โจทย์...

[<americanski>]

ให้ a1,a2,a3,...,a2544 เป็นลำดับเรขาคณิต
p=a1+a2+a3+...+a2544
q=1/a1 +1/a2 +1/a3 + ...+1/a2544

ให้หา a1a2a3...a2544 ในเทอม pและq ครับ
ขอหลายๆวิธีได้ไหมครับ :p

[<Muggle>]

ให้ พจน์แรกเป็น a และอัตรส่วนร่วมเป็น r
p = a + ar + ar^2 + ... + ar^2543 = a(r^2544 - 1)/(r - 1)
q = 1/a + 1/(ar) + 1/(ar^2) + ... + 1/(ar^2543)
= (1/a)[1 - (1/r^2544)]/[1 - (1/r)]
= (1/a)[(r^2544 - 1)/r^2544]/[(r - 1)/r]
= (r^2544 - 1)/[ar^2543(r - 1)]
= [(r^2544 - 1)/(r - 1)]*[1/ar^2543)]
แต่ p/a = (r^2544 - 1)/(r - 1)
จะได้ q = p/[(a^2)(r^2543)]
หรือ (a^2)(r^2543) = p/q
ดังนั้น (a1)(a2)(a3)...(a2544)
= a(ar)(ar^2)...(ar^2543)
= (a^2544)[r^(1+2+3+...+2543)]
= (a^2544)[r^(2543)(2544/2)]
= [a^(2*1272)][r^(2543*1272)]
= [(a^2)(r^2543)]^1272
= (p/q)^1272