สมาคม ม.ปลาย 50 เต็มๆครับ

[Mathopolis]

ผมแสกนข้อสอบให้เป็นขาวดำนะ จะได้ print ไปทำได้ ไม่เปลืองหมึก และพยายามเคลียร์หน้ากระดาษให้สะอาดที่สุดแล้วนะครับ จะได้อ่านโจทย์ได้สะดวกๆ

ปล. หลังจากออกมาจากห้องสอบ ก็ยังไม่มีเวลามาทำอีกรอบ เลยคิดแต่ข้อที่ไม่ยากมากไว้ก่อนนะครับ รบกวนพี่ๆช่วยเฉลยด้วยครับ

http://img207.imageshack.us/img207/2959/image1bm7.jpg
http://img207.imageshack.us/img207/4392/image2kj0.jpg
http://img204.imageshack.us/img204/6565/image3pn4.jpg
http://img205.imageshack.us/img205/6017/image4pq0.jpg
http://img156.imageshack.us/img156/6323/image5fn0.jpg
http://img206.imageshack.us/img206/8987/image6kp4.jpg
http://img205.imageshack.us/img205/8333/image7ko6.jpg
http://img147.imageshack.us/img147/2451/image8hf4.jpg

[M@gpie]

เติมคำโหดพอตัวเลยนะครับเนี่ย หุหุ

[หยินหยาง]

ขอทำข้อที่อยากทำก่อน
ตอนที่ 1
ข้อ 19 ตอบ k = 2
ตอนที่ 2
ข้อ 21 ตอบ $ \frac{b+a}{b-a} $
ข้อ 23 ตอบ $\frac{4}{3}$

$\int_{0}^{2}\frac{2\sqrt{x} -1}{\sqrt{x+1-\sqrt{4x}}+\sqrt{x} } dx $
$=\int_{0}^{2}\frac{2\sqrt{x} -1}{\sqrt{(\sqrt{x}-1)}^2+\sqrt{x} } dx $
$=\int_{0}^{2}\frac{2\sqrt{x} -1}{\left|\,\sqrt{x}-1\right| +\sqrt{x} } dx $
$=\int_{0}^{1}\frac{2\sqrt{x} -1}{1-\sqrt{x} +\sqrt{x} } dx +\int_{1}^{2}\frac{2\sqrt{x} -1}{\sqrt{x} -1+\sqrt{x} } dx $
หลัจากนี้คงทำต่อได้แล้วนะครับ

ข้อ 24 ตอบ $c = 60 องศา, tan C =\sqrt{3}$

[gon]

ข้อ 27. ตอนที่ 2 ตอบ 20,000


แนวคิด : แทน y = 1 ลงในสมการเชิงฟังก์ชันที่ให้มา และ แทน f(1) = 2 จะได้ว่า
$$f(x) - f(x-1) = 4x-2$$
แทน x ด้วย 2, 3, 4, ... , 100 จากนั้นนำสมการมารวมกันทั้งหมดจะได้
$$f(100) - f(1) = (99)(202) = (100 - 1)(200 + 2) = 20000 - 2 $$
ดังนั้น f(100) = 20,000

ข้อ 30 ตอนที่ 2 ตอบ 2,520


เพราะว่า $k!(k^2 + 3k + 1) = k![ (k+1)(k+2) - 1 ] = (k+2)! - k!$
ดังนั้นผลรวมจะได้ 82! + 81! - 3! - 4!

แต่ 2550 = (2)(3)(5)(5)(17) ชัดเจนว่าทั้ง 82! กับ 81! มี 2550 เป็นตัวประกอบ
และ 82! + 81! - 3! - 4! = 82! + 81! - 3! - 4! + 2550 - 2550

ดังนั้นเศษที่ต้องการ คือ 2550 - 3! - 4! = 2520

[nooonuii]

ตอนที่ 2

26. $2,4,5,6$


$(n-3)[(n-5)(n-6)+1]$


30. $2520$


พิสูจน์ไม่ยากว่า $1\cdot 1!+2\cdot 2!+\cdots+n\cdot n!=(n+1)!-1$
สังเกตว่า $$k!(k^2+3k+1)=k![(k+1)^2+k]=(k+1)(k+1)!+k\cdot k!$$
ดังนั้น $\sum_{k=3}^{80}k!(k^2+3k+1)=\sum_{k=1}^{80}k!(k^2+3k+1)-1!(5)-2!(11)$

$=\sum_{k=1}^{80}\Big[(k+1)(k+1)!+k\cdot k!\Big]-27$

$=\Big(\sum_{k=1}^{81}k\cdot k! - 1\cdot 1!\Big)+\Big(\sum_{k=1}^{80}k\cdot k!\Big)-27$

$=(82!-2)+(81!-1)-27$

$=82!+81!-30$

แต่ $2550=2\cdot 3\cdot 5^2\cdot 17$ หาร $82!+81!$ ลงตัว
เราจึงได้เศษจากการหารเป็น $-30$ หรือ $2520$


32. $\dfrac{\pi^2\sin{\theta}}{1-2\pi\cos{\theta}+\pi^2}$


ให้ $|r|<1$ พิจารณาอนุกรม $$\sum_{n=1}^{\infty}(r^n\cos{n\theta}+ir^n\sin{n\theta})=\sum_{n=1}^{\infty}(re^{i\theta})^n=\frac{re^{i\theta}}{1-re^{i\theta}}=\frac{r\cos{\theta}-r^2+ir\sin{\theta}}{1-2r\cos{\theta}+r^2}$$
ดังนั้น $$\sum_{n=1}^{\infty}r^n\sin{n\theta}=\frac{r\sin{\theta}}{1-2r\cos{\theta}+r^2}$$
แทนค่า $r=\dfrac{1}{\pi}$ จะได้คำตอบ


34. $125$


สังเกตว่า $a^4+a^3+a^2+a+1=0$ และ $a^5=1$
โดยการหารยาวเราจะได้ $z^4+z^3+z^2+z+1=(z-1)(z^3+2z^2+3z+4)+5$
ดังนั้น $0=(a-1)P(a)+5\Rightarrow P(a)=\dfrac{5}{1-a}$
เพราะฉะนั้น $P(a)P(a^2)P(a^3)P(a^4)=\dfrac{625}{(1-a)(1-a^2)(1-a^3)(1-a^4)}$

$=\dfrac{625}{(1-a^2-a^3+a^5)(1-a-a^4+a^5)}$

$=\dfrac{625}{(2-a^2-a^3)(2-a-a^4)}$

$=\dfrac{625}{(2-a^2-a^3)(3+a^2+a^3)}$

$=\dfrac{625}{6-a^2-a^3-(a^2+a^3)^2}$

$=\dfrac{625}{6-a^2-a^3-a^4-2a^5-a^6}$

$=\dfrac{625}{6-a^2-a^3-a^4-2-a}$

$=\dfrac{625}{5}$

$=125$

[t.B.]

โอ้ ยากๆทั้งนั้นเลย ผมไปสอบมีหวังได้ไม่ถึงครึ่ง:aah:

[tantawan]

ถ้าทำข้อสอบไปแล้ว ข้อ23 ทำยังไง ผมถึงได้ 2 ละครับ ทำวิธีไหนถึงได้ $\frac{4}{3} $

[หยินหยาง]

ถ้าทำข้อสอบไปแล้ว ข้อ23 ทำยังไง ผมถึงได้ 2 ละครับ ทำวิธีไหนถึงได้ $\frac{4}{3} $
ผมอธิบายเพิ่มเติมไว้ให้แล้ว ไปดูได้ที่ความเห็น#3

[สมชาย]

ข้อ 31 กับ 35 มีแนวคิดยังไงอะครับ
ช่วยใบ้หน่อยครับ จะลองดู ขอบคุณครับ

[M@gpie]

28. $\frac{65}{3}$

เพื่อความสะดวกให้ $A=\left[ \begin{array}{cc} 1 &2\\ 3&4 \end{array}\right]$ จะได้ว่า
\[ \left[ \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ c_n&d_n \end{array}\right] = A + \frac{1}{10}A^2 + \frac{1}{10^2}A^3 + ... +\frac{1}{10^{n-1}}A^n\]
คูณทั้งสองข้างด้วย $\frac{1}{10}A$ จะได้
\[ \frac{1}{10}A\left[ \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ c_n&d_n \end{array}\right] = \frac{1}{10}A^2 + \frac{1}{10^2}A^3 + ... +\frac{1}{10^{n}}A^{n+1}\]
จับลบกันจะได้
\[ (I-\frac{1}{10}A) \left[ \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ c_n&d_n \end{array}\right] = A - \frac{1}{10^{n}}A^{n+1} \]
\[ \left[ \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ c_n&d_n \end{array}\right] = (I-\frac{1}{10}A) ^{-1}A - (I-\frac{1}{10}A) ^{-1}\frac{1}{10^{n}}A^{n+1} \]
\[ \lim_{n\rightarrow \infty}\left[ \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ c_n&d_n \end{array}\right] = (I-\frac{1}{10}A) ^{-1}A \]
ก็จะหาคำตอบได้ตามต้องการ :happy:

[nooonuii]

28. $\frac{65}{3}$

$\frac{1}{10^{n}}A^{n+1}$

เทอมนี้ลู่เข้าเมทริกซ์ศูนย์ยังไงครับ

[M@gpie]

เทอมนี้ลู่เข้าเมทริกซ์ศูนย์ยังไงครับ

ก็ $\frac{1}{10}A= \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{10} & \frac{2}{10} \\ \frac{3}{10}& \frac{4}{10}\end{array}\right] $ ซึ่งยกกำลังก็มีแต่จะลดลงๆ ครับ เลยจะสรุปว่าลู่เข้าสู่เมทริกซ์ 0

[nooonuii]

31. มีแต่แนวคิดครับ วิธีของผมต้องแจงกรณีเยอะมากก็เลยไม่แน่ใจว่าจะเป็นวิธีที่ดีที่สุดหรือเปล่า ถ้าใครมีวิธีที่ดีกว่านี้ก็ขอคำชี้แนะด้วยครับ:please:

เขียนจำนวนดังกล่าวในรูป $a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0$ โดยมีเงื่อนไขว่า $a_6=1,2$
โดยความรู้จากการหารลงตัวเราจะได้ว่า

$a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0$ หารด้วย $11$ ลงตัวก็ต่อเมื่อ $a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+a_6$ หารด้วย $11$ ลงตัว

แต่ $-5\leq a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+a_6\leq 8$
เราจึงได้ว่า $a_0+a_2+a_4+a_6=a_1+a_3+a_5$ เท่านั้น
ต่อไปก็แจงกรณีนับครับ โดยเขียนจำนวน $1$ ถึง $6$ ให้เป็นผลบวกของจำนวน $0,1,2$ สาม และ สี่ จำนวน ตามลำดับ:rolleyes:

[หยินหยาง]

ข้อ 31 ผมใช้แนวคิดแบบนี้ครับ
1. เราทราบว่าจำนวนที่ 11 หารลงตัวนั้น ถ้านำเลขโดดมา บวก ลบ สลับกันไปแล้ว 11 ต้องหารลงตัว
2. ดังนั้นเราสามารถแบ่งเป็น 2 กลุ่มได้ คือกลุ่มแรกมี หลักที่ 1, 3, 5, 7 และกลุ่มที่สองมี หลักที่ 2, 4, 6
3. เราก็สร้างรูปแบบให้ค่าที่รวมกันในกลุ่มที่ 1 = ค่าที่รวมกันในกลุ่มที่ 2 เพราะว่าเป็นไปไม่ได้ที่มีเลขเพียง 0, 1, 2 แล้วจะทำให้ผลรวมเป็นพหุคูณของ 11
ดังนั้น 2 กลุ่มนี้ต้องมีผลรวมเท่ากัน เพื่อจะได้ บวก ลบ กันแล้วได้ 0
และรูปแบบ 2 กลุ่มนี้ ก็ต้องมีผลรวมแต่ละกลุ่มไม่เกิน 6 จากหลักที่ว่าไว้ เช่นกลุ่มที่ 1 มีรูปแบบตัวเลข 2, 2, 2, 0 หรือ 2, 2, 1, 1
รวมกันเท่ากับ 6 สำหรับกลุ่มที่ 2 มีตัวเลขได้เพียงชุดเดียวคือ 2, 2, 2
4. สร้างรูปแบบของกลุ่มต่างๆ คือ 6-6, 5-5, 4-4, 3-3, 2-2, 1-1, 0-0 แล้วนำแต่ละกรณีมาบวกัน
5.ถ้าคำนวณไม่ผิดผมได้ 357 วิธี (ยอมให้เลข 0 อยู่ข้างหน้า เช่น 0000000 หรือ 0100100 เป็นต้น)
แต่ถ้าไม่ยอมให้ 0 ขึ้นต้น ก็จะได้ 216 วิธี

[gon]

ข้อ 35 ถ้าผมเข้าใจโจทย์ถูก และ คิดไม่ผิด ไม่น่าจะลู่เ้ข้านะครับ ช่วยกันดูอีกทีหน่อยว่าผมเข้าใจผิดตรงไหนหรือไม่ :unsure:

สมมติว่ามีนักเรียน n คน

รอบที่ 1 : 1, 2, 3, ... , n
รอบที่ 2 : $\frac{1}{n}\cdot \frac{n(n+1)}{2} , \frac{1}{n}\cdot \frac{n^2+2n-1}{2} , \frac{1}{n}\cdot \frac{n^3+3n^2-3n-1}{2n}, ...$

[สมชาย]

ข้อ 35. ผมลองใช้เลข 1 - 5 (คิดเสมือนว่ามี 5 คน) คิดแบบตรงๆเลยครับ ลู่เข้า 3 กว่า ๆ
แต่ถ้า 80 คน คงไม่ไหว กำลังพยามหาพจน์ทั่วไปมาใส่ลิมิต แต่ไม่ออก พี่ๆท่านใดมีแนวทาง โปรดเมตตา

[nooonuii]

35. ผมมองให้เป็นลำดับดังนี้ครับ
$a_1=1,a_2=2,...,a_{80}=80,a_{81}=\dfrac{a_1+\cdots+a_{80}}{80},...,a_{n}=\dfrac{a_{n-1}+\cdots +a_{n-80}}{80},...$

[bell18]

ข้อสอบครั้งนี้ท่าทางจะยากมากนะครับ ผ่านไปหลายวันแล้วปกติต้องมีผู้เฉลยเกือบครบทุกข้อแล้ว
แต่คราวนี้เฉลยไปไม่กี่ข้อเอง หรือว่าจะมัวคิดแต่ข้อยากๆกันอยู่ เลยมองข้ามข้อง่ายไป
ผมจะช่วยเฉลยข้อที่อยากทำก่อน ซึ่งก็มีแต่ข้อง่ายๆทั้งนั้นเลย
ตอนที่1 ข้อ1.ค. ข้อ2.ก. ข้อ4.ก. ข้อ5.ง. ข้อ6.ก. ข้อ7.ง. ข้อ8.ข. ข้อ11.ข.
ข้อ12.ค. ข้อ14.ข. ข้อ15.ข. ข้อ16.ค. ข้อ17.ง. ข้อ18.ง. ข้อ19.ก. ข้อ20.ข.
ตอนที่2 ข้อ22. (-1,7/4) ข้อ23. 4/3 ข้อ29. 2150 ข้อ34. 125

[TOP]

ข้อ 35
ผมลองสมมติมีนักเรียนแค่ 2 คน คือหมายเลข 0 กับ 1 ผลที่ได้คือ $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^3 + \cdots = \frac{2}{3}$
สำหรับกรณี 80 คน ผมคาดหวังว่าขอบเขตบนและล่างในแต่ละรอบ จะมีพฤติกรรมเหมือนกับกรณี 2 คนเช่นกัน (คือขอบเขตบนและล่าง จะขยับเข้ามาครึ่งหนึ่งของระยะทางที่เหลือ) นั่นก็คือจะลู่เข้าหาค่า $1 + \frac{2}{3}(80-1) = 53\frac{2}{3}$

ผลจากการตรวจสอบด้วยคอมพิวเตอร์ได้ค่าคงที่นั้นคือ $53\frac{2}{3}$ จริง :laugh:

[M@gpie]

ข้อ 35. ผมยังคิดวิธีม.ปลายไม่ออกครับ คำตอบพี่ TOP ตรงกับวิธีผมครับใช้ Z-transform ฮ่าฮ่า

[gon]

เข้าใจข้อ 35 แล้วครับ เราสามารถใช้แนวคิดของการหา ตัวยืนยง (invariant) เพื่อแก้ปัญหานี้ได้
เริ่มแรกนิยามลำดับตามแบบที่ nooonuii เขียนไว้นะครับ

จากนั้นพิจารณา
$(*) \quad \Sigma_{i = 1}^{80} ia_{n+i} $
$= 1a_{n+1} + 2a_{n+2} + 3a_{n+3} + ... + 79a_{n+79} + 80a_{n+80}$

แต่ $80a_{n+80} = a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{n+79}$

ดังนั้น
$ (*) = 1a_{n+1} + 2a_{n+2} + 3a_{n+3} + ... + 79a_{n+79} + (a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{n+79})$

$= a_n + 2a_{n+1} + 3a_{n+2} + ... + 80a_{n+79}$

นั่นคือ $\Sigma_{i = 1}^{80} ia_{n+i} = \Sigma_{i = 1}^{80} ia_{n+i - 1}$ เป็นตัวยืนยง
$= .... = a_1 + 2a_2 + ... + 80a_{80} = 1^2 + 2^2 + ... + 80^2$

สมมติว่า $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ และให้มีนักเรียน m คน จะได้
$$\frac{m(m+1)}{2}L = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} \iff L = \frac{2m+1}{3}$$
ในที่นี่ m = 80 จะได้ L = 161/3 ซึ่งตรงกับที่ Top ใช้คอมพิวเตอร์ตรวจสอบและใช้เซ้นแบบแปลกๆ :great: (อ๊ะไม่ใช่ ต้องเรียกว่า penultimate step สินะ :laugh: )
Z-transform ผมไม่เคยอ่านนะครับ ถ้าน้อง M@gpie จะเขียนไว้ก็ดี อาจจะมีคนเข้าใจ :cool:

[RoSe-JoKer]

.... ข้อ 35 ลองใช้อุปนัยพิสูจน์ได้ไหมว่าถ้าเป็นกรณีแบบนี้ n คนจะได้ว่าลู่เข้า 2n+1/3

[bell18]

รู้สึกว่าจุดสนใจจะไปอยู่ที่ข้อ 35. นะครับ ข้ออื่นจึงไม่ค่อยมีใครสนใจเฉลย
แต่ว่าผมจะเฉลยคำตอบเพิ่มเติมอีก2ข้อ...
ข้อ3. ให้แทนค่า x ด้วย f(x) จะได้ $g(x) = (f(x))^2$ ตอบข้อ ก.ครับ
ส่วนข้อ10. ตอบ ข. ครับ

[nongtum]

ขอลงคำตอบทิ้งไว้ก่อนนะครับ แล้วจะมาเสริมวิธีทำ หรือมาแก้คำตอบหากมีคนแย้ง หากผมมีเวลาและมีเนตที่หอ(ซะที)
ที่แน่ๆผมคงต้องกลับไปเช็คคำตอบข้อ 28 และข้อ 31 อีกทีครับ

ตอนแรก

1. ค
2. ก
3. ก
4. ก
5. ง
6. ก
7. ง
8. ข
9. ค
10. ง
11. ข
12. ค
13. ค
14. ง
15. ข
16. ข
17. ง
18. ง
19. ก
20. ข

ตอนที่ 2

21. (b+a)/(b-a)
22. (-1,7/4)
23. 4/3
24. $\sqrt3$
25. 1583
26. 2,4,5,6
27. 20000
28. 52/3
29. 2350
30. 2520
31. 216
32. $\displaystyle{\frac{\pi^2\sin\theta}{\pi^2-2\pi\cos\theta+1}}$
33. $\frac14a^2$
34. 125
35. 161/3

[gon]

ข้อ 31 ผมคิดว่าในที่นี้หมายถึงจำนวนตั้งแต่ 1 ล้าน - 9999999 เท่านั้นนะครับ

ซึ่ง ยืนยันว่าคำตอบตรงกับคำตอบของคุณหยินหยาง คือ 216 จำนวน :cool:
ซึ่งมาจาก 3 + 24 + 63 + 78 + 39 + 9 = 216

นอกจากนี้ผมยังเขียนโปรแกรมด้วยภาษา C++ อย่างง่ายขึ้นมาเพื่อตรวจสอบความถูกต้องในแต่ละกรณีอีกดังนี้ครับ.


#include <iostream.h>
#include <conio.h>
void main()
{
clrscr();
int count;
count=0;

for(int a=1;a<=2;a++)
for(int b=0;b<=2;b++)
for(int c=0;c<=2;c++)
for(int d=0;d<=2;d++)
for(int e=0;e<=2;e++)
for(int f=0;f<=2;f++)
for(int g=0;g<=2;g++)
if ((a+b+c+d==1)&&(e+f+g==1)) count++;

cout << count;

getch();

}

[tani]

ขอวิธีทำข้อ 33 กับข้อ 25 ด้วยครับ

[nongtum]

ใช้แผนภาพเวนน์แจงตามตำแหน่งของ 0 ช่วยพิจารณาครับ
ให้ $\vec{BC}=\vec{a}$ ดังนั้น
$\begin{eqnarray}
\vec{MH}\cdot\vec{MA}&=&-(\frac{\vec{a}}{2}+\vec{CH})\cdot(\frac{\vec{a}}{2}+\vec{AB})\\
&=&-\frac{a^2}{4}-\frac{\vec{a}}{2}\cdot(\vec{CA}+\vec{AH}+\vec{AB})-\underbrace{\vec{CH}\cdot\vec{AB}}_{=\vec{0}}\\
&=&\frac{a^2}{4}-\underbrace{\frac{\vec{a}}{2}\cdot\vec{AH}}_{=\vec{0}}\\
&=&\frac{1}{4}a^2\\
\end{eqnarray}
$
จุดที่เกิดเวกเตอร์ศูนย์สองจุด ได้มาจากเงื่อนไขโจทย์ว่า่ส่วนสูงตั้งฉากกับฐานครับ

[gon]

สำหรับวิธีคิดข้อ 31 ของผมนะครับ :)


สมมติว่าจำนวน 7 หลักดังกล่าวอยู่ในรูป $a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0 $
หลังจากได้สมการ $a_6 + a_4 + a_2 + a_0 = a_5 + a_3 + a_1 = k , k = 1, 2, ... , 6$

โดยที่ $1 \le a_6 \le 2, 0 \le a_5,a_4,a_3,a_2,a_1,a_0 \le 2$

จากนั้นใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิด (generating function) คือ$ (x + x^2)(1 + x + x^2)^3$ และ $(1 + x + x^2)^3$ ตามลำดับ

เนื่องจาก$ (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2) + 6abc$

ดังนั้น $(1 + x + x^2)^3 = 1 + 3x + 6x^2 + 7x^3 + 6x^4 + 3x^5 + x^6$
นั่นคือ $(x+x^2)(1 + x + x^2)^3 = x + 4x^2 + 9x^3 + 13x^4 + 13x^5 + 9x^6 + 4x^7 + x^8$

จากนั้นหาผลบวกของผลคูณระหว่างสัมประสิทธิ์ของ x ที่ดีกรีเท่ากันคือ 1, 2, ... , 6
จึงได้ (3)(1) + (6)(4) + (7)(9) + (6)(13) + (3)(13) + (1)(9) = 216

หมายเหตุ นับโดยใช้หลักการนับตรงๆก็ำได้ครับ แต่ต้องทำนานหน่อย :rolleyes:

[tantawan]

ขอวิธีทำข้อ 13 ข้อ 14 และข้อ 16 ด้วยครับ ขอบคุณ:sweat: ครับ

[สมชาย]

ข้อ 13 ลองเอา A คูณกันเองซักครั้งสองครั้งน่าจะเห็นแนวโน้มครับ
ข้อ 16 กับ 29 ผมได้เท่าคุณ bell18 ครับ
ข้อ 16 น่าจะแยกเป็น 2 กรณี คือ 1. เด้กชายที่เหลือ2คนยืนติดกัน 2.เด็กชายที่เหลือ2คนยืนแยกกัน
ข้อ 25 ผมได้ 253 แต่ไม่รู้ถูกมั๊ยครับ
ข้อ 33 คิดไม่ออก ได้คุณ nongtum มาช่วยพอดี ขอบคุณครับ

[Mathopolis]

รู้สึกว่าจุดสนใจจะไปอยู่ที่ข้อ 35. นะครับ ข้ออื่นจึงไม่ค่อยมีใครสนใจเฉลย
แต่ว่าผมจะเฉลยคำตอบเพิ่มเติมอีก2ข้อ...
ข้อ3. ให้แทนค่า x ด้วย f(x) จะได้ $g(x) = (f(x))^2$ ตอบข้อ ก.ครับ
ส่วนข้อ10. ตอบ ข. ครับ

รบกวนแสดงวิธีทำข้อ 3 ให้ดูหน่อยได้มั้ยครับ เพราะผมตอบข้อ ข. (รบกวนหน่อยคร๊าบ:happy:)

[nongtum]

#31
เมื่อแทนค่าตามที่คุณ bell18 บอกจะได้ว่า $g\circ f^{-1}(f(x))=g(f^{-1}(f(x)))=g(x)=f^2(x)=(x^3+x)^2$ ครับ

[AmImA]

สำหรับวิธีคิดข้อ 31 ของผมนะครับ :)


สมมติว่าจำนวน 7 หลักดังกล่าวอยู่ในรูป $a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0 $
หลังจากได้สมการ $a_6 + a_4 + a_2 + a_0 = a_5 + a_3 + a_1 = k , k = 1, 2, ... , 6$

โดยที่ $1 \le a_6 \le 2, 0 \le a_5,a_4,a_3,a_2,a_1,a_0 \le 2$

จากนั้นใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิด (generating function) คือ$ (x + x^2)(1 + x + x^2)^3$ และ $(1 + x + x^2)^3$ ตามลำดับ

เนื่องจาก$ (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2) + 6abc$

ดังนั้น $(1 + x + x^2)^3 = 1 + 3x + 6x^2 + 7x^3 + 6x^4 + 3x^5 + x^6$
นั่นคือ $(x+x^2)(1 + x + x^2)^3 = x + 4x^2 + 9x^3 + 13x^4 + 13x^5 + 9x^6 + 4x^7 + x^8$

จากนั้นหาผลบวกของผลคูณระหว่างสัมประสิทธิ์ของ x ที่ดีกรีเท่ากันคือ 1, 2, ... , 6
จึงได้ (3)(1) + (6)(4) + (7)(9) + (6)(13) + (3)(13) + (1)(9) = 216



ช่วยอธิบายเพิ่มเติมเรื่องฟังก์ชันก่อกำเนิดที่ใช้ข้อนี้หน่อยครับ