ปัญหาคอมบินาทอริก 1

[NaPrai]

ขอบอกที่มาของปัญหานี้ก่อนนะครับ
ผมสงสัยว่า จำนวนคู่อันดับ $\left(w,x,y,z\right)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เมื่อ $w,x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $1\leqslant w\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 10$ เป็นเท่าไหร่
ซึ่งผมก็ได้คำตอบแล้วแหละว่าเป็น $715$ คู่อันดับ (จากการรันโปรแกรมอะนะ) และก็ลองเปลี่ยนเงื่อนไขดูซึ่งก็มีแบบรูปที่น่าสนใจ

ปัญหา
จงพิสูจน์ว่า จำนวนคู่อันดับ $\left(x_1,x_2,...,x_k\right)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เมื่อ $x_1,x_2,...,x_k$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $1\leqslant x_1\leqslant x_2\leqslant ...\leqslant x_k\leqslant n$ เท่ากับ $\binom{n+k-1}{k} $ คู่อันดับ

[otakung]

ถ้าเราให้
$a_1$ แทนจำนวนของ $x$ ที่มีค่าเป็น 1
$a_2$ แทนจำนวนของ $x$ ที่มีค่าเป็น 2
...
$a_n$ แทนจำนวนของ $x$ ที่มีค่าเป็น n

จะได้ว่าเราต้องการจำนวนวิธีที่ $a_1+a_2+...+a_n=k, a_i\geqslant 0$

ใช้ stars and bars ได้จำนวนวิธี $= \binom{k+n-1}{n-1}=\binom{n+k-1}{k} $

ใช้ได้รึเปล่าครับ

[NaPrai]

ถ้าเราให้
$a_1$ แทนจำนวนของ $x$ ที่มีค่าเป็น 1
$a_2$ แทนจำนวนของ $x$ ที่มีค่าเป็น 2
...
$a_n$ แทนจำนวนของ $x$ ที่มีค่าเป็น n

จะได้ว่าเราต้องการจำนวนวิธีที่ $a_1+a_2+...+a_n=k, a_i\geqslant 0$

ใช้ stars and bars ได้จำนวนวิธี $= \binom{k+n-1}{n-1}=\binom{n+k-1}{k} $

ใช้ได้รึเปล่าครับ

ขอบคุณครับ ผมชอบมากเลยครับ :)