เพชรยอดมงกุฎ(ทำไม่ได้ครับช่วยที)ปี 48

[RedfoX]

1. กำหนดให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และความสัมพันธ์
\[
r = \{ (x,y) \in R \times R \bot y^2 = xy + 8\}
\]
จำนวนสมาชิก ของ
\[
r \cap r^{ - 1}
\]
เท่ากับเท่าไร (ขอแนวคิดนะครับ)
2.ถ้าเส้นตรง ax+by+c=0 สัมผัสเส้นโค้ง
\[
y = a(3x - 2)^2
\]
ที่ จุด (-1,2 ) จงหาสมการของเส้นสัมผัวเว้นโค้งนี้แล้ว a+b+c มีค่าเท่าไร เมื่อ หรม.ของ a,b,c เท่ากับ 1
(คิดแล้ว a,b,c ไม่เป็นจำนวนเต็มครับ :confused: )
3.ถ้า
\[
Ax^2 + Bx + C = 0
\]
มี A,B,C เป็นลำดับเลขคณิตและผลคูณของรากทั้งสองเป็นสองเท่าของผลบวกของรากทั้งสองนั้น
แล้ว
\[
AC + 8B^2
\]
มีค่าเท่าไร (คิดเป็นตัวเลขไม่ได้น่ะครับ)

[M@gpie]

ข้อ 1. ในเซต $r\cap r^{-1}$ จะอยู่บนเส้นตรง $x=y$ ครับผม
ข้อ 2. ผมก็ได้ $a$ ไม่เป็นจำนวนเต็มครับ
ข้อ 3. ได้ตัวเลข .... ครับ

[RedfoX]

ข้อ 1. ในเซต $r\cap r^{-1}$ จะอยู่บนเส้นตรง $x=y$ ครับผม


หมายความว่าไงหรือครับ

[gnopy]

ก็หากรณี x = y รู้สึกว่าผมคิดได้ 2 อะ ส่วนข้อ3 นั้นได้ตัวเลขครับ
ปล. ข้อสอบชุดนี้ผมเคยทำแล้ว และซื้อหนังสือมาด้วย แต่ตอนนี้่อยู่ที่บ้านครับเปิดเฉลยคำตอบให้ดูมะได้

[M@gpie]

อ่า คิดไปคิดมาเริ่มแปลกๆครับ เหมือนคิดไม่ครบ :D ขอเปลี่ยนวิธีทำครับเป็น
\[ r=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 | y^2=xy+8\}, \; \; r^{-1}=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 | x^2=xy+8\}\]
จับสองสมการลบกันจะได้ $x^2-y^2=0$ จะได้ 2 กรณีคือ $y=x, \;\; y=-x$ เอาไปแก้สมการก็จะได้ผลลัพธ์คือ 2 คำตอบ เหมือนน้อง gnopy ครับ

[RedfoX]

อ๋ิอเข้าใจละครับ (ตอนนี้ได้หมดทุกข้อแล้วครับขอบคุณมากนะครับทุกท่าน) อืม แล้วหนังสือ ที่คุณ gnopy ว่านี่มีขายที่ไหนหรือครับ ผมไม่เคยเห็นเลยอะ
ขอถามเพิ่มอีกข้อนะครับ
ถ้า (a,b) & (c,d) เป็นคำตอบ ของสมการ
\[
y^2 (x + 1) = 1567 + x^2
\]
โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว a+b+c+d เท่ากับเท่าไร

[RedfoX]

กำหนดให้
\[
(x_1 ,y_1 ),(x_2 ,y_2 ),(x_3 ,y_3 )
\]
เป็นคำตอบของระบบสมการ
\[
\begin{array}{l}
x^3 - 3x^2 y = 2005 \\
y^3 - 3xy^2 = 2004 \\
\end{array}
\]
ถ้า
\[
\left( {1 - \frac{{x_1 }}{{y_1 }}} \right)\left( {1 - \frac{{x_2 }}{{y_2 }}} \right)\left( {1 - \frac{{x_3 }}{{y_3 }}} \right) = A^{ - 1}
\]
แล้ว A =?

[nongtum]

ถ้า (a,b) & (c,d) เป็นคำตอบ ของสมการ
\[
y^2 (x + 1) = 1567 + x^2
\]
โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว a+b+c+d เท่ากับเท่าไร
ลองพิจารณา $y^2=x-1+\frac{2^5\times7^2}{x+1}$ ดูสิครับ

[gnopy]

หนังสือพอดีว่าปี49ผมได้เข้าร่วมการแข่งขันแล้วก็ซื้อที่เค้าขายกันในโรง
เรียนที่ไปแข่ง แล้วก็เห็นอยู่ตามศูนย์หนังสือจุฬา(ลองไปสอบถามดู) มาบุญครองครับ ซีเอ็ดชั้น 7 หรือลองดูแถวซีเอ็ดสาขาต่างๆ มันเล่มสีเหลืองปนกับสีเขียวอะครับ

[M@gpie]

กำหนดให้
\[
(x_1 ,y_1 ),(x_2 ,y_2 ),(x_3 ,y_3 )
\]
เป็นคำตอบของระบบสมการ
\[
\begin{array}{l}
x^3 - 3x^2 y = 2005 \\
y^3 - 3xy^2 = 2004 \\
\end{array}
\]
ถ้า
\[
\left( {1 - \frac{{x_1 }}{{y_1 }}} \right)\left( {1 - \frac{{x_2 }}{{y_2 }}} \right)\left( {1 - \frac{{x_3 }}{{y_3 }}} \right) = A^{ - 1}
\]
แล้ว A =?

ตอบ $A=1002$ ใช่ไหมครับ

[RedfoX]

ทำยังไงละครับ ทำไม่เป็นนะครับ

[หยินหยาง]

แนวคิดแบบนี้หรือเปล่าครับคุณ M@gpie
$\begin{array}{l}
x^3 - 3x^2 y = 2005 \\
y^3 - 3xy^2 = 2004 \\
\end{array}$
จากสมการข้างบน นำมาลบกันจะได้ว่า x-y =1 หรือ x =y+1
นำไปแทนค่าในสมการข้างบนสมการที่ 1 จะได้ $2y^3+3y^2+2004 = 0$
และนำ x =y+1แทนลงใน $\left( {1 - \frac{{x_1 }}{{y_1 }}} \right)\left( {1 - \frac{{x_2 }}{{y_2 }}} \right)\left( {1 - \frac{{x_3 }}{{y_3 }}} \right) = A^{ - 1}$
จะได้ว่า $\frac{-1}{y_1y_2y_3} = A^{ - 1}$
ดังนั้นจะได้ว่า A = 1002

[M@gpie]

ถูกต้องนะคร้าบ ผม ที่ถามคำตอบก่อนเพราะไม่แน่ใจน่ะครับว่าถูกไหม
ส่วนอีกข้อทำตามที่พี่ nongtum แนะนำแล้ว ก็ยังแยกกรณีอ่วม พอสมควรทีเดียวครับ มีวิธีสั้นๆไหมเอ่ย?

[หยินหยาง]

อ๋ิอเข้าใจละครับ (ตอนนี้ได้หมดทุกข้อแล้วครับขอบคุณมากนะครับทุกท่าน) อืม แล้วหนังสือ ที่คุณ gnopy ว่านี่มีขายที่ไหนหรือครับ ผมไม่เคยเห็นเลยอะ
ขอถามเพิ่มอีกข้อนะครับ
ถ้า (a,b) & (c,d) เป็นคำตอบ ของสมการ
\[
y^2 (x + 1) = 1567 + x^2
\]
โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว a+b+c+d เท่ากับเท่าไร
จากการแนะนำของคุณ nongtum จะได้ว่า
$(a,b) $ $ (c,d) $คือ $ (1,28) $ $(783,28)$

ดังนั้น $a+b+c+d =840$

[RedfoX]

สงสัยอีกข้อนึงครับ
พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ที่มีจุดยอดที่ A(1,-1,1) B(2,1,-1) C(-1,-1,-2) เท่ากับกี่ตารางหน่วย
ีสงสับว่ามันเป็นรูปสามมิตินิ แล้วงี้พื้นที่มันจะเอาด้านไหนอะครับ

[nongtum]

พื้นที่ที่ต้องการหาคือ'ระนาบ'ที่ล้อมรอบด้วยด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมครับ
วิธีหนึ่งที่ใช้คิดข้อนี้ได้คือ การใช้สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมของ Heron ครับ

[RedfoX]

วันนี้มีโจทย์ที่ทำไม่ได้เยอะนะครับ รบกวนพี่ๆช่วยด้วยนะครับ

1. ผลบวกของสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ และ $x^2$ ของพหุนามดีกรีน้อยที่สุดที่หารด้วยพหุนาม
\[
(x - 1)^2\ \&\ (x - 2)^3
\]
แล้วเหลือเศษ $2x$ และ $3x$ ตามลำดับ เท่ากับเท่าไร

2.จำนวนคำตอบของสมการ
\[
\left[ {\frac{x}{5}} \right] + \left[ {\frac{x}{3}} \right] + \left[ {\frac{x}{2}} \right] = x
\]
เมื่อ [x] แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x เป็นเท่าไร(ใช้เรื่องอะไรคิดอะครับ ไม่เคยเจอ)

3.กำหนดสมการวงรี
\[
\frac{{(x - 19)^2 }}{{19}} + \frac{{(y - 98)^2 }}{{98}} = 1998
\]
และให้
\[
R_1 ,R_2 ,R_3 ,R_4
\]
แทนพื้นที่ภายในวงรีอยู่ในจตุภาคที่ 1,2,3,4 ตามลำดับ ค่า ของ
\[
R_1 - R_2 + R_3 - R_4
\]
เท่ากับกี่ตารางหน่วย

4. กำหนดให้
\[
9A - 8A^t = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\
1 & { - 1} & 1 & { - 1} & 1 \\
0 & { - 1} & { - 1} & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1 & { - 3} & 1 \\
1 & { - 4} & 1 & 1 & { - 1} \\
\end{array}} \right]
\]

แล้วผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของเมทริกซ์ A เป็นเท่าไร

5. ถ้าคำตอบของสมการ
\[
\begin{array}{l}
\sqrt {2x - \sqrt {8x - 4} } + x^{\log _x 2(2x - 1)} = 5 = \frac{a}{b} \\
(a,b) = 1\ \textrm{then}\ \ a^2 + b^2 = ? \\
\end{array}
\]
(แก้สมการไม่ได้อะ)

6.ให้
\[
A = \{ x \in R \vert \log _3 (x^2 + x + 1)^2 + 4^{\sqrt {\log _3 (x^2 + x + 1)} } > 6\}
\]
\[
B = \{ x \in R \vert \frac{x}{{x^2 + x + 2}} \ge \frac{1}{4}\}
\]
จงเขียน $A \cap B$ ในรูปของช่วงจำนวนจริง

7. ถ้า
\[
\frac{{\sin x + \sin y + \sin z}}{{\sin (x + y + z)}} = \frac{{\cos x + \cos y + \cos z}}{{\cos (x + y + z)}} = 2\sqrt 2
\]
ถ้า
\[
\cos x\cos y + \cos y\cos z + \cos z\cos x = a + b\sqrt 2
\]
แล้ว $a+b$ มีค่าเท่าไร

8. ถ้า
\[
- \frac{3}{{1!}} + \frac{7}{{2!}} - \frac{{13}}{{3!}} + \frac{{21}}{{4!}} - \frac{{31}}{{5!}} + ... + \frac{{2548^2 + 2548 + 1}}{{2548!}} = a + \frac{b}{{c!}}
\]
โดยที่ $a,b,c$ เป็นจำำนวนเต็ม ค่าน้อยสุดของ $a+b+c$ เป็นเท่าไร

9.ถ้า
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{2003} \\
1 \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
{2003} \\
4 \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
{2003} \\
7 \\
\end{array}} \right) + ... + \left( {\begin{array}{*{20}c}
{2003} \\
{2002} \\
\end{array}} \right) = k(2^{2002} - 1)
\]
แล้ว k มีค่าเท่าใด

10. ลืมครับมีอีกข้อ
\[
M = \left| {\begin{array}{*{20}c}
{a^2 } & {bc} & {ac + c^2 } \\
{a^2 + ab} & {b^2 } & {ac} \\
{ab} & {b^2 + bc} & {c^2 } \\
\end{array}} \right| - abc\left| {\begin{array}{*{20}c}
{2c} & c & {a + c} \\
0 & { - b} & a \\
0 & b & a \\
\end{array}} \right|
\]
ค่า ของ $M$ เป็นเท่าไร

[nongtum]

ข้อสาม ลองไปดูวิํํธีคิดในกระทู้นี้ครับ (http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?p=21388#post21388)

ข้อ 5 ผมไม่เข้าใจว่าตรงที่ 1thena2 อยากจะพิมพ์อะไรครับ

[หยินหยาง]

วันนี้มีโจทย์ที่ทำไม่ได้เยอะนะครับ รบกวนพี่ๆช่วยด้วยนะครับ



2.จำนวนคำตอบของสมการ
\[
\left[ {\frac{x}{5}} \right] + \left[ {\frac{x}{3}} \right] + \left[ {\frac{x}{2}} \right] = x
\]
เมื่อ [x] แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x เป็นเท่าไร(ใช้เรื่องอะไรคิดอะครับ ไม่เคยเจอ)



ขอตอบว่า $x = 31$


ข้อ 5 ผมไม่เข้าใจว่าตรงที่ 1thena2 อยากจะพิมพ์อะไรครับ
$(a,b) = 1^{} _{} then^{} {}^{}a^2 + b^2 = ?$
ผมว่าน่าจะหมายถึง หรม. ของ a และ b = 1 โดยที่ a, b เป็นรากคำตอบของสมการแล้ว $a^2 + b^2 = ?$ ใช่มั้ยครับคุณ RedfoX:confused:

[RedfoX]

ถูกครับ แล้วข้อก่อนหน้านี้คุณ หยินหยางคิดยังไรเหรอครับ ผมไม่รู้จริงๆครับ

[หยินหยาง]

ผมไม่รู้ว่าจะอธิบายอย่างไรแต่ใช้การสังเกตโดยการหา ครน ของ ตัวส่วนคือ 30 และจากโจทย์จะได้ว่า
$\left[ {\frac{6x}{30}} \right] + \left[ {\frac{10x}{30}} \right] + \left[ {\frac{15x}{30}} \right] = x$
$\left[ {\frac{31x}{30}} \right] = x$
ดังนั้น $ x = 31$
หวังว่าคงพอช่วยให้เข้าใจได้นะครับ หรือไม่งั้นคงต้องรอผู้รู้ท่านอื่นมาช่วยอธิบายให้กระจ่างกว่านี้

[หยินหยาง]

สงสัยอีกข้อนึงครับ
พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ที่มีจุดยอดที่ A(1,-1,1) B(2,1,-1) C(-1,-1,-2) เท่ากับกี่ตารางหน่วย
ีสงสับว่ามันเป็นรูปสามมิตินิ แล้วงี้พื้นที่มันจะเอาด้านไหนอะครับ

จะได้ว่า $\overline{AB} = 3 , \overline{AC} = \sqrt{13}, \overline{BC} = \sqrt{14} $
ถ้าหาพื้นที่โดยใช้สูตร HERON คงเหนื่อยเอาการ เพราะต้องถอดรากซ้อนราก ผมเลยใช้เวกเตอร์ช่วย หา $cos\theta $
ของมุมเวกเตอร์ $\overline{BA} $ทำกับเวกเตอร์$ \overline{BC}$ ต่อจากนั้นก็หา $ABsin\theta $ คือความสูงของสามเหลี่ยมซึ่งมี BC เป็นฐาน แทนค่าต่างๆลงไป จะได้คำตอบคือ $\frac{\sqrt{101} }{2} $

[nongtum]

ผมไม่รู้ว่าจะอธิบายอย่างไรแต่ใช้การสังเกตโดยการหา ครน ของ ตัวส่วนคือ 30 และจากโจทย์จะได้ว่า
$\left[ {\frac{6x}{30}} \right] + \left[ {\frac{10x}{30}} \right] + \left[ {\frac{15x}{30}} \right] = x$
$\left[ {\frac{31x}{30}} \right] = x$
ดังนั้น $ x = 31$
หวังว่าคงพอช่วยให้เข้าใจได้นะครับ หรือไม่งั้นคงต้องรอผู้รู้ท่านอื่นมาช่วยอธิบายให้กระจ่างกว่านี้หนึ่งในคำตอบคือ 31 น่ะถูกครับ แต่ต้องระวังหน่อยว่าบางครั้งเราไม่สามารถจะจับจำนวนใน [] มาบวกกันโดยตรงได้เลย ไม่งั้นจะเกิดเหตุการณ์ดังตัวอย่างต่อไปนี้: $$[1.9]+[1.8] = 1+1 = 2 < 3 = [1.9+1.8]$$ดังนั้น ลองนึกดูนะครับว่าทำไมข้อนี้จึงทำอย่างที่คุณหยินหยางแสดงมาได้

[nongtum]

เข้ามาเพิ่มคำแนะนำบางข้อใน #17 ครับ

1. สมมติให้ $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ เป็นพหุนามกำลังสามที่สอดคล้องกับเงื่อนไขโจทย์ ดังนั้นจะมีพหุนาม $q_1(x),\ q_2(x)$ ที่ทำให้ $$p(x)=q_1(x)(x-1)^2+2x=q_2(x)(x-2)^3+3x$$
สมมติว่า $a(x)=p(x)-2x$ และ $b(x)=p(x)-3x$ เราจะพบว่า $a(1)=a'(1)=0$ และ $b(2)=b'(2)=b''(2)=0$ ซึ่งเราสามารถใช้ผลนี้หาสัมประสิทธิ์ทุกตัวได้ครับ

4. สมมติ $A=(a_{ij})_{5\times5}$ พิจารณาคำตอบในกรณีทั่วไปก่อน $9a_{ij}-8a_{ji}$ เรื่มจาก $i=j$

5. สมมติ $u^2:=2x-1$

6. สมการแรกอาศัยสมบัติฟังก์ชันเพิ่ม และการสังเกตอีกเล็กน้อยครับ ส่วนสมการหลังไม่น่ายาก อย่าลืมว่า $a^{\log_ax}=x$ ได้ในกรณีใด

10. สังเกตสมาชิกในแต่ละหลักของเมตริกซ์แรก แล้วใช้การดำเนินการเชิงแถวกำจัดบางเทอมทิ้งก่อนหา det ส่วนเมตริกซ็หลังสังเกตสักนิด ก็จะหาค่าได้ง่ายๆครับ

[RedfoX]

คำตอบคือ 31 น่ะถูกครับ แต่ต้องระวังหน่อยว่าบางครั้งเราไม่สามารถจะจับจำนวนใน [] มาบวกกันโดยตรงได้เลย ไม่งั้นจะเกิดเหตุการณ์ดังตัวอย่างต่อไปนี้: $$[1.9]+[1.8] = 1+1 = 2 < 3 = [1.9+1.8]$$ดังนั้น ลองนึกดูนะครับว่าทำไมข้อนี้จึงทำอย่างที่คุณหยินหยางแสดงมาได้

หมายถึงให้ตรวจคำตอบใช่ไหมครับ :mellow:
ปล.ขอบคุณพี่ๆทุกคนนะครับ จะกลับไปทำก่อนนะครับ เดี๋ยวจะรีบมาตอบครับ :great: :please: :kaka:

[RedfoX]

ขอบคุณพี่ๆมากครับ ตอนนี้ทำได้หมดละเหลือแค่ข้อ 7 ,8, 9 แล้วละครับ :kaka:

[RedfoX]

ผมไม่รู้ว่าจะอธิบายอย่างไรแต่ใช้การสังเกตโดยการหา ครน ของ ตัวส่วนคือ 30 และจากโจทย์จะได้ว่า
$\left[ {\frac{6x}{30}} \right] + \left[ {\frac{10x}{30}} \right] + \left[ {\frac{15x}{30}} \right] = x$
$\left[ {\frac{31x}{30}} \right] = x$
ดังนั้น $ x = 31$
หวังว่าคงพอช่วยให้เข้าใจได้นะครับ หรือไม่งั้นคงต้องรอผู้รู้ท่านอื่นมาช่วยอธิบายให้กระจ่างกว่านี้

อืมคุณหยินหยางครับสงสัยอะ โจทย์ถาม จำนวนคำตอบทั้งหมดนะครับ ไม่ได้หาค่า x นะครับ ตกลงมันเท่ากันหรือครับ:confused:

[M@gpie]

ข้อ 8. สังเกตก่อนครับว่า พจน์ทั่วไปคือ $(-1)^n\frac{n^2+n+1}{n!}$
จัดรูปใหม่
\[(-1)^n\frac{n^2+n+1}{n!} = (-1)^n \left[\frac{n}{(n-1)!} + \frac{(n+1)}{n!}\right] \]
ลองแทนค่าดู จะได้
\[ -\left(\frac{1}{0!} + \frac{2}{1!}\right) + \left(\frac{2}{1!} + \frac{3}{2!}\right) -\left(\frac{3}{2!} + \frac{4}{3!}\right) + ... -\left(\frac{2547}{2546!} + \frac{2548}{2547!}\right) + \left(\frac{2548}{2547!} + \frac{2549}{2548!}\right)\]
ตัดกันฉึบฉับก็จะได้
\[ \sum_{n=1}^{2548}(-1)^n\frac{n^2+n+1}{n!} = -1+\frac{2549}{2548!} \]

[หยินหยาง]

อืมคุณหยินหยางครับสงสัยอะ โจทย์ถาม จำนวนคำตอบทั้งหมดนะครับ ไม่ได้หาค่า x นะครับ ตกลงมันเท่ากันหรือครับ:confused:
ขอโทษครับอ่านโจทย์ไม่ดี งั้นน่าจะมี 2 คำตอบ คือ $x= 0 , x = 31 $ครับ

[RedfoX]

เหลือ ข้อ7 กับ 9 ละครับ ช่วยหน่อยนะครับ

[tatari/nightmare]

7.จาก $$\frac{\sin x+\sin y+\sin z}{\sin (x+y+z)}=2\sqrt{2}$$
จะได้ $\sin x+\sin y+\sin z=(2\sqrt{2})(\sin (x+y+z))........(1)$
ในทำนองเดียวกันจะได้ $\cos x+\cos y+\cos z=(2\sqrt{2})(\cos (x+y+z))......(2)$
$(1)^2+(2)^2$ จะได้ $$(\sin x+\sin y+\sin z)^2+(\cos x+\cos y+\cos z)^2$$
$=8\sin^2 (x+y+z)+8\cos^2 (x+y+z)$
$=8[\sin^2 (x+y+z)+\cos^2 (x+y+z)]=8$
แต่จากที่ $$(\sin x+\sin y+\sin z)^2=\sin^2 x+\sin^2 y+\sin^2 z+2\sin x\sin y+2\sin y\sin z+2\sin z\sin x....(3)$$ และ $$(\cos x+\cos y+\cos z)^2=\cos^2 x+\cos^2 y+\cos^2 z+2\cos x\cos y+2\cos y\cos z+2\cos z\cos x....(4)$$ นำ $(3)+(4)$ จะได้
$(\sin x+\sin y+\sin z)^2+(\cos x+\cos y+\cos z)^2$
$=\sin^2 x+\sin^2 y+\sin^2 z+2\sin x\sin y+2\sin y\sin z+2\sin z\sin x+\cos^2 x+\cos^2 y+\cos^2 z+2\cos x\cos y+2\cos y\cos z+2\cos z\cos x$
$=3+2(\sin x\sin y+\sin y\sin z+\sin z\sin x)+2(\cos x\cos y+\cos y\cos z+\cos z\cos x)$
$=3+2u+2w$ ถ้าให้ $\sin x\sin y+\sin y\sin z+\sin z\sin x=w$ และ $\cos x\cos y+\cos y\cos z+\cos z\cos x=u$ จึงได้ว่า $$3+2w+2u=8$$ นั่นคือ $w+u=\frac{5}{2}$ พิจารณา
$$u-w=\cos x\cos y-\sin x\sin y+\cos y\cos z-\sin y\sin z+\cos z\cos x-\sin z\sin x$$
$=\cos (x+y)+\cos (y+z)+\cos (z+x)$ ให้ $x+y+z=k$ จะได้
$=\cos (k-x)+\cos (k-y)+\cos (k-z)$ กระจายออกมาแล้วจัดรูปจะได้
$= \cos k(\cos x+\cos y+\cos z)+\sin k(\sin x+\sin y+\sin z)$ จากสมการ (1) และ (2) จะได้
$u-w=\cos k(2\sqrt{2}\cos k)+\sin k(2\sqrt{2}\sin k)=2\sqrt{2}(\sin^2 k+\cos^2 k)=2\sqrt{2}$ เมื่อแก้สมการ จะได้$u=\frac{4\sqrt{2}+5}{4}$ #

[RedfoX]

รู้สึก ว่า U-W มันไม่ครบนะ ขาดไป 2 เทอม

[tatari/nightmare]

ผมแก้แล้วครับถ้ามีที่ผิดอีกก็บอกครับ(กำลังมึนๆ) ส่วนข้อ 9.น่าจะใช้พวก รากที่ n ของ 1 ประมาณเนี่ยอะครับ

[nongtum]

ขอโทษครับอ่านโจทย์ไม่ดี งั้นน่าจะมี 2 คำตอบ คือ $x= 0 , x = 31 $ครับ
ตัวแรกคือ $x=30$ หรือเปล่าครับ

ข้อ 9 จำไม่ผิดคิดว่า คุณ passer-by เคยเฉลยไปแล้ว แต่จำไม่ได้ว่าทำยังไง แต่ผมคิดว่าคงใช้เอกลักษณ์ $\displaystyle{{n+1 \choose k+1} = {n \choose k} + {n \choose k+1}}$ ช่วยมังครับ
สังเกตด้วยว่า $\displaystyle{\sum_{k=0}^n {n \choose k}=2^n}$

[passer-by]

Question No. 9 is copied from HMMT 2004

[RedfoX]

อืม มีง่ายกว่านี้ไหมครับ งงจัง

[passer-by]

อืม มีง่ายกว่านี้ไหมครับ งงจัง


Main idea ก็คือใช้ binomial theorem กับ $ x= \omega $ ครับ

โดย $ \omega$ คือรากที่ 3 ของ 1 แต่ไม่ใช่ 1 (i.e. $ \omega^3 =1 ; \omega \neq 1$)

จากนั้น ใช้ คุณสมบัติที่ว่า $ 1+ \omega +\omega^2 = 0 $ มาช่วย เพื่อทำให้เทอมอื่นหายไป ให้เหลือแต่ผลบวกที่เราต้องการอย่างเดียว (ลองคิดดูนะครับ ว่าทำไมต้องมี 3 สมการ )

[M@gpie]

ยากจริงๆนะครับเนี่ย