ช่วยคิดหน่อยคับ

[deekrab]

กำหนดให้ x y เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ x^2+x=2y^2+y จงหาค่าของ x+y

[หยินหยาง]

คำตอบ $x+y = 24$

[nongtum]

สมการไดโอแฟนไทน์นี้มีคำตอบในรูปทั่วไป คือ $$x_n=-3x_{n-1}-4y_{n-1}-3,\quad y_n=-2x_{n-1}-3y_{n-1}-2$$ โดยที่ $(x_0,y_0)=(0,0)$ หรือ $(-1,0)$
เมื่อใช้ $(x_0,y_0)=(-1,0)$ เป็นตัวเริ่ม จะได้ว่า
$$\begin{array}{crr}
n&x_n&y_n\\
0&-1&0\\
1&0&0\\
2&-3&-2\\
3&14&10\\
4&-85&-60\\
5&492&348\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
\end{array}$$
วิธีหา สามารถรัน Web-based Java Applet ตัวนี้ (http://www.alpertron.com.ar/JQUAD.HTM)ดูได้ครับ มีสองโหมดคือเอาคำตอบในรูปทั่วไปเลย หรือให้แสดงแนวคิดครับ

[deekrab]

งั้นขอเป็นคำตอบน้อยสุดแล้วกันคับ วิธีคิดอะคับ

[nongtum]

#4
ให้สังเกตว่าสมการโจทย์สมมูลกับ $(2x+1)^2=(2y)^2+(2y+1)^2$ แล้วก็ไล่ค่า $y$ เช็คเงื่อนไขไปทีละตัวจะง่ายที่สุดครับ
ส่วนวิธีหารูปทั่วไปกดดูได้จากลิงค์ใน #3 ครับ

[หยินหยาง]

งั้นขอเป็นคำตอบน้อยสุดแล้วกันคับ วิธีคิดอะคับ

ลองคิดวิธีนี้ดู จากโจทย์ $x^2+x =2y^2+y$ จะได้ว่า
$x(x+1) = y(2y+1)$
เมื่อ x และ y เป็นจำนวนนับ จะได้ว่า $x(x+1)$ เป็นจำนวนคู่เสมอ และจะทำให้ y ต้องเป็นจำนวนคู่
ดังนั้น y = 2, 4, 6, 8, 10,...แล้วดูว่า y ค่าไหนสอดคล้องกับสมการดังกล่าว:yum:

[deekrab]

ขอบคุนนะคับ สำหรับแนวคิด
อีกข้อนึงคับ กำหนดให้ $x_1,x_2,...,x_{2008}$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งมีเพียงตัวเดียวที่มากกว่า 2008 และสอดคล้องกับสมการ
$x^2_1+x^2_2+...+x^2_{2008}=2008x_1x_2...x_{2008}$ จงหาค่าของ $x_1+x_2+...x_{2008}$

[Art_ninja]

ขอบคุนนะคับ สำหรับแนวคิด
อีกข้อนึงคับ กำหนดให้ $x_1,x_2,...,x_{2008}$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งมีเพียงตัวเดียวที่มากกว่า 2008 และสอดคล้องกับสมการ
$x^2_1+x^2_2+...+x^2_{2008}=2008x_1x_2...x_{2008}$ จงหาค่าของ $x_1+x_2+...x_{2008}$
ลองคิดดูน่ะครับ ช่วยแนะนำด้วยนะครับ:please:
ให้ $x_1,x_2,...,x_{2008}$ เป็นจำนวนเต็มบวก
จาก $x^2_1+x^2_2+...+x^2_{2008}=2008x_1x_2...x_{2008}$
แทนค่าทุกตัวด้วย 1 จะได้ว่าสมการเป็นจริง แต่โจทย์บอกว่า มีหนึ่งตัวที่มากกว่า 2008
แทนค่า $x_1,x_2,...,x_{2007}$ ด้วย $1$ จะได้
$x^2_{2008}-2008x_{2008}+2007=0$
ได้ว่า $x_{2008}=2007$
แทนค่า $x_1,x_2,...,x_{2006}$ ด้วย $1$ และ $x_{2007}$ ด้วย $2007$
ได้ว่า $x^2_{2008}+2006+2007^2=2008(2007)x_{2008}$
$x^2_{2008}-2008(2007)x_{2008}+2008(2007)-1=0$
$\therefore x_{2008}=2008(2007)-1$
ซึ่งตรงตามเงื่อนไข ดังนั้น
$x_1+x_2+...x_{2008}=2006+2007+2008(2007)-1=4034068$