จินตนาการเกิดได้อย่างไร

[pood]

อิอิ ดูๆแล้ว พวกพี่ๆ ในบอร์ด ทำโจทย์เลขกันเจ๋งมากๆ :died: เลย อย่างนี้หนูก็เลยคิดเอาว่าแสดงว่าเวลาทำโจทย์กันเนี่ย จะต้องมีจินตนาการแน่ๆ เลย :huh: ถึงได้สามารถคิดวิธีที่มันหลากหลายได้อย่างนี้อ่ะ :great: อิอิ หนูไม่ค่อยมีจินตนาการอ่ะค่ะ เซ็งจัง :sweat: อยากมีจินตนาการอันบรรเจิดมั่งอ่ะ :cry:

[Mastermander]

ต้องมีประสบการณ์ (ที่เกิดจากการฝึกฝน)

ต้องมีใจรัก (เพียรพยายาม)

มีทัศนคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์...
:D

[passer-by]

จินตนาการในการแก้โจทย์เลข อาจมาจาก การลองผิด ลองถูก ก็ได้ครับ

บางครั้ง ประสบการณ์บวกกับ การหัดสังเกตผลที่เกิดขึ้น จากการเสี่ยงผิดเสี่ยงถูก หลายๆแบบ อาจนำไปสู่ รูปแบบใหม่ หรือ ประกายไอเดีย ที่จะใช้จัดการกับคำถามข้อนั้นก็เป็นได้ โดยเฉพาะคำถามพวก เรขาคณิต หรือ อสมการโหดๆ

ทั้งนี้ จินตนาการจะพัฒนาได้ดีแค่ไหน ก็ต้องอาศัยสิ่งที่น้อง Mastermander บอกไว้ข้างต้นเป็นพื้นฐานก่อนครับ

อ้อ ! อีกอย่างหนึ่ง สมาธิก็มีส่วนช่วยทำให้จินตนาการทำงานได้ดีด้วยนะครับ เมื่อจิตว่าง อะไรดีๆจะตามมาเอง

ข้อความเดิมของคุณ pood :
หนูไม่ค่อยมีจินตนาการอ่ะค่ะ เซ็งจัง อยากมีจินตนาการอันบรรเจิดมั่งอ่ะ
นอกจากสิ่งที่ผมกับน้อง Mastermander กล่าวไปแล้ว ผมไม่แน่ใจว่า ลักษณะทางกายภาพของสมองจะมีผลต่อเรื่องการพัฒนาจินตนาการหรือไม่ และถ้าสุภาพสตรีดึงข้อดีของสมองแบบเพศหญิงมาใช้ได้ จะส่งผลดีต่อจินตนาการในการคำนวณหรือไม่

ถ้าผมจำไม่ผิด สมองแบบเพศหญิง จะมี connection ระหว่างส่วนต่างๆในสมองค่อนข้างมากกว่าเพศชาย ซึ่งทำให้ผู้หญิงสามารถทำโน่นทำนี่ได้หลายอย่างในเวลาเดียวกัน แต่ผู้ชายส่วนใหญ่ต้องโฟกัสเป็นอย่างๆไป

การใช้ข้อดีข้อนี้ในการคำนวณ เป็นเพียงสมมติฐานของผมเฉยๆนะครับ ส่วนถ้านำมาปรับใช้กับการคำนวณ แล้วจะได้ผลดีหรือไม่ ก็คงต้องทดลองกันดู หรือไม่ก็ต้องปรึกษาหมอพวกสมองและระบบประสาทดูนะครับ

[warut]

สำหรับผมแล้วไม่เคยใช้จินตนาการเลยครับ ข้อที่ทำได้อย่างรวดเร็วส่วนใหญ่คือ เคยเจอมาแล้ว หรือเคยเจอที่คล้ายๆกันมาแล้ว หลายๆข้อผมใช้คณิตศาสตร์ระดับที่สูงกว่า ม.ปลาย มาจัดการ แล้วค่อยเปลี่ยนมาเป็นภาษาง่ายๆ ยกตัวอย่างเช่น ข้อ 10. ของคุณ noonuii เมื่อผมเห็นอินทิกรัล $$ \int_0^1 \sqrt{x^2-x^6} \,dx$$ ผมดูออกว่าเป็น beta function ที่มีคำตอบลงตัว เสร็จแล้วผมก็เอาเทคนิคมาตรฐานสำหรับแปลง beta function มาใช้ จึงได้ว่าเราควรแทน $x^2$ ด้วย $\sin \theta$ ไม่ใช่ว่าเป็นอัจฉริยะอะไรหรอกครับ อยู่ดีๆผมคงไม่ปิ๊งขึ้นมาได้เองหรอกว่าควรแทนค่าด้วยอะไร ผมว่ามีอีกหลายๆคนที่ทำโจทย์ด้วยเทคนิคนี้ เพียงแต่เขาไม่ได้บอกว่าที่มาของวิธีคิดมาจากไหนเท่านั้นเอง ส่วนหนึ่งเพราะมันทำให้ต้องพิมพ์ยาวขึ้น และออกนอกเรื่องไปมากครับ อีกตัวอย่างนึงที่บอกที่มาของวิธีคิดด้วยก็คือ ที่คุณ nooonuii ทำโจทย์เรื่อง ring (น่านับถือมากครับ ในตอนนั้นที่ผมเห็นโจทย์ข้อนี้มีความรู้สึกเหมือนไม่เคยทำมาก่อนเลย แต่ตอนหลังมาเจอว่าตัวเองเคยจดบันทึกไว้ในหนังสือมาก่อนแล้ว และก็ยังมาเจออีกกว่าเคยอ่านบทความของ P. R. Halmos ที่พูดถึงวิธีคิดของโจทย์ข้อนี้เอาไว้ด้วย แต่ลืมสนิทหมดทุกอย่างเลยครับ สมองชักเสื่อมลงทุกวัน :( )

ยังไม่จบนะครับ ยังมีต่อถ้ายังมีคนอยากอ่าน และผมยังมีอารมณ์อยากพิมพ์ :p

[R-Tummykung de Lamar]

อสมการโหดๆนี่
ผมลองผิดลองถูกไปตามเรื่องแหละ โชคดีก็ออกคำตอบ
ถ้า...ก็ เปิด solution หุหุ :haha:

[M@gpie]

หลักๆ ก็คงมีความเห็นเหมือนกับท่านอื่นๆครับ ส่วนที่จะเพิ่มก็คือ

จินตนาการในที่นี้ ผมคิดว่าหมายถึงการประยุกต์ใช้ นิยาม สูตร ทฤษฏี เพื่อช่วยในการแก้ปัญหาโจทย์ ต่างๆ
คนที่มีจินตนาการจริงๆ คงเป็นผู้แต่งโจทย์ มากกว่าครับ เพราะโจทย์ต่างๆ ไม่ใช่ว่าจะตั้งเล่นๆ ก็สามารถแก้ได้หมด ต้องมองเส้นทางวิธีการคิด ตลอดจนเทคนิคการคิด โดยเฉพาะโจทย์ระดับโอลิมปิก

ที่ คุณ pood เห็นว่าเหล่าจอมยุทธ์ทั้งหลายในบอร์ดสามารถแก้ปัญหาได้อย่างง่ายได้ นั่นย่อมเป็นเพราะว่า จอมยุทธ์นั้นมีประสบการณ์ในการต่อสู้(ทำโจทย์) สูง เป็นการสะสมมาเรื่อยๆ ครับ การหักโหมอาจะทำให้ธาตุไฟเข้าแทรก(รู้สึกท้อ เบื่อหน่าย ไม่อยากทำ) จนไม่อาจฝึกต่อได้ การฝึกที่ดีก็ไม่ควรจะข้ามขั้นเพื่อพื้นฐานที่มั่นคง ไม่ต้องรีบร้อนครับ ก็ค่อยๆสะสมไป เชื่อว่าซักวันก็คงทำได้ไม่ต่างกันครับ ในนี้มีสุดยอดจอมยุทธ์ ที่พร้อมจะสอนวิชาให้กับผู้มีสนใจคณิตศาสตร์ทุกๆท่าน โดยไม่หวงวิชา :D

ถ้าเรามีพื้นฐานความรู้ที่ดีแล้ว เทคนิค การทำโจทย์ต่างๆ จะเรียนรู้ได้ไม่ยากเย็นครับ
การเข้าใจเนื้อหาสำคัญกว่าสิ่งอื่นใด เพราะเราคงไม่สามารถจำเทคนิค หรือ โจทย์ทุกข้อๆ (อันนี้ต้องฝึกครับ)ได้
ต่ความเข้าใจเนื้อหาและมีวิธีการคิดที่ดีแล้วจะทำให้เราฟื้นฟูส่วนนั้นขึ้นมาได้อย่างรวดเร็วครับ


ปล.
1.ติดมาจากกระทู้ที่พูดถึงจอมยุทธ์ อิอิ
2.รอพี่ warut เขียนต่อครับ นานๆจะได้อ่านความคิดเห็นของพี่ๆ อิอิ

[nooonuii]

คราวนี้ลองมาดูว่าจินตนาการนั้นสำคัญกับการเรียนคณิตศาสตร์จริงๆครับ ตัวอย่างที่ผมจะยกมาให้พิจารณากันอยู่ในวิชา โทโพโลยี(Topology) ซึ่งเป็นวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง แต่เชื่อว่าจอมยุทธ์หลายๆท่านคงจินตนาการตามสิ่งที่ผมจะเล่าต่อไปนี้ได้แน่นอนครับ ลองดูนะครับ

คำพูดยอดฮิตที่นักคณิตศาสตร์ซึ่งเรียกตัวเองว่า Topologist ชอบเอามาอวดชาวบ้านชาวช่องกันก็คือ

"ในวิชา Topology เราสามารถทำถ้วยกาแฟกับโดนัทให้เป็นสิ่งเดียวกันได้"

เอ๊ะเหมือนกันได้ยังไง ทำได้ยังไง? ลองมาดูวิธีคิดนะครับ
สมมติว่าเรามีดินน้ำมันอยู่ก้อนนึง เราเอาดินน้ำมันก้อนนี้มาปั้นให้เป็นรูปถ้วยกาแฟ จากนั้นเราก็ยุบเอาส่วนที่เป็นตัวแก้วไปรวมไว้ที่หูแก้ว โดยการยุบนั้นให้เนื้อดินน้ำมันค่อยๆไหลลงไปที่ก้นแก้วก่อนแล้วค่อยๆยุบส่วนอื่นๆไปที่หูแก้ว เสร็จแล้วก็ขยำดินน้ำมันส่วนนี้ให้เนื้อดินน้ำมันขยายไปยังส่วนอื่นๆของหูแก้วเราก็จะได้โดนัทตามต้องการ

จะเห็นว่าในกระบวนการข้างต้นเราไม่มีการตัดหรือฉีกเนื้อดินน้ำมันให้ขาดออกจากกัน ซึ่งเป็นกระบวนการที่ยอมรับกันในเชิงโทโพโลยี กระบวนการนี้เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงรูปร่างอย่างต่อเนื่อง(continuous deformation) ซึ่งจะยังคงรักษาคุณสมบัติที่สำคัญบางอย่างเชิงโทโพโลยีของวัตถุไว้ได้ เราจึงมองว่าทั้งโดนัทและถ้วยกาแฟนั้นเป็นสิ่งเดียวกัน

กระบวนการทั้งหมดที่ผมเล่ามานั้นเกิดขึ้นในจินตนาการของผมล้วนๆครับ เพียงแต่ผมใช้ดินน้ำมันมาเป็นแม่แบบในการคิดอีกทีนึง

ลองดูอีกตัวอย่างนะครับ

ถามว่า ทรงกลมถ้าตัดจุดออกไปจุดนึงจะมีสัณฐานเหมือนกับรูปอะไร?

เวลาผมคิดโจทย์ข้อนี้ผมจะจินตนาการถึงลูกโป่งใบนึงครับ(สัณฐานลูกโป่งคือทรงกลม) เสร็จแล้วก็เอาเข็มมาเจาะรูลูกโป่งไปทีนึง(ทรงกลมตัดจุดทิ้งไปอันนึง) พอเราเจาะรูลูกโป่ง ลูกโป่งก็จะแตก พอลูกโป่งแตกมันก็จะแผ่ลงมาเป็นแผ่นแบนๆเหมือนกระดาษแผ่นนึง (ไม่นึกถึงว่ามันจะขาดไปบางส่วนนะครับ ลองคิดภาพแบบ slow motion เวลาลูกโป่งแตก เพราะเราไม่อนุญาตให้มีการฉีกขาดของเนื้อวัตถุ) ผมจึงได้ข้อสรุปว่าที่แท้ ทรงกลมเมื่อตัดจุดออกไปจุดนึงมันก็จะมีสัณฐาน(เชิงโทโพโลยี) เหมือนกับกระดาษแผ่นนึงนั่นเอง
ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราเอาทรงกลมมาตัดจุดออกไปสองจุดเราก็จะได้สัณฐานของสิ่งนี้เป็นวงกลม ลองฝึกคิดดูครับ

หากถามว่าดินน้ำมันกับลูกโป่งมาโผล่ในจินตนาการของผมได้ยังไง ผมว่าคงเป็นเพราะเมื่อก่อนผมเคยเล่นดินน้ำมันกับลูกโป่งมาก่อนนั่นเอง ดังนั้นจินตนาการของคนเราก็ขึ้นอยู่กับประสบการณ์ชีวิตของคนๆนั้นด้วยครับ นี่คือตัวอย่างการใช้จินตนาการในการเรียนคณิตศาสตร์ของผมครับ :sung:

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:

ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราเอาทรงกลมมาตัดจุดออกไปสองจุดเราก็จะได้สัณฐานของสิ่งนี้เป็น...


ตอบว่ามีสัณฐานเหมือน โดนัท เหมือน ถ้วยกาแฟครับ ผม :D
ถูกไหมเนี่ย ^^

[pood]

Thank you! :) ค่ะท่านจอมยุทธ์ สรุปหลักๆ ก็คือ
1. เพียรพยามยาม :mad:
2.อาจเกิดจากการลองผิดลองถูก ซึ่งก็ทำให้เกิดประสบการณ์ อืมๆๆ :o :o
3.อาศัยประสบการณ์ที่ได้มาประยุกต์ใช้ :haha:
4.แต่อย่าลืมว่า ระหว่างฝึกวิทยายุทธจะตองอย่างักโหม มิฉะนั้นธาตุไฟจะเข้าแทรก :tired:
5.อาศัยประสบการณ์ที่ตัวเองเจอมาในชีวิต ลองมาผสมผสานกับการทำโจทย์ดู :great:

อิอิ ถูกป่าวเอ่ย ที่ข้าพเจ้าได้ลองสรุปจากที่อ่านมา :huh:

[gon]

ผมชอบลายเซ็นของ noonuii ตอนนี้ที่บอกว่า "ความพยายามไม่มี ปัญญาไม่เกิด" :cool:

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ R-Tummykung de Lamar:


ตอบว่ามีสัณฐานเหมือน โดนัท เหมือน ถ้วยกาแฟครับ ผม :D
ถูกไหมเนี่ย ^^

ถูกครับ :great: ถ้าเรามองว่าโดนัทมันตัน แต่ปกติโดนัทที่เรากล่าวถึงใน โทโพโลยีซึ่งเรียกว่า Torus จะมีรูข้างในส่วนที่เป็นวงอีกทีนึงครับ ซึ่งอันนี้จะไม่เหมือนกับโดนัทตัน :D

ตัวอย่างของวัตถุรูป Torus ที่น่าสนใจมากๆก็คงจะเป็น เจ้าเครื่อง Tokamak ซึ่งเอาไว้ผลิตพลังงานจากปฏิกิริยานิวเคลียร์ฟิวชัน นี่ล่ะครับ ลองเข้าไปดูที่นี่ครับ
http://www.vcharkarn.com/include/article/showarticle.php?Aid=302

[warut]

ตัวอย่างของของที่มี topology เป็น torus ที่หลายๆคนอาจนึกไม่ถึงก็คือ เกมคอมพิวเตอร์รุ่นโบราณ ที่เวลาตัวที่เราเล่นเดินมาจนถึงขอบด้านขวา ก็จะทะลุไปโผล่ทางด้านซ้าย ถ้าไปจนสุดด้านบนก็จะทะลุมาออกทางด้านล่าง แบบนี้ก็จะถือว่าบอร์ดมี topology เป็นแบบ torus เหมือนกันครับ

อ่านกระทู้นี้แล้ว ทำให้ทราบว่าที่ตัวเองเรียน topology ไม่รู้เรื่องนี่คงเป็นเพราะขาดจินตนาการนี่เอง จำได้ว่าในวิชานี้ อาจารย์เคยสอนทฤษฎีอันหนึ่ง เสร็จแล้วอาจารย์เค้าก็สาธิต โดยเอากระดาษมาแผ่นนึง แล้วก็ขยำๆ แล้วก็พูดอะไรสักอย่างนี่แหละ แต่ผมไม่รู้เรื่องแฮะ สงสัยจะขาดจินตนาการอย่างแรง :o

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
ตัวอย่างของของที่มี topology เป็น torus ที่หลายๆคนอาจนึกไม่ถึงก็คือ เกมคอมพิวเตอร์รุ่นโบราณ ที่เวลาตัวที่เราเล่นเดินมาจนถึงขอบด้านขวา ก็จะทะลุไปโผล่ทางด้านซ้าย ถ้าไปจนสุดด้านบนก็จะทะลุมาออกทางด้านล่าง แบบนี้ก็จะถือว่าบอร์ดมี topology เป็นแบบ torus เหมือนกันครับ

:o

ว้าว เป็นตัวอย่างที่ดีมากเลยครับ Torus แบบนี้เกิดจาก identification ของระนาบครับ
อันนี้ลองทำดูได้ง่ายๆ หยิบกระดาษมาแผ่นนึง เอาเทปกาวมาปิดขอบกระดาษที่อยู่ตรงข้ามกัน จะได้ทรงกระบอก จากนั้นเอาปลายทรงกระบอกมาเชื่อมต่อกันอีกทีจะได้รูป Torus ครับ :)

[R-Tummykung de Lamar]

หุหุ นึกถึงเกม "เจ้างูน้อย หรือ snake" ในโทรศักท์มือถือเลยครับ อิอิ
ทะลุไปด้านบนแล้วไปโผล่ด้านล่าง :D

[warut]

ตอบต่อครับ ที่ผมตอบไปช่วงแรก สรุปว่ามันก็คือเรื่องของประสบการณ์นั่นเอง

ตอนต่อไปก็คือเรื่องความอึด แน่นอนครับไม่ใช่โจทย์ทุกข้อจะสามารถทำสำเร็จได้ในเวลาอันสั้น ดังนั้นถ้าทำข้อไหนไม่ได้ ก็อย่าเพิ่งรีบยอมแพ้ หายเหนื่อย/เบื่อแล้วก็กลับมาคิดใหม่ วิธีนี้ใช้ไม่ได้ก็ลองเปลี่ยนไปใช้วิธีอื่น โจทย์หลายๆข้อที่เอามาโพสต์กันที่นี่ ผมต้องใช้เวลาหลายวันกว่าจะคิดออก ถึงทำไม่สำเร็จเลย ก็ยังมีประโยชน์มากตอนเห็นเฉลย เพราะจะทำให้เข้าใจเฉลยได้เร็วมาก และทำให้รู้ว่าจุดไหนที่ทำให้เราคิดไม่ออก แต่ว่าก็ต้องรู้จักเลือกโจทย์หน่อยครับ ควรจะเริ่มจากโจทย์ที่มีแหล่งที่มาที่น่าเชื่อถือ ไม่งั้นเดี๋ยวก็โดนหลอกให้ไปทำข้อที่มันไม่มีทางทำได้ ถ้าเป็นไปได้ควรเลือกโจทย์ที่มีเฉลย เพื่อเราจะได้ตรวจสอบได้ เฉลยในที่นี้ไม่ได้หมายถึงเฉพาะที่อยู่ท้ายเล่มหนังสือ แต่อาจเป็นคนที่ช่วยตรวจสอบให้เราได้ก็ได้ครับ และสุดท้ายก็คือเริ่มจากโจทย์ง่ายๆก่อน เท่าที่นึกได้ตอนนี้ก็มีแค่นี้แหละครับ

อีกเรื่องก็คือ อุปกรณ์เสริมที่จะช่วยเรา ในยุคนี้มีเครื่องมือที่สามารถช่วยเราได้อย่างมากๆ เพิ่มขึ้นมาอีก 2 อย่างครับ

1. Internet ประโยชน์ของมันมากมายก่ายกอง ยากที่จะพูดให้หมดครับ มันทำให้เกิดเว็บบอร์ดนี้ขึ้นมาให้เราปรึกษาคนอื่นได้ มี search engine อย่าง Google ให้ใช้ มี online math tools อย่างเช่นที่
http://www.math.com/students/solvers/online_solvers.htm

ดังนั้นใช้มันให้คุ้ม อย่างถูกต้องครับ จะได้ไม่ต้องเที่ยวไปพึ่งคนอื่นโดยไม่จำเป็น

2. คอมพิวเตอร์/เครื่องคิดเลข มันช่วยเช็คคำตอบให้เราได้โดยไม่ต้องไปถามคนอื่น มันไร้สาระมากๆถ้าจะเข้ามาที่ mathcenter เพียงเพื่อจะถามว่า $\sin30 ^\circ$ มีค่าเท่าไหร่ scientific calculator ของ Windows มีประโยชน์มากครับ แม้แต่ gamma function มันก็คิดได้ (โดยหาในรูปของ factorial) ในระดับที่ advance ขึ้นไปก็ควรฝึกใช้โปรแกรมสำเร็จรูปอย่าง Mathematica หรือ Maple เวลาใช้เป็นแล้ว เราจะได้เขียนโปรแกรมสั่งให้มันเช็คคำตอบต่างๆให้เราได้

อย่างสุดท้ายคือเรื่องของทักษะเสริม ซึ่งที่ผมจะพูดมีอยู่ 2 อย่างครับ

1. ภาษาอังกฤษ จำเป็นมากๆๆครับ ถ้าภาษาอังกฤษดีมันจะช่วยได้มากมายหลายเรื่อง พูดไปก็ไม่หมด ทำให้เราใช้ตำราฝรั่งได้ ไม่ต้องไปง้อรอตำราภาษาไทยเลยครับ

2. LaTeX ถ้าคิดจะเอาจริงทางสายคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี ไม่ช้าก็เร็วหนีไม่พ้นแน่ ถ้ามีเวลาหัดได้ก็หัดไว้ครับ บางทีการส่งข้อความจำเป็นต้องส่งเป็น plain text เราก็ต้องใช้ LaTeX นี่แหละคุยกัน

ผมไม่เคยตอบกระทู้อะไรทำนองนี้มาก่อน เพราะผมไม่ใช่คนเรียนเก่ง คนฉลาด หรือคนที่ประสบความสำเร็จอะไร กว่าผมจะเข้าใจอะไรได้ก็ต้องใช้เวลามากกว่าพวกอัจฉริยะ แต่ครั้งนี้ที่เขียนเพราะคิดว่าบางทีมุมมองของผม อาจมีประโยชน์สำหรับคนทั่วๆไป ที่ไม่ได้ตั้งเป้าไปถึงระดับโอลิมปิกได้บ้างครับ

[M@gpie]

เห็นด้วยกับความเห็นของพี่ warut เป็นอย่างยิ่งทีเดียวครับ ที่ผมชอบคือย่อหน้าสุดท้ายครับ อิอิ

ขอเสนอแนะหน่อยนะครับ เรื่องภาษาอังกฤษ น้องๆอาจจะกลัวกัน คือส่วนตัวผมก็ไม่เก่งภาษาอังกฤษ อ่าน เท่าไรนัก อ่านไม่ออกแปลไม่ได้ก็ เปิดพจนานุกรม แปลๆ กันไปเรื่อย(เขาไม่ได้ห้ามเราเปิดหนินา) ในหนังสือวิทยาศาสตร์ เขาจะไม่ใช้ศัพท์หรือภาษาที่ยากครับ ถ้าเป็นหนังสือการเมือง หรือ ปรัชญา อันนี้จะยากเพราะ มีการอ้างนู่นอ้างนี่เยอะ อันนี้ผมก็กลัวครับแหะๆ

ดังนั้น ก็คือไม่จำเป็นที่จะต้องอ่านแปลได้ทุกคำพูด หรือเข้าใจหมดทั้งประโยคก็ได้ครับ ก็สามารถอ่านเนื้อหาคณิตศาสตร์ รวมถึงวิทยาศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี ชีวะ ต่างๆ ที่เป็นภาษาอังกฤษได้อย่างไม่ยากนัก ครับ

[rigor]

มีประเด็นหนึ่งคือคุณน้องต้องแยกให้ออกระหว่าง visualization กับ imagination

visualization คือการนึกภาพตามให้ออก อย่างเช่นถ้าผมจะเขียนพิสูจน์ทบ.หนึ่ง ผมก็จะนึกภาพว่าเงื่อนไขเดิมโครงสร้างเดิมจัดเรียงอย่างไร ในแต่ละประโยคที่เขียนเพิ่มลงไป มีตัวละครอะไรเพิ่ม มีสมบัติอะไรเปลี่ยนไป มีการย้ายตำแหน่งตัวละครหรือไม่ จะต้องเปลี่ยนมุมมองเมื่อไหร่ โครงสร้างในคณิตศาสตร์บางอย่างมันเชื่อมเข้ากับสิ่งของในโลกกายภาพไม่ได้ แต่ก็อาจจะนึกภาพบางอย่างเพื่อแสดงสมบัติเด่นของสิ่งนั้นได้บ้าง การเขียนภาพในสมองลงกระดาษอาจจะแทน visualization ได้บ้าง แต่ว่า กระดาษเป็น 2D ในขณะที่ visualization เป็น 3D แถมยังผูกกับเส้นเวลาได้อีก

imagination ผมจะนึกถึงการคิดถึงสิ่งใหม่ที่ไม่เคยมีมาก่อน เป็นอิสระจากประสบการณ์หรือความทรงจำได้เต็มที่

[kongp]

หักโหมเกินไปก็อาจไม่เจออะไร คงเป็นเพราะโอกาศไม่ได้เป็นของทุกคน ควรหนักบ้าง เบาบ้าง อย่าหักโหม คนอื่นเห็นก็สงสารมีเยอะ ผมก็ด้วยละมั้ง ลองขยายแนวคิดไปเป็น math-physic บ้างคงดี

[pood]

แต๊งกิ้วหลายๆ นะคะ สำหรับทุกคำตอบที่โพสท์มา :) อิอิ รักเว็บไซต์นี้จริงๆ :kaka: :kaka: :kaka: :kaka: :kaka: