ข้อสอบทุนคิง51บางข้อ

[Sophia_Venus]

มาช่วยกันทำข้อสอบทุนคิงข้อนี้หน่อยค่ะ
1. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลางที่ (a,b) เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง ถ้าพาราโบลา y = x^2 มีจุดร่วมกับวงกลมนี้ 3 จด ที่แตกต่างกันคือจุด (0,0) และอีก 2 จุดอยู่บนเส้นตรง y =x+ b แล้ว วงกลมนี้มีรัศมีกี่หน่วย
2. จงหาพหุนาม p(x) ทั้งหมดที่มี สปส เป็นจำนวนจริง และสอดคล้องกับ (x-4)P(2x) =4(x-1)P(x)
3. ให้ f(x) =x^2 +2bx +1 และ g(x) = 2a(x+b) จงหาคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดที่ทำให้ กราฟทั้งสอง ไม่ ตัดกัน
4. ถ้า x อยู่ในช่วงปิด 0 ถึง 2ไพ และสอดคล้องกับ (sin(x/2))(sin(x/2)-cos(x/2))(cosx -sinx ) >0

[RoSe-JoKer]

2.
แทน $x=4$ เราได้ว่า
$P(4)=0$
แทน $x=2$ เราได้ว่า
$P(2)=0$
แทน $x=1$
เราได้ว่า
$-3P(2)=0=4(1-1)P(1)=0$ ซึ่งทำให้เราสรุปไม่ได้ว่า $P(1)=0$ หรือไม่
จึงสรุปได้ว่า
$P(x)=c(x-2)(x-4) ;c\in R-{0}$
เป็นพหุนามทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข

[หยินหยาง]

2.

จึงสรุปได้ว่า
$P(x)=c(x-2)(x-4) ;c\in R-{0}$
เป็นพหุนามทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข

แล้วกรณ๊อย่างนี้ใช้ได้ไหมครับ
$P(x)=c(x-2)^n(x-4)^k ;c\in R-{0} ; n,k \in N$

[t.B.]

ขอลบที่แสดงวิธีทำข้อ1ทิ้งนะครับ เพราะผิด - -*
ข้อ1.มีวิธีถึกอีกวิธี คือหาจุดตัดของเส้นตรงกับพาลาโบล่า แล้วแทนเข้าในสมการวงกลมหา a,b ได้
ข้อ3.ถ้าให้ f(x)=g(x) แล้ว ดิสครีมิแนนติดลบ จะไม่ทำให้เกิดรากจริง กราฟก็จะไม่ตัดกัน
ข้อ4.แ่บ่งได้ 4 กรณี
กรณี1 $sin\frac{x}{2} >0,sin\frac{x}{2} -cos\frac{x}{2} >0,cosx-sinx>0 -->x\in (\frac{5\pi }{4} ,2\pi ) $
กรณี2 $sin\frac{x}{2} <0,sin\frac{x}{2} -cos\frac{x}{2} <0,cosx-sinx>0 -->x= \varnothing $
กรณี3 $sin\frac{x}{2} <0,sin\frac{x}{2} -cos\frac{x}{2} >0,cosx-sinx<0 -->x=\varnothing $
กรณี4 $sin\frac{x}{2} >0,sin\frac{x}{2} -cos\frac{x}{2} <0,cosx-sinx<0 -->x\in (\frac{\pi }{2} ,\frac{5\pi }{4} )$
รวม 4 กรณี $x\in (\frac{\pi }{2} ,\frac{5\pi }{4} ) \cup(\frac{5\pi }{4} ,2\pi ) $

[RoSe-JoKer]

แล้วกรณ๊อย่างนี้ใช้ได้ไหมครับ
$P(x)=c(x-2)^n(x-4)^k ;c\in R-{0} ; n,k \in N$
ลองแทนลงไปในสมการเพื่อตรวจคำตอบสิครับ แล้วเราก็จะเห็นว่า n กับ k ต้องเป็นเท่าไหร่หนอ...ลองไปคิดดูเองนะครับ

[หยินหยาง]

ข้อ4.แ่บ่งได้ 4 กรณี
กรณี1 $sin\frac{x}{2} >0,sin\frac{x}{2} -cos\frac{x}{2} >0,cosx-sinx>0 -->x\in (\frac{5\pi }{4} ,2\pi ] $
กรณี2 $sin\frac{x}{2} <0,sin\frac{x}{2} -cos\frac{x}{2} <0,cosx-sinx>0 -->x= \varnothing $
กรณี3 $sin\frac{x}{2} <0,sin\frac{x}{2} -cos\frac{x}{2} >0,cosx-sinx<0 -->x=\varnothing $
กรณี4 $sin\frac{x}{2} >0,sin\frac{x}{2} -cos\frac{x}{2} <0,cosx-sinx<0 -->x\in (\frac{\pi }{4} ,\frac{5\pi }{4} )$
รวม 4 กรณี $x\in (\frac{\pi }{4} ,\frac{5\pi }{4} ) \cup(\frac{5\pi }{4} ,2\pi ] $
แทนค่า $x=\frac{\pi }{2}, 2\pi $ ลงในอสมการที่ว่าแล้วไม่จริงครับ

[t.B.]

โอ้ต้องขอบคุณมากที่่ช่วยตรวจดูให้:please: แก้ไขให้แล้วครับ ที่ตอนแรกได้ช่วงผิดเพราะ ไปอินเตอเซกช่วงกับช่วงของ $\frac{x}{2} $ส่วน $x\not= 2\pi$ นั้นเป็นของช่วงที่ $sin\frac{x}{2} >0 $ ครับ ซึ่งลืมอินเตอเซกอีกเช่นกัน:nooo: