Let G be an abelian group. Then G is simple if and only if G is cyclic of prime order.
:died: :died:
ก่อนอื่นพิสูจน์ข้อความนี้ให้ได้ก่อน
Every subgroup of an abelian group is normal
ให้ $a\in G-\{e\}$ แยกพิจารณาขนาดของ $a$ เป็นสองกรณีคือ
1. $a$ มีขนาดอนันต์ นั่นคือ $<a>=\{1,a,a^2,...\}$ เป็นเซตอนันต์ ให้พิสูจน์ว่าเซต
$<a^2>=\{1,a^2,a^4,...\}$ เป็น proper normal subgroup ของ $G$
2. $a$ มีขนาดจำกัด ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่หารขนาดของ $a$ ลงตัว โดย Cauchy Theorem จะได้ว่า $<a>$ มีสมาชิกที่มีขนาดเท่ากับ $p$ สมมติว่าเป็น $b$
แต่ $G$ เป็น simple group เราจะต้องได้ว่า $G=<a>$
ดังนั้น $G=<b>$ ด้วย เราจึงได้ว่า $|G|=p$
ขากลับเห็นได้ชัดครับเพราะทุก group ที่มีขนาดเป็นจำนวนเฉพาะ $p$ จะมี subgroup ที่มีขนาดเท่ากับ $1,p$ เท่านั้น