!!! New Identity Discover !!!

[gon]

รามานุจัน (Ramanujan) (1887 - 1920) ครั้งหนึ่งได้โพสต์ปัญหาไว้ใน Journal of The Indian Mathemetical Society :
จงพิสูจน์ว่า (cos 2[:pi]/9)1/3+(cos 4[:pi]/9)1/3-(cos [:pi]/9)1/3 = [(3/2)(91/3-2)]1/3

หรือ (cos 2[:pi]/9)1/3+(cos 4[:pi]/9)1/3+(cos 8[:pi]/9)1/3 = [(3/2)(91/3-2)]1/3


ซึ่งก็จะได้ว่า (sec 2[:pi]/9)1/3+(sec 4[:pi]/9)1/3-(sec [:pi]/9)1/3 = [6(91/3-1)]1/3 ด้วย

วันนี้(18 มิถุนายน 2547) ตอนบ่าย ผมได้ค้นพบ เอกลักษณ์ใหม่ ซึ่งผมยังไม่เคยเห็นที่ไหนมาก่อน ก็หวังว่ามันคงจะไม่ปรากฏใน Journal ที่ไหนสักแห่งในโลกนะ (เคยเจอมาทีแล้ว)

(cos 2[:pi]/7)1/3+(cos 4[:pi]/7)1/3+(cos 6[:pi]/7)1/3 = {(1/2)[5 - 3(71/3)]}1/3
และ
(sec 2[:pi]/7)1/3+(sec 4[:pi]/7)1/3+(sec 6[:pi]/7)1/3 = [8 - 6(71/3)]1/3

ก็ไม่รู้ว่าจะไปโพสต์ไว้ใน Journal ที่ไหน ของไทยเราก็ไม่รู้ว่ามีหรือเปล่า เลยมาบันทึกไว้ในบอร์ดแห่งนี้.
ใครว่าง ๆ ช่วยลองจิ้มเครื่องคิดเลขอีกทีว่ามันถูกไหม. ถ้าจะลองพิสูจน์ดูก็แล้วแต่ใจชอบครับ.

[warut]

ขอแสดงความยินดีกับคุณ gon ด้วยครับ เอกลักษณ์ข้างต้นทุกอันนับเป็นเอกลักษณ์ที่
สวยงามมาก ดังนั้นไม่ว่าจะเป็น "discovery" หรือ "rediscovery" ก็เป็นเรื่องที่
น่าปิติยินดีกับผู้ที่ค้นพบด้วยตนเองเป็นอย่างยิ่ง ผมคงไม่มีความสามารถที่จะพิสูจน์
เอกลักษณ์เหล่านั้นได้ ดังนั้นถ้าคุณ gon จะมาแสดงเป็นขวัญตาให้กับชาว mathcenter
ชมก็จะดีมากครับ อีกอย่างนึงถ้าเกิดคุณ gon โชคดีได้เป็นคนพบคนแรกจริงๆแล้วเพื่อ
ที่จะให้ได้ "full credit" คุณ gon ต้องแสดงการพิสูจน์ด้วยครับ เพราะในยุคปัจจุบัน
เอกลักษณ์เช่นนี้สามารถถูกค้นพบได้ด้วย "computer search" ดังนั้นการพิสูจน์
ด้วย "มือ" จึงเป็นสิ่งสำคัญ (ถ้าเป็นยุค Ramanujan คงไม่เป็นปัญหา)

ขอเล่าตัวอย่างการค้นพบด้วย "computer search" ให้ฟังเล่นๆสักอันนึงนะครับ
แต่ก่อนเราคิดว่าการหา bit ที่ n ของ [:pi] ก็ไม่ได้ง่ายไปกว่าการหาค่าของ [:pi] ตั้งแต่
bit ที่ 1 ถึง n จนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้มีการค้นพบเอกลักษณ์ที่เกี่ยวกับค่า [:pi] ที่
ทำให้เราสามารถหาbit ที่ n ของ [:pi] ได้โดยตรง ไม่ต้องหากันตั้งแต่ bit ที่ 1 ถึง n
ที่สำคัญก็คือการค้นพบเอกลักษณ์ดังกล่าวเกิดขึ้นโดย "computer search" ก่อน
แล้วจึงมีการพยายามพิสูจน์อย่าง "rigorous" ด้วย "มือ" ต่ออีกทีครับ ตัวผมเองเชื่อ
ว่ายังมีเอกลักษณ์ที่สวยงามอีกจำนวนมากที่พบแล้วโดยคอมพิวเตอร์แต่ยังไม่มี
การเปิดเผยเพราะยังไม่สามารถพิสูจน์ได้ :rolleyes:

[gon]

ครับ. ผมพิสูจน์ได้ แต่ยังมีข้อบกพร่องเล็กน้อยประมาณ 1% ที่ผมยังมองไม่ออกว่าผิดตรงไหน ที่จริงก็ไม่ได้ยุ่งยากมากมายอะไรหรอกครับ. ผมสนใจเรื่องเอกลักษณ์ทางตรีโกณเป็นพิเศษอยู่แล้ว อันนี้ก็ต่อยอดความรู้ผมออกไปอีก. เอกลักษณ์ง่าย ๆ อย่าง (sec 2[:pi]/7)3 + (sec4[:pi]/7)3+(sec 6[:pi]/7)3 = ... ผมก็คงไม่กล้ามาโพสต์ แต่อันนี้ผมว่าสวยมาก ด้วยความดีใจก็เลยรีบมาโพสต์ก่อนครับ. ตอนนี้ผมก็กำลังเมล์ไปถาม Dr. BRUCE C. BERNDT. อยู่ ไม่รู้ว่าจะออกหัวหรือก้อยครับ.
อ้อ. ขอเปลี่ยนนิดหน่อยเพื่อให้ทุกพจน์มีค่าเป็นบวก แบบนี้ครับ.

(cos [:pi]/7)1/3 + (cos 3[:pi]/7)1/3 - (cos 2[:pi]/7)1/3 = { 0.5 [ 3[:dot]71/3 - 5 ] }1/3 and

(sec [:pi]/7)1/3 + (sec 3[:pi]/7)1/3 - (sec 2[:pi]/7)1/3 = { 6[:dot]71/3 - 8 }1/3

[gon]

เดี๋ยวจะมาพิสูจน์ให้ดูนะครับ. ตอนนี้กำลังสนุกสนานกับการควานหา Indentity อื่น ๆ อยู่ หมดกระดาษไปเกือบ 40 แผ่นแล้ว ชักอ่อนใจว่าจะไม่เจออีกอีกแล้ว

แต่คณิตศาสตร์นี่มันดีจริง ๆนะ ครับ. ยิ่งคิดยิ่งสนุก ได้ความรู้แนวคิดใหม่ ๆ เกิดขึ้นตลอดเวลา ยิ่งเป็นเรื่องที่เราชอบด้วยยิ่งสนุก ผมเล่นสมการกำลังสามจนคิดว่าไม่มีเหลือแล้วเอกลักษณ์สวย ๆ เขียนทั้งเป็น general case ออกมาก็ยังไม่เจอที่มันสวย ๆ ตอนนี้ขยับไปถึงกำลัง 5 กับ กำลัง 7 แล้วครับ.

ว่าแต่ว่า โดยรูปแบบ กำลัง 5 มันควรจะได้ ทำไปทำมา อ้าว สมการ พาราเมตริกซ์ไม่บังเกิดซะอีก เลยต้อง Solve ตรง ๆ Solve เสร็จอ้าวมันขัดแย้งกัน not valid เลยเป็นไปไม่ได้ สมการกำลัง 5 ง่าย ๆ ที่มองเห็นได้ก็คือ (ถ้าจำไม่ผิด) x5 - 5x3 + 5x - 1 = 0 ซึ่งก็จะมีรากทั้ง 5 ของสมการเป็น (ถ้าจำไม่ผิด) 2cos[:pi]/15, 2cos5[:pi]/15, 2cos7[:pi]/15, 2cos11[:pi]/15, 2cos13[:pi]/15 ใครมีสมการกำลังคี่อื่นสวย ๆ บอกผมด้วยนะครับ.

ไม่รู้ว่าจะเป็นเพราะ Abel Impossibility Theorem อะไรนั่นหรือเปล่าด้วย ทำให้มันหลุดออกมาเป็นรากที่ 5 หรือ รากที่ 3 ไม่ได้ หลายวันมานี้ หัวมึนตึ๊บตลอดครับ. ทั้งอาบน้ำ เข้าห้องน้ำ ทานข้าว คิดตลอด มีไอเดียใหม่ ๆ วิ่งเข้ามาในสมองตลอด แต่พอลงมือทำในกระดาษ ติดนิดติดหน่อยทุกทีเลย เดี๋ยวพรุ่งนี้หยุดคิดแล้วครับ. งานอื่นไม่เดินเลย

[gon]

ท.บ. ให้ x1, x2, x3 เป็นรากของสมการ 8x3 - ax2 + bx - 1 = 0
จะได้ว่า x11/3 + x21/3 + x31/3 = (a + 24 +6t)1/3/2
และ (x1x2)1/3 + (x2x3)1/3 + (x3x1)1/3 = (b + 12 + 3t)1/3/2
โดยที่ : t3 - 3(a + 2b + 12)t - [ ab + 12(a + 2b + 6) ] = 0
[hr]
พิสูจน์ : จะได้ว่า x1x2x3 = 1/8
สมมติให้ yi = xi1/3 ; i = 1, 2, 3 หรือ y = x1/3 [:therefore] y1y2y3 = (x1x2x3)1/3 = (1/8)1/3 = 1/2
[:therefore] จะมีสมการ 2y3 - py2 + qy - 1 = 0 ...(*)[br]
จัดรูปจะได้ (2y3 - 1)3 = (py2 - qy)3 แล้ว (2x - 1)3 - p3x2 + q3x + 3pqx(2x - 1) = 0
[:right] 8x3 - (12 + p3 - 6pq)x2 + (6 + q3 - 3pq)x - 1 = 0
เทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ว่า

a = 12 + p3 - 6pq
b = 6 + q3 - 3pq [:right] 2b = 12 + q3 - 6pq

ให้ p3 = a + 24 + 6t ก็จะได้ว่า q3 = b + 12 + 3t และ pq = t + 6
แต่ p3q3 = (pq)3 [:right] (a + 24 + 6t)(b + 12 + 3t) = (t + 6)3 ซึ่งเมื่อกระจายแล้วจัดรูปจะได้ว่า
t3 - 3(a + 2b + 12)t - [ ab + 12(a + 2b + 6) ] = 0

จาก (*) จะได้ว่า y1 + y2 + y3 = p/2 [:right] x11/3 + x21/3 + x31/3 = (a + 24 +6t)1/3/2
และ y1y2 + y2y3 + y3y1 = q/2 [:right] (x1x2)1/3 + (x2x3)1/3 + (x3x1)1/3 = (b + 12 + 3t)1/3/2
[hr]
พิจารณาสมการ 8x3 + 4x2 - 4x - 1 = 0 จะได้ว่า รากของสมการนี้คือ cos 2[:pi]/7, cos 4[:pi]/7, cos 6[:pi]/7
[:therefore] เมื่อ a = -4, b = -4 ก็จะได้ว่า t = -2(7)1/3 เมื่อนำไปแทนใน ท.บ. ข้างต้น ก็จะได้เอกลักษณ์ทั้งสอง ออกมาตามลำดับ

ใครจะเอาแนวคิดดังกล่าวไปใช้ต่อ ก็เชิญตามสบายเลยครับ. ถ้าเจอของใหม่อีกยิ่งดี

[TOP]

อีกไม่นานเราคงได้ รามานุจันแห่งประเทศไทยสักคนหนึ่งละ (ตอนนี้ก็ตามพิสูจน์ สูตรของรามานุจันตัวจริงไปก่อน :D )

เรื่อง "computer search" ดูแล้วน่าสนใจมากครับ โดยเฉพาะเรื่องที่
ทำให้เรา "สามารถหาbit ที่ n ของ [:pi] ได้โดยตรง ไม่ต้องหากันตั้งแต่ bit ที่ 1 ถึง n" ไม่รู้ว่าค้นพบโดย computer ได้อย่างไร มีใครตั้งเป็นข้อคาดเดาบางอย่างไว้ก่อน แล้วให้ computer ตรวจสอบเล่นๆอย่างนั้นหรือครับ อีกประเด็นหนึ่งคือ ถึงแม้ว่าจะไม่ต้องเริ่มต้นหาจากบิตแรก แต่ว่าสุดท้ายแล้ว เราต้องคำนวณเยอะ พอๆกับเริ่มต้นหาจากบิตแรกรึเปล่า :confused:

[<nooonuii>]

เป็นเอกลักษณ์ที่น่าสนใจครับ ไปเจอที่เวบของแคนาดาเห็นว่าคล้ายๆกับของพี่กรก็เลยเอามาฝากครับ

tan2([:pi]/7)+tan2(2[:pi]/7)+tan2(3[:pi]/7)=21

[gon]

noonuii นั่นเอง. ขอบคุณครับที่ไปหามาฝากอีก แต่อันนี้ (tan2[:pi]/7 + ... ) พี่เก็บไว้ใน collection ของพี่เรียบร้อยแล้ว. ถ้าเจอที่แปลก ๆ อีกก็บอกมาอีกได้นะครับ.

[<nooonuii>]

ว่าแล้วเชียวว่าพี่กรต้องมีแล้ว เอาไว้ถ้าเจออันใหม่จะหามาฝากอีกครับ

[gon]

เกมจบแล้วครับ. สำหรับวันเวลาที่ค่อนข้างยาวนานในช่วงเดือนที่ผ่านมา. ไม่ว่าจะเป็นเอกลักษณ์ของรากที่ 3 ของ cos([:pi]/9) + .. กับ เอกลักษณ์ของรากที่ 3 ของ cos ([:pi]/7)

รามานุจันได้เคยตั้งคำถามทั้งสองไว้ใน Journal ของอินเดียแล้ว ตอนแรกผมเจอเพียงเอกลักษณ์ของรากที่ 3 ของ cos([:pi]/9) + .. กับ ทฤษฎีบทที่ทำให้ได้ เอกลักษณ์นี้ ใน The Lost Note book ของเขา. ถึงแม้ว่า ท.บ.ที่ผมใช้พิสูจน์เอกลักษณ์ของรากที่ 3 ของ cos([:pi]/7) จะไม่ได้เขียนบันทึกไว้ใน The Lost Note Book ก็ตาม แต่การที่รามานุจันตั้งคำถามแบบนี้ได้ ก็หมายความว่า เขารู้อยู่แล้ว ตั้งแต่เกือบ 100 ปีก่อน.

ขอขอบคุณ Prof. ทั้ง 4 ที่ผมเมล์ไปถามและยินดีที่ตอบกลับมา ไว้ที่นี้อีกครั้งด้วย
Prof. Thomas J. Osler , (osler@rowan.edu) Rowan University ที่คุยตอบกลับไปกลับมากว่า 10 ฉบับ. อีกทั้งยังให้ยืมชื่อไปอ้างเพื่อนำไปคุยกับ Prof. ท่านอื่นด้วย
Prof George Andrews (andrews@math.psu.edu) ที่ส่งข้อความไปบอก Prof. Bruce Berndt อีกทาง
Prof Richard Askey (askey@math.wisc.edu) ที่ส่งข้อความไปบอก Prof. Bruce Berndt อีกทางเช่นกัน และ
Prof Bruce Berndt (berndt@math.uiuc.edu) Univ. of Illinois. ที่ช่วยคลายความโง่เขลาและให้กำลังใจแถมมาด้วย

Note. Prof. แต่ละคนถ่อมเองตัวเป็นบ้าเลย ขนาดตัวเองเชี่ยวชาญระดับไหน ยังบอกว่าตัวเองไม่เชี่ยวชาญ (I "m not expert) กันทุกคน อย่าง Prof. Thomas J. Osler ไม่รู้แกล้งหรือเปล่า ถามผมว่าสมการ 8x3 + 4x2 - 4x - 1 = 0 รู้ได้ไงว่ารากของสมการคือ cos(2[:pi]/7, cos(4[:pi]/7), cos(6[:pi]/7) บอกให้ผม derive มาให้ดูหน่อย พอผมทำไปให้ดูเสร็จ กลับสรุปรูปแบบทั่วไปมาให้ผมดูอีก (งงไหมล่ะ) สมควรเอาอย่างครับ.

[gon]

คิดไปคิดมา ได้มาอีกเพียบเลย ชักไม่ตื่นเต้นแล้ว รู้สึกว่ามันจะ unlimited ซะด้วย สำหรับเอกลักษณ์ของรากที่ 3 จำนวน 3 ตัว. ให้ดูเล่น ๆ ครับ.
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000640-000010.gif

[gon]

จะเห็นได้ว่า มันไม่สวยเรียบง่ายเหมือนกับแบบแรก ๆ เท่านั้นเอง.เรื่องน่าสนใจเกี่ยวกับเอกลักษณ์ของรากที่ 3 ที่มีตอนนี้ก็คงจะเป็น จะถอดรากที่สามที่มันบวกกันอยู่ ออกมาเป็นเทอมง่าย ๆ ได้ไหม.

[nooonuii]

ลอง simplify โดยใช้โปรแกรมดูครับ แต่ไม่แน่ใจว่าคำตอบจะสวยหรือเปล่า อยากเห็นคำตอบออกมาหน้าตาน่ารักเหมือนกันครับ

[gon]

ถ้า simplify หลุดได้ก็ดีครับ. จะได้มีกำลังใจไปนั่ง Solve ต่อ ที่จริงพี่ก็เคยสั่งลอง Mathematica ให้มันลองดูอยู่ราว 5 นาที แต่พี่ใจร้อนครับ. ไม่หลุดสักทีก็เลิกเลย นี่ก็เอามาให้ดูอีกอัน จะเห็นได้ว่าเขียนออกมาได้เรื่อย ๆ เพราะที่จริงคิดเป็นทฤษฎีทั่วไปออกมาแล้วครับ. เดี๋ยวว่าจะเขียนเป็นบทความออกมาดู ไม่รู้จะมีคนอ่านหรือเปล่า
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000640-000013.gif

[<ขาจร>]

อ่านซิครับ ไม่อ่านได้งไหละครับ :rolleyes: :rolleyes: :rolleyes:

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ TOP:
เรื่อง "computer search" ดูแล้วน่าสนใจมากครับ โดยเฉพาะเรื่องที่
ทำให้เรา "สามารถหาbit ที่ n ของ [:pi] ได้โดยตรง ไม่ต้องหากันตั้งแต่ bit ที่ 1 ถึง n" ไม่รู้ว่าค้นพบโดย computer ได้อย่างไร มีใครตั้งเป็นข้อคาดเดาบางอย่างไว้ก่อน แล้วให้ computer ตรวจสอบเล่นๆอย่างนั้นหรือครับ อีกประเด็นหนึ่งคือ ถึงแม้ว่าจะไม่ต้องเริ่มต้นหาจากบิตแรก แต่ว่าสุดท้ายแล้ว เราต้องคำนวณเยอะ พอๆกับเริ่มต้นหาจากบิตแรกรึเปล่า :confused: มันเกิดจากการค้นพบสูตรที่เรียกกันว่า BBP formula: $$ \pi= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k+1} -\frac{2}{8k+4} -\frac{1}{8k+5} -\frac{1}{8k+6} \right) $$ โดยอาศัย integer relation detection algorithm ที่เรียกว่า PSLQ ครับ

นักคณิตศาสตร์จะรวบรวมค่าคงที่ที่น่าสนใจต่างๆส่งให้คอมพ์ แล้วรัน PSLQ ซึ่งเครื่องก็จะ search หาความสัมพันธ์ที่อาจมีอยู่ในรูปของ linear combination (over $\mathbb Z$) ของค่าคงที่เหล่านั้น เมื่อเครื่องรายงานความสัมพันธ์ที่มันค้นพบให้ทราบ เราจึงพิสูจน์สูตรนั้นด้วยกระบวนการทางคณิตศาสตร์อีกทีครับ

ตอนที่เจอสูตร BBP เขาสังเกตเห็นพจน์ $16^k$ จึงคิดได้ว่าสูตรนี้สามารถนำไปใช้หาบิทที่ $n$ ของ $\pi$ ได้โดยตรง ซึ่งจะประหยัดแรงกว่าการหาตั้งแต่บิทที่ 1 ถึง $n$ มากๆเลยครับ ในตอนนั้น (1995) นักคณิตศาสตร์ตื่นเต้นและประหลาดใจกับการค้นพบนี้เป็นอย่างมาก เพราะไม่เคยมีใครคาดคิดมาก่อนเลยว่าจะมีวิธีที่สามารถหาบิทที่ $n$ ของ $\pi$ ได้โดยตรง

[Switchgear]

ขออนุญาตอธิบายเสริม BBP formula ที่คุณ warut นำมาแสดง

คำว่า bit ในที่นี้ไม่ใช่แต่ละหลักในเลขฐาน 10

อย่างเช่นสูตร BBP ในที่นี้ จะเห็นว่าเป็นฐาน 16 แปลว่าผลลัพธ์ที่แทน n แต่ละครั้ง
จะได้ 1 hexadecimal (base 16) digit ของ [:pi] หรือเท่ากับ 4 bits ในฐาน 2
เพราะว่า 2^4 = 16

สรุปว่าสูตร BBP นี้ แทนค่า n แต่ละตัว จะให้ผลลัพธ์เป็นเลขฐาน 2 ทีละ 4 bits
(คำอธิบายนี้ ถูก/ผิด อย่างไร รบกวนคุณ warut แนะนำด้วยครับ)

BBP นี้มาจากชื่อของ David Bailey, Peter Borwein และ Simon Ploufe

[Switchgear]

ถ้าใช้สูตรนี้ก็จะได้ออกมาครั้งละ 10 หลักในเลขฐาน 2 (10 bits)
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000640-000017.gif

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Switchgear:
สรุปว่าสูตร BBP นี้ แทนค่า n แต่ละตัว จะให้ผลลัพธ์เป็นเลขฐาน 2 ทีละ 4 bits เอ... ผมไม่คิดว่ามันจะง่ายขนาดนั้นนะครับ เพราะมันยังมีตัวทดมาจากเทอมอื่นๆด้วย

คำว่า bit ของผมนี่ก็ใช้ในความหมายปกตินั่นแหละครับ ซึ่งก็มาจากคำว่า binary digit (ไม่ใช่ decimal digit) นั่นเอง

ถ้าใครสนใจเรื่องนี้เพิ่มเติม ลองไปดูได้ที่ PiHex (http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/pihex/) ครับ

ผมขุดกระทู้นี้ขึ้นมาตอบ เพราะผมกำลังเคลียร์เรื่องตกค้างเก่าๆของผมที่ mathcenter ให้หมดน่ะครับ ไม่คิดว่าจะมีคนสนใจสักเท่าไหร่ ยังไงก็ขอบคุณ คุณ Switchgear ที่ช่วยมาให้ข้อมูลเพิ่มเติมครับ

[Switchgear]

ใครสนใจที่มาและวิธีใช้ BBP formula อ่านเพิ่มในนี้ได้อีกที่หนึ่ง

nth_digit (http://numbers.computation.free.fr/Constants/Algorithms/nthdigit.html)

[snow_flyer]

คิดตามไม่ทันเลย ยังไงช่วยเฉลยพิสูจน์สูตรให้หน่อยได้ไหมคะ

[munoi]

โหย ! ยอดจิงๆเรยค่ะพี่ มายด์อ่านแล้วยังต้องทำความเข้าใจอยู่นานทีเดียวเลย ขอคำนับ1จอก ค๊า (คิคิ)

[iMissU]

โอ้ว สุดยอดเรยยย

[นายกอไก่]

เด็กน้อยคนนี้จะพยายามทำความเข้าใจนะ
แต่ตอนนี้ยังงงๆอยู่เลยครับ

[Amount of infinite]

หุหุ ดูๆแล้ว ไม่ค่อยรู้เรื่องเลย แต่กดเครื่องดูๆแล้ว ก็โอเคนะคับ สู้ๆ

[กรza_ba_yo]

คิดได้ไงคับสุดยอด