ข้อสอบแข่งขันที่ฮ่องกง ระดับประถม!!!

[Punk]

โจทย์ประถมที่ไม่ประถม

1. สามเหลี่ยม ABC มีจุด D, E อยู่บนด้าน BC และ AC ตามลำดับ และ AD ตัด BE ที่ F กำหนดให้พื้นที่ EAF, AFB, FBD เท่ากับ 5,10,8 ตามลำดับ จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยม CDFE

2. กำหนดแถว 7 แถว ดังรูปข้างล่าง เรียงตัวเลขจำนวนนับตั้งแต่ 1,2,3,... ดังรูป

\begin{eqnarray}
A&\quad B&\quad C&\quad D&\quad E&\quad F&\quad G\\
1&\quad 2&\quad 3&\quad 4&\quad 5&\quad 6&\quad 7\\
13&\quad 12&\quad 11&\quad 10&\quad 9&\quad 8&\quad\\
&\quad 14&\quad 15&\quad 16&\quad 17&\quad 18&\quad 19\\
&\quad &\quad &\quad \cdots&\quad 21&\quad 20&\quad
\end{eqnarray}

ถามว่าเลข 1999 ตรงกับแถวใด

3. จำนวนเต็มบวกชุดหนึ่งมีผลบวกเป็น 20 ถามว่าผลคูณของเลขชุดนี้มากที่สุดเป็นเท่าใด

หมายเหตุ ผมแก้ข้อสองอย่างที่คุณ nongtum บอกครับ ขอบคุณและขออภัยที่ทำให้งง

[passer-by]

ข้อ 1
จากข้อมูลเกี่ยวกับพื้นที่ ที่โจทย์ให้มา ทำให้ได้ว่า

AF:FD = 5:4 และ FE:BF = 1:2

ลาก FC และ กำหนดให้พื้นที่สามเหลี่ยม FEC และ FDC เป็น a,b ตามลำดับ จะได้ 2 สมการ ด้านล่างเกิดขึ้น

\large \frac{5}{4}=\frac{a+5}{b} \qquad \dots(1) \large \frac{1}{2}=\frac{a}{8+b} \qquad \dots(2)
แก้สมการแล้วจะได้ a= 10, b=12
ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยม CDFE เท่ากับ a+b =22 ตารางหน่วย

[nongtum]

ข้อสอง ที่จริงเป็นแค่การคำนวณเศษธรรมดา แต่รูปแบบของเลขตั้งแต่แถวที่สามเป็นต้นไปที่ให้มาไม่ชัดเจนครับว่าจะไปต่อยังไง ยังไงขอคุณ Punk มา defend โจทย์อีกรอบครับ
ข้อสาม เท่าที่คิดได้ เป็นแบบนี้ครับ (แนวคิด) หากใครทำได้'แจ่ม'กว่านี้หรือมีข้อเสนอ บอกมาได้ครับ
ก่อนอื่นเราจะหาค่าสูงสุดที่เกิดขึ้นในแต่ละกรณีจาก AM-GM-Inequalities เมื่อตัวบวกแต่ละตัวเป็นจำนวนจริง ซึ่งจะได้ว่าค่าสูงสุดเกิดขึ้นเมื่อมีตัวเลขเจ็ดตัวบวกกัน ((20/7)7=1554.26) แต่ตามเงื่อนไขของโจทย์ที่แต่ละตัวเป็นจำนวนเต็มบวก เราจะหาสมาชิกเจ็ดตัวที่มีเลขซ้ำกันมากที่สุด และไม่มีหรือมีหนึ่งน้อยที่สุด อันหมายถึงค่าสูงสุดที่เป็นไปได้คือ 3^6\cdot2=1458

[Punk]

ข้อหนึ่งก็อย่างที่คุณ passer-by ทำแหละครับ
ข้อสองแก้แล้วครับ ขอบคุณคุณ nongtum มากๆครับ
ข้อสามผมก็ทำแบบที่คุณ nongtum ว่าแหละครับ ถ้าไม่รู้จัก AM-GM ineq ไม่รู้จะทำยังไงเหมือนกัน

ปล สงสัยจริงๆว่าเด็ก ป 6 จะคิดแบบไหนน้า อยากให้เด็ก ป 6 ลองมาทำดูบ้าง :D

[nongtum]

ขอบคูณครับที่มาแก้โจทย์ เอาเป็นว่ามาตอบข้อสองปิดกระทู้ดีกว่า
หักแถวแรกสุดออกไป จะเหลืออีก 1992 ตัวที่ต้องพิจารณา การเรียงนี้มี'คาบ'เป็น 12 และเนื่องจาก 12|1992 ดังนั้น 1999 อยู่แถว G

[Pramote]

ไหนๆคุณpunkก็ขอมา เราก็จัดให้ :great: ผมเองก็เป็นเด็กป.6เหมือนกัน(กำลังขึ้นป.6ปีนี้)

ผมจะตอบข้อ3นะครับ ที่โจทย์ถามว่า จำนวนเต็มบวกชุดหนึ่งมีผลบวกเป็น20

วิธีทำของผมคือ ให้สังเกต 3+3 = 6
3 x 3 = 9
แต่2x4ได้แค่8 5x1ได้5 และ2x2x2 = 8 3+3+3 = 9 3x3x3=27 3x6 = 18 4x5 =20

2+3+3+3 = 11 2x3x3x3 = 54 2x9 = 18 5x6 = 30 :laugh:

จะสังเกตได้ว่าทุกตัวจะมี3เป็นตัวประกอบ ยิ่งมี3มาประกอบมากเท่าไหร่ ผลคูณก็ยิ่งมากขึ้น

[:therefore] ผลบวกของ20 = 3+3+3+3+3+3+2

จะต้องใช้3x3x3x3x3x3x2 =1458

ส่วนวิธีเด็กโตแล้ว ก็หาค่าเฉลี่ยอะครับ 7ตัว
(20/7)^7 = 1554.26 ตามแบบของพี่nongtum :D