PDA

View Full Version : ตัวอย่างโจทย์สิรินธร


RedfoX
18 ธันวาคม 2006, 21:19
1.ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็ม จงหา $(x,y)$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$$xy+5(x+y)= 2005$$ (ข้อนี้เป็นโจทย์แสดงวิธีทำครับ)

2. จงหา $k,m,n $ ที่น้อยที่สุดทีทำให้
\[
\frac{{19}}{{20}} < \frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} < 1
\]

3. \[
a_n = a_{n - 2} a_{n - 1} \quad ,a_1 = 1,\ a_2 = 2\quad\ \text{find}\ a_{144}
\]

Mod: ขออนุญาตแก้โจทย์เล็กน้อยครับ จะได้อ่านง่ายๆหน่อย หวังว่าผมเข้าโจทย์ถูกนะ

warut
19 ธันวาคม 2006, 05:29
รู้สึกเหมือนเคยเห็นแล้วทุกข้อเลยครับ ไม่รู้เห็นที่นี่ หรือที่ วิชาการ.คอม หรือคิดไปเองก็ไม่รู้ :rolleyes:

Redhotchillipepper
19 ธันวาคม 2006, 13:28
ข้อ 1 เลยละกัน ง่ายสุด :yum:

จากสมการ xy+5(x+y)=2005 จัดรูปซะใหม่นะ

x = (-5y + 2005)/( y + 5 )

= -5 + ( 2030 )/( y + 5 )

ต้องการให้พจน์ ( 2030 )/( y + 5 ) เป็นจำนวนเต็มเสมอ เลยกำหนดให้

( 2030 )/( y + 5 ) = n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ

y = ( 2030 - 5n )/n

[:therefore] y = ( 2030/n ) -5 โดย n ต้องหาร 2030 ลงตัวนะเช่น 1 , 2 , 5 เป็นต้น

เมื่อได้ y แล้วก็มาแทนในสมการจะได้ค่า x ที่เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน :D ทีนี้ก็ได้เซตคำตอบแล้วล่ะนะ


ข้อ 2. ไม่รู้ว่าคำนวณยังไงนะ แต่ผมใช้ sense เอา คือโจทย์ต้องการหาค่า ของ k , m และ n ที่น้อยที่

สุดที่ทำให้อสมการดังกล่าวเป็นจริง เมื่อค่าที่น้อยที่สุดอยู่ด้านล่างของเศษส่วน ก็น่าจะทำให้ผลรวมมากที่

สุด คืออยู่ติดขอบบนคือ 1 ( อยู่ติดขอบบนให้มากที่สุด ) ตอนนี้ที่นึกได้ก็คือ k = m = n = 3 เพราะ

1/3 + 1/3 + 1/3 = 0.333....+ 0.333.... + 0.333.... = 0.99999999999.......น้อยกว่า 1 นิด

เดียว :laugh:

ขอตอบ k = m = n = 3 เป็นคำตอบสุดท้ายคับ :D :haha:

RedfoX
19 ธันวาคม 2006, 21:32
ขอบคุณครับ สำหรับคำตอบ แต่ข้อ 1 รู้สึกโจทย์จะให้ x,y เป็นจำนวนเต็มบวกนะครับ ส่วนข้อ 2 ก็เป็นแสดงวิธีทำ
ข้อ3 นี่ผมจนปัญญาจริงๆครับ ผู้ใดก็ได้ช่วยมาชี้แนะทีครับ

ส่วนนี่เป็นอีกข้อที่นึกได้ : ในกล่องใบหนึ่งมีลูกบอลอยู่สองสีคือสีแดงและสีน้ำเงิน ถ้าสุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกล่อง พบว่า โอกาสที่จะได้บอลสีแดงเป็น 5 เท่าของโอกาสที่จะได้บอลสีน้ำเงิน ยิ่งไปกว่านั้นโอกาสที่จะได้บอลสีละลูกยังเป็น 6เท่าของโอกาสที่จะจับได้บอลสีน้ำเงิน จงหาจำนวนของบอลแต่ละสี

นึกได้อีกข้อละครับ
ให้ Z1, Z2 ,Z3 เป็นจำนวนเชิงซ้อนและ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมจงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้

nooonuii
20 ธันวาคม 2006, 14:14
1. $xy+5(x+y)= 2005$

จัดรูปแบบนี้ง่ายกว่าครับ

$(x+5)(y+5) = 2030$

2. ยังไม่ได้คิดละเอียด แต่ $m = n = k = 3$ ใช้ไม่ได้ครับ

3. ไม่ยากอย่างที่คิดครับ แค่สังเกตรูปแบบก็น่าจะรู้ครับ ลองหา $a_n$ ซัก 4 -5 ค่าก็พอจะเดาคำตอบได้ว่า
$a_n=2^{F_{n-1}}, \, n\geq 2$ เมื่อ $F_n$ เป็น Fibonacci number ตัวที่ n นิยามโดย $F_1 = F_2 = 1,\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2},\ n\geq 3$

TOP
20 ธันวาคม 2006, 20:59
ข้อ 2 เคยเป็นคำถามนานมาแล้วที่ โจทย์คณิตศาสตร์ (ระดับโลก) (http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=279&page=1)

ข้อความเดิมของคุณ Redhotchillipepper:
1/3 + 1/3 + 1/3 = 0.333....+ 0.333.... + 0.333.... = 0.99999999999.......น้อยกว่า 1 นิดเดียว :laugh: ไม่รู้ว่าเป็นการตอบแบบขำๆหรือเปล่า แต่ถ้าไม่ใช่ก็ไม่อยากให้มองแบบนี้ มองแบบง่ายๆคือ หากเราแบ่งค่า 1 ออกเป็น 3 ส่วน แล้วนำทั้ง 3 ส่วนมารวมกัน ผลที่ได้จะเป็นเท่าไหร่ ต้องเป็น 1 เท่าเดิมนะครับ ไม่ใช่น้อยกว่า 1 นิดเดียว :laugh:

jojo
20 ธันวาคม 2006, 21:23
ข้อ ลูกบอล ได้3ลูก กับ6ลูกคับ

ไม่เป็นไรหรอก redfox ปีหน้านายยังแข่งได้อีก ไม่เหมือนพี่ สะเพร่าไม่รู้จักจบจักสิ้น

Redhotchillipepper
21 ธันวาคม 2006, 09:02
ใช่ครับ แหะๆๆ :p ผมเขียนเอง งง เอง ถ้า 3 ไม่ใช่ ผมก็ขอตอบเป็น 3 กับบวกกับอีกน้อยๆ เลย

ตอบว่า 3 + dx ครับ เป็นคำตอบที่ ถ.. ถ.. ถู... ถูก.... ถูกต้องนะคร้าบบบบบบ!!! มีใครบอกน้อยกว่านี้

อีกมั๊ยครับ :D

RedfoX
21 ธันวาคม 2006, 20:03
ให้ Z1, Z2 ,Z3 เป็นจำนวนเชิงซ้อนและ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมจงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้
ขอข้อนี้ละกันครับ หาที่ไปไม่ถูกเลยครับ(คำตอบติดรากที่สอง ของ จำนวนเชิงซ้อนทั้งสามตัวนี้ลบกันแล้วคูณกันอะไรประมาณนี้ครับ)
ขอบคุณทุกท่านที่ช่วยชี้แนะด้วยนะครับสำหรับคุณjojo พอจะแนะวิธีทำได้ไหมครับ เพราะผมได้แต่นึกคำตอบเอา(เวลาทำ) และปีหน้าก็ไม่แน่ว่าจะได้สอบ เพราะปีนี้ม.6 ติดสอบรด ปีหน้าผมยังเสียวอยู่เลบ

Mastermander
24 ธันวาคม 2006, 19:00
ข้อความเดิมของคุณ Redhotchillipepper:
1/3 + 1/3 + 1/3 = 0.333....+ 0.333.... + 0.333.... = 0.99999999999.......น้อยกว่า 1 นิด

เดียว :laugh:

ขอตอบ k = m = n = 3 เป็นคำตอบสุดท้ายคับ :D :haha:

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_0.999..._equals_1


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/999_Perspective.png/800px- =1

nooonuii
25 ธันวาคม 2006, 00:05
ข้อความเดิมของคุณ RedfoX:
ให้ Z1, Z2 ,Z3 เป็นจำนวนเชิงซ้อนและ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมจงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้
ขอข้อนี้ละกันครับ หาที่ไปไม่ถูกเลยครับ(คำตอบติดรากที่สอง ของ จำนวนเชิงซ้อนทั้งสามตัวนี้ลบกันแล้วคูณกันอะไรประมาณนี้ครับ)
ขอบคุณทุกท่านที่ช่วยชี้แนะด้วยนะครับสำหรับคุณjojo พอจะแนะวิธีทำได้ไหมครับ เพราะผมได้แต่นึกคำตอบเอา(เวลาทำ) และปีหน้าก็ไม่แน่ว่าจะได้สอบ เพราะปีนี้ม.6 ติดสอบรด ปีหน้าผมยังเสียวอยู่เลบ

ถ้าต้องการคำตอบในรูปนี้ผมว่าไม่ยากนะครับ

สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดเป็น $z_1,z_2,z_3$ จะมีความยาวด้านเป็น $|z_1-z_2|,|z_2-z_3|,|z_3-z_1|$ จากนั้นก็ใช้ Heron's Formula ครับ

ป.ล. รูป 0.9999999.... ของน้อง Mastermander สวยดีครับ ทำให้นึกถึงตอนนึงใน The Matrix เลย :laugh:

RedfoX
30 ธันวาคม 2006, 11:01
http://www.uploadtoday.com/images/partner/download_file.jpeg (http://www.uploadtoday.com/download.php?5818ae2f62da9edba261485a5f3b7f0b)
คราวนี้มาเต็มตัวครับ ช่วยๆกันเฉลยก็ดีนะครับ เพราะบางข้อผมเองก็จนปัญญาครับ

RedfoX
30 ธันวาคม 2006, 11:05
อ่าวผมจาเอาข้อสอบลงอะ ไม่ใช่ลิงค์ครับทำไงดี

nongtum
30 ธันวาคม 2006, 11:50
ช่วยใช้ host อืนอัพดูครับ ผมโหลดจากลิงค์ที่ให้มาเกือบครึ่งชั่วโมงแต่ยังโหลดไม่ได้ เดี๋่ยวจะช่วยแปะโจทย์ให้

TOP
30 ธันวาคม 2006, 12:30
ผมช่วยแปะรูปให้ละกัน :)

หน้าที่ 1
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000471-000016.gif

TOP
30 ธันวาคม 2006, 12:31
หน้าที่ 2
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000471-000017.gif

TOP
30 ธันวาคม 2006, 12:32
หน้าที่ 3
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000471-000018.gif

TOP
30 ธันวาคม 2006, 12:32
หน้าที่ 4
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000471-000019.gif

TOP
30 ธันวาคม 2006, 12:33
หน้าที่ 5
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000471-000020.gif

TOP
30 ธันวาคม 2006, 12:33
หน้าที่ 6
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000471-000021.gif

TOP
30 ธันวาคม 2006, 12:34
หน้าที่ 7
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000471-000022.gif

TOP
30 ธันวาคม 2006, 12:34
หน้าที่ 8
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000471-000023.gif

TOP
30 ธันวาคม 2006, 12:35
หน้าที่ 9 (หน้าสุดท้าย)
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/3-000471-000024.gif

RedfoX
30 ธันวาคม 2006, 12:36
ขอลิงทีครับผมจาได้ลงให้พอดี ผมรู้จักเวบพวกนี้เลยอะ

nongtum
30 ธันวาคม 2006, 14:30
โจทย์ไม่ง่ายครับ ของีบสักพักเดี๋่ยวมาลุยต่อ

สำหรับ free host มีหลายเจ้าครับ แต่ที่โหลดง่ายหน่อยก็ www.yousendit.com (http://www.yousendit.com) www.rapidshare.com (http://www.rapidshare.com) www.sendspace.com (http://www.sendspace.com) www.savefile.com (http://www.savefile.com) และิอื่นๆอีกมากมายครับ ส่วนที่โหลดในประเทศง่ายๆแต่จากต่างประเทศลำบากก็เช่น www.upload.th.md (http://www.upload.th.md) www.uploadtoday.com (http://www.uploadtoday.com) www.gushare.com (http://www.gushare.com) ครับ ลองๆใช้ดูนะ

RedfoX
30 ธันวาคม 2006, 15:37
งั้นผมขอตอบข้อที่คิดได้ก่อนละกัน
ตอนที่ 1
4. ตอบ ข้อ2
5.ตอบ ข้อ 2
6.ตอบ ข้อ 1
10. ตอบ ข้อ1
11. ก.ผิด ข.ผิด ค.ผิด(ไม่แน่ใจ)
ตอนที่ 2
1. ตอบ -2,-1,0,2
2.100[:sqrt]2/[:sqrt]3
4.0
5. 6,3 (แต่ไม่รู้วิธีคิดที่เป็นแบบแผนครับ)
10. -0.56

ตอนที่ 3
1. ขวัญชัย พูดเท็จ เรียงอายุ คะนึงนิจ>กิ่งกาญจน์>ขวัญชัย
2. (5,198) , (198,5)

เอ ทำไมไม่มีคนมาเลยละครับ แบบว่าผมอยากขอคำชี้แนะข้อที่เหลือนะครับ จนปัญญาจริงๆ

ช่วยทีครับ ตอนที่ 1 ข้อ3 คิดไงอะครับ มันต้องเลือกสองทีอะผมทำไม่เป็นนะครับ
ข้อ 7 ผมทำตั้งแต่ก่อนปีใหม่แล้วยังคิดไม่ออกเลยครับ
ข้อ 8 ผมหาพิกัด ได้ดังนี้(-4,1),(-1,5),(5,5),(2,1) แต่หาความยาวโฟกัสแล้วไม่มีในตัวเลือก นี่ผมหาพิกัดผิดหรือเปล่าครับ
ข้อ 9 คิดไม่ออกครับ

nongtum
02 มกราคม 2007, 15:22
ที่จริงผมก็ทดไว้หลายข้อแล้วตั้งแต่ก่อนปีใหม่ แต่บางข้อผมเห็นโจทย์แล้วไม่ชวนให้ทดเอาซะเลย แต่ไหนๆก็ไหนๆขอลงคำตอบของผมเท่าที่ผมได้ทดแล้วกันครับ ไม่รับประกันความถูกต้อง แล้วจะลงวิธีทำตามให้ทีหลัง ส่วนใครจะช่วยผมเฉลย โดยเฉพาะตอนที่สามก็เชิญได้ครับ ไม่ต้องเกรงใจ

ตอนแรก (- = ยังไม่ได้ทด)
1. 1
2. 2
3. -
4. 2
5. -
6. 2
7. -
8. -
9. 4
10. 1
11. 4
12. 4

ตอนที่สอง
1. 2,-2,-1,3
2. $2^{F_{144}}$ เมื่อ $F_n$ คือจำนวนฟิโบนักชีตัวที่ n
3. 75
4. 0
5. น้ำเงิน 3 ลูก แดง 6 ลูก
6. -
7. -
8. -
9. -
10. -5.6

ตอนที่สาม
1. ขวัญชัย พูดเท็จ เรียงอายุ คะนึงนิจ>กิ่งกาญจน์>ขวัญชัย
2. -
3. -
4. -

warut
02 มกราคม 2007, 18:36
ข้อความเดิมของคุณ RedfoX:
ช่วยทีครับ ตอนที่ 1 ข้อ3 คิดไงอะครับ มันต้องเลือกสองทีอะผมทำไม่เป็นนะครับ3. นายสกลมีแอบเปิล 10 ผล มีอยู4 ผลเริ่มเน่าเสีย นายสกลจึงแบ่งแอบเปิลใส่ถุง 2 ถุง
โดยให้แต่ละถุงมีแอบเปิลอย่างน้อย 3 ผล แล้วเอาไปให้เพื่อนเลือกไป 1 ถุง จากนั้นนาย
สกลก็บอกให้เพื่อนสุ่มหยิบแอบเปิล 1 ลูกจากถุงที่เลือกไป นายสกลควรจะจัดแอบเปิลใส
ถุงตามข้อใด จึงจะทําให้โอกาสที่เพื่อนของเขาจะหยิบได้แอบเปิลที่เริ่มเน่ามีมากที่สุด

1. การจัดแบ่งแอบเปิลไม่มีผลต่อความน่าจะเป็นของการหยิบได้แอบเปิลที่เริ่มเน่า
เพราะความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้แอบเปิลที่เริ่มเน่า ยังคงเท่ากับ 0.4 ในทุกกรณี
2. นายสกลจัดใส่แอบเปิลที่เริ่มเน่า 2 ลูกและแอบเปิลดี 3 ลูกในแต่ละถุง
3. นายสกลจัดใส่แอบเปิลที่เริ่มเน่า 3 ลูกและแอบเปิลดี 2 ลูกในถุงหนึ่ง และแอบเปิลที่เหลือ
ในอีกถุงหนึ่ง
4. นายสกลจัดใส่แอบเปิลที่เริ่มเน่า 3 ลูกในถุงหนึ่งและแอบเปิลที่เหลือใส่ลงในอีกถุงหนึ่ง

ผมว่าวิธีทำข้อนี้ที่ดีที่สุดคือ หาโอกาสในตัวเลือก 2-4 แล้วเอามาเปรียบเทียบกัน

จัดแบบตัวเลือกที่ 2 ได้โอกาส = 2/5 = 0.4
จัดแบบตัวเลือกที่ 3 ได้โอกาส = 2/5 = 0.4
จัดแบบตัวเลือกที่ 4 ได้โอกาส = 4/7 > 0.5

ดังนั้นตอบข้อ 4. ครับ

การคำนวณโอกาสทำได้โดย หาโอกาสที่จะหยิบได้ลูกที่จะเริ่มเน่าในแต่ละถุง แล้วเอามาเฉลี่ยกัน เพราะแต่ละถุงมีโอกาสถูกเลือกเท่าๆกันครับ

7. ให้ $z_1$, $z_2$ และ $z_3$ เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่งไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ข้อใดต่อไปนี้เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มี $z_1$, $z_2$ และ $z_3$ เป็นจุดยอด

วิธีทำที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งสำหรับข้อนี้คือ แทนค่า $z_1,z_2,z_3$ ลงไป เช่น ให้ $z_1=(0,0), z_2=(4,0), z_3=(0,3)$ ซึ่งเรารู้ว่าพื้นที่คือ 6 ตารางหน่วย ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ ข้อ 4. $$ \sqrt{ \frac{(z_1-z_2) (z_1-z_3) (\bar z_1-\bar z_2) (\bar z_1-\bar z_3) - (Re( (z_1-z_2) (\bar z_1-\bar z_3) ))^2 }{4} } $$ แต่ผมยังดูไม่ออกเลยว่าสูตรนี้มันมายังไง :p ใครทราบช่วยบอกด้วยนะครับ :please:

nooonuii
03 มกราคม 2007, 03:01
ข้อความเดิมของคุณ warut:
7. ให้ $z_1$, $z_2$ และ $z_3$ เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่งไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ข้อใดต่อไปนี้เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มี $z_1$, $z_2$ และ $z_3$ เป็นจุดยอด

วิธีทำที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งสำหรับข้อนี้คือ แทนค่า $z_1,z_2,z_3$ ลงไป เช่น ให้ $z_1=(0,0), z_2=(4,0), z_3=(0,3)$ ซึ่งเรารู้ว่าพื้นที่คือ 6 ตารางหน่วย ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ ข้อ 4. $$ \sqrt{ \frac{(z_1-z_2) (z_1-z_3) (\bar z_1-\bar z_2) (\bar z_1-\bar z_3) - (Re( (z_1-z_2) (\bar z_1-\bar z_3) ))^2 }{4} } $$ แต่ผมยังดูไม่ออกเลยว่าสูตรนี้มันมายังไง :p ใครทราบช่วยบอกด้วยนะครับ :please:

คิดสูตรได้แล้วครับ แต่ไม่เหมาะสำหรับคิดในห้องสอบเลย :cry:
ให้ $z_1=a+xi,z_2=b+yi,z_3=c+zi$ จะได้ว่า
$|z_1-z_2|^2|z_1-z_3|^2 = [(a-b)^2+(x-y)^2][(a-c)^2+(x-z)^2]$
$=[(a-b)(x-z)-(x-y)(a-c)]^2+[(a-b)(a-c)+(x-y)(x-z)]^2$

และ $[Re( (z_1-z_2) (\bar z_1-\bar z_3) )]^2 = [(a-b)(a-c)+(x-y)(x-z)]^2$

ดังนั้น $$ \sqrt{ \frac{(z_1-z_2) (z_1-z_3) (\bar z_1-\bar z_2) (\bar z_1-\bar z_3) - (Re( (z_1-z_2) (\bar z_1-\bar z_3) ))^2 }{4} }$$

$ = \frac{1}{2}|(a-b)(x-z)-(x-y)(a-c)|$
$=\frac{1}{2}|(ay+bz+cx)-(bx+cy+az)|$
= พื้นที่สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่ $(a,x),(b,y),(c,z)$ :sung:

warut
03 มกราคม 2007, 15:55
ได้แนวคิดจากคุณ nooonuii ทำให้ผม simplify สูตรนั้นลงได้หน่อยนึงแล้วครับ

จาก $$ (z_1-z_2) (z_1-z_3) (\bar z_1-\bar z_2) (\bar z_1-\bar z_3) $$ $$= |z_1-z_2|^2 |z_1-z_3|^2 = |z_1-z_2|^2 |\bar z_1-\bar z_3|^2 = |(z_1-z_2) (\bar z_1-\bar z_3)|^2 $$ $$= \{ Re((z_1-z_2) (\bar z_1-\bar z_3)) \}^2 + \{ Im((z_1-z_2) (\bar z_1-\bar z_3)) \}^2$$ ดังนั้น $$\sqrt{ \frac{(z_1-z_2) (z_1-z_3) (\bar z_1-\bar z_2) (\bar z_1-\bar z_3) - (Re( (z_1-z_2) (\bar z_1-\bar z_3) ))^2 }{4} }$$ $$= \frac12 |Im((z_1-z_2) (\bar z_1-\bar z_3))| $$ $$= \frac12 |Im(z_1\bar z_3+z_2\bar z_1-z_2\bar z_3)|$$ แต่ผมก็ยังมองไม่ออกอยู่ดีครับ ว่าทำไมปริมาณ $\frac12 |Im((z_1-z_2) (\bar z_1-\bar z_3))|$ หรือ $\frac12 |Im(z_1\bar z_3+z_2\bar z_1-z_2\bar z_3)|$ มันถึงเป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยม แม้ว่าเราสามารถพิสูจน์ได้ โดยการคูณกระจายออกมา แต่ผมอยากรู้ intuition ที่อยู่ในใจของผู้ออกโจทย์นี้มากกว่า มีใครพอจะมองออกบ้างมั้ยครับ

RedfoX
03 มกราคม 2007, 19:49
ขอบคุณครับ ตอนแรกนึงว่าจะไม่มีคนมาตอบแล้ว ผมคิดทุกวันเลยนะครับ แต่มันคิดไม่ออกแล้วจริงๆ
วันนี้ขอถามอีกข้อครับ ตอนที่ 1 ข้อ 2ทำไงอะครับ

M@gpie
03 มกราคม 2007, 20:31
เห็นสูตรแล้วน่ากลัวเหลือเกินครับ ผมคิดว่าเขาดัดแปลงจากโจทย์ข้อนี้รึเปล่าครับ??

ถ้า $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมใดๆ $\vec{AB}=\vec{u}, \vec{AC}=\vec{v}, \vec{BC}=\vec{w}$
พื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆจะมีค่าเท่ากับ ...?

คำตอบ $\frac{1}{2}\sqrt{(\vec{u}\cdot\vec{u})(\vec{v}\cdot\vec{v})-(\vec{u}\cdot \vec{w})^2}$ ซึ่งแทนค่าเวกเตอร์ด้วยจำนวนเชิงซ้อนก็จะได้ผลตามต้องการ
โดยต้องพยายามทำให้สูตรเหมือนเดิมโดยนิยาม $\; \; \vec{v} \cdot \vec{w} = Re(z_1\bar{z_2})$
เมื่อ $\; z_1 \;$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แทนเวกเตอร์ $\vec{v}$ และ $\; z_2 \;$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แทนเวกเตอร์ $\vec{w}$

ปล. เอ่อ ถ้าผมเขียนค่อนข้าง งงๆ ขออภัยด้วยนะขอรับ

RedfoX
04 มกราคม 2007, 20:25
แล้วสูตรที่ว่ามายังไงหรือครับ คุณmagpie สงสัยนะครับ

gon
04 มกราคม 2007, 20:30
ข้อความเดิมของคุณ RedfoX:
แล้วสูตรที่ว่ามายังไงหรือครับ คุณmagpie สงสัยนะครับ
ลองดูนี่ครับ. :eek:

เสริมประสบการณ์ ชุดที่ 2 (http://www.mathcenter.net/sermpra/sermpra02/sermpra02p01.shtml)

warut
05 มกราคม 2007, 03:36
เย่...เข้าใจแล้ว ขอบคุณคุณ M@gpie และคุณ gon มากครับ

ป.ล. แต่ว่าสูตรและคำอธิบายข้างบนของคุณ M@gpie รู้สึกจะมีที่ผิดอยู่หลายแห่งนะครับ

banker
05 มกราคม 2007, 09:12
1. ขออนุญาตนะครับ ปกติข้อสอบมัธยมปลาย ไม่กล้าแหยม แต่กรณีนี้บังเอิญเคยผ่านข้อนี้มาก่อน
2. ข้อสุดท้ายของข้อสอบฉบับนี้ คือข้อ 4 ตอนที่ 3
3. ท่าน TOP ได้ทำ link ไปที่กระทู้ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=279&page=1 ซึ่งก็ยังไม่ตรงคำตอบของข้อสอบฉบับนี้
4. กระทู้ที่ link ถาม ค่าที่น้อยที่สุดของ k + m + n แต่ข้อสอบของสิรินธร ถาม มากที่สุด
5. โจทย์แนวนี้เคยติวหลานก่อนไปแข่งคณิตศาสตร์โลกที่ฮ่องกง บังเอิญหลานยังอยู่ประถม ก็เลยต้องสอนแบบประถม เพื่อให้เด็กประถมเข้าใจ
6. แนวคิดแบบประถมที่ติวหลานมีดังนี้

จงหาค่าที่มากที่สุดของ k + m + n ที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง \[\frac{{19}}{{20}} < \frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} < 1\]

หรือ \[0.950 < \frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} < 1.000\]

พิจารณา \[\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}\]

ค่าของ k หรือ m หรือ n จะเท่ากับ 1 ไม่ได้ เพราะจะทำให้ค่าของ \[\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}\] มากกว่า 1 ซึ่งทำให้อสมการไม่เป็นจริง

ดังนั้น ค่าของ k หรือ m หรือ n น่าจะเป็น 2, 3, 4, 5......
ลองแทนค่าดู ก็จะได้
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\ = \frac{13}{12}\] ซึ่งมากกว่า 1
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}\ = \frac{31}{30}\] ซึ่งมากกว่า 1
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\ = \frac{6}{6}\] ซึ่งเท่ากับ 1
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7}\ = \frac{41}{42}\] ซึ่งเท่ากับ 0.976 ซึ่งมากกว่า 0.950 แต่น้อยกว่า 1
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{8}\ = \frac{23}{24}\] ซึ่งเท่ากับ 0.958 ซึ่งมากกว่า 0.950 แต่น้อยกว่า 1
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\ = \frac{17}{18}\] ซึ่งเท่ากับ 0.944 ซึ่งน้อยกว่า 0.950

จะเห็นว่า ค่าที่เป็นไปได้ของ k หรือ m หรือ n คือ 2,3,7 หรือ 2,3,8 เท่านั้น
ดังนั้น ค่าที่น้อยที่สุดของ k + m + n = 2 + 3 + 7 = 12
และ ค่าที่มากที่สุดของ k + m + n = 2 + 3 + 8 = 13

ข้อนี้จึงตอบ 13

ผมไม่ทราบว่าเอาแนวคิดแบบนี้ไปตอบในข้อสอบมัธยมปลาย เขาจะให้คะแนนหรือเปล่า

nongtum
05 มกราคม 2007, 14:56
แว้บมาแปะเฉลยละเอียดครับ ผมมีปัญหากับสแกนเนอร์นิดหน่อย ไฟล์ภาพที่ได้เลยขาดเกินๆนิดอย่างที่เห็น หากใครมีข้อสงสัยหรือพบที่ผิดบอกกันได้นะครับ อ้อ ผมยังไม่ได้ทำข้อ 2.6, 2.7, 2.9 นะครับ (คิดไม่ออก) หากใครจะช่วยผมทำจะขอบคุณมากๆครับ

http://aycu36.webshots.com/image/7595/2001167704825719040_rs.jpg (http://allyoucanupload.webshots.com/v/2001167704825719040)
http://aycu34.webshots.com/image/8713/2001130446366226977_rs.jpg (http://allyoucanupload.webshots.com/v/2001130446366226977)
http://aycu26.webshots.com/image/6865/2001112880189957430_rs.jpg (http://allyoucanupload.webshots.com/v/2001112880189957430)
http://aycu17.webshots.com/image/7936/2001158727886739522_rs.jpg (http://allyoucanupload.webshots.com/v/2001158727886739522)
http://aycu26.webshots.com/image/6865/2001146034636550985_rs.jpg (http://allyoucanupload.webshots.com/v/2001146034636550985)
http://aycu07.webshots.com/image/8486/2001155417491107110_rs.jpg (http://allyoucanupload.webshots.com/v/2001155417491107110)
http://aycu15.webshots.com/image/6614/2001156220345539181_rs.jpg (http://allyoucanupload.webshots.com/v/2001156220345539181)
http://aycu16.webshots.com/image/10495/2003512227610472474_rs.jpg (http://allyoucanupload.webshots.com/v/2003512227610472474)

EDIT: เปลี่ยนรูปสุดท้ายเพื่อแก้เฉลยข้อ 2.8

warut
06 มกราคม 2007, 18:51
ตอบคุณ banker เรื่องข้อ 4 ตอนที่ 3 นะครับ คิดว่าวิธีทำของคุณ banker น่าจะยังมีปัญหาตรงที่ยังไม่ได้แสดงว่าไม่มีคำตอบในกรณีที่ $k,m,n\ge3$ ครับ

RedfoX
06 มกราคม 2007, 18:55
อืม ขอบคุณทุกคนมากครับ สุดยอดไปเลยครับ
ปล.จากการอ่าน my math ตอนนี้รู้สึกว่าน่าจะหาฟิโบนักชี ตัวที่ 144 ได้นะครับ (ฉบับล่าสุดเขียนไว้)
แต่คำตอบคงไม่สวยซักเท่าใดนัก

warut
07 มกราคม 2007, 03:39
ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
อ้อ ผมยังไม่ได้ทำข้อ 2.6, 2.7, 2.9 นะครับ (คิดไม่ออก) หากใครจะช่วยผมทำจะขอบคุณมากๆครับ โอ้โห...แต่ละข้อที่เหลือไว้นี่หินจริงๆครับ ผมลองจับข้อ 2.7 มาทำข้อเดียวก็หมดแรงแล้ว :died:

ข้อ 7. ตอนที่ 2 ให้ $z$ เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์ $|z-\frac1z|=2$ และถ้า $w$ เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่ง $|w|=5$ แล้ว $|z-w|$ จะมีค่ามากสุดเมื่อ $w=-3-4i$ ค่าของ $|z|+\frac{1}{|z|}$ เท่ากับเท่าใด

ผมตีความโจทย์ข้อนี้ว่า $z$ เป็นจุดคงที่ที่อยู่บน curve $|z-\frac1z|=2$ และจุดบนวงกลม $|w|=5$ ที่ห่างจากจุด $z$ นี้มากที่สุดคือ $w=-3-4i$

ดังนั้นจุด $z$ นี้ต้องอยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุด $w=-3-4i$ กับจุดศูนย์กลางของวงกลม $|w|=5$ ซึ่งก็คือจุด $(0,0)$

หลังจากคิดเลขอย่างบ้าระห่ำแล้ว ผมได้คำตอบออกมาว่า $$|z|+\frac{1}{|z|}= \frac25\sqrt{34}$$ ถ้าต้องทำแบบนี้โดยไม่มีคอมพิวเตอร์ เวลาสอบทั้งหมด 3 ชม. ก็คงไม่พอสำหรับผมทำข้อนี้ข้อเดียวหรอกครับ ดังนั้นถ้าใครมีความเห็นหรือข้อแนะนำสำหรับข้อนี้ก็ช่วยหน่อยนะครับ :please:

nongtum
07 มกราคม 2007, 04:57
งั้นผมแว้บมาแปะแนวคิดข้อ 2.9 ดีกว่า

อสมการแรกเมื่อแทน $x=1$ จะพบว่าทางซ้ายมือมากกว่าทางขวามือ
เพราะ log เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $(0,\infty)$ และกราฟของ $y_1=\log_2(1+\sqrt{x})$ ตัดกับ $y_2=\log_3{x}$ เพียงจุดเดียว
เราจะได้ว่ามี $x\in(0,1)$ ที่ทำให้ $y_1=y_2$
แต่ผมนึกไม่้ออกว่าจะแสดงให้มันแจ่ม (rigorous) กว่านี้ได้อย่างไร ใครรู้ช่วยบอกทีครับ

สำหรับอสมการหลังผมคิดแบบนี้ครับ
$\begin{eqnarray}
0.5^{\log_5(\log_{0.3}(x-0.7))}&\le&1\\
\log_5(\log_{0.3}(x-0.7))&\ge&0\\
\log_{0.3}(x-0.7)&\ge&1\\
0\le x-0.7&\le&0.3\\
0.7\le x&\le&1\\
\end{eqnarray}$
(ขอบคุณคุณ warut ที่ช่วยท้วงครับ)

เพราะ $A$ และ $B$ disjoint กัน ดังนั้น $A'\cup B'=(A\cap B)'=\mathbb{R}$

ส่วนข้อ 2.6 ผมคิดได้ถึงแค่ $\det D=27/625$ แล้วก็ไปต่อไม่เป็นแล้วครับ ใครทำได้ช่วยทำต่อที

ข้อ 2.7 ผมว่าลองมอง $z,w$ เป็นจุดบน $\mathbb{R}^2$ ก็ได้ แต่ก็ไม่น่าจะง่ายกว่าเดิมเท่าไหร่ แต่จะว่าไปมันก็แนวคิดเดียวกับคุณ warut ล่ะนะ

หมายเหตุ: ในเฉลยด้านบนผมเขียนตกเขียนผิดไปเท่าทีเจอมี 7 จุด คือ
ข้อ 1.6 path 2-4 ตอนคำนวณ หน่วยต้องเป็น km/(km/h)
ข้อ 1.9 บรรทัดก่อนสุดท้ายต้องเป็น $(\det^3A-8)^4$
ข้อ 1.8 สองบรรทัดสุดท้ายต้องเป็น ... of the form $(y-k)^2=4c(x-h)$ (why?).
ข้อ 2.1 บรรทัดก่อนสุดท้ายที่หายไปตอนสแกนคือ For $x^2-x-1>1$ and ...
ข้อ 2.10 ตอบ 0.56 นะครับ เขียนไว้กันคนอ่าน 0, เป็นเลขเก้า
ข้อ 3.4 บรรทัดที่สามจากล่าง $\frac{1}{9}\approx\frac{6.6}{60}$
ข้อ 3.3 บรรทัดที่ห้า ให้เ้ติม $\triangle{ABC}$ หลัง $\frac13\times\frac14$

phew... แก้เยอะชมัด :aah:

warut
07 มกราคม 2007, 06:11
ได้ลองทำข้อ 6. ตอนที่ 2 ดูแล้ว ไม่ยากอย่างที่คิดครับ

2.6 กำหนดให้ $$A=\pmatrix{ 2 & -3 & 4 \\ -4 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & -1},B=\pmatrix{ 0 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 5},C=\pmatrix{ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1}$$ และ $I_3$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด $3\times3$ ถ้า $D$ เป็นเมตริกซ์ขนาด $3\times3$ ซึ่ง $$[(C^tB^{-1}A^t)(DAB)C^{-1}]^t=3I_3$$ แล้วผลรวมของสมาชิกในแถวที่สองของ $D^{-1}$ เท่ากับเท่าใด

จะเห็นว่า $C$ เป็น symmetric matrix นั่นคือ $C^t=C$ จากนั้น simplify expression ยุ่งๆข้างบนนั่นแล้วจะเหลือแค่ $A^tDA=3I_3$ ย้ายข้างไปมาจะได้ว่า $D^{-1}=\frac13AA^t$ ออกแรงคูณอีกนิดหน่อยเพื่อหาเฉพาะแถวที่ 2 ของ $D^{-1}$ แล้วจะพบว่าผลรวมที่ต้องการคือ $$\frac13(-10+21-13)=-\frac23$$

2.9 ถ้า $A$ เป็นเซตคําตอบของอสมการ $\log_2(1+\sqrt x)\le\log_3x$ และ $B$ เป็นเซตคําตอบของอสมการ $$0.5^{\displaystyle{ \log_5(\log_{0.3} (x-0.7))}} \le1$$ จงเขียนเซต $A'\cup B'$

จากอสมการหลังเราจะได้ว่า $\log_{0.3}(x-0.7)\ge1$ ดังนั้น $0<x-0.7\le0.3$ แสดงว่า $B=(0.7,1]$
ให้สังเกตว่าถ้า $x\in B$ แล้ว $\log_2(1+\sqrt x)>0$ แต่ $\log_3x\le0$ แสดงว่าถ้า $x\in B$ แล้ว $x\notin A$
ดังนั้น $A\cap B=\emptyset$ นั่นคือ $A'\cup B'=(A\cap B)'=\mathbb R$ ภายใต้สมมติฐานว่าเอกภพสัมพัทธ์คือ $\mathbb R$ นะครับ

banker
08 มกราคม 2007, 09:18
ท่าน warut ครับ ไม่เข้าใจความหมายที่ท่านท้วงติงครับ ที่ว่า

"ยังไม่ได้แสดงว่าไม่มีคำตอบในกรณีที่ k,m,n≥3 "

ผมคิดอย่างนี้ครับ
ค่าของ k,m,n อยู่ในเงื่อนไขว่า เมื่อใส่ค่าของ k,m,n แล้ว ผลรวมของเศษส่วนต้องมากกว่า 0.950 แต่น้อยกว่า 1.000

กรณีที่ k=m=n
กรณีที่ k=m=n มากว่า 3 อสการนี้ก็ไม่เป็นจริง เพราะผลรวมของเศษส่วนน้อยกว่า 0.950
กรณีที่ k=m=n เท่ากับ 3 k+m+n ก็ยังไม่ใช่ค่าที่มากที่สุดตามที่โจทย์ถาม

กรณีที่ k,m,n มีค่าไม่เท่ากัน ยิ่งมีค่ามาก ผลรวมของเศษส่วนทั้งสามก็จะยิ่งน้อยลง จะน้อยกว่า 0.950 ไปเรื่อยๆ

ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ k หรือ m หรือ n คือ 2,3,7 หรือ 2,3,8 เท่านั้นที่ทำให้อสมการเป็นจริง

ค่าที่มากที่สุดของ k + m + n = 2 + 3 + 8 = 13

ข้อนี้จึงตอบ 13

nongtum
08 มกราคม 2007, 17:15
ผมเข้าไปดูเฉลยทางการมาแล้วที่ http://www.psc.ac.th/MATH/INDEX.htm ก็ยังเป็นสไตล์ไทยๆเหมือนเดิม มีแต่คำตอบ ไร้วิธีทำ ทั้งผมและคุณ warut ต่างมีข้อที่เฉลยไม่ตรงกับเฉลยทางการสามข้อและหนึ่งข้อตามลำดับ เดี่ยวจะลองเช็คดูอีกรอบครับว่าใครผิด

warut
08 มกราคม 2007, 17:18
ถ้าอธิบายเพิ่มอย่างที่คุณ banker เขียนตอนหลังนี่ก็โอเคแล้วครับ

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
ทั้งผมและคุณ warut ต่างมีข้อที่เฉลยไม่ตรงกับเฉลยทางการสามข้อและหนึ่งข้อตามลำดับ เดี่ยวจะลองเช็คดูอีกรอบครับว่าใครผิด ข้อที่เฉลยไม่ตรงกับที่ผมทำได้คือ ข้อ 2.6 ซึ่งเขาเฉลยว่า -6 ของผมได้ -2/3 แต่ผมค่อนข้างมั่นใจในคำตอบของผมครับ เพราะผมเช็คด้วยคอมพิวเตอร์แล้ว (โจทย์ทุกข้อที่ผมทำ ถ้าสามารถเช็คด้วยคอมพ์ได้ ผมจะเช็คก่อนโพสต์ทุกครั้ง ยกเว้นเวลาที่รีบมากๆ) ส่วนเฉลยของข้อ 2.7 คือ $\frac{\sqrt{136}}{5}$ อันนั้นยังไม่ได้ simplify ให้เป็น $\frac25\sqrt{34}$ ซึ่งเป็นคำตอบของผมครับ

nongtum
08 มกราคม 2007, 19:26
ในขณะที่ผมมั่นใจว่าผมคิดข้อ 1.2 และ 1.6 ไม่ผิด ผมก็ได้แปะแผ่นแก้ของข้อ 2.8 ในหน้าเดิมแล้วครับ ยังไงรบกวนสมาชิกท่านอื่นช่วยตรวจทานข้อ 1.2 และ 1.6 อีกครั้งด้วยครับ

อนึ่ง ในเฉลยข้อ 2.2 ไม่ได้บอกว่า f(143) คืออะไร และข้อ 1.7 ไม่ชัดเจนว่าจุด D อยู่ที่ใดอย่างที่ผมทำให้ดูแล้ว

เสียดายที่ผลคะแนนไม่ได้แยกคะแนนส่วนแรกกับส่วนที่สองไว้ ซึ่งขอปรบมือให้คนที่ทำสองส่วนแรกนี้ได้ 52/76 ครับ เพราะข้อสอบชุดนี้มันคำนวณเยอะจริงๆ ในขณะที่ข้อแสดงวิธีทำ ดูเหมือนว่าข้อแรกจะเป็นข้อเดียวที่ผู้เข้าสอบส่วนมากทำได้ โดยทิ้งสามข้อหลังไปเกือบทุกคน ข้อสองมีคนทำได้ไม่น่าเกินยี่สิบคนทั้งที่จริงๆแล้วไม่ได้มีอะไรซับซ้อน ข้อสี่และข้อสามน่าแปลกที่มีคนทำได้เต็มเพียงข้อละหนึ่งคน ทั้งที่จริงสองข้อนี้น่าจะเป็นข้อสอบม.ต้นด้วยซ้ำไป แต่ทั้งนี้และทั้งนั้น นี่เป็นความเห็นส่วนตัวผมนะครับ

warut
08 มกราคม 2007, 22:38
1.2 ข้อใดเป็นจํานวนของพหุนามกําลังสอง $p(x)$ ทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนเต็ม โดยที่รากทั้งสองของ $p(x)$ เป็นจํานวนเต็มและ $p(8)=1$

ให้ $p(x)=a(x-b)(x-c)$ โดยที่ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็ม

เนื่องจาก $p(8)=1$ ดังนั้น $a(8-b)(8-c)=1$ แสดงว่า $a\mid1$ นั่นคือ $a=\pm1$

ถ้า $a=1$ จะได้ $(8-b)(8-c)=1$ นั่นคือ $8-b=8-c=1$ หรือ $8-b=8-c=-1$ รวม 2 แบบ

ถ้า $a=-1$ จะได้ $(8-b)(8-c)=-1$ นั่นคือ $8-b=1$ และ $8-c=-1$ หรือ $8-b=-1$ และ $8-c=1$ รวมอีก 2 แบบ

สรุปว่ามีทั้งหมด 4 แบบ แต่ไม่มีตัวเลือกนี้ ดังนั้นคำตอบจึงคงคิดเฉพาะพหุนามที่มี leading coefficient เป็นบวก ซึ่งถ้าคิดแบบนี้ก็คงต้องเลือก ข้อ 2. คือ 2 แบบ เช่นเดียวกับคุณ nongtum ครับ ส่วนเฉลยคือ ข้อ 3. 3 แบบ

ข้อนี้ถ้าผมคิดไม่ผิดก็แสดงว่าทั้งโจทย์และตัวเลือกที่ให้มามีปัญหาทั้งคู่ครับ

ข้อ 1.6 นี่คุณ nongtum เลือกข้อ 2. ตอนที่ตอบแต่คำตอบ แต่ตอนที่แสดงวิธีทำคุณ nongtum เลือกข้อ 1. แต่รูปที่วาดไม่น่าจะถูกนะครับ ถนนเชื่อมมันตั้งฉากกับถนนมอเตอร์เวย์ ไม่ใช่กับถนนสายหลัก ส่วนเฉลยคือข้อ 2. และผมทำได้ข้อ 1. เหมือนคุณ RedfoX ครับ

nongtum
09 มกราคม 2007, 04:44
ข้อ 1.2 คุณ warut คิดได้กระทัดรัดกว่าผมแฮะ ผมลืม -1 ได้ยังไง งั้นผมไม่แก้ของผมข้อนี้ละกัน

ส่วนข้อ 1.6 ขออภัยครับที่วาดผิด โชคดีที่ตอบข้อ 1 เหมือนกัน สรุปว่าเฉลยทางการผิด (ฮา)

ของม.ต้นผมก็คิดได้ไม่ตรงเฉลยหลายข้อ แต่งานที่ดองไว้ก็รอผมเหมือนกัน เอาเป็นว่าว่างแล้วค่้อยแก้ละกัน

RedfoX
10 มกราคม 2007, 23:03
ไปดูคะแนนสอบตัวเองมาครับ เฮ้อเซ็งมากครับ ทำแบบแสดงวิธีทำไปแต่เขาให้คะแนนผมน้อยมากครับ(ทำถูกนะ)
สำหรับข้อ 2.9 นะครับ ผมคิดว่าแนวคิดของโจทย์ข้อนี้ไม่ได้ให้เราคิดเลขหรอกครับ แค่ใช้คุณสมบัติหาเซตคร่าวๆแล้วนำมายูเนียนก็ได้นะครับ(ถูกด้วยละ)
สำหรับข้อ 2.7 นี่ผมยังไม่ค่อยเข้าใจนะครับ รบกวนคุณ warut ช่วยอธิบายเพิ่มทีนะครับ

ขออีกนิดครับ สงสัยว่าข้อ2.1 นั้น ลืมคำตอบ 0 ไปหรือเปล่า ครับ เพราะ ในเฉลยเขาไม่มีครับ

nongtum
10 มกราคม 2007, 23:50
แบบนี้แปลว่าต่างคนต่างลืมแน่ เพราะศูนย์ก็เป็นคำตอบข้อ 2.1 ด้วย ขออู้ไม่แก้แผ่นเฉลยอีกตามฟอร์ม

ส่วนข้อ 2.7 ผมก็สนใจนะว่าคุณ warut ทำอย่างไร

warut
11 มกราคม 2007, 03:04
ข้อความเดิมของคุณ RedfoX:
สำหรับข้อ 2.9 นะครับ ผมคิดว่าแนวคิดของโจทย์ข้อนี้ไม่ได้ให้เราคิดเลขหรอกครับ แค่ใช้คุณสมบัติหาเซตคร่าวๆแล้วนำมายูเนียนก็ได้นะครับ(ถูกด้วยละ) คุณ RedfoX ทำยังไงล่ะ สนใจครับ ข้อความเดิมของคุณ RedfoX:
สำหรับข้อ 2.7 นี่ผมยังไม่ค่อยเข้าใจนะครับ รบกวนคุณ warut ช่วยอธิบายเพิ่มทีนะครับ ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
ส่วนข้อ 2.7 ผมก็สนใจนะว่าคุณ warut ทำอย่างไร เอ...ทำไมสนใจข้อที่ผมไม่รู้วิธีทำดีๆกันจัง :laugh:

ก็ลุยตรงๆเลยครับ เนื่องจาก $z$ อยู่บนเส้นตรงที่เชื่อม $(0,0)$ กับ $(-3,-4)$ ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ดังนั้น $z$ ต้องอยู่ในรูป $x+\frac43xi$ แทนค่า $z$ ลงใน $|z-\frac1z|=2$ แล้วแก้สมการอย่างหฤหรรษ์ (จริงๆนะ) จะได้ $x=\frac{9+3\sqrt{34}}{25}$ และจากที่ $|z|=\frac53x$ เราก็จะหา $|z|+\frac{1}{|z|}$ ได้ไม่ยากครับ

แต่ถ้ารู้มาก่อนว่าสมการ $|z-\frac1z|=2$ เป็นวงกลมรัศมี $\sqrt2$ หน่วย 2 วงที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(\pm1,0)$ อะไรๆก็จะง่ายขึ้นเยอะ (แต่ถ้าไม่รู้มาก่อน แล้วมาหาในห้องสอบก็คงสาหัสไม่แพ้กันครับ) เพราะแทนที่เราจะแทนค่า $z=x+\frac43xi$ ใน $|z-\frac1z|=2$ เราก็แทนค่าใน $|z-1|^2=2$ แทนได้ครับ ซึ่งจะทำให้แก้สมการได้ง่ายขึ้นมากๆ

อย่างไรก็ตามผมคิดว่าวิธีที่ผมพูดมาทั้งสองอัน คงไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุดแน่ ดังนั้นก็อย่างที่ผมขอร้องเอาไว้คือ ถ้าใครทราบวิธีฉลาดๆที่จะใช้กับข้อนี้ได้ ก็ช่วยชี้แนะด้วยครับ :please:

warut
11 มกราคม 2007, 19:37
เพิ่งรู้ตัวว่าวิธีทำข้อ 2.7 ของผมยังมีช่องโหว่อยู่อีกดังนี้ครับ

ถ้าทำแบบแรกจะมีคำตอบ $x>0$ อยู่อีกอันคือ $x=\frac{3\sqrt{34}-9}{25}$ (ที่ $x$ ต้องมากกว่าศูนย์ เพื่อให้ $z$ อยู่ใน quadrant ที่ 1 ตรงข้ามกับจุด $(-3,-4)$ ซึ่งอยู่ใน quadrant ที่ 3 จริงๆแล้วยังมีคำตอบที่ $x<0$ อีก 2 คำตอบ แต่อันนั้นมันจะทำให้ $(-3,-4)$ เป็นจุดบนวงกลม $|w|=5$ ที่ใกล้ที่สุด ไม่ใช่ไกลที่สุด วาดรูปแล้วจะเข้าใจครับ) แต่ที่แปลกก็คือ แม้ $x$ จะเป็นค่าใหม่นี้ เราก็ยังคงได้ $|z|+\frac{1}{|z|}= \frac25\sqrt{34}$ เหมือนเดิม และนี่คือสิ่งที่ทำให้ผมยิ่งเชื่อมั่นว่า มันควรจะมีวิธีทำที่ฉลาดกว่านี้ครับ

ถ้าใช้วิธีที่ 2 ค่า $x$ อีกค่านี้จะมาจากจุดตัดกับอีกวงกลมหนึ่ง นั่นคือวงกลม $|z+1|^2=2$ ครับ

nooonuii
12 มกราคม 2007, 01:04
2.7 My Solution :

ให้ $z=re^{i\theta}$ จะได้ว่า $|z-\frac{1}{z}|=2 \Rightarrow |z^2-1|^2=4|z|^2$
นั่นคือจะได้ว่า
$$(r^2\cos{2\theta}-1)^2+(r^2\sin{2\theta})^2=4r^2$$
จัดรูปจะได้
$$(r+\frac{1}{r})^2 = 6 + 2\cos{2\theta}$$
ดังนั้น
$|z|+\frac{1}{|z|} = r + \frac{1}{r} = \sqrt{6 + 2\cos{2\theta}}$

ต่อไปพิจารณาค่าของฟังก์ชัน $|z-w|^2$ ซึ่งมองให้เป็นฟังก์ชันในตัวแปร $\alpha$ เมื่อกำหนดให้ $w=5e^{i\alpha}$ เราจะได้ว่า

$$|z-w|^2 = r^2+25 - 10r\cos{(\alpha - \theta)}$$

จะเห็นว่าค่าของฟังก์ชันมีค่าสูงสุดเมื่อ $\cos{(\alpha - \theta)}= - 1$
แต่โจทย์บอกว่าค่าสูงสุดเกิดเมื่อ $\alpha = \pi + \arctan{(\frac{4}{3})}$
ดังนั้นเราจะได้ว่า $\theta = \arctan{(\frac{4}{3})}$
เพราะฉะนั้น $\cos{2\theta} = -\frac{7}{25}$
เราจึงได้ว่า $$|z|+\frac{1}{|z|} = \frac{2\sqrt{34}}{5} $$ :sung:

warut
12 มกราคม 2007, 01:38
สุดยอดๆ ขอบคุณมากครับคุณ nooonuii นึกว่าจะไม่มีอัศวินม้าขาวมาช่วยคิดซะแล้ว

แต่ตอนหามุม $\theta$ ผมว่าถ้าใช้วาดรูป + geometry แทบจะไม่ต้องออกแรงคิดเลยนะครับ เพราะเรารู้ว่า $z$ ต้องอยู่ด้านตรงข้ามกับ $(-3,-4)$ เมื่อมองเทียบกับจุด $(0,0)$

RedfoX
13 มกราคม 2007, 15:19
[QUOTE]ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
[QB]2.7 My Solution :

ให้ $z=re^{i\theta}$ จะได้ว่า $|z-\frac{1}{z}|=2 \Rightarrow |z^2-1|^2=4|z|^2$
นั่นคือจะได้ว่า
$$(r^2\cos{2\theta}-1)^2+(r^2\sin{2\theta})^2=4r^2$$

:sweat: มาไงอะครับงง

nongtum
13 มกราคม 2007, 16:23
มันมาจาก $z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ ครับ

RedfoX
13 มกราคม 2007, 21:02
:blood: กำผมจัดรูปผิดเองครับ ขอโทษทีครับ