ข้อสอบทุนเรียนดีวิทยาศาสตร์

[alpha]

เป็นข้อสอบทุนเรียนดีวิทยาศาสตร์ของสมาคมวิทยาศาสตร์แห่งประเทศไทยครับ จำออกมา ไม่แน่ใจเหมือนกันว่าจำผิดบ้างมั้ย
แต่ที่แน่ๆ คือ ยากมากๆ ครับ ตอนไปทำนึกว่ากำลังสอบโอลิมปิกรอบ 2 ซะอีก
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000573-000000.jpg

[alpha]

ต่อครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000573-000001.gif

[M@gpie]

ขอข้อ 8 ก่อนนะ
จาก adjA = (detA)A-1
จะได้
det(adjA) = det((detA)A-1)
=(detA)ndet(A-1)
= (detA)n-1
แทนค่า A ด้วย A-1
จะได้ det(adj(A-1)) = (det(A)-1)n-1 = (detA)1-n # ตามต้องการ

[M@gpie]

ข้อ 7 ต่อคับ
จากโจทย์จะได้ว่า
5+2[:sqrt]6 = ([:sqrt]3+[:sqrt]2)2
[:sqrt]3-[:sqrt]2 =([:sqrt]3+[:sqrt]2)-1 แทนค่าลงในโจทย์จะได้
|([:sqrt]3+[:sqrt]2)2x-10(([:sqrt]3+[:sqrt]2)-1)-x +2| = |([:sqrt]3+[:sqrt]2)2x-10(([:sqrt]3+[:sqrt]2)-1)-x +1| +1
จะได้สมการเป็น
|([:sqrt]3+[:sqrt]2)2x-10([:sqrt]3+[:sqrt]2)x +2| = |([:sqrt]3+[:sqrt]2)2x-10([:sqrt]3+[:sqrt]2)x +1| +1

และให้ y= ([:sqrt]3+[:sqrt]2)2x -10([:sqrt]3+[:sqrt]2)x
จะได้โจทย์เป็น |y+2|-|y+1|=1 แก้สมการจะได้ y[:greateq]-1
แทนค่า y จะได้ ([:sqrt]3+[:sqrt]2)2x -10([:sqrt]3+[:sqrt]2)x +1[:greateq] 0

ให้ z=([:sqrt]3+[:sqrt]2)x จะได้ อสมการ
z2-10z+1[:greateq]0
แยกตัวประกอบจะได้ (z-(5-2[:sqrt]6))(z-(5+2[:sqrt]6))[:greateq]0
แก้อสมการจะได้ว่า
z[:lesseq]5-2[:sqrt]6 ดังนั้น ([:sqrt]3+[:sqrt]2)x [:lesseq] ([:sqrt]3+[:sqrt]2)-2 จะได้ x[:lesseq]-2
หรือ z[:greateq]5+2[:sqrt]5ดังนั้น ([:sqrt]3+[:sqrt]2)x [:greateq] ([:sqrt]3+[:sqrt]2)2 จะได้ x[:greateq]2
เซตคำตอบคือ (-[:infinity],-2][:union][2,[:infinity]) #

เป็นโจทย์ที่ถึกดีจิงๆ ถ้าผิดขออภัยนะคร้าบ

[M@gpie]

อ่าข้อนี้ ทำให้มองยากจิงๆ ลองดูคับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000573-000004.gif

[M@gpie]

ข้อ 3 เอารูปก่อนนะ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000573-000005.jpg

[M@gpie]

มาแล้วๆที่เหลือยังคิดไม่ออก ได้แค่นี้ก่อนนะ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000573-000006.gif

[alpha]

เท่าที่ดูมา ข้อ 8 ง่ายสุดครับ ระดับสมาชิกของที่นี่น่าจะคิดกันได้ทุกคน และตอนทำผมมั่นใจข้อ 8 ที่สุดซะด้วย ที่คุณ M@gpie ทำก็ถูกเป๊ะครับ
ส่วนข้อ 7 ตรงที่แก้สมการ |y+2|-|y+1|=1 ขอตินิดนึงครับ ตรงนี้ถ้าไปทำข้อสอบจริงคงโดนไปหลายคะแนนเพราะการแก้สมการไม่แสดงวิธีแก้ด้วย จริงๆ แล้วตรงนี้เป็นจุดที่สวยงามมาก หลักการคือ มองเป็น|y+2|=|y+1|+|1| แล้วเทียบกับอสมการ |y+2|[:lesseq]|y+1|+|1|
ซึ่ง [:lesseq] จะกลายเป็น = ก็ต่อเมื่อ (y+1)x1[:greateq] 0
แล้วจึงแก้อสมการนี้ต่อครับ สุดท้ายรู้สึกว่าคำตอบจะตรงกับของผม ข้ออื่นค่อยดูให้นะครับ เดี๋ยวจะไปโรงเรียนแล้ว

[M@gpie]

ขอบคุณสำหรับคำแนะนำคับ คือว่าที่ไม่แก้สมการอย่างละเอียดเป็นเพราะว่า เผื่อให้คนที่สนใจลองแก้ดู จะได้เป็นการตรวจคำตอบไปในตัวครับ ไม่ใช่มองแล้วตอบ(พระเจ้าเกินไป) ส่วนข้อสุดท้ายนี้ไม่มั่นใจจิงๆนะเนี่ย ขี้เกียจกระจายออกมาตรงๆ ถึกมาก
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000573-000008.gif

[M@gpie]

โจทย์ข้อนี้สรุปว่าเป็นฟังก์ชั่นคี่ (ไม่แน่ใจว่าจะเป็นฟังกฺ์ชั่นคู่ด้วยรึเปล่า ฟังก์ชั่นเดียวทั้งคู่้ทั้งคี่อาจจะมีก็ได้ เหอๆๆ) ดังแสดง
ส่วนการหาอินเวอร์สยังงมโข่งอยู่ครับ ข้ออื่นๆก็หาทางแงะไม่ออกแย้ว ใึครคิดได้เพิ่มช่วยลงด้วยนะคร้าบ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000573-000009.gif

[alpha]

ถ้าจำไม่ผิด ข้อ 10 ตอบ 4 ถูกแล้วครับ แต่เสียดายตอนทำผมลืมหาไปพจน์นึง ผมคิดอย่างงี้นะ
ก้อนที่กำลัง 4 แยกเป็น กำลัง 3 กับ กำลัง 1
แล้วก็เอากำลัง 3 คูณเข้าด้วยกันเป็นก้อนใหญ่ๆ ทั้งหมด กำลัง 3
แล้วเอาก้อนกำลัง 3 ก้อนใหม่นี่ คูณไปในก้อนกำลัง 1 แบบติดไว้อย่างงั้น
อยู่ในรูป x2(.......)3+1(......)3
โดยที่ (....)คือผลคูณของ 2 อันนั้นครับ ขี้เกียจพิมพ์
ทีนี้ก็มองหาสปส x13ของก้อน x2(.......)3 เพื่อที่ x13 จะได้คูณกับ x2 เป็นกำลัง 15
ส่วนก้อน 1(......)3 หา x15 ตรงๆ ครับโดยใช้สปส อเนกนาม
สุดท้ายเอามาบวกกันก็จะได้ 4

ข้อฟังก์ชันคู่-คี่ คิดว่าตอบคี่แหละครับ ไปตรวจสอบโดยให้เครื่องคอมวาดกราฟดูแล้วไม่มีสภาพของฟังก์ชันคู่เลย (ฟังก์ชันคู่นี่เช่น x2 ส่วนคี่นี่ก็เช่น x3) วิธีที่ทำมาก็ถูกครับ
ส่วนฟังก์ชันอินเวอร์สตอนแรกก็คิดไม่ออกครับ แต่พอวาดกราฟพบว่า f(x) ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1 และก็พอมีเหตุผลง่ายๆโดยไม่ต้องวาดกราฟคือ x อยู่หลังฟังก์ชันตรีโกณ ซึ่งไม่มีความเป็น 1-1 ดังนั้น f-1(x) จึงไม่เป็นฟังก์ชันครับ

[M@gpie]

คุณ alpha มีเมล์มั้ยเล่น msn มั้ยแอดไว้คุยกันขอๆๆ

[<ชอบเลข>]

ดีจังไม่เหงามีการโต้ตอบ เอาโจทย์แบบนี้มาเยอะๆนะครับชอบมากๆไม่เหงาดี แม็คพายไฟแรงนะครับ เห็นแล้วครึกครื้นดี บอร์ดวิชาการควรมีชีวิตชีวาแบบนี้นะครับ แข่งๆกันทำ เหมือนเล่นเกมเลย มีแบบอัลฟ่า กับแม็คพายเยอะๆหนุกดี

[alpha]

เมล์ผม k_thongsonkreeb@hotmail.com
เมื่อก่อนมีคนตอบกระทู้เยอะแยะมากมายครับ เดี๋ยวนี้ไม่ทราบว่าไปไหนกันหมดแล้วล่ะ ตั้งแต่เว็บเจ๊งก็หายไปเกือบหมดครับ ขนาดผมาเอาข้อสอบโอลิมปิกปี 46 รอบ 2 บางส่วนยังมีคนมาดูแค่2-3คนเอง

[alpha]

มีใครดูออกรึยังว่าโจทย์ข้อ 2 ผิดตรงไหน นิดเดียวจริงๆครับข้อนี้ ถ้าใครไม่ทำ 2.2 ก่อนอาจดูไม่ออกเลยว่าตรงไหน (วิธีทำข้อ 2.2 สวยงามมากเลย)

ข้อที่เป็นเวคเตอร์คิดว่าคงถูกแล้วครับ

ข้อวงกลม 2 วง...ผมไม่เคยรู้เลยนะเนี่ยว่า ถ้าจุดอยู่ทางซ้ายของเส้นตรง ในค่าสัมบูรณ์จะเป็นลบ เดี๋ยวขอไปดูให้แน่ใจก่อนดีกว่า

ข้อ 1,7 ยากมากเลยนะ เด็ก สอวน.ที่ไปสอบของสนามสอบ ม.สงขลาฯน็อคกับ 2 ข้อนี้หมดเลย

[M@gpie]

สงสัยเวบกำลังอยุ่ในระยะฟื้นตัว ว่าแต่ อึ้งๆข้อ 1,2,7
ส่วนข้อ 9 ให้หาความน่าจะเป็น ไม่เข้าใจโจทย์เลยข้อมูลน้อย

[sck]

ผมว่าข้อ 9 โจทย์น่าจะไม่ครบนะครับ
ไม่รู้เหมือนกัน เหมือนไม่สามารถหาคำตอบได้
หรือคิดไม่ได้เองก็ไม่รู้

[TOP]

ข้อ 7
ให้เส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองคือ y = ax + b
จุดตัดของเส้นตรงกับเส้นโค้งเป็นคำตอบของสมการ x4 - 2x2 + x = ax + b
จัดเทอมใหม่จะได้ (x2 - 1)2 = (a - 1)x + (b + 1) = Ax + B
ถึงตรงนี้ มองให้ออกว่าจุดที่ต้องการ อยู่บน x เดียวกันกับ 2 จุดที่แตกต่างกันบนเส้นโค้ง y(x) = (x2 - 1)2 ที่มีเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ 2 จุดนั้นเป็นเส้นตรงเดียวกัน

ลองวาดกราฟ y = (x2 - 1)2 จะเห็นได้ชัดว่า เส้นตรงดังกล่าวมีเพียงเส้นเดียวคือ y = 0 และตัดเส้นโค้งที่ x = [:plusminus]1
ดังนั้น จะได้ a = 1 และ b = -1 หรือเส้นตรงที่เราต้องการคือ y = x - 1
แทนค่า x = [:plusminus]1 ลงไปจะได้จุดตัด อยู่ที่พิกัด (-1 , -2) และ (1 , 0) นั่นเอง :)

[M@gpie]

อ่า ต้องวาดกราฟด้วย y= (x2+1)2 ถ้าใช้แคลวาดกว่าจะได้คำตอบต้องตายแน่ๆเลย

[gon]

ตอบข้อ 1. ต่อให้ล่ะกันนะครับ.
z3 = -(a1z2 + a2z + a3)
[:therefore] |z|3 = |a1z2 + a2z + a3 |[:lesseq] |a1z2 | + | a2z | + | a3 |
ไม่ว่า Max จะเป็นค่าใดก็ตามทีใน 3 ค่าดังกล่าว สมมติว่าให้ A = | a1 | ล่ะกัน แสดงว่า
|z|3 [:lesseq] |a1z2 | + | a1z | + | a1 | = | a1 | [ |z|2 + |z| + 1 ] = A [ |z|2 + |z| + 1 ]
[:because] |z|3 - 1 < |z|3
[:therefore] |z|3 - 1 < |z|3 [:lesseq] A [ |z|2 + |z| + 1 ]
[:therefore] (|z| - 1)(|z|2 + |z| + 1) < A [ |z|2 + |z| + 1 ] ( ถ้า x < y [:lesseq]z แล้ว x < z)
[:therefore] |z| - 1 < A [:right] |z| < 1 + A

[M@gpie]

เหนือชั้นจิงๆ ข้อ 1 เนี่ย เหอๆ

[gon]

ต่อให้หมดนะครับ. จะได้ไม่มีปัญหาคาใจกัน

ข้อ 5. ถ้าจะหาจะอินเวอร์สและถูกบังคับให้มาเราก็คงต้องเลือกช่วงที่มันเป็นฟังก์ชัน 1 - 1 เช่นในช่วง (-[:pi]/2, [:pi]/2) ซึ่งได้มาจากการแก้อสมการ tan x + sec x > 0 จากนั้น y = ln(tanx + secx) หาอินเวอร์สแสดงว่า x = tany + sec y
ดังนั้น sec y + tan y = ex ...(1)
จากเอกลักษณ์ sec2y - tan2y = 1 ...(2)
นำสมการ (2) หารด้วย 1 ก็จะได้อีกสมการซึ่งเมื่อนำไปบวกกับสมการ (1) ก็จะได้ค่า y ออกมาแล้วแต่ว่าจะตอบติด arcsec หรือ arccos
อ้อ. มีเพียงแค่ฟังก์ชันเดียวที่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และคี่ คือ f(x) = 0 เท่านั้น เพราะ (พิจารณานิยาม จับสมการมาเท่ากัน)

อ้อ. บอกน้อง alpha สักหน่อย เรื่องเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ เดี๋ยวจะเข้าใจผิดกันไป มันไม่เกี่ยวกันว่าจุดจะอยู่ทางซ้ายหรือทางขวามือของเส้นตรงครับ. ในสูตร d = | Ax + By + C | / ... นั้น เครื่องหมายค่าของ Ax + By + C มันอาจจะเป็นบวก, ศูนย์ , หรือลบ แต่มันมี Absolute อยู่ ดังนั้น ถ้าต้องการปลด Absolute ออกก็ต้องปลดตามหลักการของค่าสัมบูรณ์ กล่าวคือ | x | = x เมื่อ x [:greateq] 0 และ = -x เมื่อ x < 0 เช่น ถ้าจะหาระยะทางระหว่างจุด (-2, 1) กับเส้นตรง x - 2y - 1 = 0 ก็พิจารณาว่าจุด (-2, 1) มันอยู่ในอสมการใดระหว่าง x - 2y - 1 > 0 กับ x - 2y -1 < 0 ซึ่งจะพบว่าสอดคล้องกับ x - 2y - 1 > 0 นั่นคือแสดงว่า | x - 2y - 1 | = x - 2y - 1 เป็นต้น.

ข้อ 2. นั้นดูบรรทัดแรกก็รู้ว่าโจทย์ผิดแล้วครับ. เพราะแค่ n = 1 มันก็ไม่ตรงกับ Sn ที่ให้มาแล้วครับ คำตอบข้อ 2.1 พิจารณาสมการ n(n + 1) = 4006 จะได้ว่า n = 62. กว่า ๆ ดังนั้น n น้อยสุดคือ 63 ส่วนข้อ 2.2 ก็จัดรูปแล้วก็ใช้สูตรซิกมากำลังสอง

ข้อ 9. ดูท่าทางโจทย์จะไม่ครบจริงๆ ไม่งั้นแล้ว คำตอบคงมีได้หลายคำตอบที่เป็นไปได้ในกรณีต่าง ๆ

[M@gpie]

ต้องขอบคุณพี่ gon ที่อธิบายนะครับ แต่ว่าผมพิจารณาง่ายๆ เลยบอกว่า อยู่ทางซ้าย (คือพื้นที่ที่ทำให้เป็นลบ) จะได้สะดวก เหมือนเวลาเราทำโจทย์กำหนดการเชิงเส้นน่ะ เราอยากรู้บริเวณไหนมากกว่าก็เอาจุดไปลองแทนค่า นั่นแหละ เหมือนกัน

อืมข้อ 9 ก็คิดเหมือนกันนะคับ เพราะว่ามันเป็นไปได้หลายกรณีมากจิงๆ เลยไม่คิดซะเลย

[<รักเร่>]

สวัสดีครับ ยังไม่ได้สมัครสมากชิกครับ แต่มีปัญหารบกวนพี่ๆเพื่อน ครับ
1 (cos1,sin1)=(?,?) ( หน่วยของมุมเป็นองศา)
2 จงแสดงว่า tan(3pi/11)+4sin(2pi/11)=sqrt(11)
ขอโทษด้วยนะครับ เพราะยังไม่ได้สมัครสมาชิก เลยต้องมารบกวนในกระทู้นี้ ขอบคุณ พี่ๆ เพื่อนๆ ล่วงหน้า ครับ

[M@gpie]

เอ่อ คือว่า
Cos1 กับ Sin1 หาค่าเป็นองศายังไงอ่ะ ไม่รู้เหมือนกัน แต่ถ้าหาค่าเป็นเรเดียนก็ใช้ เทย์เลอร์ประมานค่าละกันนะ

[<รักเร่>]

หาแบบใช้ความรู้ ม.5 อะครับ ที่เขาให้หา cos72 ิอะไรแบบนี้อะครับ

[gon]

ปัญหาข้อที่ 1.ของคุณรักเร่ ถ้าไม่ได้ใช้ความรู้ ม.ปลายคงทำแบบหา cos 72[:degree]อะไรนั่นไม่ได้หรอกครับ

ส่วนปัญหาข้อที่ 2. เคยตอบไปแล้วใน http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=122 แต่เมื่อครู่ลองไปดูปรากฏว่ารูปมันหายไป สงสัยคงเป็นตอนที่ Hypermart ทำการย้ายเว็บต่าง ๆ เมื่อ 2 เดือนก่อน ตอนนั้นใช้ความรู้แค่ ม.ปลายครับ. เดี๋ยวจะลองค้น ๆดูก่อนว่ายังเก็บวิธีทำไว้หรือเปล่า ส่วนถ้าสนใจวิธีอื่น ๆ ลองดูในนี้ครับ http://www.mathcenter.net/sermpra/sermpra32/sermpra32p01.shtml อ้อ รู้สึกว่าตอนท้าย ๆของบทความจะมีเขียนอะไรผิดนิดหน่อยเป็นเรื่องของตอน พิมพ์ใน Word ครับ. ถ้าตั้งใจอ่านจริง ๆ ก็คงรู้ล่ะว่าผิดตรงไหน

[<รักเร่>]

ขอบคุณครับพี่ก้อนที่แนะนำบทความดีๆ ส่วนปัญหาข้อที่หา (cos1,sin1) เนี๊ยะเพื่อนผมคนหนึ่งเคยบอกว่า สามารถหาได้ โดยวิธีแบบ ม.ปลาย แต่ผมลองคิดดูแล้วคิดยังงัยๆก็คิดไม่ออก เพื่อนผมบอกว่าทำได้ รู้สึกเขาจะได้วิธีคิดมาจากหนังสือเลขจากรัสเซีย ของสำนักพิมพ์ Mir Publisher ถ้าผมจำไม่ผิดนะครับ ยังงัยก็ตามขอความกรุณาพี่ๆเพื่อนที่มีแนวคิดช่วยแสดงความคิดเห็นด้วยนะครับ รบกวนพี่ก้อนช่วยหาข้อมูลด้วยนะครับ ส่วนอีกข้อผมจะลองพยายามคิดนะครับ ถ้าไม่ได้ หรือได้ยังงัยผมจะมาโพสอีกนะครับ เมื่อกี้ผมเพิ่งดูกระทู้เก่าๆ เห็นโจทย์ของคุณกามศักดิ์ ณพิเรนทร์ทลาย ที่ว่า 1!+2!+3!+.....+n!=? ในรูปง่ายๆแล้วน่าสนใจเป็นอย่างยิ่งครับ พี่โยคีได้คำตอบมาอยากให้พี่โยคีช่วยแสดงวิธีคิดด้วยนะครับ ขอบพระคุณ เป็นอย่างยิ่งครับ

[gon]

เอาที่ทำไว้มาลงให้แล้วครับ. อ้อ พี่ชื่อ gon มาจากคำว่า dragon = มังกรร นะครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000573-000028.gif

[gon]

ต่อครับ.
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000573-000029.gif

[gon]

สุดท้าย
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000573-000030.gif

[<รักเร่>]

ขอบคุณพี่ gon ครับ ที่เฉลยให้ อยากรบกวนพี่ข้อ 1 ด้วยนะครับ รวมถึงพี่ๆเพื่อนๆ ท่านอื่นด้วยนะครับ ขอบคุณล่วงหน้า ครับ