ช่วยเฉลยข้อสอบ ก.พ. 47หน่อยนะคะ

[Ding Dong]

อยากให้พี่ๆช่วยเฉลยข้อสอบ ทุนก.พ.47นะคะ เอาแต่คำตอบก็ได้ ถึงแม้ว่าข้อสอบอาจง่ายไปสำหรับสมาชิกในเว็บนี้ แต่ก็อยากให้มีเฉลยบ้างจะได้รู้ว่าที่คิดไปน่ะถูกรึเปล่า
ดูข้อสอบได้ที่ http://www.ocsc.go.th/exam/pdf/M6_math.pdf
ขอบคุณล่วงหน้านะคะ

[nooonuii]

ข้อ 1.1 X= เซตว่าง ครับ ตอนแรกคิดผิดครับ
ข้อ 1.2 มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะ ส่วนที่อยู่ข้างหลังเป็นจริงเสมอ

2.2 สร้างฟังก์ชันเส้นตรง สองอัน แล้วเอาเงื่อนไขที่ให้มาหาค่าสัมประสิทธิ์

1) f(x) =2x-3
2) g(x) = 3x-4
3) from 1)
4) from 1) and 2)
5) เนื่องจาก h(x) = h(x+2) จะได้ว่า h(x+2k) = h(x) ทุกจำนวนเต็ม k
ให้ x=0,k=50 จะได้ h(100)=h(0)=f(0)

3.1 A หาจาก 3^{x^2} (3^{2x}-3) - 9(3^{2x}-3) = 0
B หลังจากใช้สูตรของ logarithm และ finite sum อย่างเมามันจะได้ x = 1/a

[gon]

ดูหน้านี้ก็ได้ครับ. ทุน ก.พ. 2547 (http://www.mathcenter.net/toabroad/2547/2547p01.shtml)
ข้อ 3.2 det B = \pm 17\sqrt[4]{2}

หมายเหตุ ถ้าคิดว่าผิด ทักท้วงด้วยนะครับ. แบบว่าคิดด้วยความรวดเร็วน่ะ

[warut]

ข้อ 3.2 ผมได้ det B=\pm\frac{17}{2} ครับ
\det\left(-A\right)^4=\det\left(4I\right)\Rightarrow
\left(\det A\right)^4=4^4\Rightarrow\det A=\pm4
\det\left(2C\right)^{-1}=32\Rightarrow
\frac{2^4}{\det C}=32\Rightarrow\det C=\frac{1}{2}
\det AB^tC=17\Rightarrow\pm2\det B=17
\Rightarrow\det B=\pm\frac{17}{2}ป.ล. คำตอบนี้ยังมีที่ผิด ดูอันที่แก้ไขแล้วด้านล่างนะครับ

ข้อ 3.3 ผมได้
C=\{\frac{1}{2}\},D=\{\frac{7\pi}{6}\}
C\cup D=\{\frac{1}{2},\frac{7\pi}{6}\}

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 5.1ครับ
ใช้สมบัติของเลขยกกำลังที่ (ab)n = anbn
จะได้ 23+43+63+...+(2m)3
= (2[:dot]1)3+(2[:dot]2)3+(2[:dot]3)3+...+(2[:dot]m)3
= 23(13+23+33+...+m3)
= 8\left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^{3}

ข้อ 5.2 ใช่ ผลบวก อนุกรมลำดับย่อยรึเปล่าครับ
จากสูตร 1+3+5+...+(2k-1)=k2
a1=1
คือช่วง [0,1) จะติด
a2=1+3 = 22
คือช่วง [1,22) จะดับ
a3=1+3+5 = 32
คือช่วง [22,32) จะติด
.
.
.
an=1+3+5+...+(2n-1) = n2
คือช่วง [(n-1)2,n2) จะ \cases{ติด เมื่อ n เป็นเลขคี่ \cr ดับ เมื่อ n เป็นเลขคู่} (เพราะเราให้ an เป็นรอยต่อ ระหว่าง ติด กับ ดับ)
ถ้า z เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ จะได้ [:lceil][:sqrt]z[:rceil] คือค่า n
จึงสรุปว่า [:lceil][:sqrt]500[:rceil]= 23 [:therefore] วินาทีที่ 500 จึงติด

[warut]

ข้อ 5.3. ถ้า \frac{df\left(x\right)}{dx}=x^2+2x-|\,x-1| จงหาค่าของ f\left(-2\right)+f\left(2\right)

ผมรู้สึกข้อนี้มันแปลกๆอยู่นะครับ ไม่ทราบว่าโจทย์ตั้งใจให้คำตอบออกมาอย่างนั้นจริงๆหรือเปล่า
ดูมันจะยากเกินไปนะ เอ๋... หรือว่าผมคิดผิด :confused: ขอความเห็นจากคนอื่นๆหน่อยนะครับ
วิธีทำของผมเป็นดังนี้ครับ

เมื่อ x\le1 เราจะได้ว่า f'(x)=x^2+2x+\left(x-1\right)=x^2+3x-1
ดังนั้นในช่วงนี้
f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-x+C_1
f(-2)=\frac{16}{3}+C_1
f(1)=\frac{5}{6}+C_1
เมื่อ C_1 คือค่าคงที่ตัวหนึ่ง

ส่วนเมื่อ x\ge1 เราจะได้ว่า f'(x)=x^2+2x-\left(x-1\right)=x^2+x+1
ดังนั้นในช่วงนี้
f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x+C_2
f(2)=\frac{20}{3}+C_2
f(1)=\frac{11}{6}+C_2
เมื่อ C_2 คือค่าคงที่อีกตัวหนึ่ง

ดังนั้น
f\left(1\right)=\frac{5}{6}+C_1=\frac{11}{6}+C_2
นั่นคือ C_2=C_1-1 ทำให้เราสรุปได้ว่า
f\left(-2\right)+f\left(2\right)=\left(\frac{16}{3}+C_1\right)+\left(\frac{20}{3}+C_2\right)=11+2C_1

4.1\left(a,b\right)=\left(5,0\right),\left(-\frac{5}{2},\frac{5\sqrt3}{2}\right)
4.2x=-1,\pm2i,\pm3i
4.33\sqrt2\left(\pm1\pm i\right)
4.4 ข้อนี้ไม่แน่ใจครับ จำสูตรรวม variance ไม่ได้ เลยต้องคิดขึ้นมาเอง
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม = 37.5
ความแปรปรวนรวม = 377.5
สัมประสิทธิ์ของการแปรผันรวม = [:sqrt]1510/75 [:approx] 0.518

5.4a=-\frac{3}{2}
5.5t=\frac{11}{6}
เย่...เสร็จครบทุกข้อแล้ว :) ใครเจอที่ผิดช่วยทักท้วงด้วยนะครับ
ข้อที่ขอเน้นเป็นพิเศษคือ ข้อ 5.3 ซึ่งยากกว่าข้อย่อยในข้อ 5 ข้ออื่นๆมาก
กับข้อ 4.4 เพราะผมต้องคิดสูตรขึ้นมาเอง และคำตอบที่ได้ไม่ลงตัวครับ :D

[gon]

ข้อ 3.2 ตอนหา det C ผมว่าคุณ warut น่าจะหาผิดนะครับ. ไม่ใครสักคนก็คงเบลอ แต่ผมว่าผมดูดีแล้วนา
\det(2C)^{-1} = \det(2^{-1}C^{-1}) = 2^{-4}\det C^{-1} = \frac{1}{16 \det C}

ส่วนข้อ 4.4 อันนี้ confirm ครับ. สูตรของ warut แบบคิดเองนี่เด็ดจริง ๆ ผมตรวจสอบโดยใช้สูตรหากิน S_{รวม}^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}{n_i(S_i^2 + \bar{d_i}^2)}}{\sum_{i=1}^{n}n_i} \; ; \; d_i = \bar{x_i} - \bar{x}_{รวม}

[warut]

ไอ้หยา...ผิดจริงๆด้วย ถ้างั้นก็ต้องได้ \det C=2^{-9} และ \det B=\pm17\cdot2^7 สินะ
สงสัยจะเบลอกันทั้งคู่เลยครับ

ดีใจที่สูตรรวม variance เฉพาะการของผมใช้ได้ แต่ตอนนั้นผมเขียนแบบนี้ครับs^2=
\frac{\sum_{i=1}^nn_i\left(s_i^2+\bar x_i^2\right)}{\sum_{i=1}^nn_i}-
\bar x^2ขอบคุณคุณ gon มากครับที่ช่วยเช็คคำตอบต่างๆให้ :)

[noghmi]

รู้สึกว่าข้อ 2 ไม่มีใครทำนะครับ จะได้ว่าวงรีมีจุดศูนย์กลางที่ (1,2) มีความยาวแกนเอกคือ 2[:sqrt][6]
วงกลมก็มีจุดศุนย์กลางที่ (1,2) และ r = 1 จากการวาดรูปดู ก็จะหาสมการวงกลมได้ จุดโฟกัสก็ง่ายๆ

รู้สึกว่า det b จาผิดนะคำตอบน่าจะง่ายๆ ผมคิดได้คือ 8/9 คับ คือว่าได้เดทของเอกับซี แล้วทำต่อปัญหาคือการหากเดทว่าเป็นเท่าไหร่ โดยให้เมตริกซ์มา