โจทย์ลูกบอล

[square1zoa]

มีลูกบอล $n$ ลูก $n\geqslant 2$ ที่มีน้ำหนักต่างกันทั้งหมด สุ่มหยิบทีละลูกโดยไม่ใส่คืน ผลปรากฎว่า
ลูกบอลที่ $[n/2]$ หนักกว่าลูกบอลที่ $1,2,...,[n/2]-1$ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลลูกที่ $[n/2]$ นี้หนักที่สุด

[nooonuii]

ขอแทน $[n/2]$ ด้วย $1\leq k\leq n$ นะครับ

สมมติเราทราบว่าเราหยิบลูกบอลมา $k$ ลูก แล้วลูกบอลลูกที่ $k$ หนักสุด

จะได้ sample space S คือ เซตของวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ $k$ อย่างจาก $n$ อย่าง โดยที่ตัวสุดท้ายมีค่ามากสุด

เราจะได้ว่า $n(S) = \binom{n}{k}(k-1)!$

ให้ $E$ แทนเหตุกาารณ์ ลูกบอลลูกที่ $k$ หนักที่สุดในบรรดาลูกบอล $n$ ลูก

จะได้ $n(E)=P(n-1,k-1)$ เนื่องจากเราสามารถ

ตรึงลูกบอลที่หนักที่สุดไว้ที่ตำแหน่งที่ $k$ แล้วที่เหลือ $n-1$ ลูก นำมาจัดเรียงอีก $k-1$ ตำแหน่ง

ดังนั้น $P(E)=\dfrac{P(n-1,k-1)}{\binom{n}{k}(k-1)! }=\dfrac{k}{n}$

[square1zoa]

ขอบคุณครับ