โจทย์สมาคม ปี 2542 สมการกำลังสอง

[sornchai]

ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ปี 42
กำหนดให้ [:alpha] และ [:beta] เป็นรากของสมการ $ ax^{ 2 }+bx+c=0$
และ [:alpha]1 และ [:beta]1เป็นรากของสมการ $4 ax^{ 2}-2bx+c =0$
จะได้ 4[:alpha]21 + 4[:beta]21มีค่าเท่าใดในเทอมของ [:alpha] และ [:beta]
ก. [:alpha]2 + [:beta]2 ข. 4[:alpha]2 + 2[:beta]2
ค. 4[:alpha]2 - 2[:beta]2 ง. 2[:alpha]2 - [:alpha][:beta] + [:beta]2

[nongtum]

จาก $\displaystyle\frac{c}a=\alpha\beta=4\alpha_1\beta_1$ และ $\displaystyle\frac{b}a=-(\alpha+\beta)=2(\alpha_1+\beta_1)$ จะได้
$4\alpha_1^2+4\beta_1^2=(\alpha+\beta)^2-8\alpha_1\beta_1=\alpha^2+\beta^2$

[sornchai]

ผมไม่เข้าใจ c/a = [:alpha][:beta]= 4([:alpha]1[:beta]1), b/a = -([:alpha]+[:beta])=2([:alpha]11[:beta]) มาได้อย่างไรครับผมคิดตั้งนานคิดไม่ออกครับ

[nongtum]

มันมาจาก'ทฤษฎีบท'นี้ครับ:

ให้ $p,\ q$ เป็นคำตอบของสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c=0,\ a\ne0$ จะได้ว่า $\displaystyle\frac{c}{a}=pq,\ -\frac{b}{a}=p+q$
ซึ่งแสดงได้ง่ายๆโดยการกระจาย $(x-p)(x-q)$ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ครับ

[gon]

เราเรียกว่า "Vieta's Formulas" หรือ "Vieta's Relations" ครับ.

สมการพหุนาม (http://www.mathcenter.net/review/review14/review14p03.shtml)
Vieta ' Formulas (http://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html)