โจทย์ฮ่องกงมาฝากช่วยกันคิด

[banker]

ปี 2003-2004
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/5-000077-000000.jpg

[banker]

ภาคแรก ข้อ 1 - 4
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/5-000077-000001.jpg

[banker]

ข้อ 5
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/5-000077-000002.jpg

[banker]

ข้อ 6
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/5-000077-000003.jpg

[banker]

ข้อ 7 - 8
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/5-000077-000004.jpg

[banker]

ข้อ 9 - 10 - 11
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/5-000077-000005.jpg

[banker]

ข้อ 12 -13 -14
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/5-000077-000006.jpg

[banker]

part B
ข้อ 15
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/5-000077-000007.jpg

[banker]

ข้อ 16
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/5-000077-000008.jpg

[banker]

-อ 17
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/5-000077-000009.jpg

[banker]

ข้อสุดท้าย
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/5-000077-000010.jpg

[nongtum]

สิบสี่ข้อแรกครับ....

1. $\sqrt{7+2(1+\sqrt3)(1+\sqrt5)}=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2+(\sqrt5)^2+2(\sqrt3+\sqrt5+\sqrt{15})}=1+\sqrt3+\sqrt5$
2. $9x^2+6x+2004=((\sqrt{11}-1)^2+2(\sqrt{11}-1)+1)+2003=11+2003=2014$
3. ข้อนี้ลองวาดกราฟแล้วนับดูครับ ผมนับได้ 6
4. เราทราบว่า $17^3=4913$ ดังนั้น $15/19=0.79$
5. พื้นที่สี่เหลี่ยม RSTD=$(4\sqrt2-3\sqrt2)^2=2$ ตร.ซม.
6. จุด D
7. พื้นที่ใน $n^{th}$-Stage=$(\frac59)^n$ ดังนั้นพื้นที่ใน Stage 10=$(\frac59)^{10}$
8. $2^3+4^3+\dots+30^3=2^3(1^3+2^3+\dots+15^3)=115200$
9. หนึ่งวันเดินเรือตามน้ำได้ 1/5 ของระยะทางและเดินเรือทวนน้ำได้ 1/7 ของระยะทาง ดังนั้นหากล่องเรือตามน้ำหนึ่งวันจะได้ $\frac12(\frac15-\frac17)=\frac1{35}$ ของระยะทาง ดังนั้นหากล่องเรือตามน้ำโดยไม่เดินเครื่องจะใช้เวลา 35 วัน
10. $CD=\sqrt{AD\cdot DB}=4\sqrt2$
11. ให้ x และ y แทนจำนวนผู้ออกเสียงชายและหญิงในปีก่อน ดังนั้น $\frac{120}{100}(x+y)=\frac{110}{100}x+\frac{125}{100}y$ หรือ $y=2x$ ดังนั้น $\frac{(5/4)y}{ (6/5)(x+y)}=25:36$
12. เพราะ $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2004}$ ดังนั้น $a_{2004}=1+\frac{2003}{2004}=\frac{4007}{2004}$
13. หากเรียงข้อมูลชุดนี้จากน้อยไปมาก เลขตัวที่ห้าและหกต้องเป็น 10 เลขสี่ตัวแรกต้องมีผลรวมมากที่สุดและแตกต่างกัน นั่นคือ 6,7,8,9 เพราะพิสัยเป็น 10 ดังนั้นเลขตัวสุดท้ายจึงเป็น 6+10-1=15
14. ลำดับนี้แปดตัวแรกคือ a1, a2, a1+a2, a1+2a2, 2a1+3a2, 3a1+5a2, 5a1+8a2, 8a1+13a2
เพราะ a7= 5a1+8a2 ดังนั้น 5|(200-8a2) โดยพิจารณาเงื่อนไขโจทย์ประกอบจะได้ a1=8, a2=20 และ a8=8x8+13x20=324

Edit: แก้ข้อ 11,13 ตามคำแนะนำของคุณ Passer-By

[jabza]

ถึง พี่nongtum

ผมสงสัยข้อ3 เขาถามว่าอะไรครับ ที่หาจำนวนจริงที่เป็นบวกของx,yใช่ไหมครับ แล้วทำไมพี่เขียนว่า เขียนกราฟได้36รูป ผมไม่เข้าใจครับ ช่วยอธิบายหน่อยครับ :confused:


และขอแย้งข้อ12 ผมตอบ aที่2004 = 1/2004 เพราะผมหาค่าd = -1/2004 เพราะข้อนี้เป็นโจทย์อนุกรมที่ลดลง aที่n-1 > aที่n

[nongtum]

ข้อสามใช่ครับ อ่านโจทย์ผิด เลยนับผิดไปด้วย ที่จริงมันมีแค่หกคู่คือ (1,3),(1,2),(1,1),(2,2),(2,1),(1,3) เพราะโจทย์ถามถึงคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของอสมการนี้ครับ

ข้อสิบสอง หากได้ผลต่างร่วมเป็น -1/2004 จริงจะได้ว่า $2004\cdot\frac{2003}{2004}=2003\ne2005=1+2004$ ครับ

ขอต่ออีกสองข้อ
17. จากรูป ปริมาตรของ tetrahedron ในรูปเกิดจากการหักรูปพีระมิดฐานสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปออกจากลูกบาศ์ก ดังนั้นโดยไม่เสียนัยหากให้ความยาวด้านของลูกบาศ์กเป็น 1 จะได้พื้นที่ของ tetrahedron เป็น $1-4(\frac13(\frac12))=\frac13$ อัตราส่วนที่ต้องการจึงเป็น 1:3

18. ให้ $n-2,\ n,\ n+2$ เป็นเลขคู่สามตัวนี้
เราทราบว่า $3^3<37<4^3$ ดังนั้น $300^3<n^3-4n<400^3$
เพราะ $35^3=42875$ ดังนั้น $300^3<n^3-4n<350^3$
เพราะ $33^3=35397$ และ $34^3=39304$ ดังนั้น $330^3<n^3-4n<340^3$
เพราะผลคูณลงท้ายด้วยสอง ดังนั้นเลขหลักหน่วยของ $n$ จึงเป็น 6 และ 334,336,338 เป็นเลขสามตัวที่ต้องการ
หมายเหตุ: $334\cdot336\cdot338=37931712$

ใครคิดข้อ 15,16 ได้แล้วก็เชิญแปะได้เลยครับ ไม่ต้องรอผม

[prachya]

15. 30 องศา คับ

[jabza]

ถึงพี่nongtum

ผมยังข้องใจ ข้อ12 ครับ ที่พี่ อธิบายครั้งใหม่ ผมยังไม่เข้าใจ ผมจะทดลองเฉลยให้ดูก่อนนะครับ ว่าถูกหรือไม่

จากโจทย์ aที่n-1 - aที่n = 1/2004

ใช้สูตร aที่n = aที่1 + (n-1)d

[:therefore] 1+nd-2d-1-nd+d = 1/20004
-d = 1/2004
d = - 1/2004


[:therefore] aที่2004 = 1+(2003)* (-1/2004)
= 1- 2003/2004
= 1/2004

[nongtum]

วิธีทำด้านบนผิดตั้งแต่บรรทัดแรกแล้วครับ กล่าวคือโดยทั่วไปแล้วเราจะนิยามผลต่างร่วม $d=a_{n+1}-a_n$ เพราะมันมาจาก a,a+d,a+2d,.. ไม่ได้สลับกันอย่างที่น้องทำครับ ที่จริงจะนิยามแบบที่น้องทำก็ได้ แต่ลำดับจะเป็น a,a-d,a-2d,... ซึ่งจะทำให้ $a_n=a_1-(n-1)d$ หากยังไม่เชื่อลองเขียนไล่เทอมตาม d ที่หาได้แล้วตรวจสอบกับเงื่อนไขโจทย์ครับ

15. ลากส่วนสูง DE ตั้งฉากกับ AB โดยไม่เสียนัยสมมติให้ด้าน BC=AC ยาว 1 หน่วย เพราะ AC ตั้งฉากกับ CB ดังนั้น AB=$\sqrt2$=BD
สามเหลี่ยม ABC และสามเหลี่ยม ABD มีฐาน AB ร่วมกันและมีส่วนสูงร่วมเท่ากันคือ BE ดังนั้น BE=AC.CD/AB=$1/\sqrt2$
ดังนั้น $\sin \hat{ABD}=DE/DB=1/2$ นั่นคือ $\hat{ABD}=30^\circ$

อ้อ หากใครจะตอบข้อ 16 กรุณาแสดงวิธีทำด้วยครับ(โจทย์ให้แสดงวิธีทำ)

[prachya]

ข้อ 16 ผมยังไม่เข้าใจโจทย์เลยครับ Common point นี่คือจุดร่วมใช่ป่ะครับ?
แต่รูป 6 เหลี่ยมมัน ลากเส้นทแยงมุม มันไม่ตัดกันที่จุดเดียวกันหนิครับ
แร้ว เค้าให้พิสูจน์อารัยกันแน่ครับ :sweat:

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ prachya:
ข้อ 16 ผมยังไม่เข้าใจโจทย์เลยครับ Common point นี่คือจุดร่วมใช่ป่ะครับ?
แต่รูป 6 เหลี่ยมมัน ลากเส้นทแยงมุม มันไม่ตัดกันที่จุดเดียวกันหนิครับ
แร้ว เค้าให้พิสูจน์อารัยกันแน่ครับ :sweat:
เข้าใจถูกแล้วครับ แต่ก็มีเหมือนกันที่ลากเส้นทแยงมุมแล้วตัดกันที่จุดเดียว เช่น รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า

ข้อ 16 ต้องการให้แสดงว่าหากเส้นแทยงมุมแต่ละเส้นแบ่งพื้นที่ของหกเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนเท่าๆกัน เส้นทแยงมุมจะตัดกันที่จุดเดียวครับ (แต่ไม่จำเป็นที่ว่ารูปหกเหลี่ยมนั้นจะต้องเป็นหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)

[banker]

มาโพสต์ทิ้งไว้วันเดียว มีผู้เข้ามาเฉลยหมมดแล้ว ขอบคุณทุกท่านครับ

[banker]

ขออภัย ช่วยแปลข้อ 6 และวิธีคิดให้ด้วยครับ

[nongtum]

ยังไม่หมดครับขาดข้อ 16 อีกข้อ ผมยังคิดไม่ออกเหมือนกัน ใครคิดออกช่วยแปะด้วยครับ

ส่วนข้อหกที่ถามแปลได้ดังนี้ครับ
หากประกอบแบบที่กำหนดให้เป็นรูปทรง 12 เหลี่ยมด้านเท่า(ขออภัย ผมไม่ทราบว่า dodecahedron บัญญัติเป็นศัพท์ภาษาไทยอย่างไร) จุด A จะไปตกที่จุดใดครับ
วิธีทำค่อยๆประกอบกลับ เริ่มจากจุด B ครับ ลองตัดกระดาษตามแบบจริงๆแล้วประกอบจะช่วยได้เยอะครับ

[jabza]

แหะๆ ผมต้องขอโทษพี่nongtumด้วย ผมผิดตั้งแต่บรรทัดแรกเลยครับ เพราะว่า ลอกโจทย์ผิด เพราะว่า aที่n - 1 โจทย์จริงๆเป็น aที่n+1 ทำไมหมู่นี้เบลอจัง ลอกโจทย์ก็ผิด ก็ดันไปคิดว่าคนอื่นคิดผิดอยู่เสมอ :unsure: ตอนนี้ผมเข้าใจดีแล้วครับ โจทย์นี้เป็นโจทย์ที่ดีมากสำหรับเด็กประถมอย่างผม :please:

[passer-by]

ไม่ได้ มาตอบข้อ 16 นะครับ แต่จะบอกว่า

ข้อ 11 ควรจะตอบ 25/36 เพราะเขาถามอัตราส่วน ณ ปีเลือกตั้งปัจจุบัน

ข้อ 13 จากโจทย์ มีเงื่อนไข range หรือพิสัย เท่ากับ 10 ด้วยครับ

[banker]

ข้อ 16 เข้าใจโจทย์แล้วครับ รู้สึกทึ่ง โจทย์แบบนี้เด็กไทยเราเคยเจอแต่ลูกเต๋ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ประเภทแบทั้ง 6 หน้าของลูกเต๋าออก แล้วถามว่าถ้าพับเป็นลูกเต๋า จุด A จะทับจุดอะไร ให้เด็กจินตนาการเอา

โจทย์ข้อนี้ก็เช่นกัน แทนที่จะเป็นจัตุรัสที่เด็กไทยคุ้นเคย แต่เป็น 5เหลั่ยมด้านเท่า 12 รูป ถ้าพับตามรอย KB แล้วพับเป็นรูปทรงเรขาคณิต ก็จะได้รูปทรงเกือบกลม มีพื้นผิวที่เป็นห้าเหลี่ยมด้านเท่า 12 หน้า A ก็จะทับกับจุด D (ในชั้นก่อนอนุบาล จะมีของเด็กเล่นรูปทรงนี้ แล้วเจาะรูที่พื้นผิวเป็นรูปเหลี่ยมต่างๆให้เด็กเอาชิ้นส่วนไปใส่)

เด็กไทยจินตนาการแค่ สี่เหลี่ยมกับลูกเต๋า แต่เด็กฮ่องกงไปถึงห้าเหลี่ยมแล้ว
แสดงว่าเด็กฮ่องกงมีเหลี่ยมมากกว่าเด็กไทย :haha: :haha: :haha:

[banker]

อ้อ ลืมแสดงวิธีทำ

print รูปที่ว่าออกมา แล้วตัดตามแบบ พับๆๆๆๆตามรอย ก็จะได้ A ทับ D :) D :)


แล้วจะแสดงวิธีทำในกระดาษได้อย่างไร :eek:
เอาเป็นว่า ใส่ตัวอักษรตามรูป แล้วเอาด้ายร้อยตามช่องห่วง ก็แล้วกัน
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/5-000077-000025.jpg

[passer-by]

ข้อ 13 ผมเดาว่าน่าจะเป็น 18 เช่น 8 ,8, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 10, 18