R-Tummykung de Lamar
30 เมษายน 2005, 22:36
แหม ..ผมเห็น mathcenter แบ่งบอร์ดแล้ว บอร์ดนี้ยังเงียบๆอยู่บ้าง ก็เลยมาตั้งกระทู้ คลายเครียด(หรือเปล่า) ครับ และอีกอย่าง ที่หน้าหลักก็เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ด้วยครับ
คิดว่า ทุกๆคนเคยเห็นอะไรทำนองนี้ใช่ไหมครับ
\overline{\underline{ \fbox{}\quadถ้า \ \ 2^n-1 \ \ เป็นจำนวนเฉพาะ \ แล้ว \ \ (2^n-1)(2^{n-1}) \ \ จะเป็นจำนวนสมบูรณ์ \quad \fbox{} }}
ผมจะลองมาพิสูจน์เล่นๆดูครับ
ทฤษฎี 1
ให้ a\ =\ p_1^{r_1}p_2^{r_2}p_3^{r_3}\cdots p_1^{r_n}
คือเขียน a ให้อยู่ในรูปแบบบัญญัตินั่นเอง
ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากโดยคอมบินาทอริกคือ a มีตัวประกอบที่เป็นบวก ทั้งหมดคือ (r_1+1)(r_2+1)(r_3+1)\cdots (r_n+1)
ที่น่าสนใจคือ ผลบวกของตัวประกอบทุกตัวคือ (p_1^0+p_1^1+p_1^2 \ldots p_1^{r_1})(p_2^0+p_2^1+p_2^2 \ldots p_2^{r_2})\cdots (p_n^0+p_n^1+p_n^2 \ldots p_n^{r_n})
สังเกตได้จากการกระจายพหุนามธรรมดา แล้วก็ ถ้าไม่รวมตัวมันเอง คือ ผลบวกของตัวประกอบแท้ทุกตัวคือ (p_1^0+p_1^1+p_1^2 \ldots p_1^{r_1})(p_2^0+p_2^1+p_2^2 \ldots p_2^{r_2})\cdots (p_n^0+p_n^1+p_n^2 \ldots p_n^{r_n})\ -\ a .
พิสูจน์
เขียน (2^n-1)(2^{n-1}) ในรูปแบบบัญญัติ ก่อน คือ (2^n-1)(2^{n-1}) ตัวเดิมนั่นเหละครับ เพราะว่า ที่เรากำหนดมาตอนแรกคือ 2^n-1 เป็นจำนวนเฉพาะ
[:therefore] ผลรวมของตัวประกอบแท้
คือ [(2^n-1)^0+(2^n-1)^1][2^0+2^1+2^2+\ldots +2^{n-1}] -(2^n-1)(2^{n-1})
= (2^n)\big(\frac{1(2^n-1)}{1}\big)- (2^n-1)(2^{n-1})
= (2^n-1)(2^n-2^{n-1})
= (2^n-1)(2^{n-1})
ซึ่ง จะพบว่า ผลบวกของตัวประกอบแท้ทุกตัวเท่ากับตัวมันเองจริงๆครับ
...ที่กำลังพยายามพิสูจน์อยู่ ก็คือ มีจำนวนสมบูรณ์อื่นที่ไม่จำเป็นต้องเขียนอยู่ในรูปนี้ :D :D
เป็นอย่างไรบ้างครับ หวังว่าคงจะอ่านเพลินๆ สนุกๆ (หรือเปล่าหว่า)
คิดว่า ทุกๆคนเคยเห็นอะไรทำนองนี้ใช่ไหมครับ
\overline{\underline{ \fbox{}\quadถ้า \ \ 2^n-1 \ \ เป็นจำนวนเฉพาะ \ แล้ว \ \ (2^n-1)(2^{n-1}) \ \ จะเป็นจำนวนสมบูรณ์ \quad \fbox{} }}
ผมจะลองมาพิสูจน์เล่นๆดูครับ
ทฤษฎี 1
ให้ a\ =\ p_1^{r_1}p_2^{r_2}p_3^{r_3}\cdots p_1^{r_n}
คือเขียน a ให้อยู่ในรูปแบบบัญญัตินั่นเอง
ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากโดยคอมบินาทอริกคือ a มีตัวประกอบที่เป็นบวก ทั้งหมดคือ (r_1+1)(r_2+1)(r_3+1)\cdots (r_n+1)
ที่น่าสนใจคือ ผลบวกของตัวประกอบทุกตัวคือ (p_1^0+p_1^1+p_1^2 \ldots p_1^{r_1})(p_2^0+p_2^1+p_2^2 \ldots p_2^{r_2})\cdots (p_n^0+p_n^1+p_n^2 \ldots p_n^{r_n})
สังเกตได้จากการกระจายพหุนามธรรมดา แล้วก็ ถ้าไม่รวมตัวมันเอง คือ ผลบวกของตัวประกอบแท้ทุกตัวคือ (p_1^0+p_1^1+p_1^2 \ldots p_1^{r_1})(p_2^0+p_2^1+p_2^2 \ldots p_2^{r_2})\cdots (p_n^0+p_n^1+p_n^2 \ldots p_n^{r_n})\ -\ a .
พิสูจน์
เขียน (2^n-1)(2^{n-1}) ในรูปแบบบัญญัติ ก่อน คือ (2^n-1)(2^{n-1}) ตัวเดิมนั่นเหละครับ เพราะว่า ที่เรากำหนดมาตอนแรกคือ 2^n-1 เป็นจำนวนเฉพาะ
[:therefore] ผลรวมของตัวประกอบแท้
คือ [(2^n-1)^0+(2^n-1)^1][2^0+2^1+2^2+\ldots +2^{n-1}] -(2^n-1)(2^{n-1})
= (2^n)\big(\frac{1(2^n-1)}{1}\big)- (2^n-1)(2^{n-1})
= (2^n-1)(2^n-2^{n-1})
= (2^n-1)(2^{n-1})
ซึ่ง จะพบว่า ผลบวกของตัวประกอบแท้ทุกตัวเท่ากับตัวมันเองจริงๆครับ
...ที่กำลังพยายามพิสูจน์อยู่ ก็คือ มีจำนวนสมบูรณ์อื่นที่ไม่จำเป็นต้องเขียนอยู่ในรูปนี้ :D :D
เป็นอย่างไรบ้างครับ หวังว่าคงจะอ่านเพลินๆ สนุกๆ (หรือเปล่าหว่า)