การหาเศษพหุนามจากการหารด้วยพนุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ2

[tngngoapm]

บทความนี้นำเสนอทฤษฎีหาเศษที่เราต่างก็ทราบกันดีอย่างเช่น
.........ถ้าถามว่าพหุนาม $x^{3}+3x^{2}-2x+1$ หารด้วยพหุนาม $x-1$ เหลือเศษเท่าไหร่ เราไม่จำเป็นต้องไปตั้งหารยาว เพียงเราใช้ทฤษฎีเศษเหลือแทนค่า x=1 ลงใน $x^{3}+3x^{2}-2x+1$ จะได้เศษเท่ากับ 3 ทันที
.........ตัวอย่างข้างบนเป็นการหารด้วยพหุนามดีกรี 1 จึงสามารถใช้ทฤษฎีเศษเหลือได้ แต่เราเคยสงสัยกันไหมว่าภ้าเป็นการหารพหุนามด้วยพหุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 2 จะใช้ทฤษฎีเศษเหลือได้ไหม ผมใช้เวลาครุ่นคิดอยู่ประมาณหนึ่งแต่ก่อนหน้านั้นก็พยายามหาคำตอบมาตลอด ซึ่งผมจะใช้วิธีตั้งสมการ ตัวตั้ง=(ผลหาร)(ตัวหาร)+เศษ แล้วเลือกค่า x ที่เหมาะสม แก้สมการหาค่าเศษ หรือถ้ามันยุ่งยากมากนักก็ตั้งหารยาวพหุนามเลยให้มันสิ้นเรื่องสิ้นราว
..........แต่จริงๆแล้วการหารด้วยพหุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ2 ก็สามารถใช้ทฤษฎีเศษเหลือได้ เพียงแต่โรงเรียนไม่ได้สอนไว้ในหลักสูตร เพราะว่ามันต้องประยุกต์เอาและมีความซับซ้อนมากกว่าการหารด้วยพหุนามกำลัง1 ผมจึงอยากสรุปรวบรวมวิธีการหาไว้ให้โดยอิงมาจากทฤษฎีเศษเหลือแล้วนำมาขยายความต่อ โดยเริ่มจากการหารด้วยพหุนามดีกรี2 ก่อน เพื่อเป็นประโยชน์สำหรับผู้ที่สนใจ โดยมีรายละเอียดและตัวอย่างตามภาพที่แนบมา ซึ่งผมคิดว่าโดยวิธีนี้มันน่าจะเร็วกว่าการตั้งหารยาว หรือยังไงใครได้ลองพิสูจน์แล้วก็บอกด้วยละกัน
.........ในรายละเอียดของวิธีการหาเศษ จะแบ่งเป็น 2 วิธี คือการใช้สูตรซึ่งเหมาะกับพหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบเป็นค่าจริงไม่ได้ ส่วนอีกวิธีคือการหารสังเคราะห์เหมาะกับพหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบเป็นค่าจริงได้ และด้วยวิธีการหารสังเคราะห์นี้มีข้อดีคือเรายังได้พหุนามผลหารออกมาด้วยครับ
.........และสำหรับการเริ่มศักราชใหม่ พ.ศ.2560 ผมก็อยากจะฝากโจทย์ให้คิดกันเพื่อเพิ่มรอยหยักทางความคิดกันครับ
$Problem1.......... (x^{3}+1)^{2560} หารด้วย x^{2}+x+1 เหลือเศษเท่าไหร่กันครับ $

[tngngoapm]

$Problem1......(x^{3}+1)^{2560} หารด้วย x^{2}+x+1 เหลือเศษเท่าไหร่?$
วิธีทำ
1. ให้ $P(x)=(x^{3}+1)^{2560}$.........และหารากของสมการ $x^{2}+x+1=0$
$z_{1}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3} }{2}i=cos\frac{2\pi }{3}+isin\frac{2\pi }{3} $
$z_{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3} }{2}i=cos\frac{4\pi }{3}+isin\frac{4\pi }{3} $
2.เศษจะอยู่ในรูปแบบ $px+q,p,q\in R$.....โดยที่
$p=\frac{P(z_{1})-P(z_{2})}{z_{1}-z_{2}}$
$q=\frac{z_{1}P(z_{2})-z_{2}P(z_{1})}{z_{1}-z_{2}} $
......หา $P(z_{1})=([cos\frac{2\pi }{3}+isin\frac{2\pi }{3}]^{3}+1)^{2560}=(1+1)^{2560}=2^{2560}$
$P(z_{2})=([cos\frac{4\pi }{3}+isin\frac{4\pi }{3}]^{3}+1)^{2560}=(1+1)^{2560}=2^{2560}$
$\therefore p=\frac{2^{2560}-2^{2560}}{(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3} }{2}i)-(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3} }{2}i)}=0$
$\therefore q=\frac{z_{1}(2^{2560})-z_{2}(2^{2560})}{z_{1}-z_{2}}=\frac{(2^{2560})(z_{1}-z_{2})}{z_{1}-z_{2}}=2^{2560} $
3.เศษคือ $2^{2560}$...........$Ans$

[Thgx0312555]

วิธีนี้ช้าไปนิดนะครับ
จริงๆสังเกตว่า $x^3 \equiv 1 \pmod {x^2+x+1}$ (ให้นิยาม mod เหมือน mod ในจำนวนเต็ม)
$(x^3+1)^{2560} \equiv 2^{2560} \pmod {x^2+x+1}$
เศษเลยเป็น $2^{2560}$ ครับ

ขอตั้งข้อ 2 เลยนะครับ
จงหาเศษจากการหาร $x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24}$ ด้วย $x^4+x^3+x^2+x+1$
(ใช้ไอเดียเดียวกับข้อเมื่อกี้ครับ)

3. ข้อนี้ต้องใช้การประยุกต์นิดนึง
จงหาเศษจากการหาร $x^{100}$ ด้วย $x^4-3x^2+2$

[tngngoapm]

วิธีนี้ช้าไปนิดนะครับ
จริงๆสังเกตว่า $x^3 \equiv 1 \pmod {x^2+x+1}$ (ให้นิยาม mod เหมือน mod ในจำนวนเต็ม)
$(x^3+1)^{2560} \equiv 2^{2560} \pmod {x^2+x+1}$
เศษเลยเป็น $2^{2560}$ ครับ

ขอตั้งข้อ 2 เลยนะครับ
จงหาเศษจากการหาร $x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24}$ ด้วย $x^4+x^3+x^2+x+1$
(ใช้ไอเดียเดียวกับข้อเมื่อกี้ครับ)

3. ข้อนี้ต้องใช้การประยุกต์นิดนึง
จงหาเศษจากการหาร $x^{100}$ ด้วย $x^4-3x^2+2$

วิธีที่แสดงเป็นวิธีที่ก้าวหน้ามาก แสดงว่าน่าจะเริ่มมีคนเข้าใจงานเขียนของผมแล้ว (คือผมต้องการจะสร้างมันขึ้นมาเป็นระเบียบวิธีอยู่อ่ะครับ).........ไม่รู้จะได้หรือป่าว แต่ข้อมูลที่อยู่กับผมยังมีอีกเพียบเลย แบ่งปันกันครับเผื่อเกิดความคิดดีดีขึ้นมา

[Thgx0312555]

ขอบคุณครับ รอติดตามต่อไปนะครับ

[tngngoapm]

ระเบียบวิธีที่1
กำหนดให้ $P_{n}(x),Q_{n}(x),S_{n}(x),R_{n}(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 $(n\in จำนวนนับ)$

$$ \sharp \sharp\sharp ถ้า.... P_{1}(x) หารด้วย S_{1}(x).... แล้วเหลือเศษ...R_{1}(x)... และ... S_{2}(x) เป็นพหุนามย่อยของ S_{1}(x).... แล้ว$$$$พหุนาม .....P_{1}(x) หารด้วย S_{2}(x).... จะเหลือเศษเท่ากับ เศษที่ได้จากการหาร ....R_{1}(x) ด้วย S_{2}(x)....ด้วย\sharp \sharp\sharp $$

นิยาม
พหุนามเทียบเท่า
พหุนาม $P_{2}(x)$ เป็นพหุนามเทียบเท่ากับ $P_{1}(x)$ ก็ต่อเมื่อ ดีกรีของ $P_{2}(x)$=ดีกรีของ $P_{1}(x)$
และเซตคำตอบของรากสมการในระบบจำนวนเชิงซ้อนของ $P_{2}(x)=0$ เท่ากับ เซตคำตอบของรากสมการของ$P_{1}(x)=0$
ตัวอย่างเช่น พหุนาม$2x-1$ เทียบเท่ากับพหุนาม $4x-2$ เป็นต้น (ซึ่งพหุนามที่เทียบเท่ากับ $4x-2$ จะมีเป็นจำนวนอนันต์พหุนาม แต่ทั้งหมดนี้รวมเรียกว่าเป็น 1 ชุด)

พหุนามย่อย
พหุนาม $P_{2}(x)$ เป็นพหุนามย่อยของ $P_{1}(x)$ ก็ต่อเมื่อ ดีกรีของ $P_{2}(x)\leqslant ดีกรีของ P_{1}(x)$
และเซตคำตอบของรากสมการในระบบจำนวนเชิงซ้อนของ $P_{2}(x)=0$ เป็นสับเซตของ เซตคำตอบของรากสมการของ$P_{1}(x)=0$
ตัวอย่างเช่น พหุนาม$x-1$ เป็นพหุนามย่อยของ $x^{2}-2x+1$ เป็นต้น(พหุนามย่อยของ$x^{2}-2x+1$มี 2 ชุด คือ $x-1 และ x^{2}-2x+1$)

$Problem2........x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24} หารด้วย x^4+x^3+x^2+x+1 เหลือเศษ?$
วิธีทำ
$x^5 \equiv 1 \pmod {x^5-1}$
$x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24} \equiv 1+x+x^2+x^3+x^4 \pmod {x^5-1}$
$\therefore x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24} หารด้วย x^5-1 เหลือเศษx^4+x^3+x^2+x+1$
และได้ว่า $\therefore x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24} หารด้วย x^4+x^3+x^2+x+1 ลงตัว...... $
$เพราะ... x^4+x^3+x^2+x+1...เป็นพหุนามย่อยของ...x^5-1...[x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1 )]$
$และหาร...x^4+x^3+x^2+x+1...ลงตัว$

นอกจากนี้ เรายังสามารถหาเศษจากการหาร$x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24}$ ด้วยพหุนามย่อยของ $x^5-1$ ตัวอื่นๆได้โดยง่ายเช่น.......
$x^2+(\frac{\sqrt{5}+1 }{2} )x+1$ เป็นพหุนามย่อยหนึ่งของ $x^5-1$ .......$[x^5-1=(x-1)(x^2+(\frac{\sqrt{5}+1 }{2} )x+1)(x^2+(\frac{1-\sqrt{5} }{2} )x+1)]$
......เศษจากการหาร$x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24}$ ด้วย$x^2+(\frac{\sqrt{5}+1 }{2} )x+1$ หาจากนำ $x^4+x^3+x^2+x+1 $ หารด้วย $x^2+(\frac{\sqrt{5}+1 }{2} )x+1$ โดยวิธีหารยาวก็ได้จะได้ว่าหารลงตัว.......ไม่เหลือเศษเหมือนกัน

[tngngoapm]

นิยาม
พหุนามเทียบเท่า
พหุนาม $P_{2}(x)$ เป็นพหุนามเทียบเท่ากับ $P_{1}(x)$ ก็ต่อเมื่อ ดีกรีของ $P_{2}(x)$=ดีกรีของ $P_{1}(x)$
และเซตคำตอบของรากสมการในระบบจำนวนเชิงซ้อนของ $P_{2}(x)=0$ เท่ากับ เซตคำตอบของรากสมการของ$P_{1}(x)=0$
ตัวอย่างเช่น พหุนาม$2x-1$ เทียบเท่ากับพหุนาม $4x-2$ เป็นต้น (ซึ่งพหุนามที่เทียบเท่ากับ $4x-2$ จะมีเป็นจำนวนอนันต์พหุนาม แต่ทั้งหมดนี้รวมเรียกว่าเป็น 1 ชุด)

พหุนามย่อย
พหุนาม $P_{2}(x)$ เป็นพหุนามย่อยของ $P_{1}(x)$ ก็ต่อเมื่อ ดีกรีของ $P_{2}(x)\leqslant ดีกรีของ P_{1}(x)$
และเซตคำตอบของรากสมการในระบบจำนวนเชิงซ้อนของ $P_{2}(x)=0$ เป็นสับเซตของ เซตคำตอบของรากสมการของ$P_{1}(x)=0$
ตัวอย่างเช่น พหุนาม$x-1$ เป็นพหุนามย่อยของ $x^{2}-2x+1$ เป็นต้น(พหุนามย่อยของ$x^{2}-2x+1$มี 2 ชุด คือ $x-1 และ x^{2}-2x+1$)


ระเบียบวิธีที่2
กำหนดให้ $P_{n}(x),Q_{n}(x),S_{n}(x),R_{n}(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 $(n\in จำนวนนับ)$

$$ \sharp \sharp\sharp ถ้า.... P_{1}(x) หารด้วย S_{1}(x).... แล้วเหลือเศษ...R_{1}(x)... และ... S_{2}(x) เป็นพหุนามเทียบเท่ากับ S_{1}(x).... แล้ว$$$$พหุนาม .....P_{1}(x) หารด้วย S_{2}(x).... จะเหลือเศษเท่ากับ..... R_{1}(x)....ด้วย\sharp \sharp\sharp $$

ตัวอย่างเช่น......$x^{3}-4x^{2}+5x+1.... หารด้วย.... x^2+2x-1.... เหลือเศษ.... 18x-5 $
จะได้ว่าพหุนาม $...2x^2+4x-2...,3x^2+6x-3 ....หรือ ....4x^2+8x-4... ก็หาร.... x^{3}-4x^{2}+5x+1... แล้วเหลือเศษเท่ากับ.... 18x-5... ด้วย$
เพราะพหุนาม $...x^2+2x-1....,2x^2+4x-2....,3x^2+6x-3.... หรือ... 4x^2+8x-4... ต่างก็เป็นพหุนามเทียบเท่ากัน$

[tngngoapm]

.........เทคนิควิธีการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันไดเป็นเทคนิคการหารสังเคราะห์แบบหนึ่งที่ผมค้นคว้าเพิ่มเติมขึ้นมา เพื่อใช้ในการหาเศษพหุนาม แต่ก่อนจะพูดถึงวิธีในการหาเศษพหุนามด้วยเทคนิควิธีนี้ ผมจะขอยกตัวอย่างในการจัดรูปพหุนามเช่น พหุนาม$x^3-2x^2+3x+1$ สามารถจัดให้อยู่ในรูปพหุนามกำลังของ $(x-1)$ ได้คือ $(x-1)^3+(x-1)^2+2(x-1)+3$ หรือเขียนได้ว่า $$x^3-2x^2+3x+1=(x-1)^3+(x-1)^2+2(x-1)+3$$
......คือถ้าพอมีความรู้ทางพีชคณิตการจัดรูปดังกล่าวก็คงไม่น่าจะยากเย็นอะไรมาก แต่ถ้ากำลังของพหุนามเริ่มมากขึ้นล่ะครับ......เทคนิควิธีการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันไดสามารถนำมาใช้หาสัมประสิทธิ์หน้าพหุนามกำลังของ $(x-a),a\in จำนวนจริง$ ได้ ซึ่งโดยหลักการใครพอทราบวิธีการหารสังเคราะห์อยู่แล้วก็ไม่ได้ยุ่งยากเพิ่มเติมอะไรมากครับ วิธีก็หารสังเคราะห์ไปเรื่อยๆ เช่น เราต้องการพหุนามกำลังของ $(x-a),a\in จำนวนจริง$ เราก็ใช้ $a$ หารสังเคราะห์ไปเรื่อยๆ โดยในการหารแต่ละครั้งจำนวนหลักตัวเลขก็จะลดลงไปครั้งละหนึ่งหลัก หารไปเรื่อยๆจนเหลือ 2 หลักก็เสร็จสิ้น ตอบ
........เช่นจงหาพหุนามกำลังของ $(x-1)$ ของ $x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+3$ ...ซึ่งจะตอบว่า
$x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+3=(x-1)^6+4(x-1)^5+8(x-1)^4+8(x-1)^3+4(x-1)^2+2$
รายละเอียดวิธีการหาผมแนบตัวอย่างมาให้ข้างล่างครับ ซึ่งจากการจัดรูปดังกล่าวถ้าถามว่า $x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+3$ หารด้วย $(x-1)^3$ เหลือเศษเท่าไหร่ ก็ตอบได้เบื้องต้นเลยครับว่าเหลือเศษ $4(x-1)^2+2$......ใครมีข้อสงสัยตรงไหน ติเตือนท้วงติง ได้เลยครับ

[nooonuii]

.........เทคนิควิธีการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันไดเป็นเทคนิคการหารสังเคราะห์แบบหนึ่งที่ผมค้นคว้าเพิ่มเติมขึ้นมา เพื่อใช้ในการหาเศษพหุนาม แต่ก่อนจะพูดถึงวิธีในการหาเศษพหุนามด้วยเทคนิควิธีนี้ ผมจะขอยกตัวอย่างในการจัดรูปพหุนามเช่น พหุนาม$x^3-2x^2+3x+1$ สามารถจัดให้อยู่ในรูปพหุนามกำลังของ $(x-1)$ ได้คือ $(x-1)^3+(x-1)^2+2(x-1)+3$ หรือเขียนได้ว่า $$x^3-2x^2+3x+1=(x-1)^3+(x-1)^2+2(x-1)+3$$
......คือถ้าพอมีความรู้ทางพีชคณิตการจัดรูปดังกล่าวก็คงไม่น่าจะยากเย็นอะไรมาก แต่ถ้ากำลังของพหุนามเริ่มมากขึ้นล่ะครับ......เทคนิควิธีการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันไดสามารถนำมาใช้หาสัมประสิทธิ์หน้าพหุนามกำลังของ $(x-a),a\in จำนวนจริง$ ได้ ซึ่งโดยหลักการใครพอทราบวิธีการหารสังเคราะห์อยู่แล้วก็ไม่ได้ยุ่งยากเพิ่มเติมอะไรมากครับ วิธีก็หารสังเคราะห์ไปเรื่อยๆ เช่น เราต้องการพหุนามกำลังของ $(x-a),a\in จำนวนจริง$ เราก็ใช้ $a$ หารสังเคราะห์ไปเรื่อยๆ โดยในการหารแต่ละครั้งจำนวนหลักตัวเลขก็จะลดลงไปครั้งละหนึ่งหลัก หารไปเรื่อยๆจนเหลือ 2 หลักก็เสร็จสิ้น ตอบ
........เช่นจงหาพหุนามกำลังของ $(x-1)$ ของ $x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+3$ ...ซึ่งจะตอบว่า
$x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+3=(x-1)^6+4(x-1)^5+8(x-1)^4+8(x-1)^3+4(x-1)^2+2$
รายละเอียดวิธีการหาผมแนบตัวอย่างมาให้ข้างล่างครับ ซึ่งจากการจัดรูปดังกล่าวถ้าถามว่า $x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+3$ หารด้วย $(x-1)^3$ เหลือเศษเท่าไหร่ ก็ตอบได้เบื้องต้นเลยครับว่าเหลือเศษ $4(x-1)^2+2$......ใครมีข้อสงสัยตรงไหน ติเตือนท้วงติง ได้เลยครับ

ใช้สูตรของอนุกรมเทย์เลอร์ง่ายกว่าเยอะครับเพราะคำนวณออกมาได้ทันที

[Thgx0312555]

ยากแหะครับ
ที่เคยเจอคือใช้
$P(x)=(x-1)^2Q(x)+ax+b \rightarrow P(1)=a+b$
$P'(x)=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2Q'(x)+a \rightarrow P'(1)=a$
แล้วก็แก้สมการ
(น่าจะวิธีคล้ายๆกับอนุกรมเทย์เลอร์แหละครับ)

[tngngoapm]

ใช้สูตรของอนุกรมเทย์เลอร์ง่ายกว่าเยอะครับเพราะคำนวณออกมาได้ทันที
.......แน่นอนครับ นักคณิตศาสตร์ที่คิดสูตรอนุกรมเทย์เลอร์ ผลงานของเขาอยู่ในระดับอัจฉริยะอย่างไม่ต้องสงสัย.......และถ้าใครรู้ตัวว่าเราสุดยอดแล้วทางพีชคณิต ผมก็สนับสนุนให้ทำวิธีนี้เต็มที่ครับ.........(ขอบคุณครับ)

........แต่สำหรับผู้ที่เริ่มฝึกฝนคณิตศาสตร์หรือบุคคลทั่วไปที่ไม่ได้มีต้นทุนทางคณิตศาสตร์อะไรมากมาย คือยังไม่มั่นใจในทักษะทางคณิตศาสตร์ที่ดีพอ หรือยังไม่รู้ทฤษฎีทางแคลคูลัสหรือยังไม่รู้เรื่องว่าหาอนุพันธ์ยังไง การหารสังเคราะห์ก็เป็นวิธีแบบบ้านๆวิธีหนึ่งในการหาผลหารและเศษจากการหารพหุนาม โดยผมจะยกตัวอย่างวิธีการหาดังนี้ครับ(คือใครที่ยังไม่รู้วิธีการหารสังเคราะห์ทำยังไงก็แนะนำให้ค้นคว้าอ่านในหนังสือคณิตศาสตร์ระดับช ั้นม4ของ สสวท. เรื่องจำนวนจริง หัวข้อการแยกตัวประกอบพหุนามด้วยวิธีการหารสังเคราะห์หรือหัวข้อทฤษฎเศษเหลืออะไรประมาณนี้แหละครับ......

........ตัวอย่างที่ 1 เป็นตัวอย่างการหารพหุนามที่มีดีกรี 6 หารด้วยพหุนามกำลังสองสัมบูรณ์ โดยวิธีการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันได(อันนี้ผมตั้งชื่อเอาเองครับ อย่าคิดมากกัน) เริ่มจากเอาสัมประสิทธิ์ของพหุนามมาเรียงกันจากดีกรีมากไปน้อย พหุนามดีกรี6 ก็มีสัมประสิทธิ์6ตัว ถ้าตัวหารพหุนามเป็น $(x-1)^2$ ตัวหารสังเคราะห์จะเท่ากับ 1 แต่ถ้าเป็น $(x+2)^2$
ตัวหารสังเคราะห์จะเท่ากับ -2 กำลังสองก็หารไป 2 ครั้ง อธิบายมากไปก็จะยาวและ ดูตามรูปละกันครับ ......
19026


........ตัวอย่างที่ 2 ก็โจทย์เดียวกันครับแต่เปลี่ยนตัวหารเป็น$(x-1)^3$ก็ใช้ 1 หารสังเคราะห์ 3 ครั้ง ตอนตอบก็คล้ายกับตัวอย่างที่ 1 ตามรูปข้างล่างครับ
19027


........และขอตบท้ายด้วยวิธีพื้นฐานการตั้งหารยาวครับ ลองเปรียบเทียบกันดูว่าแบบไหนง่ายยากยังไงใครถนัดแบบไหนก็ตามสบายเลยครับ ลองเปรียบเทียบกันดู
19028


ยากแหะครับ
ที่เคยเจอคือใช้
$P(x)=(x-1)^2Q(x)+ax+b \rightarrow P(1)=a+b$
$P'(x)=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2Q'(x)+a \rightarrow P'(1)=a$
แล้วก็แก้สมการ
(น่าจะวิธีคล้ายๆกับอนุกรมเทย์เลอร์แหละครับ)
เข้าใจครับ คนที่วิ่งเร็วอยู่แล้วจะมาให้วิ่งช้ามันก็เป็นเรื่องยาก แต่สำหรับคนที่เพิ่งเริ่มฝึกวิ่งฝึกเดิน แล้วยังไม่มั่นใจก็ลองฝึกวิ่งแบบช้าๆไปก่อนครับ แล้วถ้าเชี่ยวชาญมั่นใจขึ้นจะวิ่งให้เร็วยังไงก็พัฒนาการกันไปครับ......(ขอบคุณครับ)

[tngngoapm]

เทคนิควิธีการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันไดสามารถนำมาใช้หาเศษและผลหารจากการหารด้วยพหุนาม P(x) โดยพหุนาม P(x) นั้นต้องสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นพหุนามย่อยดีกรีหนึ่งคูณกัน เช่น $พหุนามx^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ หรือ$พหุนาม (x+1)^3=(x+1)(x+1)(x+1)$ หรือ $พหุนาม x^3-x=(x)(x-1)(x+1)$ เป็นต้น
.......โดยจำนวนจริงที่ใช้ในการหารสังเคราะห์ก็คือรากของสมการ $P(x)=0$ นั้นเอง วิธีการหารก็เหมือนการหารสังเคราะห์ธรรมดาแต่ในการหารแต่ละครั้ง จำนวนเลขหลักในการหารจากลดลงไปหนึ่งหลักต่อการหารหนึ่งครั้ง หารจนครบแล้วเวลาตอบผลหารและเศษก็แปรผลอีกนิดหน่อยก็เสร็จสิ้นครับ เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่หลีกเลี่ยงวิธีทางพีชคณิตคือกันตัวแปรออกไปก่อน คิดคำนวณเฉพาะตัวเลขแล้วค่อยแปลใส่ตัวแปรกลับเข้าไป.....

[tngngoapm]

ทฤษฎีเศษเหลือเศษของพหุนามดีกรีสาม มีหลักการคราวๆคือนำพหุนามกำลังสามนั้นมาหารากของสมการซึ่งจะได้ค่ารากออกมา 3 ค่าแทนด้วย $z_1,z_2,z_3$ เศษเหลือจะอยู่ในรูปพหุนามกำลัง2.....$ax^2-bx+c$.....วิธีการก็แค่หาค่า a,b,c ออกมาเป็นตัวเลข โดยค่า a,b,c นั้นจะสัมพันธ์อยู่กับค่า $P(z_1),P(z_2),P(z_3)และค่า z_1,z_2,z_3$ตามสูตรที่ผมให้ตามรูปแนบ.....ส่วนถ้าพหุนามดีกรีสามนั้นเป็นกำลังสามสมบูรณ์ ค่ารากที่เป็นจำนวนจริงจะมีเพียงค่าเดียว การหาค่าเศษจะใช้ตามสูตรแรกก็ได้แต่จะไม่สะดวก.....ก็จะใช้อีกสูตรหนึ่งคือเศษเหลือจะอยู่ในรูปพหุนามกำลัง2.....$ax^2+bx+c$.... โดยค่า a,b,c นั้นจะสัมพันธ์อยู่กับค่า $P(x_0),P'(x_0),P''(x_0),x_0$ โดย$x_0$คือรากของพหุนามกำลังสามสมบูรณ์นั้น ตามสูตรที่ผมได้แนบรูปไว้เช่นกัน .....ตบท้ายด้วยตัวอย่างการใช้สูตรทฤษฎีเศษเหลือทั้งสองสูตร....แล้วจะเอาข้อมูลมาupdateบ่อยๆครับแต่อาจจะช้าหน่อย....เพื่อชาวmath centerโดยเฉพาะครับ

[tngngoapm]

การหาเศษพหุนามจากการหารด้วยพหุนามกำลังสาม วิธีที่ผมนำเสนอไปแล้วมี 2 วิธีคือ
1. โดยการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันได และ
2. โดยการใช้สูตร
ผมจะขอนำเสนออีก 1 วิธี คือวิธีของพหุนามย่อย แต่สามารถแยกย่อยได้อีก 2 วิธีย่อยคือ
1. วิธีพหุนามย่อยกำลัง1
2. วิธีพหุนามย่อยกำลัง1เรียงลำดับ
โดยเหมือนเดิมผมได้สรุปเป็นเทคนิควิธีไว้ตามภาพแนบ เพื่อเป็นประโยชน์แก่ผู้สนใจครับ ถ้ามีข้อผิดพลาดติชมแสดงความเห็นได้เต็มที่เลยครับ

[tngngoapm]

เช่นในการแก้ระบบสมการ
$a+b+c=1$................(1)
$a^2+b^2+c^2=2$..............(2)
$a^3+b^3+c^3=3$..............(3)
จงหาค่าของ $a^8+b^8+c^8=?$
..............จากระบบสมการข้างบนสามารถหา $ab+bc+ca=-\frac{1}{2}และ abc=-\frac{1}{6} $ได้ไม่ยาก สรุปได้ $a+b+c=1,ab+bc+ca=-\frac{1}{2}และ abc=-\frac{1}{6}$
สร้างสมการพหุนามที่เป็นคำตอบของตัวแปรa,b,cได้ $x^3-x-\frac{x}{2} -\frac{1}{6}=0$
..............การหาค่า $a^8+b^8+c^8=?$ หาโดยหาเศษของ $พหุนาม x^8 หารด้วยพหุนาม x^3-x-\frac{x}{2} -\frac{1}{6}$ โดยวิธีหารยาวก็ได้ ได้เท่ากับ $\frac{455}{72} x^2+\frac{196}{72} x+\frac{53}{72}$
จะด้าย
.............$a^8=\frac{455}{72} a^2+\frac{196}{72} a+\frac{53}{72}$
.............$b^8=\frac{455}{72} b^2+\frac{196}{72} b+\frac{53}{72}$
.............$c^8=\frac{455}{72} c^2+\frac{196}{72} c+\frac{53}{72}$
จะด้าย
.............$a^8+b^8+c^8=\frac{455}{72} (a^2+b^2+c^2)+\frac{196}{72}( a+b+c)+\frac{53}{72}(3)$
.............$a^8+b^8+c^8=\frac{455}{72} (2)+\frac{196}{72}(1)+\frac{53}{72}(3)$
.............$a^8+b^8+c^8=17.56944444...$ :mad:

[tngngoapm]

การหาเศษพหุนามด้วยวิธีนี้จะใช้ในกรณีหารากของสมการตัวหารได้เป็นจำนวนเชิงซ้อนหรือเป็นจำนวนอตรรกยะที่ไม่ลงตัว โดยผมจะขอยกตัวอย่างขึ้นมาก่อนเพื่อให้ผู้อ่านได้เห็นภาพและหลักการที่ใช้ก่อนแล้วจะค่อยรวบรวมขึ้นเป็นระเบียบวิธีให้ในภายหลังนะครับ
.......ยกตัวอย่างเช่น $x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วย $x^2-2x+3$ เหลือเศษเท่าไหร่
วิธีผลรวมกำลังของรากสมการพหุนามมีขั้นตอนดังนี้

$++++++1)$ จับพหุนามตัวหารเท่ากับศูนย์ $x^2-2x+3=0$
จะด้าย.....$z_1+z_2=2$ และ $z_1z_2=3$ เมื่อ $z_1,z_2$ คือรากของสมการ
กำหนด.......$L_n=z_1^n+z_2^n$ หมายถึง $L_1=z_1+z_2,L_2=z_1^2+z_2^2,L_3=z_1^3+z_2^3,...$ ไปเรื่อยๆ

$++++++2)$ หาค่า $L_1,L_2,L_3,....,L_n=?$
เริ่มที่ $L_1=2$....และหา$L_2=-2$ ได้ไม่ยาก
ต่อไปหา $L_3=?$
จาก $x^2-2x+3=0$
.......$x^2=2x-3$
.......$x^3=2x^2-3x$
.......$z_1^3=2z_1^2-3z_1.................(1)$
.......$z_2^3=2z_2^2-3z_2.................(2)$
(1)+(2)...$z_1^3+z_2^3=2(z_1^2+z_2^2)-3(z_1+z_2)$
...........$z_1^3+z_2^3=2(-2)-3(2)$
...........$z_1^3+z_2^3=-10$
...........$L_3=-10$
$L_4,L_5,...L_n$ ก็ทำแบบเดียวกันสรุปได้ความสัมพัน์ $L_n=2L_{n-1}-3L_{n-2}$ ก็จะหา $L_n$ ค่าต่างๆได้

$+++++++3)$ สรุปค่า $L_1,L_2,...,L_{21}$
$L_1=2,L_2=-2,L_3=-10,L_4=-14,L_5=2,L_6=46,L_7=86,L_8=34,L_9=-190,L_{10}=-482,$
$L_{11}=-394,L_{12}=658,L_{13}=2498,L_{14}=3022,L_{15}=-1450,L_{16}=-11966,$
$L_{17}=-19582,L_{18}=-3266,L_{19}=52214,L_{20}=114226,L_{21}=71810$

$+++++++4)$ สมมติให้ $x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วย $x^2-2x+3$ เหลือเศษ $ax+b$
......$z_1^{20}+2z_1^{11}-z_1^5=az_1+b.................(3)$
......$z_2^{20}+2z_2^{11}-z_2^5=az_2+b.................(4)$
(3)+(4).....$(z_1^{20}+z_2^{20})+2(z_1^{11}+z_2^{11})-(z_1^5+z_2^5)=a(z_1+z_2)+2b$
..........$L_{20}+2L_{11}-L_5=aL_1+2b$
..........$113436=2a+2b$
..........$56718=a+b................(5)$
(3)$\times z_1$............$z_1^{21}+2z_1^{12}-z_1^6=az_1^2+bz_1.................(6)$
(4)$\times z_2$............$z_2^{21}+2z_2^{12}-z_2^6=az_2^2+bz_2.................(7)$
(6)+(7)............$L_{21}+2L_{12}-L_6=aL_2+bL_1$
......................$73080=-2a+2b$
......................$36540=-a+b..........................(8)$
แก้สมการ (5)และ(8) ได้ $a=10089,b=46629$

........สรุปว่า $x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วย $x^2-2x+3$ เหลือเศษ $10089x+46629$

[tngngoapm]

...........อีกตัวอย่างหนึ่งของการนำทฤษฎีเศษเหลือไปประยุกต์ใช้ในเรื่องจำนวนเชิงซ้อนครับ
เช่น จงหาว่า $(1+\sqrt{2}i) ^{20}+2(1+\sqrt{2}i)^{11}-(1+\sqrt{2}i)^5=?$
เมื่อเรารู้ว่าพหุนาม$x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วยพหุนาม $x^2-2x+3$ เหลือเศษ $10089x+46629$
และรากของสมการพหุนามตัวหาร$x^2-2x+3=0$คือ $1+\sqrt{2}i$
แสดงว่า $(1+\sqrt{2}i) ^{20}+2(1+\sqrt{2}i)^{11}-(1+\sqrt{2}i)^5=10089(1+\sqrt{2}i)+46629=56718+10089\sqrt{2}i $

[tngngoapm]

......ในการหาเศษพหุนามผมนำเสนอไปแล้วหลายวิธีเช่น
1) วิธีตั้งหารยาว
2) วิธีใช้สูตร
3) วิธีหารสังเคราะห์
4) วิธีพหุนามย่อย
......วิธีต่อไปที่ผมจะนำเสนอคือ"วิธีผลรวมกำลังของรากสมการพหุนาม" คือเป็นวิธีที่ใช้ในกรณีที่พหุนามตัวตั้งมีดีกรีมากและพหุนามตัวหารมีข้อจำกัดในการหารากของสมการ โดยต้องมีเครื่องคำนวณอย่างเช่นเครื่องคิดเลขมาช่วยคิด แต่คงยังไม่ถึงขั้นต้องใช้แอปอย่างเช่นwolframalpha ก็สามารถหาเศษออกมาได้

แก้ไขเพิ่มเติม:จากรูปแนบ$Z=a_{n}L_{n}+a_{n-1}L_{n-1}+...+a_{2}L_{2}+a_{1}L_{1}+na_{0}$
แก้เป็น$Z=a_{n}L_{n}+a_{n-1}L_{n-1}+...+a_{2}L_{2}+a_{1}L_{1}+2a_{0}$

[tngngoapm]

.....เป็นวิธีที่ใช้หาเศษเมื่อพหุนามตัวหารมีดีกรีมากๆ โดยใช้หลักการแยกตัวประกอบพหุนามมาช่วยครับ
ยกตัวอย่างเช่น พหุนาม $x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วยพหุนาม $x^3-x^2+x+3$ เหลือเศษ?
ก่อนอื่นแยกตัวประกอบของพหุนามตัวหาร $x^3-x^2+x+3=(x+1)(x^2-2x+3)$
จะได้พหุนามย่อย2พหุนามคือ $x+1 และ x^2-2x+3$
จากตัวอย่างก่อนหน้า พหุนาม$x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วยพหุนาม $x^2-2x+3$ เหลือเศษ $10089x+46629$
จะได้พหุนาม $x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วยพหุนาม $x^3-x^2+x+3$ เหลือเศษอยู่ในรูป $k(x^2-2x+3)+(10089x+46629)$ เมื่อ$$k=\lim_{x \to -1} \frac{(x^{20}+2x^{11}-x^5)-(10089x+46629)}{x^2-2x+3} =\frac{-36540}{6}=-6090 $$
..........เศษเท่ากับ $(-6090)(x^2-2x+3)+(10089x+46629)=-6090x^2+22269x+28359$......

[tngngoapm]

ขอยกตัวอย่างเลยล่ะกัน ส่วนทฤษฎีผมแปะไว้ให้แล้วครับ ใครสนใจก็เจาะลงไปได้เลยครับ เช่นถามว่าจงแยกตัวประกอบของ
$x^4-x^3+5x-3$ ก่อนอื่นเลยตามปกติเราก็ใช้ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบตรรกยะ สำหรับพหุนามนี้จะเห็นว่าไม่มีตัวประกอบจำนวนตรรกยะสักตัว ให้ทำตามนี้เลยครับ
$1.$ จัดรูปพหุนามกำลัง4 ให้พจน์ $x^3$ หายไป (ถ้าใครไม่รู้ว่าทำยังไง ก็ดูที่แปะนะครับ) จะได้
$x^4-x^3+5x-3=(x-\frac{1}{4})^4-\frac{3}{8}(x-\frac{1}{4})^2 +\frac{39}{8}(x-\frac{1}{4})-\frac{451}{256} $
จะได้ $a_2=-\frac{3}{8} ,a_1=\frac{39}{8} ,a_0=-\frac{451}{256} $
$2. $สร้างพหุนาม $P$........$P^3+2a_2P^2+(a_2^2-4a_0)P-a_1^2=0$
จะได้.......$P^3-\frac{3}{4} P^2+\frac{115}{16} P-(\frac{39}{8}) ^2=0$
แก้สมการกำลัง3......ใช้ทฤษฎีบทรากจำนวนตรรกยะได้รากสมการหนึ่งเป็น $\frac{9}{4}$ .....$P_0=\frac{9}{4} $
แสดงว่าพหุนาม $x^4-x^3+5x-3$ แยกตัวประกอบได้
$3.$ หาค่า $p=\sqrt{P_0} =\sqrt{\frac{9}{4} }=\frac{3}{2} $
$q_1=\frac{1}{2}( p^2+a_2+\frac{a_1}{p} ) =\frac{1}{2}(( \frac{3}{2})^2-\frac{3}{8}+\frac{\frac{39}{8} }{\frac{3}{2} } ) =\frac{41}{16} $
$q_2=\frac{1}{2}( p^2+a_2-\frac{a_1}{p} ) =\frac{1}{2}(( \frac{3}{2})^2-\frac{3}{8}-\frac{\frac{39}{8} }{\frac{3}{2} }) =-\frac{11}{16} $
$4.$ $x^4-x^3+5x-3$
$=((x-\frac{1}{4})^2-p(x-\frac{1}{4})+q_1)((x-\frac{1}{4})^2+p(x-\frac{1}{4})+q_2)$
$=((x-\frac{1}{4})^2-\frac{3}{2} (x-\frac{1}{4})+\frac{41}{16} )((x-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{2} (x-\frac{1}{4})-\frac{11}{16})$
สรุปว่า $x^4-x^3+5x-3=(x^2-2x+3)(x^2+x-1)$

[tngngoapm]

............ตัวอย่างเช่น ถ้าพหุนาม $P(x)$ หารด้วย $(x+3)$ แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย $(x+4)$ แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย $(x+5)$ แล้วเหลือเศษ 4
ถามว่าพหุนาม $P(x)$ หารด้วย $(x+3)(x+4)(x+5)$ แล้วเหลือเศษเท่าใด
...........วิธีทำ เมื่อหาด้วยวิธีเศษเหลือพหุนามจะได้ว่าพหุนาม $P(x)$ หารด้วย $(x+3)(x+4)(x+5)$ แล้วเหลือเศษเท่ากับพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$
...........หรือเขียนพหุนาม $P(x)$ ในรูปสมการได้ว่า $P(x)=Q(x)[(x+3)(x+4)(x+5)]+R(x)$....................(a) เมื่อ $Q(x)= พหุนามผลหาร$
สมการพหุนาม $P(x)$ ในสมการ (a) สามารถแปลงเป็นโจทย์ทฤษฎีจำนวนได้หลายชุดดังนี้เช่น

$1.$ ถามว่าจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1 , หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 4 มีค่าเท่าไหร่
หาได้โดยนำพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ มาแทนค่าด้วย 0 จะได้ $R(0)=34$ .......หาเศษที่ได้จากการหาร 34 ด้วย (ครน.ของ 3,4,5) =34
เพราะฉะนั้น 34 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1 , หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 4

$2.$ ถามว่าจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 4 แล้วลงตัว , หารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 6 แล้วเหลือเศษ 4 มีค่าเท่าไหร่
หาได้โดยนำพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ มาแทนค่าด้วย 1 จะได้ $R(1)=52$ .......หาเศษที่ได้จากการหาร 52 ด้วย (ครน.ของ 4,5,6) =52
เพราะฉะนั้น 52 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 4 แล้วลงตัว , หารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 6 แล้วเหลือเศษ 4
........................................................
$3.$ ถามว่าจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 10 แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 12 แล้วเหลือเศษ 4 มีค่าเท่าไหร่
หาได้โดยนำพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ มาแทนค่าด้วย 7 จะได้$ R(7)=244$ .......หาเศษที่ได้จากการหาร 244 ด้วย (ครน.ของ 10,11,12) =244
เพราะฉะนั้น 244 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 10 แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 12 แล้วเหลือเศษ 4

$4.$ ถามว่าจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 21 แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย 22 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 23 แล้วเหลือเศษ 4 มีค่าเท่าไหร่
หาได้โดยนำพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ มาแทนค่าด้วย 18 จะได้ $R(18)=970$ .......หาเศษที่ได้จากการหาร 970 ด้วย (ครน.ของ 21,22,23) =970
เพราะฉะนั้น 970 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 21 แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย 22 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 23 แล้วเหลือเศษ 4

........ซึ่งแค่พหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ สามารถแปลงเป็นโจทย์ทางทฤษฎีจำนวนได้มากมายเหลือเกิน........

[tngngoapm]

1. ฟังก์ชันพหุนาม $P(x)$ หารด้วยฟังก์ชัน $(x-a)(x-b)$ จะเหลือเศษ $R(x)$
โดย $y=R(x)$ จะเป็นฟังก์ชันเส้นตรงที่ผ่านจุด $(a,P(a))$ และ $(b,P(b))$
2. ฟังก์ชันพหุนาม $P(x)$ หารด้วยฟังก์ชัน $(x-a)(x-b)(x-c)$ จะเหลือเศษ $R(x)$
โดย $y=R(x)$ จะเป็นฟังก์ชันพาราโบลาหรือเส้นตรงที่ผ่านจุด $(a,P(a)) , (b,P(b)) และ (c,P(c))$
3. ฟังก์ชันพหุนาม $P(x)$ หารด้วยฟังก์ชัน $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$ จะเหลือเศษ $R(x)$
โดย $y=R(x)$ จะเป็นฟังก์ชันกำลังสามหรือพาราโบลาหรือเส้นตรงที่ผ่านจุด $(a,P(a)) , (b,P(b)) , (c,P(c)) และ (d,P(d))$
4. ฟังก์ชันพหุนาม $P(x)$ หารด้วยฟังก์ชัน $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)$ จะเหลือเศษ $R(x)$
โดย $y=R(x)$ จะเป็นฟังก์ชันกำลังสี่หรือกำลังสามหรือพาราโบลาหรือเส้นตรงที่ผ่านจุด $(a,P(a)) , (b,P(b)) , (c,P(c)) , (d,P(d)) และ (e,P(e))$.....!@#$%^&*!@#$%^&*!@#$%^&*แปะเอาไว้ก่อนจะได้รู้ว่าผลงานเราได้ทำอะไรไว้บ้าง

[tngngoapm]

>>>>พหุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ2ใดๆเศษเหลือของการหารพหุนามนั้นด้วยพหุนามกำลัง2สมบูรณ์จะสามารถอธิบายได้โดยทฤษฎีทางแคลคูลัสตามรูปข้า งล่างนะครับ......
>>>>พหุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ2ใดๆเศษเหลือของการหารพหุนามนั้นด้วยพหุนามกำลัง3สมบูรณ์ก็จะสามารถอธิบายได้โดยทฤษฎีทางแคลคูลัสได้อีกเ หมือนกัน......

[tngngoapm]

......พหุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ2ใดๆ$(f(x))$ เศษเหลือ$(r(x))$ของการหารพหุนามนั้นด้วยพหุนามกำลัง3สมบูรณ์จะมีความสัมพันธ์อยู่กับกราฟพาราโบลาหรือพหุนามดีกรีสองที่มีเส้นสัมผัสเป ็นเส้นเดียวกับพหุนาม$f(x)$และมีรัศมีความโค้งเท่ากันกับพหุนาม$f(x)$
......$พหุนาม f(x) หารด้วยพหุนาม (x-a)^3 จะเหลือเศษเป็นพหุนามกำลังสอง r(x) โดย$
$1. r(a)=f(a)$ ค่าฟังก์ชันเท่ากัน
$2. r'(a)=f'(a)$ อนุพันธ์อันดับหนึ่งเท่ากัน
$3. r''(a)=f''(a)$ อนุพันธ์อันดับสองเท่ากัน

[tngngoapm]

กรณีเฉพาะของการหารพหุนามตัวตั้งที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ3ใดๆ เมื่อถูกหารด้วยพหุนามตัวหารกำลังสามสมบูรณ์ จะเหลือเศษเป็นพหุนามเศษเชิงเส้นก็ต่อพหุนามตัวหารกำลังสามสมบูรณ์นั้นมีรากของสมการเกี่ยวข้องอยู่กับค่าวิกฤติ(จุดเปลี่ยนเว้า)ของพหุ นามตัวตั้ง

[tngngoapm]

วิธีนี้จะเป็นวิธีการหาเศษพหุนามโดยพหุนามตัวหารมีพหุนามย่อยที่มีดีกรี2อยู่ด้วยเช่นพหุนามตัวหารเป็น
$(x-1)(x+1)(x^2+2x-3),(x-1)(x+1)x^2,(x-1)(x+1)(x+2)(2x-1)^2$ เป็นต้น
โดยหลักการนั้นก็คล้ายกับวิธีการหาเศษพหุนามด้วยวิธีพหุนามย่อยกำลัง1 คือ หาเศษของพหุนามตัวตั้งหารด้วยพหุนามย่อยของพหุนามตัวหารเช่น จะหาเศษของพหุนามตัวตั้ง $P(x)$ หารด้วยพหุนามตัวหาร$(x-1)(x+1)(x+2)(2x-1)^2$ว่าเหลือเศษเท่าไหร่ ..สามารถหาโดยนำพหุนามย่อยของตัวหารคือพหุนามย่อย $(x-1)$, พหุนาม$(x+1)$, พหุนาม$(x+2)$, และพหุนาม$(2x-1)^2$แต่ละตัวไปหารพหุนามตัวตั้ง$P(x)$จะได้เศษของแต่ละตัว นำมาคำนวณวิเคราะห์ประกอบกันก็จะได้เศษรวมของการหารด้วยพหุนาม$(x-1)(x+1)(x+2)(2x-1)^2$ในที่สุด แต่วิธีพหุนามย่อยกำลัง2 จะมีความซับซ้อนกว่าวิธีพหุนามย่อยกำลัง1.......ซึ่งมีตัวอย่างให้ดูสำหรับผู้ที่สนใจดังรูปแนบ ซึ่งชิ้นงานที่ผมนำเสนอนี้ค่อนข้างเป็นมุมมองที่น่าจะยังไม่มีใครนำเสนอมาก่อน เพราะฉะนั้นผมจะค่อยๆอธิบายความเป็นไปเป็นมาตามลำดับ
แล้วโอกาสต่อไปจะนำเสนอสูตรเป็นสมการคณิตศาสตร์รวมทั้งการเชื่อมโยงวิธีหาเศษเหลือพหุนามกับการหาเศษส่วนย่อยคือสามารถประยุกต์วิธีหาเศ ษส่วนย่อยด้วยการหาเศษเหลือพหุนามได้ครับเช่น......

$\frac{323x^3-307x^2-326x+313}{(x-2)(x+1)(x-1)^2} =\frac{339}{x-2}+\frac{\frac{-3}{4} }{x+1}+\frac{\frac{-61}{4} }{x-1} +\frac{\frac{-3}{2} }{(x-1)^2} $

[Napper]

จริงๆมีวิธีการหารโดยใช้การหารสังเคราะห์อยู่นะครับ แต่มันจะเพิ่มเลเยอร์ไปอีกชั้น ข้อดีคือไม่ต้องแก้หารากสมการครับ ลองเอาไปปรับใช้ดูครับ :happy:

http://mathworld.wolfram.com/SyntheticDivision.html

https://www.youtube.com/watch?v=mdgWnxohHNg

[tngngoapm]

จริงๆมีวิธีการหารโดยใช้การหารสังเคราะห์อยู่นะครับ แต่มันจะเพิ่มเลเยอร์ไปอีกชั้น ข้อดีคือไม่ต้องแก้หารากสมการครับ ลองเอาไปปรับใช้ดูครับ :happy:

http://mathworld.wolfram.com/SyntheticDivision.html

https://www.youtube.com/watch?v=mdgWnxohHNg

ขอบคุณครับ:great:

[tngngoapm]

ทฤษฎีการหาเศษพหุนามสามารถนำมาใช้ในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีตั้งแต่สามขึ้นไปได้ และทำให้นำมาสู่วิธีในการหารากของสมการพหุนาม ตัวอย่างเช่นย้อนกลับไปที่ความคิดเห็นที่ #20 การแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสี่....
สามารถนำมาประยุกต์สำหรับใช้หารากของสมการพหุนามกำลังสี่ได้ โดยสรุปเป็นแนวทางได้ว่า....
....นำพหุนามกำลังสี่ที่ต้องการหารากของสมการมาจัดรูปใหม่$\rightarrow$ พหุนามกำลังสี่ที่ไม่มีพจน์กำลังสาม$\rightarrow$ นำสัมประสิทธ์ของพหุนามกำลังสี่ที่ได้นั้นมาสร้างพหุนามกำลังสาม$P(x)\rightarrow$ หารากของสมการพหุนามกำลังสาม $P(x)=0$ซึ่งต้องมีจำนวนจริงอย่างน้อย1 ค่า$\rightarrow$ มาหาค่ารากของพหุนามกำลังสี่ตั้งต้นได้ในที่สุด

ตัวอย่างเช่น $x^4-4x^3+x^2+x-1=0$
วิธีทำ
1. $x^4-4x^3+x^2+x-1=(x-1)^4-5(x-1)^2-5(x-1)-2$
2. $a_2=-5,a_1=-5,a_0=-2$
3. สร้างพหุนาม $P(x)=P^3+2a_2P^2+(a_2^2-4a_0)P-a_1^2=0\rightarrow P^3-10P^2+33P-25=0$
หารากของสมการได้ จำนวนจริง1ค่าอีก2ค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน เลือกค่าที่เป็นจำนวนจริงคือ$P\approx 1.0643$
4. หาค่า $p=\sqrt{P} \approx \sqrt{1.0643}\approx 1.032 $
$q_1=\frac{1}{2}(p^2+a_2+\frac{a_1}{p} ) \approx -4.39$
$q_2=\frac{1}{2}(p^2+a_2-\frac{a_1}{p} ) \approx 0.455$
5. $x^4-4x^3+x^2+x-1=[(x-1)^2-p(x-1)+q_1][(x-1)^2+p(x-1)+q_2]\approx (x^2-3.032x-2.358)(x^2-0.968x+0.423)$
6.รากของสมการคือ $x^2-3.032x-2.358=0และx^2-0.968x+0.423=0$ จะได้ $x\approx -0.64,3.67,0.48\pm 0.43i$


....ในกรณีพหุนามกำลังห้าก็มีแนววิธีมาจากแนวคิดเดียวกันแต่ผมยังไม่สามารถสรุปเป็นวิธีการหารากของพหุนามได้เนื่องจากมีความซับซ้อนมาก กว่า แต่สามารถสรุปเป็นวิธีการแยกตัวประกอบได้คือ....


ตัวอย่างเช่น $การแยกตัวประกอบของx^5-5x^4+8x^3-6x^2-5x+3$
วิธีทำ
1. $x^5-5x^4+8x^3-6x^2-5x+3=(x-1)^5-2(x-1)^3-2(x-1)^2-8(x-1)-4$
2. $a_3=-2,a_2=-2,a_1=-8,a_0=-4$
3.เลือก $q_1ที่เป็นตัวประกอบของ a_0\rightarrow q_1=2$
หา $p=\frac{a_0\pm \sqrt{a_0^2+4q_1^3(q_1^2-a_3q_1+a_1)} }{2q_1^2} =0,-2$
และเลือก $p=0$จะเห็นว่าทำให้ $\frac{a_0}{q_1} +(2q_1-a_3)p-p^3=a_2=-2จริง$
แสดงว่าแยกตัวประกอบได้ $p=0,q_1=2$
4. หาค่า $q_2,q_3 $
$q_2=a_3-q_1+p^2=-4$
$q_3=p^3+(a_3-2q_1)p+a_2=-2$
5. $x^5-5x^4+8x^3-6x^2-5x+3=[(x-1)^2-p(x-1)+q_1][(x-1)^3+p(x-1)^2+q_2(x-1)+q_3]= [(x-1)^2+2][(x-1)^3-4(x-1)-2]=(x^2-2x+3)(x^3-3x^2-x+1)$

[tngngoapm]

การใช้ลำดับฟิโบนาชีในการหาเศษพหุนามที่หารด้วย$x^2-x-1$

ใช้หลักการแปลงพหุนาม
$$x^n=f_nx+f_{n-1}เมื่อn\geqslant 2และf_nคือลำดับฟิโบนาชีพจน์ที่n$$
ยกตัวอย่างเช่น...
$x^{10}+3x^6-4x+2หารด้วยx^2-x-1เหลือเศษเท่าใด$
วิธีทำ...$x^{10}=f_{10}x+f_9=55x+34$
....$x^6=f_6x+f_5=8x+5$
เพราะฉะนั้นแปลงพหุนาม$x^{10}+3x^6-4x+2$ได้เป็น....$x^{10}+3x^6-4x+2=(55x+34)+3(8x+5)-4x+2=75x+51$
หรือ $x^{10}+3x^6-4x+2หารด้วยx^2-x-1เหลือ75x+51$

[tngngoapm]

ใช้ในกรณีพหุนามตัวหารทีมีดีกรีสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้ครับ...

[tngngoapm]

ปกติถ้าถามว่านำพหุนาม $x^2+x+1$ไปหารพหุนาม $x^2-2x+2$เหลือเศษเท่าใดก็อาจจะฟังดูปกติอยู่ซึ่งก็น่าจะตอบได้ไม่ยากว่าเหลือเศษ$(-3x+1)$
แต่ถ้าถามว่าพหุนาม$x^2+x+1$หารฟังก์ชัน $x^{1/2}$เหลือเศษเป็นพหุนามอะไรอาจจะตอบว่าไม่สามารถหาเศษได้เพราะฟังก์ชัน$x^{1/2}$ไม่ใช่ฟังก์ชันพหุนามแต่ว่าถ้าเราขยายกรอบนิยามการหาเศษพหุนามออกไปให้ใช้ได้กับฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพหุนามได้ด้วยจะได้ว่า
$$x^{1/2}=(\frac{-1}{x^{1/2}+x+1})(x^2+x+1)+(x+1)$$
หรือพูดได้ว่าผลหารที่ได้เสมือนมีเศษเท่ากับ $x+1$
ด้วยหลักการนี้จะสามารถนำไปหาเศษเสมือนของฟังก์ชันอื่นเมื่อหารด้วยฟังก์ชันพหุนามได้

[tngngoapm]

ปกติถ้าถามว่านำพหุนาม $x^2+x+1$ไปหารพหุนาม $x^2-2x+2$เหลือเศษเท่าใดก็อาจจะฟังดูปกติอยู่ซึ่งก็น่าจะตอบได้ไม่ยากว่าเหลือเศษ$(-3x+1)$
แต่ถ้าถามว่าพหุนาม$x^2+x+1$หารฟังก์ชัน $x^{1/2}$เหลือเศษเป็นพหุนามอะไรอาจจะตอบว่าไม่สามารถหาเศษได้เพราะฟังก์ชัน$x^{1/2}$ไม่ใช่ฟังก์ชันพหุนามแต่ว่าถ้าเราขยายกรอบนิยามการหาเศษพหุนามออกไปให้ใช้ได้กับฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพหุนามได้ด้วยจะได้ว่า
$$x^{1/2}=(\frac{-1}{x^{1/2}+x+1})(x^2+x+1)+(x+1)$$
หรือพูดได้ว่าผลหารที่ได้เสมือนมีเศษเท่ากับ $x+1$
ด้วยหลักการนี้จะสามารถนำไปหาเศษเสมือนของฟังก์ชันอื่นเมื่อหารด้วยฟังก์ชันพหุนามได้

ถ้าเศษเสมือนคือฟังก์ชันพหุนามที่ได้จากการหารฟังก์ชันตั้งต้นที่ไม่ใช่พหุนามด้วยฟังก์ชันตัวหารที่เป็นพหุนามได้...
การคิดเชิงอุปมาอุปมัยอย่างสมมาตรทำให้คาดการณ์ได้ว่าฟังก์ชันทั้งตัวตั้งและตัวหารที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพหุนามหารกันแล้วเศษของผลหารจะสาม ารถเขียนในรูปแบบพหุนามได้...
ยกตัวอย่างเช่น...$ฟังก์ชัน\sqrt{x} หารด้วยฟังก์ชันsinx$เศษของผลหารจะสามารถเขียนในรูปแบบของฟังก์ชันพหุนามได้

[tngngoapm]

ถ้าเศษเสมือนคือฟังก์ชันพหุนามที่ได้จากการหารฟังก์ชันตั้งต้นที่ไม่ใช่พหุนามด้วยฟังก์ชันตัวหารที่เป็นพหุนามได้...
การคิดเชิงอุปมาอุปมัยอย่างสมมาตรทำให้คาดการณ์ได้ว่าฟังก์ชันทั้งตัวตั้งและตัวหารที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพหุนามหารกันแล้วเศษของผลหารจะสาม ารถเขียนในรูปแบบพหุนามได้...
ยกตัวอย่างเช่น...$ฟังก์ชัน\sqrt{x} หารด้วยฟังก์ชันsinx$เศษของผลหารจะสามารถเขียนในรูปแบบของฟังก์ชันพหุนามได้

หรือสามารถเขียนเป็นสมการผลหารและเศษได้ดังนี้
$$\sqrt{x} =a(x)sinx+b(x)$$
เมื่อ a(x)คือฟังก์ชันผลหาร
b(x)คือฟังก์ชันเศษที่สามารถเขียนได้เป็นพหุนามไม่สิ้นสุด

โดยที่
$b(x)=b_0+b_1x+b_2x(x-\pi )+b_3x(x-\pi )(x-2\pi)+b_4x(x-\pi)(x-2\pi)(x-3\pi)+...$
และ$b_0=0$
$b_1=\frac{1}{\sqrt{\pi}} $
$b_2=(\frac{\sqrt{2}-2}{2})(\frac{1}{\sqrt{\pi^3}})$
$b_3=(\frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}+3}{6})(\frac{1}{\sqrt{\pi^5}})$
...
เป็นต้น

[tngngoapm]

ปกติถ้าถามว่านำพหุนาม $x^2+x+1$ไปหารพหุนาม $x^2-2x+2$เหลือเศษเท่าใดก็อาจจะฟังดูปกติอยู่ซึ่งก็น่าจะตอบได้ไม่ยากว่าเหลือเศษ$(-3x+1)$
แต่ถ้าถามว่าพหุนาม$x^2+x+1$หารฟังก์ชัน $x^{1/2}$เหลือเศษเป็นพหุนามอะไรอาจจะตอบว่าไม่สามารถหาเศษได้เพราะฟังก์ชัน$x^{1/2}$ไม่ใช่ฟังก์ชันพหุนามแต่ว่าถ้าเราขยายกรอบนิยามการหาเศษพหุนามออกไปให้ใช้ได้กับฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพหุนามได้ด้วยจะได้ว่า
$$x^{1/2}=(\frac{-1}{x^{1/2}+x+1})(x^2+x+1)+(x+1)$$
หรือพูดได้ว่าผลหารที่ได้เสมือนมีเศษเท่ากับ $x+1$
ด้วยหลักการนี้จะสามารถนำไปหาเศษเสมือนของฟังก์ชันอื่นเมื่อหารด้วยฟังก์ชันพหุนามได้

หลักในการหาเศษเสมือนจากการหารฟังก์ชัน$x^{1/2}$ด้วยพหุนามกำลังสอง $x^2+x+1$
เศษเสมือนที่ได้จะอยู่ในรูปแบบ$ax+b$
โดย $a=1และb=1$หรือเศษเสมือนเท่ากับ$x+1$
และสามารถแจกแจงรายละเอียดการหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามเศษเสมือนได้อย่างเป็นขั้นเป็นตอน
ตามสูตรนี้http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=19020&stc=1&d=1483529921
ด้วยหลักการนี้ทำให้หาเศษของการหารฟังก์ชันใดๆด้วยพหุนามกำลังสองได้เป็นการสรุปที่เพ้อเจ้อเกินไปมั้ยครับ?

[tngngoapm]

...ฟังก์ชัน$cosx$หารด้วยพหุนาม$x^2+1$ได้เศษเสมือนคือพหุนามอะไร...
ด้วยวิธีของเทเลอร์...
$cosx=1-(x^2/2!)+(x^4/4!)-(x^6/6!)+...$
เมื่อนำพหุนาม$x^2+1$ไปหารพหุนาม$1-(x^2/2!)+(x^4/4!)-(x^6/6!)+...$
น่าจะหาได้ไม่ยากนัก...เศษคือ$1+1/2!+1/4!+1/6!+...$โดยใช้$x^2=-1$
...หรือพูดอีกแบบได้คือฟังก์ชัน$cosx$หารด้วยพหุนาม$x^2+1$ได้เศษเสมือนคือ
$1+1/2!+1/4!+1/6!+...$ซึ่งมีค่าเท่ากับ$(e+1/e)/2$...โดยใช้
...$e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...$
...หรือสรุปได้คือ...
$cosx=Q(x)(x^2+1)+[(e+1/e)/2]$..เมื่อ$Q(x)คือฟังก์ชันผลหาร$
...ลองแทน$x=i$
...ได้$$cosi=(e+1/e)/2$$
เป็นไปได้มั้ยครับ...
ถ้าเข้าใจผิดยังไง...
ลองแก้ไขกันครับ

[tngngoapm]

ๅอนุกรมเทเลอร์บอกเราว่า...
$$f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} $$
โดยที่..$f^{(n)}(x)$...คืออนุพันธ์อันดับที่...$n$...ของฟังก์ชัน$f(x)$
ซึ่งอยู่ในรูปอนุกรมกำลัง...$x^n$
ถ้าเราแทนที่...$x^n$...นี้ด้วยความสัมพันธ์...$b_n$
โดยที่...$b_n=\alpha b_{n-1}+\beta b_{n-2}$
จะได้อนุกรมออกมาในรูปอนุกรมของความสัมพันธ์เชิงเส้น...
$$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)b_n}{n!} $$
โดยที่...$b_n=\alpha b_{n-1}+\beta b_{n-2}...และb_0=0,b_1=1$
...เราสามารถหาผลบวกของอนุกรมนี้ได้
ซึ่งจะไปเกี่ยวพันกับกับการหาเศษเสมือนของฟังก์ชั่น$f(x)$
ซึ่งถูกหารด้วยพหุนาม$x^2-\alpha x-\beta $
หรือเขียนได้ว่า...
$$R'(x)=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)b_n}{n!} $$
เมื่อ...$R(x)คือฟังก์ชันเศษเหลือพหุนามในรูป...px+q$
ที่เสมือนฟังก์ชัน..$f(x)ถูกหารด้วยพหุนาม..x^2-\alpha x-\beta $

[tngngoapm]

ๅอนุกรมเทเลอร์บอกเราว่า...
$$f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} $$
โดยที่..$f^{(n)}(x)$...คืออนุพันธ์อันดับที่...$n$...ของฟังก์ชัน$f(x)$
ซึ่งอยู่ในรูปอนุกรมกำลัง...$x^n$
ถ้าเราแทนที่...$x^n$...นี้ด้วยความสัมพันธ์...$b_n$
โดยที่...$b_n=\alpha b_{n-1}+\beta b_{n-2}$
จะได้อนุกรมออกมาในรูปอนุกรมของความสัมพันธ์เชิงเส้น...
$$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)b_n}{n!} $$
โดยที่...$b_n=\alpha b_{n-1}+\beta b_{n-2}...และb_0=0,b_1=1$
...เราสามารถหาผลบวกของอนุกรมนี้ได้
ซึ่งจะไปเกี่ยวพันกับกับการหาเศษเสมือนของฟังก์ชั่น$f(x)$
ซึ่งถูกหารด้วยพหุนาม$x^2-\alpha x-\beta $
หรือเขียนได้ว่า...
$$R'(x)=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)b_n}{n!} $$
เมื่อ...$R(x)คือฟังก์ชันเศษเหลือพหุนามในรูป...px+q$
ที่เสมือนฟังก์ชัน..$f(x)ถูกหารด้วยพหุนาม..x^2-\alpha x-\beta $

...เช่นคำถาม...
$$1+1/2!+2/3!+3/4!+5/5!+8/6!+...+a_n/n!=?$$
โดย...$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$
และ...$a_1=1...,a_2=1...$

...ได้ผลรวมลู่เข้าสู่....
$$(1/\sqrt{5})(e^{(1+\sqrt{5})/2}-e^{(1-\sqrt{5})/2})$$
...หรือประมาณ...$2.0143$
...ขอบคุณครับ...

[tngngoapm]

ความสัมพันธ์เชิงเส้นของเศษเหลือพหุนาม

...เช่นถ้า...
พหุนาม...$P(x)$...หารด้วยพหุนาม...$x^2-x-1$...แล้วเหลือเศษ...$3x-1$...แล้ว
พหุนาม...$[P(x)]^2,[P(x)]^3,...,[P(x)]^n$...หารด้วยพหุนามเดียวกันจะเหลือเศษเท่าไหร่บ้าง...

$...พหุนามเศษที่ได้จะมีความสัมพันธ์กันแบบเชิงเส้น...$
$$R_n=\alpha R_{(n-1)}+\beta R_{(n-2)},เศษเริ่มต้นR_0และะR_1$$
โดย...$R_n$...แทนเศษของพหุนาม...$[P(x)]^n$
...เช่นตัวอย่างนี้ความสัมพันธ์เชิงเส้นของพหุนามเศษคือ...
$$R_n=R_{(n-1)}+11R_{(n-2)},R_0=1และR_1=3x-1$$