เรื่อง ฟังก์ชัน จากข้อสอบ Ent เก่า

[sck]

ช่วยแสดงวิธิคิดด้วยนะครับ ผมคิดว่าผมหลงทำผิดมาซะตั้งนานเลย :( หรือทำถูกแล้วก็ไม่รู้

ให้ f(x) = 2x+2 และ g(x) = \sqrt[]{4-x^{2}}
ถ้า { x | f(x) [:lesseq] g(x) } เท่ากับช่วงปิด [a,b] แล้ว a+b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1) -2 .................2) -\frac{8}{5} ................. 3) -1 .................4) 0

[nongtum]

$f(x)\le g(x)$ ดังนั้น $2x+2\le\sqrt{4-x^2}$ และ $4-x^2\ge0$
ยกกำลังสองอสมการแรกแล้วจัดรูปจะได้ $5x^2+8x=x(5x+8)\le0$ นั่นคือ $x\in[-\frac85,0]$
จากอสมการเงื่อนไข(อสมการหลัง) จะได้ $x\in[-2,2]$
นำคำตอบมา intersect กัน จะได้ $[a,b]=[-\frac85,0]$ ดังนั้น $a+b=-\frac85$

[sck]

ขอบคุณ คุณnongtum ที่มาช่วยตอบครับ รวดเร็วทันใจดีจัง :)
ผมก็คิดแบบนี้มาตั้งหลายปี
และเฉลยมันก็ตอบข้อนี้ก็เลยไม่เคยสนใจ
จนมีวันหนึ่งเจอเด็กถาม
เขาลองแทนค่า x ด้วย -2 อะครับ :confused:

[warut]

ตอนแรกผมก็งงๆอยู่ว่าทำไมคุณ sck เอาโจทย์ง่ายๆมาถาม ที่ว่าง่ายเพราะผมแก้ข้อนี้โดยวาดรูป แต่เพิ่งมาเห็นทีหลังว่าถ้าแก้อสมการ (โดยไม่ระมัดระวัง) แล้วมันจะเกิดปัญหา ซึ่งนี่คงเป็นเหตุที่คุณ sck เอามาถามใช่เปล่าครับ ที่เกิดปัญหาเพราะในช่วง $[-2,-\frac85)$ นั้น $f(x)<0, g(x)\ge0$ นั่นคือ $f(x)<g(x)$ แต่ $|f(x)|>|g(x)|$

สรุปว่าคำตอบที่ถูกต้องควรจะเป็น $[a,b]=[-2,0]$ นั่นคือ $a+b=-2$ ครับ

[nongtum]

ใช่ครับ เมื่อ $x=-2$ อสมการก็จริง ผมลองวาดกราฟดูมันก็ตอบ [-2,0] ครับ จุดที่ผิดน่าจะเกิดจากเรนจ์ของ g ไม่เป็นจำนวนเต็มลบ แต่การแก้สมการดังที่ทำด้านบนเรายกกำลังสอง ซึ่งเท่ากับเรามอง g เป็นทั้งวงกลมซึ่งที่จริงมันไม่ใช่ ปัญหาจึงอยู่ที่ว่าเราจะพิจารณาอสมการใหม่อย่างไร ดังนั้นผมจะลองแยกกรณีเพิ่มจากเดิมดังนี้

กรณีแรก $2x+2\ge0$ เมื่อรวมกับคำตอบอสมการด้านบน จะได้คำตอบในกรณีนี้เป็น $x\in[-1,0]$
กรณีหลัง $2x+2\le0$ กรณีนี้อสมการเป็นจริงตลอดช่วงที่พิจารณาแน่ๆ จะได้คำตอบในกรณีนี้เป็น $x\in[-2,-1]$

รวมคำตอบทั้งสองกรณีก็จะได้ $x\in[-2,0]$ ตามที่ต้องการ :D

ขอบคุณคุณ sck ที่หยิบประเด็นนี้มาถกครับ

[sck]

ปัญหาของข้อนี้ก็คือเราจะลืมเงื่อนไขอีกเงื่อนไขหนึ่งครับ(ซึ่งผมเองก็ลืม :p )
ก็คือเงื่อนไข f(x) [:lesseq] 0
แล้วเฉลยข้อสอบ Ent ที่มีอยู่ มันก็เฉลยผิด
เลยทำให้คิดว่าตัวเองทำถูกมาซะตั้งนาน :mad:
ผมก็เลยเอามาลงถามดูอะครับ

จริงๆ แล้วผมว่าใช้วิธีวาดกราฟน่าจะ OK ที่สุดสำหรับพวกอสมการนี่
แต่ปัญหาก็มีเยอะสำหรับเด็กนักเรียนส่วนใหญ่ที่วาดกราฟกันไม่ค่อยเป็น
หลายคนลุยแก้สมการ อสมการ ดะอย่างเดียวเลย

ขอบคุณสำหรับทุกๆความคิดเห็นนะครับ :D

[gon]

แอบกลับไปเปิดดูที่ผมแปะเฉลยไว้ โชคดียังถูกนะครับ. ข้อ 34 Ent' ปี 2538 :yum:

Ent' ปี 2538 ข้อ 34 (http://www.mathcenter.net/ent/2538/2538p03.shtml)

[M@gpie]

เรื่องนี้เป็นบทความในเวบเลยครับ มีเรื่องนี้เขียนไว้การแก้สมการติดรูท (http://www.mathcenter.net/sermpra/sermpra10/sermpra10p01.shtml)

เรื่องการแก้นี่เป็นเรื่องค่อนข้างละเอียดอ่อนครับ ผิดพลาดนิดเดียวก็จะผิดไปเลย !! ผมก็ต้องตั้งสติ เวลาทำเสมอเลย

[nooonuii]

การใช้ฟังก์ชันที่ไม่เป็นฟังก์ชันเพิ่มมาช่วยในการแก้อสมการจะส่งผลกระทบต่อคำตอบของอสมการครับ ต้องระวังเป็นพิเศษ อย่างกรณีนี้การยกกำลังสองไม่เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง $(-\infty,0)$ ก็เลยเกิดปัญหาครับ ถ้าเรามองกระบวนการแก้อสมการในแต่ละครั้ง (เช่นยกกำลังสอง ใส่ลอการิทึม ถอดราก ฯลฯ ) ว่าเป็นการนำฟังก์ชันมาใช้จะทำให้มองง่ายขึ้น เพราะฟังก์ชันเหล่านี้จะมีคุณสมบัติพิเศษของมันอยู่ เราก็แค่ทำตามกฎของฟังก์ชันนั้นๆเอาครับ :confused:

[RedfoX]

การใช้ฟังก์ชันที่ไม่เป็นฟังก์ชันเพิ่มมาช่วยในการแก้อสมการจะส่งผลกระทบต่อคำตอบของอสมการครับ ต้องระวังเป็นพิเศษ
หมายความว่าอะไรนะครับ ผมไม่เข้าใจนะครับ

[M@gpie]

ก็คือการแก้อสมการโดยอาศัยการยกกำลังสอง พี่ noonuii มองว่าเป็นการ นำฟังก์ชันมา composite ไปกับสองข้างของสมการน่ะครับ เช่น ให้ $f(x) = 2x+2, \; \; g(x) = \sqrt{4-x^2},\;\; h(x) = x^2 $
จากโจทย์เราต้องการหาค่า x ที่ทำให้ $f(x)\leq g(x) $
แต่เราสามารถแก้อสมการที่ง่ายกว่าคือสมการ $ (hof)(x) \leq (hog)(x)$ ซึ่งมีเซตคำตอบไม่เท่ากับสมการแรก
เนื่องจาก $h$ ไม่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม จึงต้องพิจารณาเพิ่มว่าต้องมีเงื่อนไขที่ค่า $x$ อย่างไรที่ทำให้อสมการหลังมีคำตอบเท่ากับอสมการแรก ครับ ซึ่งเงื่อนไขคือ ต้องให้ $f(x) \geq 0$ เนื่องจาก $h(x)=x^2 $ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $[0,\infty)$ จึงได้ว่า
$0 \leq f(x)\leq g(x) \Rightarrow (hof)(x) \leq (hog)(x)$
ทั้งนี้ต้องพิจารณา $x$ ที่ทำให้ $f,g$ หาค่าได้ด้วย ซึ่งมองแบบนี้ผมว่าจะวิเคราะห์ง่ายแต่หาคำตอบยากครับแต่หลักการคือต้องเป็นฟังก์ชันเพิ่มก่อนถึงจะสามารถทำกับอสมการได้โดยไม่เปลี่ยนเค รื่องหมาย
หลังจากนั้นเราก็ต้องพิจารณากรณี $f(x)<0$ ด้วย

ถ้าเป็นในกรณีฟังก์ชันลดก็ต้องกลับเครื่องหมาย ครับ เช่น $r(x) = -x$ จะได้
$f(x)\leq g(x) \Rightarrow (rof)(x) \geq (rog)(x) $ ก็คือการคูณทั้งสองข้างด้วย -1 นั่นเองครับ