สมาคม ม.ปลาย 2549

[passer-by]

ดูดมาจากที่ http://www.vcharkarn.com/include/vcafe/showkratoo.php?Pid=62489

ร่วมเฉลยกันตามสะดวกเลยนะครับ

[ผู้ไม่ประสงค์ออกนาม]

รบกวนคุณ passer-by ช่วยหาข้อสอบ ม.ต้น สมาคมปี49 ให้หน่อยครับ ขอบคุณครับ

[passer-by]

ลองเข้าที่link นี้ (http://www.vcharkarn.com/include/vcafe/showkratoo.php?Cid=105&Pid=62475) แก้ขัดไปก่อนได้ไหมครับ เพราะตอนนี้ผมก็ไม่มีต้นฉบับข้อสอบสมาคม ม.ต้นในมือ เหมือนกัน

ผมรู้สึกว่าตั้งแต่น้อง tummykung ไม่อยู่ (ซึ่งผม assume ว่าน่าจะอยู่ค่าย สสวท.) หลังจากนั้น หาคน scan & แปะ ข้อสอบ ที่เป็น big match ยากจังเลย

ในส่วนของสมาคม ม.ปลาย โดยรวมก็ดีครับ จะมีข้อ 10 กับ 27 ที่ความรู้ ม.ต้น จะช่วยได้เยอะ

แต่ตอนนี้ ผมอยากรู้เฉลยข้อ 20 มากเลย เพราะผมไม่ค่อยชอบโจทย์สไตล์นี้ กับอีกข้อคือข้อ 35 ซึ่งผมว่าโหดสุดในนี้แล้วมั้งคับ

สำหรับข้ออื่นๆ ผมให้เป็น Hint / Suggestion เท่าที่จำเป็นของบางข้อนะครับ

4. $ f(x) = 1+\frac{x}{x^2+1} $

ถ้า $ y= \frac{x}{x^2+1} \rightarrow yx^2-x+y=0 $

จากนั้นก็พิจารณาค่า discriminant $( b^2-4ac) $ ครับ ก็จะได้ค่า range

5. พิจารณา
$ a_1r(1+r+r^2+r^3)=\frac{5}{8} $ และ $ a_1r^3(1+r+r^2+r^3)=\frac{5}{32} $

6. $\begin{array}{rcl} \frac{\sin(A-B)}{\cos A\cos B}+\frac{\sin(B-C)}{\cos B \cos C}+\frac{\sin (C-A)}{\cos A \cos C} &= & - \frac{\sin(A-B)\cos(A+B)+\sin(B-C)\cos(B+C)+\sin(C-A)\cos(C+A)}{\cos A \cos B \cos C} \\ &= & - \frac{1}{2}(\frac{(\sin 2A - \sin 2B)+(\sin 2B -\sin 2C)+ (\sin 2C - \sin 2A))}{\cos A \cos B \cos C}) \\ & = & 0 \end{array}$

10. วาดรูปแล้ว ลากรัศมีตั้งฉากกับเส้นตรง L ครับ จะเกิดสามเหลี่ยมคล้าย แล้วก็หามุมของสามเหลี่ยมออกมา สุดท้ายจะพบว่ามุมป้านที่เส้นตรงทำกับแกน X คือ 120 องศา

14. $ \log_{4x}2x^2 =\log_{4x}(\frac{16x^2}{8}) = 2 - \log_{4x} 8 $

อีก 2 พจน์ก็ทำเหมือนกันครับ สุดท้ายจะเหลือเพียง $ \log_{4x}2 =\log_{9y}3 = \log_{25z} 5 = k $ หลังจากนั้นก็เขียน x,y,z ในเทอมของ k ให้ได้ครับ

15. $ \frac{4!}{2!2!}{6 \choose 2} + 2{6 \choose 2}\frac{4!}{3!} $ (แบบ AABB กับแบบ AAAB )

16. เอา A, F ออกไปก่อน จากนั้นก็คิดแยกกรณี 0,2,2 กับ 1,2,1 และ 0,3,1

22. ให้ a,b,c,d,e เป็นสมาชิกของ A โดย a <b< c< d < e แล้วก็ลองเริ่มพิจารณาจาก ผลบวกน้อยสุดกับมากสุด ก่อน

25. มองเป็นแง่ของ graph theory จะช่วยได้เยอะครับ

เราจะให้จุดบนกราฟแต่ละจุด แทนส่วนของเส้นตรงในโจทย์ และจะเชื่อมจุด 2 จุดบนกราฟ ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรง 2 เส้นนั้น ตัดกัน

เท่ากับว่า ปัญหานี้ จะมี จุดยอด 8 จุด มี edge 13 เส้น และมี 7 จุดที่มีดีกรี 3 หลังจากนี้ก็คงไม่ยากแล้วในการหาดีกรีจุดที่ 8

ข้ออื่น เก็บไว้รอคนอื่นมาตอบแล้วกันครับ เพราะผมก็เริ่มขี้เกียจพิมพ์นิดๆ :p

[passer-by]

ในที่สุด ก็รู้ว่า ข้อ 35 ถูก modify มาจาก Putnam 1992 นั่นเอง

35. ให้ A เป็นเมตริกซ์จัตุรัส ขนาด 2549 x 2549 โดย

$$ a_{ij}= \left\{ \begin{array}{rcl} i+2 & i= j \\ 1 & i \neq j \end{array}\right. $$

ถ้า $ H_n = 1+\frac{1}{2}+\cdots\frac{1}{n}$ แล้วหาค่า det(A) ในเทอมของ $ H_n $ สำหรับค่า n ที่เหมาะสม

HINT/SUGGESTION

(1) เปลี่ยนแถวที่ i เป็น $ -R_1+R_i \quad i= 2,3,\cdots 2549 $ แน่นอนว่า row operation ด้วยวิธีนี้ ทำให้ ค่า det คงเดิม

(2) transpose เมตริกซ์ (ค่า det ก็ยังคงเดิม)

(3) เปลี่ยนแถวที่ 1 ของเมตริกซ์ที่ถูก transpose ด้วย $ \frac{2}{i}R_{i-1}+R_1 \quad i= 3,4,\cdots 2550 $

จากนั้นก็หา det(A) จากการกระจาย cofactor ของแถวที่ 1 พบว่า

$ det(A)=(3+2(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\frac{1}{2550}))(\frac{2550!}{2})= 2550! H_{2550} $

[gon]

สงสัยอาจารย์ที่คณะวิทยาศาสตร์ จุฬา ฯ คงต้องขยันขวนขวายดัดแปลงข้อสอบอยู่บ่อย ๆ :laugh:

วันก่อนที่โรงเรียนสาธิตจุฬา มีโครงการคัดเด็กพิเศษ (ม.ต้น) (คนละโครงการกับ "ครีม" ) (ข้างล่างกระดาษข้อสอบเขียนว่า คณะวิทยา ฯ จุฬา ฯ) ข้อสอบรอบสองรู้สึกว่าจะมี 5 ข้อ ข้อสุดท้ายถ้าจำไม่ผิด โจทย์มีอยู่ว่า

"จงหาจำนวนเต็มบวก a, b ทั้งหมด ที่ทำให้ $a^{10} + b^{10}$ หารด้วย a + b ลงตัว" :rolleyes:

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ gon:
"จงหาจำนวนเต็มบวก a, b ทั้งหมด ที่ทำให้ $a^{10} + b^{10}$ หารด้วย a + b ลงตัว" :rolleyes: แล้วคำตอบคืออะไรครับ เซตคำตอบที่ผมหาได้คือ $$ \{ \, (a,b) \mid a \in \mathbb N, \; b = d-a, \; d>a, \; d \mid 2a^{10} \, \} $$ ไม่รู้มันยุ่งยากไปรึเปล่า

[Mastermander]

จงหาจำนวนจริงบวก a ที่น้อยที่สุดที่ทำให้
\int_0^{2\pi}\big|\sin(x+2549a)-\sin(x+2006a)\big|\,dx

มีค่าสูงสุด...


รบกวนด้วยครับ :D

[warut]

อยากได้ค่าสูงสุด ก็ทำให้ phase มันต่างกันอยู่ $\pi$ radians (i.e. in antiphase) สิครับ $$ 2549a - 2006a = \pi \quad \Rightarrow \quad a= \frac{\pi}{543} $$

[passer-by]

สงสัยผมจะต้องถอนคำพูดที่บอกว่า ข้อ 35 ยากสุดแล้วมั้งเนี่ย

เพราะข้อ 33 รู้สึกจะปวดหัวกว่าอีกเพราะต้องอ้างอิงทฤษฎีเรขาคณิต

33. ให้ A B C D เป็นจุดบนวงกลม เรียงตามเข็มนาฬิกา ถ้า ผลบวกกำลังสองของด้านทั้งสี่ เท่ากับผลบวกกำลังสองของเส้นทแยงมุม และ $ \mid \vec{AB} \mid = a \,\, , \mid \vec{BC} \mid = b $

หาค่า $ \vec{AC}\cdot \vec{BD} $ ในเทอมของ a, b

Solution : อ้างอิงทฤษฏีในเรขาคณิตที่ว่า สำหรับ convex quadrilateral ABCD (ตามโจทย์)
$$ a^2+b^2+c^2+d^2 = (Di_1)^2+(Di_2)^2+4x^2 $$
เมื่อ x แทนความยาวเส้นเชื่อมจุดกึ่งกลางเส้นทแยงมุม
a,b,c,d คือด้านทั้งสี่ และ $ Di_1 $ และ $ Di_2 $ แทนความยาวเส้นทแยงมุม

ดังนั้น จากโจทย์ทำให้เราพบว่า จุดตัดเส้นทแยงมุม แบ่งครึ่งเส้นทแยงมุมด้วย

เนื่องจาก ABCD เป็น cyclic ทำให้เส้นทแยงมุม 2 เส้นยาวเท่ากัน (By intersection chord theorem)

และยังทำให้ สี่เหลี่ยมดังกล่าวเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย

ดังนั้น $ \vec{AB} = \vec{CD} \,\,\, , \vec{BC} = \vec{DA} $

และ $ \vec{AC} \cdot \vec{BD}= (\vec{AD}+\vec{AB} )\cdot (\vec{BA}+\vec{BC})= (\vec{BC}+\vec{AB} )\cdot (\vec{BC}-\vec{AB})= b^2-a^2 $

p.s. ใครมีวิธีแบบไม่ต้องอ้างอิงทฤษฎีข้างต้นเกี่ยวกับผลบวกกำลังสอง ก็บอกกันด้วยนะครับ

[Sophia_Venus]

อยากทราบข้อ 21 ค่ะ ว่าทำอย่างไร

[alpha]

ข้อความเดิมของคุณ Sophia_Venus:
อยากทราบข้อ 21 ค่ะ ว่าทำอย่างไร

http://www.vcharkarn.com/vcafe/dekvit/uploaded_pics/CS21996x38.gif

เฉลยเฉพาะ ข้อ 21 นะครับ

พิจารณา f(n) จะได้ว่า
f(n)= 1,2,3,4,... เมื่อ n เป็นจำนวนคู่ (สังเกตว่า f(n) มีค่าเป็นจำนวนคู่ได้ในกรณีนี้เท่านั้น)
f(n)= 5,9,13,... เมื่อ n เป็นจำนวนคี่

โจทย์ต้องการ n ที่ทำให้ f(f(n))= 37
เราจะเริ่มจากหา f(n) (ตัวข้างในน่ะครับ) ที่ทำให้ f(f(n))=37 ก่อน
กรณี f(n) ดังกล่าวเป็นจำนวนคู่ จะได้ว่า f(n)=74 เท่านั้นครับ
กรณี f(n) เป็นจำนวนคี่บ้าง จะได้ว่า f(n) = 17
ลองคิดดูนะครับว่ามาได้อย่างไร

ต่อไปก็จะเอา f(n)= 17,74 มาหาค่า n
กรณีแรก f(n)=74 ชัดเจนนะครับว่า n= 148
กรณีที่ 2 f(n)=17 ก็ต้องทำ ทำนองเดียวกับขั้นตอนก่อนหน้านะครับ แยกกรณี n เป็นเลขคี่-คู่
จะได้ n = 34 และ 7
สรุปว่าเซตคำตอบนั้นก็คือ {7, 34, 148} ครับ

ปล.1 ไม่ได้เข้ามาหลายปี รู้สึกบอร์ดจะครึกครื้นขึ้นเยอะนะครับเนี่ย
ปล.2 ไม่ได้ทำโจทย์พวกนี้ก็หลายปีแล้วเหมือนกัน ยังไงฝากท่าน gon ตรวจสอบให้ด้วยนะครับ
ปล.3 พิมพ์ครั้งก่อนส่งไม่ติด เน็ตหลุดพอดี ต้องพิมพ์ซ้ำใหม่หมดเลย T_T

[RedfoX]

อืม ไปดูแล้วงงมากครับ โจทย์ไม่เรียงข้อนี่ดูแล้วลายตา ลายตา จริงๆ

[devilzoa]

ผมลองคิดข้อ 34 ดูอ่ะครับ (ไม่รู้ว่าช้าเกินรึเปล่า)
$$(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}+(\sqrt{5}+1)(3-\sqrt{5})^{x}=4\cdot 2^{x}$$
เปลี่ยนรูปดูได้
$$[(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}]^{2}+4\cdot 4^{x}=4\cdot 2^{x}[(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}]$$
ให้ $a=(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}$
จะได้
$$a^{2}-4\cdot 2^{x}a+4\cdot 4^{x}=0$$
$$(a-2\cdot 2^{x})^{2}=0$$
$$(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}=2\cdot 2^{x}$$
แล้วไปยังไงต่อครับ

[nooonuii]

ผมลองคิดข้อ 34 ดูอ่ะครับ (ไม่รู้ว่าช้าเกินรึเปล่า)
$$(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}+(\sqrt{5}+1)(3-\sqrt{5})^{x}=4\cdot 2^{x}$$
เปลี่ยนรูปดูได้
$$[(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}]^{2}+4\cdot 4^{x}=4\cdot 2^{x}[(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}]$$
ให้ $a=(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}$
จะได้
$$a^{2}-4\cdot 2^{x}a+4\cdot 4^{x}=0$$
$$(a-2\cdot 2^{x})^{2}=0$$
$$(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}=2\cdot 2^{x}$$
แล้วไปยังไงต่อครับ

จัดรูปใหม่

$\Big(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\Big)^x = \dfrac{2}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

สังเกตว่า $\Big(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\Big)^2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

ดังนั้น $x=\dfrac{1}{2}$ :yum:

[devilzoa]

อยากได้ค่าสูงสุด ก็ทำให้ phase มันต่างกันอยู่ $\pi$ radians (i.e. in antiphase) สิครับ $$ 2549a - 2006a = \pi \quad \Rightarrow \quad a= \frac{\pi}{543} $$

ไม่เข้าใจข้อนี้อ่ะครับ!?!:confused:

สมาคมปีที่แล้ว ยากจังเลยครับ

[nooonuii]

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\big|\sin(x+2549a)-\sin(x+2006a)\big|\,dx=\Big|\sin{\Big(\dfrac{543a}{2}\Big)}\Big|\int_0^{2\pi}\Big|\cos{\Big(x+\dfrac{(2549+2006)a}{2}\Big)}\Big| \,dx}$

แต่เราทราบว่า

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\Big|\cos{\Big(x+\dfrac{(2549+2006)a}{2}\Big)}\Big|\,dx}$

= พ.ท. ใต้กราฟของ $|\cos{x}|$ ซึ่งจะมีค่าเท่ากับ $4$ เสมอในช่วงที่มีคาบเท่ากับ $2\pi$

ดังนั้นค่าอินทิกรัลจะมีค่าสูงสุดก็ต่อเมื่อ $\Big|\sin{\Big(\dfrac{543a}{2}\Big)}\Big|=1 \Leftrightarrow \dfrac{543a}{2}=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow a = \dfrac{\pi}{543}$