3+2n^2 =716680$$

18.
1680

สงสัยข้อ 16 ครับ

[nongtum]

16. $f''(x)=(f'(x))'=(xf(x))'=f(x)+xf'(x)=f(x)+x^2f(x)$
ดังนั้น $f''(-2)=3+4\cdot3=15$

ปล. รู้สึกว่าช่วงนี้กว่าจะโหลดได้แต่ละหน้า ฟังเพลงจบได้เป็นเพลงๆ ไม่รู้เกิดอะไรขึ้น

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
อย่าเชื่อจนกว่าจะได้ทดเอง อยากดูวิธีทำข้อไหนขอได้ครับ


กลายเป็น slocan ของพี่ nongtum ซะแล้ว อิอิ :D
รบกวนถาม เทคนิคพี่ nongtum นิดนึงได้ปะคับ ว่า ต้องทำยังไงอะคับ ถึงจะขยันมากๆ :o

[nongtum]

ขอนอกเรื่องนิดหน่อย คงไม่ว่ากัน :)

ที่ต้องพิมพ์แบบนั้นตลอด(ไม่ตั้งใจให้เป็นสโลแกนนา) เพราะปกติเวลามาโพสต์อะไรที่นี่มักจะทดผ่านๆในเศษกระดาษ ซึ่งหากว่าโจทย์ข้อไหนหากคิดออกแต่โหดๆหน่อยก็จะมองอะไรตกหล่นง่ายๆแล้วทดผิดประจำ และช่วงหลังๆเวลามีข้อสอบก็ได้แค่ลงแต่คำตอบแต่ไม่ได้ลงวิธีทำ(แอบอู้ คนอื่นจะได้ลองทำเองบ้าง)

ส่วนที่ว่าทำไมขยันโพสต์(ไม่ต้องพึ่งยา) คงเพราะยังสนุกกับการตอบปัญหาที่ตัวเองสามารถช่วยตอบได้ เล่นมาได้หนึ่งปี จนตอนนี้ทะลุ 500 คำตอบไปแล้ว ก็ยังไม่รู้สึกว่าตัวเองเก่งกว่าเดิมเท่าไหร่เพราะไม่ค่อยได้ตอบอะไรที่ใช้ความรู้เกินมัธยม(ที่ส่วนใหญ่ก็ตอบไม่ได้) ส่วนแรงอึดให้อ่านหนังสือวิชาอื่นๆนี่ หากไม่จำเป็นหรือสนใจจริงๆก็แทบจะไม่มีเลยล่ะครับ

อ้อ ฝากถึงน้องคนที่เอาข้อสอบมาลงนะครับ ว่าหากไฟล์ภาพมันใหญ่กว่า 10kb หากเป็นไปได้ให้แปะโดยใช้ free host ครับ(ใช้ Tag [img]) เพราะแปะได้ติดๆกันหลายรูปในหน้าเดียว และกระทู้จะได้โหลดเร็วกว่าเดิมมากๆ อย่าลืมนะครับว่ากระทู้ที่โหลดช้านี่มันทั้งโหลดรูป ทั้งคอมไพล์ TeX (หากมี) หากสงสัยว่าทำอย่างไร ดูได้จากวิธีการใช้เวบบอร์ดครับ

[nithi_rung]

ข้อ 2 หา B[:union]C ไม่ได้ครับ ทราบจำนวนสมาชิกของสองเซตนี้ก็จริง แต่ไม่ทราบความสัมพันธ์ของสองเซตนี้

ข้อ 3 คำตอบไม่ unique นะครับ
กรณีตัวอย่าง
m=1, n=-1 ได้ 42m+28n=14
m=-1, n=2 ก็ได้ 42m+28n=14 เช่นกัน
และได้ m+n ไม่เท่ากันครับ
(ที่จริงถ้าคิดดีๆ จะได้ว่าคำตอบมีมากมายไม่จำกัดครับ)

หรือว่าผมอ่านเงื่อนไขโจทย์ตรงไหนตกรึเปล่าครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nithi_rung:
ข้อ 2 หา B[:union]C ไม่ได้ครับ ทราบจำนวนสมาชิกของสองเซตนี้ก็จริง แต่ไม่ทราบความสัมพันธ์ของสองเซตนี้ในกรณีนี้หาได้ครับ เพราะ $C= \emptyset $ ข้อความเดิมของคุณ nithi_rung:
ข้อ 3 คำตอบไม่ unique นะครับ
กรณีตัวอย่าง
m=1, n=-1 ได้ 42m+28n=14
m=-1, n=2 ก็ได้ 42m+28n=14 เช่นกัน
และได้ m+n ไม่เท่ากันครับ
(ที่จริงถ้าคิดดีๆ จะได้ว่าคำตอบมีมากมายไม่จำกัดครับ)เห็นด้วยครับ เซ็ตคำตอบของข้อนี้คือ $\mathbb Z$ เพราะ $$ m=3t-1, \, n=1-2t, \, t\in \mathbb Z$$

[nithi_rung]

โอเคครับ เข้าใจแล้ว ขอโทษด้วยที่พลาด

[prachya]

ขุดกระทู้นิดนึงครับ แหะๆ ไม่อยากตั้ง topic ใหม่เห็นว่ามี topic นี้อยู่แล้ว

ผมมีปัญหาอยู่บาง ข้อครับ ยังคิดมะออก

50. กำหนดให้ $a^3 = b^3$ และ a [:notequal] b

$A = \frac{a}{a+b}+(\frac{a}{a+b})^2 + (\frac{a}{a+b})^3+...+(\frac{a}{a+b})^{2547} $
$B = \frac{b}{a+b}+(\frac{b}{a+b})^2+(\frac{b}{a+b})^3+...+(\frac{b}{a+b})^{2547} $
จงหาค่าของ -100 (A+B)

ดูจากเงื่อนไขน่าจะเป็น Complex นะครับ แต่ผมก็ยังคิดอะไรมากกว่านั้นไม่ออก
รบกวนช่วยหน่อยนะครับ ที่จริงยังมีอีกบางข้อครับ แต่เอาแค่นี้ก่อนละกัน
ข้ออื่นยังไม่ละความพยายาม ^o^

[M@gpie]

ลองคิดแต่วิธีอาจจะยากไปหน่อยไม่เหมาะกับการคิดในเวลาอันสั้น แถมประหลาดด้วย 55 ลองดูละกันครับ
ก่อนอื่นจะให้ \; x=\frac{b}{a} \; ดังนั้น จากเงื่อนไขของโจทย์จะได้ว่า \; (x-1)(x^2+x+1)=0
เนื่องจาก \; x=0 \; ไม่เป็นคำตอบของสมการและ จากโจทย์
\; x\neq1 \rightarrow x^2+x+1 = 0 \rightarrow x+\frac{1}{x} = -1 \; \; ,\; \; x=-\frac{1}{x+1} \; \; , \; \; x^2 = \frac{-x}{x+1}
ลองแก้สมการจะพบว่าคำตอบของสมการคือ x=e^{-j\frac{2\pi}{3}} \; , \; e^{j \frac{2\pi}{3}}
ซึ่งจะเห็นได้ว่า x^{2547} = 1 โดยทฤษฏีของเดอมัวร์
ต่อไปจะใช้คุณสมบัตินี้ค่า A+B โดย
A=\frac{1}{1+x} + (\frac{1}{1+x})^2 + ... + (\frac{1}{1+x})^{2547} = \frac{\frac{1}{1+x} (1-(\frac{1}{1+x})^{2547}) }{1-\frac{1}{1+x}} = \frac{1}{x}(1-(\frac{1}{1+x})^{2547}) ใช้คุณสมบัติที่แสดงไว้ข้างบนจะได้ว่า A = \frac{1}{x}(1+x^{2547}) = \frac{2}{x}
B=\frac{x}{1+x} + (\frac{x}{1+x})^2 + ... + (\frac{x}{1+x})^{2547} = \frac{\frac{x}{1+x} (1-(\frac{x}{1+x})^{2547}) }{1-\frac{x}{1+x}} = x(1-(\frac{x}{1+x})^{2547}) ใช้คุณสมบัติที่แสดงไว้ข้างบนอีกครั้ง B = x(1+(x^{2547})^2) = 2x
ดังนั้น A+B = 2( x+\frac{1}{x}) = -2
จึงได้ว่า -100( A+B) = -200

[bell18]

ขอวิจารณ์ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏหน่อยว่า เป็นข้อสอบที่ไม่ค่อยได้มาตรฐานเลย
1. ข้อสอบมีข้อผิดพลาดเยอะมากเกินกว่าที่จะรับได้
2. การวัดผลไม่ตรงตามที่เขียนมา กล่าวคือ
ตอนที่ 1 ทดสอบความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ จำนวน 20 ข้อ 20 คะแนน
แต่ดูแล้ว มันไม่ใช่เลย หลายข้อเป็นข้อสอบเชิงวิเคราะห์ และผู้สอบต้องมีประสบการณ์มาก
ตอนที่ 2 ทดสอบการนำคณิตศาสตร์ไปใช้ จำนวน 20 ข้อ 40 คะแนน
แต่ดูแล้ว ไม่เห็นมีโจทย์ปัญหาที่เป็นการนำคณิตศาสตร์ไปใช้ จึงไม่ทราบว่าผู้ออกข้อสอบ
ต้องการให้นักเรียนนำคณิตศาสตร์ไปใช้ทำอะไร (หรือเอาไปใช้ทำข้อสอบแข่งขัน)
ตอนที่ 3 ทดสอบความเป็นเลิศทางคณิตศาสตร์ จำนวน 20 ข้อ 60 คะแนน
แต่ดูแล้ว มีหลายข้อเป็นโจทย์ค่อนข้างง่าย บ้างข้อง่ายกว่าตอนที่ 1 เสียอีก
3. ความยากง่ายของข้อสอบแต่ละตอนไม่ชัดเจน
4. การตรวจข้อสอบมีปัญหาทุกปี สังเกตว่าจะมีเด็กนักเรียนประท้วงการประกาศผลคะแนนเป็นประจำ
ระดับม.ปลายจัดมา 4 ครั้งแล้ว ปี 2549 นี้ เป็นครั้งที่ 4 ปัญหาเดิมๆ ก็ยังมีอยู่

[prachya]

อืม ครับ ข้อสอบในแต่ละตอน มียากง่ายไม่เสมอกันจริงครับ(โดยเฉพาะปีก่อนๆ) ไม่ทราบว่า ผู้ออกข้อสอบตั้งใจจริงรึเปล่า แต่ข้อสอบในปีนี้ก็ยังพอโอเคครับ ไม่มีข้อที่ยากเวอร์ๆเกินไปซักเท่าไร

เรื่องคะแนนก็เหมือนกันครับ เพราะคะแนนไม่ค่อยเป็นที่น่าพอใจเลยครับ >< แต่ก็ไม่อยากไปพูดอะไรมาก (ยังพยายามคิดในแง่ดีว่าเราพลาดเอง) แล้วมีคะแนนของบางคนที่สูงๆในแต่ละตอน ทำให้ไม่น่าผิดพลาดที่ตัวเฉลย ถ้าจะมีปัญหาคงเป็นที่คนตรวจ หรือการบันทึกคะแนนมากกว่า

[mathcenter]

น้อง prachya เป็นตัวแทนโรงเรียนไปสอบมาหรือครับ ผลเป็นไงครับ. :eek:

[jojo]

โดยส่วนตัวผมคิดว่าปีนี้มีปัญหาเรื่องการตรวจข้อสอบแน่นอน

เฉลยคงมีคำตอบที่ถูกต้องทุกข้อ แต่บางpartอย่างเช่นpart2เนี่ย ซึ่งตอนทำผมก็พอทำได้ และคิดว่าคะแนนจะได้ระดับนึง แต่พอผลประกาศคะแนนมาแล้วคะแนนหวบเหลือเลขหลักเดียวเนี่ย ตอนแรกก็ขึ้นว่าเราอาจพลาด แต่พอลองถามจากเพื่อนๆในกลุ่มmath'o ด้วยกันแล้วก็เจอปัญกาเหมือนๆักัน

อาจจะเป็นเพราะเขารีบตรวจให้ทันกับเวลาประกาศผลหรือเปล่า

ปีนี้ข้อสอบลดระดับความยากลงไปเยอะมาก ทำให้มีเด็กภูธรติดมาเพียบ(แอบบ่นอีก2คะแนนจะได้ขึ้นเวทีแล้ว) แถมการประกาศผลก็ผิดพลาด ทำให้ในการประกาศผลครั้งสุดท้ายต้องเอาพวกที่มีชื่อติดไปในตอนแรก ขึ้นไปบนเวทีด้วย ดูซิ ดูเขาทำ

[prachya]

ได้แค่ที่ 81 เองครับ รางวัลคะแนนผ่านเกณฑ์
แต่ยังค้างคาใจ ที่ part 3 ผมได้แค่ 2 คะแนน ????? :eek: เต็ม 60 :aah:

น่าเสียดายแทน jojo นะครับ ได้ที่ 15 ได้รางวัลชมเชยเพชร แต่อีกแค่ 3 คะแนนก็จะเข้ารอบชิงแล้ว :great: