TOP
03 กุมภาพันธ์ 2008, 03:18
$\log 2 = ?$
คำถามนี้ง่ายจังเลยครับ แค่จิ้มเครื่องคิดเลขหรือเปิดตาราง logarithm ก็รู้แล้วว่า $\log 2 = 0.30102999566398119521373889472449$
แล้วค่าในตาราง logarithm มาจากไหนละ :confused: น่าจะมาจากการประมาณด้วยอนุกรมนะ เช่น
\[\ln x = 2\left(\frac{x-1}{x+1} + \frac{1}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3 + \frac{1}{5}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^5 + \cdots \right)\ ,\ x > 0\]
แต่หากเรามองย้อนกลับไปดูช่วงที่ John Napier ผู้คิดเรื่อง logarithm มีชีวิตอยู่คือ ค.ศ. 1550 - 1617 กับช่วงที่ Newton และ Leibniz ผู้คิดเรื่อง Calculus มีชีวิตอยู่คือ ค.ศ. 1643 - 1727 และค.ศ. 1646 - 1716 ตามลำดับ จะพบว่า สมัยที่ John Napier มีชีวิตอยู่นั้น ยังไม่มี Calculus ครับ ดังนั้นการหาค่า logarithm ด้วยการใช้อนุกรมแบบข้างบนจึงตัดทิ้งได้ เพราะไม่เป็นที่รู้จัก สมัยนั้นก็ไม่มีเครื่องคิดเลขด้วย การคำนวณทุกอย่างต้องใช้มือทั้งสิ้น และ John Napier ใช้เวลาถึง 20 ปี สร้างตาราง logarithm ของเขาขึ้นมา :died:
ปัญหาจึงมีอยู่ว่า หากต้องคำนวณค่า logarithm โดยไม่มีตาราง logarithm และไม่ใช้อนุกรมที่ได้จาก Calculus เราจะมีวิธีไหนคำนวณหาค่า logarithm ได้บ้าง :rolleyes:
วิธีหนึ่งที่ผมคิดได้ คือขอให้มีความรู้เรื่องการ บวก ลบ คูณ หาร และ ถอดรากที่สอง ก็สามารถหาค่า logarithm ได้แล้วละ จากนั้นก็อาศัยพลังเข้าฟาดฟันกับมัน :happy:
สมมติว่าเราจะหาค่า $\log 2$
ขั้นแรก เริ่มจากสร้างตาราง รากที่สองของ 10 ดังนี้
$\begin{array}{rcl}
10 & = & 10 \\
10^{1/2} & = & 3.1622776601683793319988935444327 \\
10^{1/2^2} & = & 1.7782794100389228012254211951927 \\
10^{1/2^3} & = & 1.3335214321633240256759317152953 \\
10^{1/2^4} & = & 1.1547819846894581796664828872955 \\
10^{1/2^5} & = & 1.0746078283213174972159415319643 \\
10^{1/2^6} & = & 1.0366329284376979972916517249253 \\
10^{1/2^7} & = & 1.0181517217181818414742268885788 \\
10^{1/2^8} & = & 1.0090350448414474377592544239064 \\
10^{1/2^9} & = & 1.0045073642544625156647946943413 \\
10^{1/2^{10}} & = & 1.0022511482929129154656736388666 \\
10^{1/2^{11}} & = & 1.0011249413998798758854264343657 \\
10^{1/2^{12}} & = & 1.0005623126022086366185113678096 \\
10^{1/2^{13}} & = & 1.0002811167877801323992573657697 \\
10^{1/2^{14}} & = & 1.0001405485169472581627711878589 \\
10^{1/2^{15}} & = & 1.0000702717894114355388136386765 \\
10^{1/2^{16}} & = & 1.0000351352774618566085823358616 \\
10^{1/2^{17}} & = & 1.0000175674844226738338472652737 \\
10^{1/2^{18}} & = & 1.0000087837036346121465743155693 \\
10^{1/2^{19}} & = & 1.000004391842173167236282001464 \\
10^{1/2^{20}} & = & 1.0000021959186755542033171375055
\end{array}$
ตารางข้างบนทำโดยใช้เครื่องคิดเลข สำหรับแม่ค้าขายของทั่วไปได้ง่ายมากครับ กดเลข 10 แล้วก็จิ้ม $\surd$ ไปเรื่อยๆเท่านั้นเอง :yum:
ต่อมาจึงพิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $2$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^2} = 1.7782794100389228012254211951927$
ยังขาดไปอีก $2 \div 1.7782794100389228012254211951927 = 1.1246826503806981607899020795534$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.1246826503806981607899020795534$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^5} = 1.0746078283213174972159415319643$
ยังขาดไปอีก $1.1246826503806981607899020795534 \div 1.0746078283213174972159415319643 = 1.0465982293629893761953411005278$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0465982293629893761953411005278$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^6} = 1.0366329284376979972916517249253$
ยังขาดไปอีก $1.0465982293629893761953411005278 \div 1.0366329284376979972916517249253 = 1.0096131433334941539874965186868$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0096131433334941539874965186868$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^8} = 1.0090350448414474377592544239064$
ยังขาดไปอีก $1.0096131433334941539874965186868 \div 1.0090350448414474377592544239064 = 1.0005729221150466131704544736729$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0005729221150466131704544736729$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^{12}} = 1.0005623126022086366185113678096$
ยังขาดไปอีก $1.0005729221150466131704544736729 \div 1.0005623126022086366185113678096 = 1.0000106035503279989646029820064$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0000106035503279989646029820064$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^{18}} = 1.0000087837036346121465743155693$
ยังขาดไปอีก $1.0000106035503279989646029820064 \div 1.0000087837036346121465743155693 = 1.000001819830708533209106719663$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.000001819830708533209106719663$ มากที่สุด
พบว่า ตารางที่ทำไว้ให้ความละเอียดมากกว่านี้ไม่ได้แล้ว จึงยุติเพียงเท่านี้
เราจึงได้ $10^{1/2^2 + 1/2^5 + 1/2^6 + 1/2^8 + 1/2^{12} + 1/2^{18}} = 10^{0.301029205322265625} = 1.9999963603452064891434777135859 \approx 2$
ดังนั้น $\log 2 \approx 0.301029205322265625$
ลองเปรียบเทียบกับค่าที่แม่นยำกว่าคือ $\log 2 = 0.30102999566398119521373889472449$
ก็จะเห็นว่าถูกต้องถึง ทศนิยมตำแหน่งที่ 6 :aah:
คำถามนี้ง่ายจังเลยครับ แค่จิ้มเครื่องคิดเลขหรือเปิดตาราง logarithm ก็รู้แล้วว่า $\log 2 = 0.30102999566398119521373889472449$
แล้วค่าในตาราง logarithm มาจากไหนละ :confused: น่าจะมาจากการประมาณด้วยอนุกรมนะ เช่น
\[\ln x = 2\left(\frac{x-1}{x+1} + \frac{1}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3 + \frac{1}{5}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^5 + \cdots \right)\ ,\ x > 0\]
แต่หากเรามองย้อนกลับไปดูช่วงที่ John Napier ผู้คิดเรื่อง logarithm มีชีวิตอยู่คือ ค.ศ. 1550 - 1617 กับช่วงที่ Newton และ Leibniz ผู้คิดเรื่อง Calculus มีชีวิตอยู่คือ ค.ศ. 1643 - 1727 และค.ศ. 1646 - 1716 ตามลำดับ จะพบว่า สมัยที่ John Napier มีชีวิตอยู่นั้น ยังไม่มี Calculus ครับ ดังนั้นการหาค่า logarithm ด้วยการใช้อนุกรมแบบข้างบนจึงตัดทิ้งได้ เพราะไม่เป็นที่รู้จัก สมัยนั้นก็ไม่มีเครื่องคิดเลขด้วย การคำนวณทุกอย่างต้องใช้มือทั้งสิ้น และ John Napier ใช้เวลาถึง 20 ปี สร้างตาราง logarithm ของเขาขึ้นมา :died:
ปัญหาจึงมีอยู่ว่า หากต้องคำนวณค่า logarithm โดยไม่มีตาราง logarithm และไม่ใช้อนุกรมที่ได้จาก Calculus เราจะมีวิธีไหนคำนวณหาค่า logarithm ได้บ้าง :rolleyes:
วิธีหนึ่งที่ผมคิดได้ คือขอให้มีความรู้เรื่องการ บวก ลบ คูณ หาร และ ถอดรากที่สอง ก็สามารถหาค่า logarithm ได้แล้วละ จากนั้นก็อาศัยพลังเข้าฟาดฟันกับมัน :happy:
สมมติว่าเราจะหาค่า $\log 2$
ขั้นแรก เริ่มจากสร้างตาราง รากที่สองของ 10 ดังนี้
$\begin{array}{rcl}
10 & = & 10 \\
10^{1/2} & = & 3.1622776601683793319988935444327 \\
10^{1/2^2} & = & 1.7782794100389228012254211951927 \\
10^{1/2^3} & = & 1.3335214321633240256759317152953 \\
10^{1/2^4} & = & 1.1547819846894581796664828872955 \\
10^{1/2^5} & = & 1.0746078283213174972159415319643 \\
10^{1/2^6} & = & 1.0366329284376979972916517249253 \\
10^{1/2^7} & = & 1.0181517217181818414742268885788 \\
10^{1/2^8} & = & 1.0090350448414474377592544239064 \\
10^{1/2^9} & = & 1.0045073642544625156647946943413 \\
10^{1/2^{10}} & = & 1.0022511482929129154656736388666 \\
10^{1/2^{11}} & = & 1.0011249413998798758854264343657 \\
10^{1/2^{12}} & = & 1.0005623126022086366185113678096 \\
10^{1/2^{13}} & = & 1.0002811167877801323992573657697 \\
10^{1/2^{14}} & = & 1.0001405485169472581627711878589 \\
10^{1/2^{15}} & = & 1.0000702717894114355388136386765 \\
10^{1/2^{16}} & = & 1.0000351352774618566085823358616 \\
10^{1/2^{17}} & = & 1.0000175674844226738338472652737 \\
10^{1/2^{18}} & = & 1.0000087837036346121465743155693 \\
10^{1/2^{19}} & = & 1.000004391842173167236282001464 \\
10^{1/2^{20}} & = & 1.0000021959186755542033171375055
\end{array}$
ตารางข้างบนทำโดยใช้เครื่องคิดเลข สำหรับแม่ค้าขายของทั่วไปได้ง่ายมากครับ กดเลข 10 แล้วก็จิ้ม $\surd$ ไปเรื่อยๆเท่านั้นเอง :yum:
ต่อมาจึงพิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $2$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^2} = 1.7782794100389228012254211951927$
ยังขาดไปอีก $2 \div 1.7782794100389228012254211951927 = 1.1246826503806981607899020795534$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.1246826503806981607899020795534$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^5} = 1.0746078283213174972159415319643$
ยังขาดไปอีก $1.1246826503806981607899020795534 \div 1.0746078283213174972159415319643 = 1.0465982293629893761953411005278$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0465982293629893761953411005278$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^6} = 1.0366329284376979972916517249253$
ยังขาดไปอีก $1.0465982293629893761953411005278 \div 1.0366329284376979972916517249253 = 1.0096131433334941539874965186868$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0096131433334941539874965186868$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^8} = 1.0090350448414474377592544239064$
ยังขาดไปอีก $1.0096131433334941539874965186868 \div 1.0090350448414474377592544239064 = 1.0005729221150466131704544736729$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0005729221150466131704544736729$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^{12}} = 1.0005623126022086366185113678096$
ยังขาดไปอีก $1.0005729221150466131704544736729 \div 1.0005623126022086366185113678096 = 1.0000106035503279989646029820064$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0000106035503279989646029820064$ มากที่สุด
จะได้ $10^{1/2^{18}} = 1.0000087837036346121465743155693$
ยังขาดไปอีก $1.0000106035503279989646029820064 \div 1.0000087837036346121465743155693 = 1.000001819830708533209106719663$
พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.000001819830708533209106719663$ มากที่สุด
พบว่า ตารางที่ทำไว้ให้ความละเอียดมากกว่านี้ไม่ได้แล้ว จึงยุติเพียงเท่านี้
เราจึงได้ $10^{1/2^2 + 1/2^5 + 1/2^6 + 1/2^8 + 1/2^{12} + 1/2^{18}} = 10^{0.301029205322265625} = 1.9999963603452064891434777135859 \approx 2$
ดังนั้น $\log 2 \approx 0.301029205322265625$
ลองเปรียบเทียบกับค่าที่แม่นยำกว่าคือ $\log 2 = 0.30102999566398119521373889472449$
ก็จะเห็นว่าถูกต้องถึง ทศนิยมตำแหน่งที่ 6 :aah: