โจทย์ชิงถ้วยม.ปลาย

[Pramote]

1.กำหนดaที่1 = 1 และaที่n = n^3 - 1 / n^3+1 เมื่อn[:greateq]2
นิยาม[:product]aที่n = aที่หนึ่ง x aที่2 x........... x..xaที่k

จงหาlimit [:product]of aที่n โดยที่kเข้าใกล้[:infinity] ตรงกับข้อใด

ก.1/3 ข.1/2 ค.2/3 ง.3/2


ปล.ผมหาได้ประมาณข้อก.(1/3)ไม่รู้ว่าถูกไหม อยากทราบวิธีทำละเอียด

2.ให้f(x) = x^3+ ax^2 + bx + 10 โดยที่a,bเป็นจำนวนจริง และf(1+2t) =0 จงหาส่วนจริงของf(t^10)

ปล.ข้อนี้ผมยังหาไม่ได้ ช่วยแสดงวิธีคิดแบบละเอียดๆๆ

[nongtum]

แก้สมการให้ถูกก่อนนะครับ (http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=710)

[M@gpie]

เนื่องจาก \frac{n^3-1}{n^3+1} = \frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}
\prod_{n=2}^{k}\frac{n^3-1}{n^3+1} = \prod_{n=2}^{k}\frac{(n-1)}{(n+1)} \prod_{n=2}^{k}\frac{n^2+n+1}{n^2-n+1} = \frac{2}{3} \frac{(k+1)^2-(k+1)+1}{k(k+1)}

lim_{k \rightarrow \infty}\prod_{n=2}^{k}\frac{n^3-1}{n^3+1} = \frac{2}{3}

[Pramote]

ขอขอบคุณพี่M@gpie ที่ช่วยตอบนะครับ คือว่าผมยังสงสัยตรง

k
[:product] (n-1) / (n+1) [:product] (n^2 + n + 1 / n^2 - n + 1) = ?
n = 2


ผมลองแทนค่าแล้วไม่ได้ ช่วยเฉลยละเอียดอีกซักนิดครับ อีกอย่าง2/3(k+1)^2 -(k+1) +1 / k(k+1)มาจากไหน

[nongtum]

ข้อแรกลองเขียนกระจายเทอมผลคูณแต่ละตัวดูครับ 2/3 ก็มาจากตรงนี้แหละ ส่วนคำถามหลังมันคือการจัดรูปครับ
ข้อสองลองแทนค่าตรงๆแล้วได้ผลว่าไงครับ

ปล. พยายามฝึกใช้ TeX หรือ UBB-Code ด้วยครับเพราะจะเป็นผลดีในระยะยาวในการสื่อสารที่นี่ พอจะดูออกใช่ไหมครับว่าที่พิมพ์มามันกำกวมขนาดไหน