TOP
02 กุมภาพันธ์ 2008, 22:03
บทความนี้เป็นการแก้ไขที่ผิด และปรับปรุงส่วนหนึ่งของบทความ เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์เรื่อง สมการกำลังสาม,สี่ (http://www.mathcenter.net/sermpra/sermpra07/sermpra07p01.shtml)
เคยแก้ระบบสมการ 2 ตัวแปร 2 สมการ ที่ซับซ้อนแบบนี้ไหม
\[\begin{array}{rcl}
x^3 + 2x^2 y + 2y(y - 2)x + y^2 - 4 & = & 0 \\
x^2 + 2xy + 2y^2 - 5y + 2 & = & 0
\end{array}\]
แค่เห็นก็ปวดหัวแล้วใช่ไหมครับ :rolleyes:
หากเป็นระบบสมการ 2 ตัวแปร 2 สมการ ที่เป็นพหุนามล้วนๆ เรามีวิธีแก้ปัญหานี้ได้ด้วย Resultant ซึ่งทำให้กำจัดตัวแปรออกไปได้หนึ่งตัว กลายเป็นสมการพหุนาม 1 ตัวแปร :died:
Resultant
สมมติว่าเรามีพหุนาม $f$ และ $g$ ที่มีดีกรี $m$ และ $n$ ตามลำดับ หรือ
\[\begin{array}{rcl}
f(x) & = & a_m x^m + a_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + a_0\\
g(x) & = & b_n x^n + b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_0
\end{array}\]
เราต้องการหารากคำตอบที่ทำให้ $f = 0$ และ $g = 0$ เป็นจริงทั้งสองสมการ รากคำตอบดังกล่าวจึงเป็นรากคำตอบที่ซ้ำกันของ $f = 0$ และ $g = 0$ เราจะมีวิธีหารากคำตอบเหล่านี้ได้อย่างไร
สมมติว่ารากคำตอบที่ซ้ำกันของ $f$ และ $g$ คือ $x_1 ,x_2 , \dots ,x_p $
$f$ และ $g$ จึงมี $h = (x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_p)$ เป็นตัวประกอบร่วม
หรือ $f = h \cdot f_1 $ และ $g = h \cdot g_1 $ โดย $f_1 $ และ $g_1 $ เป็นพหุนามที่มีดีกรี $m - p$ และ $n - p$ ตามลำดับ
เราจะสังเกตพบว่า $f \cdot g_1 = g \cdot f_1 = \frac{f \cdot g} {h}$ หรือ $f \cdot g_1 - g \cdot f_1 = 0$ เสมอ
ดังนั้นหากเราหา $f_1 $ หรือ $g_1 $ ได้ ก็จะหาตัวประกอบร่วม $h$ ได้ และรากคำตอบของ $h = 0$ จึงเป็นรากคำตอบที่เราต้องการนั่นเอง
เนื่องจาก $f_1 $ และ $g_1 $ มีดีกรีสูงสุดไม่เกิน $m - 1$ และ$n - 1$ ตามลำดับ จึงอาจสมมติให้
\[\begin{array}{rcl}
f_1 & = & \lambda _{m - 1} x^{m - 1} + \lambda _{m - 2} x^{m - 2} + \cdots + \lambda _0\\
g_1 & = & \mu _{n - 1} x^{n - 1} + \mu _{n - 2} x^{n - 2} + \cdots + \mu _0
\end{array}\]
จาก $f \cdot g_1 - g \cdot f_1 = 0$ เราอาจมองเป็น $f \cdot g_1 + g \cdot f_1 = 0$ ได้ (โดยเปลี่ยนเครื่องหมายหน้าสัมประสิทธิ์ของ $f_1 $ ให้ตรงข้ามทั้งหมด) แทนค่าพหุนามทั้งหมดลงไปจะได้
\[\begin{array}{l}
(a_m x^m + a_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + a_0)(\mu _{n - 1} x^{n - 1} + \mu _{n - 2} x^{n - 2} + \cdots + \mu _0)\\
+ (b_n x^n + b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_0)(\lambda _{m - 1} x^{m - 1} + \lambda _{m - 2} x^{m - 2} + \cdots + \lambda _0) = 0\\
(a_m \mu _{n - 1} + b_n \lambda _{m - 1})x^{m + n - 1} + (a_m \mu _{n - 2} + a_{m - 1} \mu _{n - 1} + b_n \lambda _{m - 2} + b_{n - 1} \lambda _{m - 1})x^{m + n - 2}\\
+ (a_m \mu _{n - 3} + a_{m - 1} \mu _{n - 2} + a_{m - 2} \mu _{n - 1} + b_n \lambda _{m - 3} + b_{n - 1} \lambda _{m - 2} + b_{n - 2} \lambda _{m - 1})x^{m + n - 3}\\
+ \cdots = 0
\end{array}\]
โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จะได้
\[\begin{array}{rcl}
a_m \mu _{n - 1} + b_n \lambda _{m - 1} & = & 0\\
a_m \mu _{n - 2} + a_{m - 1} \mu _{n - 1} + b_n \lambda _{m - 2} + b_{n - 1} \lambda _{m - 1} & = & 0\\
a_m \mu _{n - 3} + a_{m - 1} \mu _{n - 2} + a_{m - 2} \mu _{n - 1} + b_n \lambda _{m - 3} + b_{n - 1} \lambda _{m - 2} + b_{n - 2} \lambda _{m - 1} & = & 0\end{array}\]\[\begin{array}{c}\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}\]
หรือจัดรูปใหม่เป็น
\[\begin{array}{rcrcrcrcrcrlc}
a_m \mu _{n - 1} & & & & & + & b_n \lambda _{m - 1} & & & & & = & 0\\
a_{m - 1} \mu _{n - 1} & + & a_m \mu _{n - 2} & & & + & b_{n - 1} \lambda _{m - 1} & + & b_n \lambda _{m - 2} & & & = & 0\\
a_{m - 2} \mu _{n - 1} & + & a_{m - 1} \mu _{n - 2} & + & a_m \mu _{n - 3} & + & b_{n - 2} \lambda _{m - 1} & + & b_{n - 1} \lambda _{m - 2} & + & b_n \lambda _{m - 3} & = & 0\end{array}\]\[\begin{array}{c}\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}\]
หรือเขียนในรูปเมตริกซ์เป็น
\[\left[\begin{array}{cccccccc}a_m & 0 & \cdots & 0 & b_n & 0 & \cdots & 0\\
a_{m-1} & a_m & \cdots & \vdots & b_{n-1} & b_n & \cdots & \vdots\\
\vdots & a_{m-1} & \ddots & 0 & \vdots & b_{n-1} & \ddots & 0\\
a_0 & \vdots & \ddots & 0 & b_0 & \vdots & \ddots & 0\\
0 & a_0 & \ddots & a_m & 0 & b_0 & \ddots & b_n\\
0 & 0 & \ddots & a_{m-1} & 0 & 0 & \ddots & b_{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a_0 & 0 & 0 & \cdots & b_0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mu _{n-1} \\ \mu _{n-2} \\ \vdots \\ \mu _0 \\ \lambda _{m-1} \\ \lambda _{m-2} \\ \vdots \\ \lambda _0\end{array}\right] =\ 0\]
เราจะแก้สมการหาค่า $\mu , \lambda $ ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดได้ ก็ต่อเมื่อเมตริกซ์สัมประสิทธิ์ทางซ้ายมือหาอินเวอร์สไม่ได้ นั่นคือค่าดีเทอร์มิแนนท์เป็นศูนย์นั่นเอง และเนื่องจาก $\left| A \right| = \left| A^T \right|$ เราจึงได้เงื่อนไขง่ายๆที่ใช้ตรวจสอบได้ว่าจะแก้สมการหาค่า$\mu , \lambda $ ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดได้หรือไม่ คือ
จะแก้สมการหาค่า $\mu , \lambda $ ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดได้ ก็ต่อเมื่อ
\[\begin{array}{c}
\begin{array}{c}\ \\ \ \\ \rm{Resultant = }\\ \ \\ \end{array}
\end{array}
\begin{array}{c}
n \text{ แถว} \left\{\begin{matrix}\\ \\ \\ \\ \\ \end{matrix} \right. \\ m \text{ แถว} \left\{\begin{matrix}\\ \\ \\ \\ \\ \end{matrix} \right.
\end{array}
\left| \begin{array}{cccccccc}
a_m & a_{m-1} & \cdots & a_0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_m & a_{m-1} & \cdots & a_0 & 0 & \cdots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & a_m & a_{m-1} & \cdots & a_0 \\
b_n & b_{n-1} & \cdots & b_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & b_n & b_{n-1} & \cdots & b_0 & 0 & \cdots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & b_n & b_{n-1} & \cdots & b_0
\end{array} \right| = 0\]
แม้ว่าเราจะตรวจสอบได้ว่าเงื่อนไขนี้เป็นจริง แต่ก็ยังไม่มีวิธีการหาค่า $\mu , \lambda $ ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดออกมาได้ อย่างไรก็ตามหากเงื่อนไขนี้เป็นจริงแสดงว่า จะต้องมี $f_1 $ และ $g_1 $ ที่เราต้องการ นั่นคือพหุนาม $f$ และ $g$ จะมีรากคำตอบบางส่วนที่ซ้ำกันแน่นอน เรามาลองดูตัวอย่างการใช้งานเงื่อนไขนี้ดีกว่า
ตัวอย่าง 1 จงตรวจสอบว่าพหุนาม $f(x)$ และ $g(x)$ ข้างล่างนี้มีรากคำตอบบางส่วนซ้ำกันหรือไม่
$f(x) = x^2 + 3x + 2\,\,,\,\,g(x) = x^2 + 4x + 3$
เนื่องจาก $\left| \begin{array}{cccc}
1 & 3 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 2 \\
1 & 4 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3
\end{array} \right| = 0$
ดังนั้น $f(x)$ และ $g(x)$ มีรากคำตอบบางส่วนซ้ำกัน
ตัวอย่าง 2 จงหารากคำตอบของระบบสมการ
\[\begin{array}{rcl}
x^3 + 2x^2 y + 2y(y - 2)x + y^2 - 4 & = & 0 \\
x^2 + 2xy + 2y^2 - 5y + 2 & = & 0
\end{array}\]
เนื่องจากรากคำตอบของทั้งสองสมการคือ รากคำตอบบางส่วนที่ซ้ำกัน จึงใช้เงื่อนไขดังกล่าวตรวจสอบได้ และเนื่องจากดีกรีสูงสุดของ $y$ น้อยกว่า $x$ เราจึงจัดสมการทั้งสองใหม่โดยยึด $y$ เป็นหลัก (เพื่อให้มิติของเมตริกซ์ที่ได้ มีขนาดเล็ก) จะได้
\[\begin{array}{rcl}
(2x + 1)y^2 + (2x^2 - 4x)y + (x^3 - 4) & = & 0 \\
2y^2 + (2x - 5)y + (x^2 + 2) & = & 0
\end{array}\]
ดังนั้นระบบสมการดังกล่าวจะมีรากคำตอบบางส่วนซ้ำกันก็ต่อเมื่อ
\[\begin{array}{rcl}
\left|\begin{array}{cccc}
2x + 1 & 2x^2 - 4x & x^3 - 4 & 0 \\
0 & 2x + 1 & 2x^2 - 4x & x^3 - 4 \\
2 & 2x - 5 & x^2 + 2 & 0 \\
0 & 2 & 2x - 5 & x^2 + 2
\end{array}\right| & = & 0 \\
x^4 + 13x^3 + 56x^2 + 80x & = & 0\\
x(x + 5)(x + 4)^2 & = & 0\\
\therefore x = 0\textrm{ หรือ }x = - 5\textrm{ หรือ }x = - 4
\end{array}\]
แทนค่า $x$ ที่ได้ลงไปแล้วแก้สมการหาค่า $y$ ที่เหลือ จะได้รากคำตอบของระบบสมการคือ
\[\begin{array}{rcrcrcr}
x & = & 0 & , & y & = & 2\\
x & = & -4 & , & y & = & 2\\
x & = & -5 & , & y & = & 3\\
\end{array}\]
เคยแก้ระบบสมการ 2 ตัวแปร 2 สมการ ที่ซับซ้อนแบบนี้ไหม
\[\begin{array}{rcl}
x^3 + 2x^2 y + 2y(y - 2)x + y^2 - 4 & = & 0 \\
x^2 + 2xy + 2y^2 - 5y + 2 & = & 0
\end{array}\]
แค่เห็นก็ปวดหัวแล้วใช่ไหมครับ :rolleyes:
หากเป็นระบบสมการ 2 ตัวแปร 2 สมการ ที่เป็นพหุนามล้วนๆ เรามีวิธีแก้ปัญหานี้ได้ด้วย Resultant ซึ่งทำให้กำจัดตัวแปรออกไปได้หนึ่งตัว กลายเป็นสมการพหุนาม 1 ตัวแปร :died:
Resultant
สมมติว่าเรามีพหุนาม $f$ และ $g$ ที่มีดีกรี $m$ และ $n$ ตามลำดับ หรือ
\[\begin{array}{rcl}
f(x) & = & a_m x^m + a_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + a_0\\
g(x) & = & b_n x^n + b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_0
\end{array}\]
เราต้องการหารากคำตอบที่ทำให้ $f = 0$ และ $g = 0$ เป็นจริงทั้งสองสมการ รากคำตอบดังกล่าวจึงเป็นรากคำตอบที่ซ้ำกันของ $f = 0$ และ $g = 0$ เราจะมีวิธีหารากคำตอบเหล่านี้ได้อย่างไร
สมมติว่ารากคำตอบที่ซ้ำกันของ $f$ และ $g$ คือ $x_1 ,x_2 , \dots ,x_p $
$f$ และ $g$ จึงมี $h = (x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_p)$ เป็นตัวประกอบร่วม
หรือ $f = h \cdot f_1 $ และ $g = h \cdot g_1 $ โดย $f_1 $ และ $g_1 $ เป็นพหุนามที่มีดีกรี $m - p$ และ $n - p$ ตามลำดับ
เราจะสังเกตพบว่า $f \cdot g_1 = g \cdot f_1 = \frac{f \cdot g} {h}$ หรือ $f \cdot g_1 - g \cdot f_1 = 0$ เสมอ
ดังนั้นหากเราหา $f_1 $ หรือ $g_1 $ ได้ ก็จะหาตัวประกอบร่วม $h$ ได้ และรากคำตอบของ $h = 0$ จึงเป็นรากคำตอบที่เราต้องการนั่นเอง
เนื่องจาก $f_1 $ และ $g_1 $ มีดีกรีสูงสุดไม่เกิน $m - 1$ และ$n - 1$ ตามลำดับ จึงอาจสมมติให้
\[\begin{array}{rcl}
f_1 & = & \lambda _{m - 1} x^{m - 1} + \lambda _{m - 2} x^{m - 2} + \cdots + \lambda _0\\
g_1 & = & \mu _{n - 1} x^{n - 1} + \mu _{n - 2} x^{n - 2} + \cdots + \mu _0
\end{array}\]
จาก $f \cdot g_1 - g \cdot f_1 = 0$ เราอาจมองเป็น $f \cdot g_1 + g \cdot f_1 = 0$ ได้ (โดยเปลี่ยนเครื่องหมายหน้าสัมประสิทธิ์ของ $f_1 $ ให้ตรงข้ามทั้งหมด) แทนค่าพหุนามทั้งหมดลงไปจะได้
\[\begin{array}{l}
(a_m x^m + a_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + a_0)(\mu _{n - 1} x^{n - 1} + \mu _{n - 2} x^{n - 2} + \cdots + \mu _0)\\
+ (b_n x^n + b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_0)(\lambda _{m - 1} x^{m - 1} + \lambda _{m - 2} x^{m - 2} + \cdots + \lambda _0) = 0\\
(a_m \mu _{n - 1} + b_n \lambda _{m - 1})x^{m + n - 1} + (a_m \mu _{n - 2} + a_{m - 1} \mu _{n - 1} + b_n \lambda _{m - 2} + b_{n - 1} \lambda _{m - 1})x^{m + n - 2}\\
+ (a_m \mu _{n - 3} + a_{m - 1} \mu _{n - 2} + a_{m - 2} \mu _{n - 1} + b_n \lambda _{m - 3} + b_{n - 1} \lambda _{m - 2} + b_{n - 2} \lambda _{m - 1})x^{m + n - 3}\\
+ \cdots = 0
\end{array}\]
โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จะได้
\[\begin{array}{rcl}
a_m \mu _{n - 1} + b_n \lambda _{m - 1} & = & 0\\
a_m \mu _{n - 2} + a_{m - 1} \mu _{n - 1} + b_n \lambda _{m - 2} + b_{n - 1} \lambda _{m - 1} & = & 0\\
a_m \mu _{n - 3} + a_{m - 1} \mu _{n - 2} + a_{m - 2} \mu _{n - 1} + b_n \lambda _{m - 3} + b_{n - 1} \lambda _{m - 2} + b_{n - 2} \lambda _{m - 1} & = & 0\end{array}\]\[\begin{array}{c}\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}\]
หรือจัดรูปใหม่เป็น
\[\begin{array}{rcrcrcrcrcrlc}
a_m \mu _{n - 1} & & & & & + & b_n \lambda _{m - 1} & & & & & = & 0\\
a_{m - 1} \mu _{n - 1} & + & a_m \mu _{n - 2} & & & + & b_{n - 1} \lambda _{m - 1} & + & b_n \lambda _{m - 2} & & & = & 0\\
a_{m - 2} \mu _{n - 1} & + & a_{m - 1} \mu _{n - 2} & + & a_m \mu _{n - 3} & + & b_{n - 2} \lambda _{m - 1} & + & b_{n - 1} \lambda _{m - 2} & + & b_n \lambda _{m - 3} & = & 0\end{array}\]\[\begin{array}{c}\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}\]
หรือเขียนในรูปเมตริกซ์เป็น
\[\left[\begin{array}{cccccccc}a_m & 0 & \cdots & 0 & b_n & 0 & \cdots & 0\\
a_{m-1} & a_m & \cdots & \vdots & b_{n-1} & b_n & \cdots & \vdots\\
\vdots & a_{m-1} & \ddots & 0 & \vdots & b_{n-1} & \ddots & 0\\
a_0 & \vdots & \ddots & 0 & b_0 & \vdots & \ddots & 0\\
0 & a_0 & \ddots & a_m & 0 & b_0 & \ddots & b_n\\
0 & 0 & \ddots & a_{m-1} & 0 & 0 & \ddots & b_{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a_0 & 0 & 0 & \cdots & b_0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mu _{n-1} \\ \mu _{n-2} \\ \vdots \\ \mu _0 \\ \lambda _{m-1} \\ \lambda _{m-2} \\ \vdots \\ \lambda _0\end{array}\right] =\ 0\]
เราจะแก้สมการหาค่า $\mu , \lambda $ ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดได้ ก็ต่อเมื่อเมตริกซ์สัมประสิทธิ์ทางซ้ายมือหาอินเวอร์สไม่ได้ นั่นคือค่าดีเทอร์มิแนนท์เป็นศูนย์นั่นเอง และเนื่องจาก $\left| A \right| = \left| A^T \right|$ เราจึงได้เงื่อนไขง่ายๆที่ใช้ตรวจสอบได้ว่าจะแก้สมการหาค่า$\mu , \lambda $ ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดได้หรือไม่ คือ
จะแก้สมการหาค่า $\mu , \lambda $ ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดได้ ก็ต่อเมื่อ
\[\begin{array}{c}
\begin{array}{c}\ \\ \ \\ \rm{Resultant = }\\ \ \\ \end{array}
\end{array}
\begin{array}{c}
n \text{ แถว} \left\{\begin{matrix}\\ \\ \\ \\ \\ \end{matrix} \right. \\ m \text{ แถว} \left\{\begin{matrix}\\ \\ \\ \\ \\ \end{matrix} \right.
\end{array}
\left| \begin{array}{cccccccc}
a_m & a_{m-1} & \cdots & a_0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_m & a_{m-1} & \cdots & a_0 & 0 & \cdots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & a_m & a_{m-1} & \cdots & a_0 \\
b_n & b_{n-1} & \cdots & b_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & b_n & b_{n-1} & \cdots & b_0 & 0 & \cdots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & b_n & b_{n-1} & \cdots & b_0
\end{array} \right| = 0\]
แม้ว่าเราจะตรวจสอบได้ว่าเงื่อนไขนี้เป็นจริง แต่ก็ยังไม่มีวิธีการหาค่า $\mu , \lambda $ ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดออกมาได้ อย่างไรก็ตามหากเงื่อนไขนี้เป็นจริงแสดงว่า จะต้องมี $f_1 $ และ $g_1 $ ที่เราต้องการ นั่นคือพหุนาม $f$ และ $g$ จะมีรากคำตอบบางส่วนที่ซ้ำกันแน่นอน เรามาลองดูตัวอย่างการใช้งานเงื่อนไขนี้ดีกว่า
ตัวอย่าง 1 จงตรวจสอบว่าพหุนาม $f(x)$ และ $g(x)$ ข้างล่างนี้มีรากคำตอบบางส่วนซ้ำกันหรือไม่
$f(x) = x^2 + 3x + 2\,\,,\,\,g(x) = x^2 + 4x + 3$
เนื่องจาก $\left| \begin{array}{cccc}
1 & 3 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 2 \\
1 & 4 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3
\end{array} \right| = 0$
ดังนั้น $f(x)$ และ $g(x)$ มีรากคำตอบบางส่วนซ้ำกัน
ตัวอย่าง 2 จงหารากคำตอบของระบบสมการ
\[\begin{array}{rcl}
x^3 + 2x^2 y + 2y(y - 2)x + y^2 - 4 & = & 0 \\
x^2 + 2xy + 2y^2 - 5y + 2 & = & 0
\end{array}\]
เนื่องจากรากคำตอบของทั้งสองสมการคือ รากคำตอบบางส่วนที่ซ้ำกัน จึงใช้เงื่อนไขดังกล่าวตรวจสอบได้ และเนื่องจากดีกรีสูงสุดของ $y$ น้อยกว่า $x$ เราจึงจัดสมการทั้งสองใหม่โดยยึด $y$ เป็นหลัก (เพื่อให้มิติของเมตริกซ์ที่ได้ มีขนาดเล็ก) จะได้
\[\begin{array}{rcl}
(2x + 1)y^2 + (2x^2 - 4x)y + (x^3 - 4) & = & 0 \\
2y^2 + (2x - 5)y + (x^2 + 2) & = & 0
\end{array}\]
ดังนั้นระบบสมการดังกล่าวจะมีรากคำตอบบางส่วนซ้ำกันก็ต่อเมื่อ
\[\begin{array}{rcl}
\left|\begin{array}{cccc}
2x + 1 & 2x^2 - 4x & x^3 - 4 & 0 \\
0 & 2x + 1 & 2x^2 - 4x & x^3 - 4 \\
2 & 2x - 5 & x^2 + 2 & 0 \\
0 & 2 & 2x - 5 & x^2 + 2
\end{array}\right| & = & 0 \\
x^4 + 13x^3 + 56x^2 + 80x & = & 0\\
x(x + 5)(x + 4)^2 & = & 0\\
\therefore x = 0\textrm{ หรือ }x = - 5\textrm{ หรือ }x = - 4
\end{array}\]
แทนค่า $x$ ที่ได้ลงไปแล้วแก้สมการหาค่า $y$ ที่เหลือ จะได้รากคำตอบของระบบสมการคือ
\[\begin{array}{rcrcrcr}
x & = & 0 & , & y & = & 2\\
x & = & -4 & , & y & = & 2\\
x & = & -5 & , & y & = & 3\\
\end{array}\]