รบกวนด้วยครับ....

[one by one]

ทำยังไงถึงจะเก่งเลขครับ :confused:

[nongtum]

คำถามนี้ ไม่มีคำตอบตายตัวครับ กุญแจสำคัญคืออิทธิบาท ๔ คำตอบหนึ่งที่เป็นไปได้อยู่ที่หน้าหลัก (http://www.mathcenter.net/index.shtml)ของเราครับ

[gon]

โหคุณ Nongtum ตอบได้ตรงใจผมตรงเรื่องหลักอิทธิบาท 4 มาก ๆ เลย :D
เอาล่ะผมจะเริ่มขอร่ายยาวสักรอบ มาฟังผมโม้กันเถอะ ;)

ในศาสนาพุทธพระพุทธเจ้าทรงตรัสไว้ว่า ดูกรหากบุคคลทั้งหลายต้องการยังกิจการงานทุกอย่างให้สำเร็จถึงพร้อมจักต้องใช้หลัก 4 ข้อที่เรียกว่า อิทธิบาท 4 คัมภีร์ยุทธ์ 4 ข้อนี้หากต้องการฝึกให้สำเร็จต้องทะลวงจุดให้ผ่านทีละขั้น ข้ามขั้นไม่ได้ ขั้นแรก ฉันทะ : หมายถึงถ้าต้องการจะเก่งเลขต้องทำใจให้รักและชอบเลขให้ได้ก่อน คำถามมีอยู่ว่าทำไงดีล่ะ คำตอบก็มีหลายอย่างลองพิจารณาเพิ่มเติมเอาเองนะครับว่า ทำอย่างไรจึงจะสำเร็จในขั้นนี้ เช่น

- เราอาจจะมองให้เห็นถึงความสำคัญของวิชาเลขที่มีต่อชาวโลก ลองคิดดูสิว่าถ้าคณิตศาสตร์บนโลกนี้ไม่เจริญ ทุกวันนี้เราจะมีโทรทัศน์ให้ดู คอมพิวเตอร์ให้เล่น ดาวเทียม ยานอวกาศ ฯลฯ หรือไม่ คำตอบชัดว่าไม่ ถ้ายังไม่ตระหนักก็ลอง
- มองหาความสวยงามของมันให้เจอ เหมือนกับว่าเรามองภาพที่สวยมาก ๆ ผมอ่านการ์ตูนมาไม่ต่ำกว่า 2 หมื่นเล่ม แต่มิมีเรื่องใดเลยที่คนเขียนวาดลายเส้นได้สุดยอดเท่ากับคนเขียนเรื่อง มังกรอหังการ์หมาป่าคะนองศึก เห็นครั้งแรกสะดุ้งเลยว่าสุดยอดจริง ๆ หาที่เปรียบไม่ได้ ลองมองหาความงามในแบบคณิตศาสตร์ให้เจอ อันนี้แนะยาก
- ถ้ายังไม่ชอบลองไปถามคนที่มีอายุมาก ๆ หน่อยที่ประสบการณ์ในวัยเด็กไม่เห็นความสำคัญของมัน จนกระทั่งเมื่อเวลาผันผ่านล่วงเข้าวัยกลางคนมีอายุมากแล้วถึงได้เห็นความสำคัญของมัน ลองหาคนที่มีประสบการณ์แบบนั้นเล่าเรื่องของเขาให้ฟัง อาจจะทำให้ชอบได้

เมื่อผ่านด่านแรกได้แล้วก็ต้องลุยด่าน 2 คือ วิริยะ ซึ่งหมายถึง ความขยันหมั่นเพียรที่จะขบคิดแก้ปัญหา อย่างไม่ย่อท้อต่อความยากลำบาก ถ้าเราชอบเลขอย่างจริงจังได้แล้ว ด่าน 2 นี้จะผ่านได้โดยปริยายเลย เคยหรือไม่นั่งคิดเลขเป็นบ้าเป็นหลังไม่หยุดหย่อนโดยไม่รู้สึกเบื่อเป็นหลาย ๆ วันเลย

จากด่านที่ 2 มาด่าน 3 คือ จิตตะ ซึ่งหมายถึง ความเอาใจใส่จดจ่อกับปัญหาที่ตัวเองกำลังขบคิดอย่างจริงจัง ในข้อนี้หมายถึงการมีสมาธินั่นเอง ซึ่งก็เช่นกัน ถ้าทำให้รักชอบได้อย่างจริงจัง ด่านนี้ก็ผ่านได้โดยปริยายอีกเหมือนกัน

และด่านสุดท้าย คือ วิมังสา ซึ่งหมายถึงการใช้สมองกำกับสิ่งที่ตัวเองกำลังทำอยู่ ข้อนี้พูดง่าย ๆ ว่าอย่าขยันอย่างโง่ ๆ นั่นเอง ต้องคิดเสมอว่าที่เรากำลังมันเป็นไงดีไหม ปรับปรุงได้ไหม :cool:

นั่นเป็นหลักทางพระพุทธศาสนา ซึ่งใช้งานได้จริงและใช้ได้ไม่มีวันหมดอายุ

มาลองดูหลักของบุรุษผู้ซึ่งได้ชื่อว่าเป็นบิดาแห่ง Problem Solving กันบ้าง :eek: เขาผู้นั้นคือนักคณิตศาสตร์และนักการศึกษา ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในหมู่นักแก้ปัญหาทั่วโลก คือ จอร์จ โพลยา , โพลยาเชื่อว่าความสามารถในการแก้ปัญหามิได้เป็นสิ่งที่มีมาแต่กำเนิดต่เพียงอย่างเดียว แต่มันเป็นสิ่งที่สามารถเรียนรู้ได้ ! โพลยาได้เขียนหนังสือเมื่อมีประสบการณ์มากแล้ว เช่น How To solve it ซึ่งมียอดขายไม่ต่ำกว่า 1 ล้านเล่ม และ ถูกแปลเป็นภาษาต่างไม่ต่ำกว่า 17 ภาษา เขาได้ให้หลักในการแก้ปัญหาไว้ 4 ข้อด้วยกัน คือ
1. Understand the Problem
2. Devise a plan
3. Carry out the Plan
4. Look back (reflect)
คัมภีร์ยุทธ์ 4 ข้อของโพลยานี้หากท่องและหัดใช้อยู่เสมอ ก็จะเป็นนักแก้ปัญหาที่สุดยอดคนหนึ่ง หากต้องการคำอธิบายหลัก 4 ข้อนี้โดยละเอียดลองใช้ Google ค้นคำว่า George Polya ดูนะครับ.

หลักสุดท้ายเป็นหลักของผมเอง ซึ่งได้เริ่มตั้งขึ้นมาตอน ม.2 ในวันหนึ่งมีเพื่อนผมคนหนึ่งเดินเข้ามาถามว่า เฮ้. พงศ์ทอง ทำไงให้เรียนหนังสือได้ดีล่ะ ว่าแล้วผมก็รีบนั่งนึกว่าทำไงดี :rolleyes: สุดท้ายคำตอบมันก็บอกออกมาว่า อ๋อ.ง่ายนิดเดียวก็ให้คิดและเชื่อมั่นอย่างจริงจังว่า เรานี่นะมีความสามารถที่จะแก้ปัญหาทุกอย่างได้ พูดง่าย ๆ ให้คิดว่าตัวเราเองนี้เป็นอัจฉริยะนั่นเอง ผมก็อธิบายกำกับว่า คำว่าอัจฉริยะนี้หมายถึง บุคคลที่ขวนขวายที่จะคิดละพัฒนาตัวเองอยู่เสมอ ๆ นะ พูดง่าย ๆ ก็คือ บุรุษซึ่งมีความขยันอันไม่มีที่สิ้นสุดนั่นเอง เมื่อเราเจอปัญหาใดก็ตามทีที่ไม่เคยทำมาก่อน อย่างแรกที่เราต้องคิดคือ เราทำข้อนี้ได้แน่ ๆ เชื่อมั่นอย่างสุดใจว่าทำได้แน่ ๆ การคิดว่าเราทำได้ จะต่างกับการคิดว่าทำไม่ได้อย่างสิ้นเชิง เมื่อเราคิดว่าเราทำได้สมองเราก็จะเริ่มทำหน้าที่ของมันทันที คือ แสวงหาคำตอบ ตึ๊ดๆ ๆ ๆ ;) ถึงแม้สุดท้ายจะคิดไม่ออกแต่ผลลัพธ์ก็จะต่างกับคนที่เมื่อแรกเริ่มไม่เชื่อว่าตัวเองสามารถแก้ปัญหานั้นได้ คำถามมีอยู่ว่า ถ้าตัวคุณเองยังไม่เชื่อเลยว่าคุณทำได้ แล้วคุณจะทำอะไรได้สำเร็จ ??

โม้เสียยาวเลย :p หวังว่าคงพอจะได้คำตอบที่นำไปใช้จริงได้นะครับ สุดท้าย คือ เข้าเว็บนี้ทุกวันเดี๋ยวแรงฮึดมา ! เชื่อผม บางทีถ้าเราพลังตกเราอาจมารับพลังจากคนอื่นก็ได้ ไม่ใช่เรื่องที่น่าอายแต่อย่างใด แต่ถ้าคิดว่าตัวเองมีพลังพอที่จะนั่งทำอะไรของตัวเองอยู่เงียบ ๆ คนเดียว ก็เอาแบบนั้นก็ได้ครับ. :)

สุดท้ายจริง ๆ อย่าเครียดกับคณิตศาสตร์ครับ. เดี๋ยวดี ถ้ารู้สนุกกับมันได้อะไรก็ง่ายไปหมด ...

[one by one]

Thank you to Mr.pongthong and mr. nong tum,I am really appreciated to your replies.Now I consider that I am to begin in math field as soon as possible.Therefore, I need your genius hands Like you.
By the way,I want to know what the beginnig is suppose that I have to face with putmam and olypaid competition. More important,Tell me your experience in solving problem.
If it is possible,please list me names of text book<now i have read paul zeith,winning solution,and some calculus<a little bit>>
Please,show me how to proof Lagrange multiplier .

Khob khun krub

one after another :p

[Tony]

George Polya
Born: December 13, 1887 in Budapest, Hungary
Died: September 7, 1985 in Palo Alto, California, USA
P&oacute;lya worked in probability, analysis, number theory, geometry, combinatorics and mathematical physics while at the University of Budapest, Brown University, and Stanford University.

If you can't solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it.

How to Solve It
Summary taken from G. Polya, "How to Solve It", 2nd ed., Princeton University Press, 1957, ISBN 0-691-08097-6.
1. UNDERSTANDING THE PROBLEM
o First. You have to understand the problem.
o What is the unknown? What are the data? What is the condition?
o Is it possible to satisfy the condition? Is the condition sufficient to determine the unknown? Or is it insufficient? Or redundant? Or contradictory?
o Draw a figure. Introduce suitable notation.
o Separate the various parts of the condition. Can you write them down?
2. DEVISING A PLAN
o Second. Find the connection between the data and the unknown. You may be obliged to consider auxiliary problems if an immediate connection cannot be found. You should obtain eventually a plan of the solution.
o Have you seen it before? Or have you seen the same problem in a slightly different form?
o Do you know a related problem? Do you know a theorem that could be useful?
o Look at the unknown! And try to think of a familiar problem having the same or a similar unknown.
o Here is a problem related to yours and solved before. Could you use it? Could you use its result? Could you use its method? Should you introduce some auxiliary element in order to make its use possible?
o Could you restate the problem? Could you restate it still differently? Go back to definitions.
o If you cannot solve the proposed problem try to solve first some related problem. Could you imagine a more accessible related problem? A more general problem? A more special problem? An analogous problem? Could you solve a part of the problem? Keep only a part of the condition, drop the other part; how far is the unknown then determined, how can it vary? Could you derive something useful from the data? Could you think of other data appropriate to determine the unknown? Could you change the unknown or data, or both if necessary, so that the new unknown and the new data are nearer to each other?
o Did you use all the data? Did you use the whole condition? Have you taken into account all essential notions involved in the problem?
3. CARRYING OUT THE PLAN
o Third. Carry out your plan.
o Carrying out your plan of the solution, check each step. Can you see clearly that the step is correct? Can you prove that it is correct?
4. Looking Back
o Fourth. Examine the solution obtained.
o Can you check the result? Can you check the argument?
o Can you derive the solution differently? Can you see it at a glance?
o Can you use the result, or the method, for some other problem?

[gon]

โอ๊ะโอ๋ ผมไม่ได้เป็นผู้ชำนาญปัญหาแนวโอลิมปิกกับพัทนัมเลยนะครับ :p รู้สึกปัญหาแนวนี้ยากจัง นาน ๆ ทำได้บางข้อ แต่ก็คิดว่าสามารถทำให้เชี่ยวชาญได้(ถ้ามีเวลา) แต่ปัญหาส่วนตัวของผมคือไม่มีเวลาที่จะจดจ่อกับมันได้นาน ๆ ต้องเข้าใจนะครับว่ามันเสียเวลา และอีกอย่างผมก็ไม่ได้อยู่ในวัยเรียนแล้ว ต้องคิดเรื่องอื่นก่อนเรื่องเรียน

บอกตามตรงต้องคิดทั้งเรื่องเงินและเรื่องทำประโยชน์ต่อชาวโลกนี่แบบคู่ขนานกันไป เมื่อก่อนอาจจะอุดมการณ์ 100 เงิน 0 , ต่อมาลดเหลือ 90 : 10 และจะค่อย ๆ เปลี่ยนไปจนถึงประมาณ 20:80 เพื่อเอาเงินที่ได้มาเลี้ยงตัวเองให้มั่นคงและทำประโยชน์ต่อชาวโลกในภายหลัง อันนี้ก็บอกไว้ล่วงหน้าเช่นกันว่าอนาคตอย่าแปลกใจถ้าเห็นผมทำอะไรก็เป็นเรื่องผลประโยชน์ไปเสียหมด เพราะผมจะเอาผลประโยชน์นั้นกลับมาทำประโยชน์ต่อชาวโลกคืนอย่างมากแน่นอน เชื่อขนมกินได้ :cool:

ตอนนี้ผมมีตำราค่อนข้างเยอะครับ แต่ไม่มีเวลาจดจ่อที่จะอ่านกับเรื่องใดได้นาน ๆ จริง ๆ ก็อย่างที่บอกต้องเอาเวลาส่วนหนึ่งไปหาเงินซึ่งต้องคิดเรื่องนี้เป็นจุดหลักก่อน สำหรับปัญหาที่พบถ้าผมรู้สึกอยากทำข้อไหนจริง ๆ ถึงจะค่อยเค้นพลังสมองครับ ที่พูดมาทั้งหมดก็เป็นข้ออ้างที่จะบอกว่า ตอนนี้ผมไม่ได้เชี่ยวชาญอะไรสักอย่างเลย :p ยิ่งถ้าเป็นเกี่ยวกับแคลคูลัสเรียกได้ว่าสาญสูญจนเกือบหมดแล้วครับ ฉะนั้นถ้าจะให้ผมพิสูจน์ Lagrange multiplier ผมเชื่อว่าถ้าผมตั้งใจอ่านบทพิสูจน์อย่างจริงจัง จะเข้าใจได้ แต่ก็คงเหนื่อยแน่นอน หุ ๆ สุดท้ายก็ต้องให้อ่านเอาเองล่ะครับ.หรือไม่ก็ต้องคนที่ชำนาญเรื่องนี้มาอธิบายล่ะ :rolleyes:

เมื่อก่อนผมรู้สึกเห็นความเดือดร้อนของคนอื่นเป็นของตัวเองไปหมด ใครมีปัญหาเรื่องไหน ตัวเองก็ไม่ค่อยจะรู้หรอกก็จะพยายามไปคุ้ยแคะแกะตำรานั่งอ่านมาตอบให้ แต่เดี๋ยวนี้คงต้องขอลดความคิดที่ว่าให้เหลือนิดเดียวไปอีกอย่างน้อยสัก 5 ปีข้างหน้าครับ. ตอนนี้ผมต้องมุ่งเน้นหาเงิน + รีบแต่งตำราของผมให้เสร็จ ก็คือตอนนี้ใครเดือดร้อนปัญหาไหน ถ้าผมไม่รู้ผมก็จะไม่พยายามไปคุ้ยอีกแล้วครับ เพราะมันเสียเวลามาก ๆ ถ้าผู้เชี่ยวชาญเรื่องนั้นไม่โผล่มาแถวนี้ก็ต้องเลยตามเลยล่ะครับ :)

(ปัญหาคณิตศาสตร์ทุกอย่างจะแก้ได้ที่นี่ (ถ้ามีคนทำได้ :D ))

สรุปแล้วผมช่วยได้แค่แนะนำและแก้ปัญหาบางอย่างที่พอจะช่วยได้ปัจจุบันเท่านั้นจริง ๆครับ.เรื่องที่จะให้ผมเปิดตำราหรือมานั่งพิสูจน์อะไรที่ตอนนี้ผมไม่สนใจ ต้องขอผ่านไปก่อนจริง ๆ

ปล. น้อง Tony รู้จักหลักของจอร์จ โพลยา แล้วก็อย่าลืมลองใช้ดูด้วยนะครับ. เด็กในวันนี้ต้องมีคุณภาพกว่าสูงกว่าผู้ใหญ่ในวันหน้า อยากให้บ้านเรามีสุดยอดนักคณิตศาสตร์ที่พบตัวเองตั้งแต่เด็กเยอะ ๆ :cool:

[one by one]

Thank a lot......... :confused:

[TOP]

ที่มาหรือแนวคิดของ Lagrange Multiplier จะหายากสักนิด ในหนังสือ Calculus ทั่วไปจะไม่ค่อยได้กล่าวถึง หากเขียนถึงก็จะมีเพียงวิธีใช้เท่านั้น ถ้าเอาเฉพาะแนวคิด ตามที่พี่เข้าใจ

Lagrange Multiplier เป็นการหาค่าขีดสุด(สัมบูรณ์) f\ บนฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่กำหนด (constraint) g = c

วิธีของ lagrange multiplier คล้ายๆกับกำหนดการเชิงเส้นครับ โดย constraint g\ ของเราจะเป็นเส้นโค้งใดๆที่ไม่จำเป็นต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยม หากเราลองวาด contour plot ของเส้นโค้งฟังก์ชันที่เราต้องการหาค่าขีดสุด f\ ก็จะพบว่า ณ ตำแหน่งที่เป็นค่าขีดสุดนั้น contour plot ของฟังก์ชันที่ต้องการหาค่าขีดสุด จะสัมผัสกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (constraint) เสมอ (ยกเว้นจุดวิกฤตต่างๆ) และนั่นก็ทำให้เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่สัมผัส ณ จุดนั้น ของทั้งสองฟังก์ชัน (\nabla f และ \nabla g) มีทิศทางเหมือนกัน หรือมีทิศตรงกันข้ามกัน ขนาดเวกเตอร์ตั้งฉากหารกันได้เป็นจำนวนกี่เท่านั้นก็คือค่าของ lagrange multiplier \lambda นั่นเอง หากเขียนเป็นสมการจะได้

\begin{array}{rcl} \nabla f & = & \lambda \nabla g\\
โดยมีเงื่อนไขคือ g & = & c \end{array} ตัวอย่างการใช้ Lagrange Multiplier ในหัวข้อ minimum value?????????? (http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=676) และ ข้อสอบ TMO ครั้งที่ 1 ณ จังหวัดขอนแก่น (http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=619)

ลองอ่านเนื้อหาเพิ่มเติมจาก An Introduction to Lagrange Multipliers (http://www.slimy.com/~steuard/tutorials/Lagrange.html) และ Lagrange Multiplier -- From MathWorld (http://mathworld.wolfram.com/LagrangeMultiplier.html) ดูครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/6-000034-000007.gif

[one by one]

ขอบคุณพี่ TOP มากกกกก....ครับ.I will gradully try to analyze it as I can.



:D one after another.. :D