ข้อสอบสมาคม 2547 ม.ปลาย

[jae_bau]

ไม่ได้ทำตอน 3 เลยครับ เปิดดูท่าทางน่ากลัว และน่าเกรงขาม อย่างมากมาย เลยเอาตอน 3 มาครับ


( ข้อ 27 ตอน 3)
กำหนด m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ
4m[4m+7] = 3n^2 + 2mn +14n + 2548
จงหาค่าของ mn

( ข้อ 28 ตอน 3 )
ให้ A1 , A2 , A3 , A4 เป็นพื้นที่ของวงรี [x - 25]^2/25 + [y - 47]^247
= 2004 ในควอตรันต์ที่ 1,2,3, 4 ตามลำดับ
จงหาว่า A1- A2+A3-A4 เท่ากับเท่าไร

[jae_bau]

มั่วแล้วผม สมาการวงรีคือ
[x - 25]^2/25 + [y - 47]^2/47

[gon]

พอจะ scan เป็นรูปขึ้นมาได้หรือเปล่าครับ. จะได้มาช่วยเฉลยกัน ข้อ 28 นี้คุ้น ๆ นะครับ. อย่างกับในบอร์ดเราเคยเล่นกันมาครั้งหนึ่งแล้ว

[jae_bau]

ตอนแรกก็กะจะเอาลงหล่ะครับ
แต่ไม่รู้จะเอาลงยังไง พยายามอยู่นาน จนหมดความอดทน
รวมทั้งที่ scan มันเน่าๆ ท่าจะอ่านไม่ออก
เดี๋ยวจะลองทำดูอีกทีครับ

[gon]

ตอน scan ถ้าเครื่องมีโปรแกรมเปิดรูป เช่น ACDSee ก็เลือก File --> Acquire Images ก็ไม่น่าจะมีปัญหานะครับ. ส่วนตอนเราจะเอารูปลงก็มากดตอบนี่ล่ะครับ. แล้วก็กด Browse ตรงปุ่มมุมขวาล่าง แล้วก็ Browse ไปยังที่ ๆ เก็บรูปที่เรา scan ไว้ในคอมน่ะครับ. ถ้าจะให้ง่ายก็ย้ายเอารูปที่ scan มาวางไว้บน Desktop ก่อนก็สะดวกน่ะครับ.

ก็ได้น้อง ๆ ที่ไปสอบมานี่ล่ะครับ. ที่ทำให้เรามีข้อสอบต่อยอดได้ทุกปี พยายามหน่อยนะครับ. ที่บ้านมีใครพอรู้เรื่องบ้าง เรียกมาช่วยกันก็ดี ไม่งั้นก็ง่ายที่สุด คือ เมล์แล้วแนบรูปมาให้พี่ที่ mathcenter@email.com เลยก็ได้ครับ. เดี๋ยวพี่เอาขึ้นบอร์ดให้เอง

[warut]

ตกลงสมการวงรีของข้อ 28 นี่คือ
\frac{\left(x-25\right)^2}{25}+\frac{\left(y-47\right)^2}{47}=2004
ใช่เปล่าครับ

[TOP]

ข้อ 28 พี่เคยถามไว้นานมากแล้วละ ที่นี่ แต่ไม่ค่อยมีใครสนใจแก้ :( ทางสมาคมคงแก้เผ็ด ด้วยการนำมาเปลี่ยนแปลงตัวเลขซะใหม่ ให้เข้ากับปีปัจจุบัน :D

[warut]

555...นั่นไงว่าแล้วว่าเคยเห็นโจทย์แบบข้อ 28 แต่ผมก็ทำไม่ได้อยู่ดี :p
ส่วนข้อ 27 เนี่ยถ้ามองออกว่า
4m(4m + 7) - 3n2 - 2mn - 14n = (2m - n)(8m + 3n + 14) = 2548
ก็จะสามารถหาคำตอบออกมาได้ แต่ผมก็ยังคิดว่าข้อนี้อาจมีวิธีทำเด็ดๆนา... :rolleyes:

[gon]

วิธีเด็ด ๆ ผมก็มองหาตั้งแต่แรกเหมือนกันครับ. แต่ดูเหมือนว่าโจทย์ข้อนี้จะจงใจให้ใช้พลัง คือ ถ้าเป็นแบบปกติที่เคยทำมา คือ ส.ป.ส ของ m2 และ n2 มันควรจะต่างกัน จะได้ง่าย ๆ ใครมีแนวคิดเด็ด ๆ ก็ลองบอกกันมาดูนะครับ.

ผมต่อแนวคิดของคุณ waut : [:because] 2548 = (2)(2)(7)(7)(13) และ 8m + 3n + 14 [:greateq] 8 + 3 + 14 = 25 นั่นคือ ถ้าแยกตัวประกอบของ 2548 ออกเป็น 2548 = ab ไม่ a ก็ b อย่างน้อย ต้องมีค่าไม่ต่ำกว่า 25 ซึ่งในเบื้องต้นจะพบว่ามีได้ 4 แบบใหญ่ ๆ คือ

(2[:multiply]13)(2[:multiply]7[:multiply]7)
(7[:multiply]7)(2[:multiply]2[:multiply]13)
(7[:multiply]13)(2[:multiply]2[:multiply]7)
(2[:multiply]7)(2[:multiply]7[:multiply]13)

เพื่อความง่ายในการตัดเงื่อนไขที่เป็นไปไม่ได้ทิ้งออกไป สมมติให้
2m - n = a และ 8m + 3n + 14 = b โดยที่ b [:greateq] 25 และ เราจะพบว่า ทั้ง a และ b ต้อง > 0 แน่นอน เพราะ 8m + 3n + 14 = b [:greateq] 25

จาก 2m - n = a แล้ว 8m = 4n + 4a แทนลงใน 8m + 3n + 14 = b จะได้ว่า 7n = b - 4a - 14 ซึ่งต้อง > 0 นั่นคือ b > 4a + 14 เป็นเงื่อนไขที่ใช้ตัดกรณีอื่น ๆ ทิ้ง

จาก 4 กรณีใหญ่ จะพบว่าแบ่งออกเป็น 7 กรณีย่อย ๆ โดยแต่ละกรณีเราจะใช้เงื่อนไข b > 4a + 14 ว่าเป็นจริงหรือไม่ จะพบว่ามีเพียงกรณีเดียวคือ เมื่อ (a, b) = (14, 91) ดังนั้น จะได้ (m, n) = (15, 14) นั่นคือ mn = 210

[warut]

รู้สึกคุณ gon จะคิดเลขผิดนะครับ ที่ถูกน่าจะเป็น (a, b) = (14, 182)
ซึ่งจะทำให้ได้ (m, n) = (15, 16) และ mn = 240

[nooonuii]

4 กรณีที่พี่กรแสดงมาสามารถตัดทิ้งได้อีก 2 กรณีครับ เพราะสังเกตจากโจทย์เริ่มต้นจะได้ว่า n ต้องเป็นจำนวนคู่ ดังนั้นเมื่อแยกตัวประกอบตามแบบของคุณ warut แล้วแต่ละเทอมจะต้องมี 2 เป็นตัวประกอบอย่างน้อย 1 ตัวครับ

[gon]

ขอบคุณ คุณ warut กับ nooonuii มากครับ. เหอ ๆ ผมเบลอไปดาวอังคารเลย ในกระดาษทดก็เขียนอยู่ว่า (m,n) = (15, 16) ล่ะครับ. แต่พอมาพิมพ์ลงบอร์ดแปลงร่างผิดซะแล้ว ใช่แล้ว... ยังตัดกรณีทิ้งได้อีก ข้อนี้ใครมีเทคนิคการเดาอย่างรวดเร็วบ้างไหมนี่... (m,n) = (15, 16) นี่สอบจริงหมดสิทธิ์เดากลางทางเลยนะครับ.

[bbcbbc]

ช่วยเฉลยข้อสอบสมาคม ม.ต้นปีนี้ ตอน2 ข้อ1ด้วยครับ

1. ถ้าaและbเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆที่ทำให้ a=mq^2 และ b=qnสำหรับจำนวนเต็มบวก q,mและ n บางจำนวน โดยที่ ห.ร.ม. ของ a และbเท่ากับ p แล้ว ตัวเศษของเศษส่วนอย่างต่ำของ a/b เท่ากับเท่าใด

[warut]

ไปดูคำตอบได้ที่หัวข้อ: ข้อสอบสมาคม(ม.ต้น) ครับ

[gon]

นี่เป็นรูปของข้อสอบ ที่น้อง jae_bau ส่งมาให้ผมทางเมล์ ประมาณ 13 - 14 ข้อ ซึ่งผมก็พยายามทำให้มันอ่านง่ายขึ้น (หรือเปล่า) โดยเปลี่ยน Filter เป็น negative ซึ่งตามหลักการ มันควรจะตัวอักษรขาวพื้นดำ จะเห็นได้ว่าเครื่องหมายบางตัว ยังอ่านไม่เห็น
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000737-000014.jpg

[gon]

น้อง Jea_bau ช่วยดูทีครับว่าที่พี่พิมพ์ใหม่ มันถูกหรือเปล่า

ข้อ 32 :
กำหนดให้ a เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ทำให้รากทุกตัวของสมการ
z^3 - az^2 - (2 - 3i)z - i = 0
มีขนาดเท่ากับ 1 จงหา | a |

[[T]ira[W]]

ให้ u, v, w เป็นรากสมการโดยที่ |u| = |v| = |w| = 1
เนื่องจาก u + v + w = a
ดังนั้น a = u + v + w
= \frac{|u|2}{u} + \frac{|v|2}{v} + \frac{|w|2}{w}
= \frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w}
= \frac{uv + vw + wu}{uvw}
= \frac{-2 + 3i}{i}
= 3 + 2i
a = 3 - 2i
|a| = [:sqrt]13

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 28 ตอนที่ 3 ครับ
รูปที่ผมแนบมา
ถ้าแบ่งออกด้วย เส้นตรง เพื่อให้สมมาตรกัน ให้ พ.ท.ของส่วนต่างๆดังรูป
A1 = (1)+(2)+(5)+(6)
A2 = (3)+(4)
A3 = (9)
A4 = (8)+(7)
แต่ว่าผมแบ่งให้สมมาตรกัน ดังนั้น (1)=(3) , ((6)=(4) ,(7)=(9),(2)=(8)
ลบกัน ก็จะเหลือแต่ (5) สี่เหลี่ยมตรงกลาง (ส่วนที่แรเงาสีเหลือง)
และเนื่องจากผมแบ่งให้สมมาตรกัน ดังนั้น
ความกว้างคือ 25[:dot]2 = 50
ความยาวคือ 47[:dot]2 = 94
ดังนั้น พ.ท. ของ A1-A2+A3-A4 = 50[:dot]94 = 4700 ตร.หน่วย
สังเกตว่ารูปนี้ ถ้าจุก ศก. อยู่ที่ พิกัด (x,y) จะได้ A1-A2+A3-A4 = 4xy
Note ต้องมี พ.ท. อยู่ในจตุภาคที่ 2 3 และ 4 ด้วยนะครับ :D
ปล. Wingeom วาดวงรีอย่างไรครับ ..
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000737-000017.jpg

[warut]

ในที่สุด...ความลับสวรรค์ก็มีอันต้องถูกเปิดเผยโดยคุณ R-Tummykung de Lamar
ของเรานี่เอง ขอบคุณครับ :)

[gon]

ผมไม่มีข้อสอบฉบับจริงอยู่ในมือ จึงไม่รู้ว่าข้อสอบปีนี้ มีโอกาสโจทย์ผิดมากน้อยเพียงใด ตอนนี้เท่าที่ดูข้อนี้ ผมคิดว่าข้อมูลไม่เพียงพอ อยากให้ช่วยลองคิดกันดูหน่อยครับ. สำหรับใครที่มีข้อสอบฉบับจริง อยู่ในมือ ช่วยลองตรวจสอบดูด้วยว่า โจทย์ที่ผมเขียนถูกต้องหรือไม่ จะดียิ่ง. :D

ข้อที่ 26 ตอนที่ 3
" ให้ A, B, C เป็นเซต ซึ่ง n(A - B) = 42, n(A - C) = 7, n(C - A) = 18, n(C - B) = 35 ดังนั้น n( (B [:intersect] C) - A) มีค่าเท่ากับเท่าใด "

[R-Tummykung de Lamar]

เอ ... ผมว่าข้อมูลพอนะครับ ได้ 18 ครับ
จากรูปที่แนบมานะครับ ให้แต่ละส่วน คือ [1],[2],[3],[4],[5],[6] และ [7] ดังรูป
ก็ จากข้อมูลที่ใหมา ตั้งเป็นระบบสมการได้ดังนี้
[1]+[4]=42...(1)
[1]+[2]=7 ...(2)
[6]+[7]=18 ...(3)
[4]+[7]=35 ...(4)
แล้วก็ ที่โจทย์ต้องการคือ [6] ครับ

จาก (1) จะได้ [1]=42-[4] ...(5)
เอา (5) ไปแทนใน (2) จะได้ 42-[4]+[2]=7
คือ [4] = [2]+35 ...(6)
เอา (6) ไปแทนใน (4) จะได้ [2]+35+[7] =35
คือ [2]+[7] =0
แต่นี่คือ จำนวนของสมาชิกในเซต ดังนั้น [2] = 0 และ [7] = 0
เอาไปแทนใน (3) จะได้ [6] = 18 ครับ :D
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000737-000020.jpg

[gon]

โอ้. น้อง Tummy เยี่ยมจริง ๆ ครับ. พี่ก็ทำแบบนี้ล่ะ แต่นั่งมองดูแล้วเห็นว่าตัวแปรมันมีข้อมูลไม่ครบ เลยไม่ได้เล่นต่อถึงขั้นสรุปว่ามีบางช่องมีสมาชิกเป็นศูนย์ ขอบคุณมาก ๆ :D

ผมมีปัญหาอีกข้อหนึ่ง ใครสนใจช่วยลองคิดดูหน่อย ผมยังเหลือข้อนี้ล่ะที่ยังคิดไม่ออก ใครมีแนวคิดเด็ด ๆ บ้างช่วยที

ข้อ 33 ตอนที่ 2
สำหรับแต่ละ k = 1, 2, 3, ... , 2547 ให้ ak [:element] {-1, 0, 1}
จงหาค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ \sum_{i=1}^{2546}(\sum_{j=i+1}^{2547}a_ia_j)

[gon]

ไหน ๆ ก็ไหน ๆ แล้ว ผมอยากถามความเห็นชาว Mathcenter ต่อเลยครับ. คิดว่า 2 ข้อต่อไปนี้โจทย์บกพร่องหรือไม่. ?

ข้อที่ 8 ตอนที่ 1
ให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งกำหนดโดย f(z) = |a| + |b| เมื่อ z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. f(z + z) = f(z) + f(z)
ข. f(zz) = f(z)f(z)
ค. f(1/z) = f(z)/(z[:dot]z)
ง. [ f(z) ]2 = f(z2)

เท่าที่ผมลองคิดดู ข้อ 2 ตอนที่ 1 ตัวเลือกที่ใกล้เคียงที่สุด คือ (-2, 0) แต่ผมคิดว่าน่าจะเป็น [-2, 0) มากกว่า ข้อที่ 8 ตอนที่ 1 ตัวเลือกที่ผมคิดว่าดีที่สุด คือ ค. และ น่าจะเป็น f(1/z) = f(z)/(z[:dot]z)

[gon]

อืม...ข้อ 33 ตอนที่ 2 ผมพอจะมีวิธีการจัดรูปแล้วให้ได้ผลบวกต่ำที่สุดแล้ว น่าจะเป็น (a1,a2,...,a1273,a1274, a1275, a1276,...,a2547) = (-1,-1,...,-1,0,1,1,...,1) และผลบวกต่ำที่สุดน่าจะเป็น -1273 นะ.

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ gon:
ข้อ 33 ตอนที่ 2
สำหรับแต่ละ k = 1, 2, 3, ... , 2547 ให้ ak [:element] {-1, 0, 1}
จงหาค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ \sum_{i=1}^{2546}(\sum_{j=i+1}^{2547}a_ia_j)
วิธีทำของผมมีดังนี้ครับ (คงไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุดอีกตามเคย)

ถ้าลองวาด diagram ของ array \{a_ia_j\}_{i,j=1}^{2547} จะพบว่า
\sum_{i=1}^{2547}\sum_{j=1}^{2547}a_ia_j=
2\sum_{i=1}^{2546}\sum_{j=i+1}^{2547}a_ia_j+\sum_{i=1}^{2547}a_i^2
แต่
\sum_{i=1}^{2547}\sum_{j=1}^{2547}a_ia_j=
\left(\sum_{i=1}^{2547}a_i\right)\left(\sum_{j=1}^{2547}a_j\right)=
\left(\sum_{i=1}^{2547}a_i\right)^2
ดังนั้น
2\sum_{i=1}^{2546}\sum_{j=i+1}^{2547}a_ia_j=
\left(\sum_{i=1}^{2547}a_i\right)^2-\sum_{i=1}^{2547}a_i^2
ค่าต่ำสุดของ \left(\sum_{i=1}^{2547}a_i\right)^2 คือ 0 ส่วนค่าสูงสุดของ \sum_{i=1}^{2547}a_i^2 คือ 2547
ดังนั้น \sum_{i=1}^{2546}\sum_{j=i+1}^{2547}a_i a_j จึงไม่อาจมีค่าต่ำกว่า -1273.5 ได้
แต่เนื่องจากค่าผลบวกนั้นต้องเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นมันจึงไม่อาจมีค่าต่ำกว่า -1273 ได้
(โชคดีที่) ค่านี้เกิดขึ้นได้จริงเมื่อ ใน a1, a2, ..., a2547 มี 0 อยู่หนึ่งตัว
และที่เหลือเป็น 1 กับ -1 อย่างละเท่าๆกัน

[gon]

ขอบคุณ คุณ warut สำหรับแนวคิดข้อ 33 ตอนที่ 2 นะครับ. ทำให้ผมต่อจิ๊กซอในการให้เหตุผลในข้อนี้ได้สมบูรณ์แล้ว ผมคิดว่าไม่เป็นการโชคดีครับ. ว่ามีรูปแบบนั้น แต่รูปแบบดังกล่าวมีอยู่เสมอ และมีได้หลายรูปแบบ ผมคิดแบบนี้ครับ.

เนื่องจาก ak [:element] {-1,0,1} ซึ่งถ้าจับสมาชิกในเซตมาคูณกันเองก็จะได้เป็น -1,0,1 เช่นกัน ดังนั้นเพื่อให้ได้ผลบวกที่มีค่าต่ำที่สุด เราจึงต้องทำให้เกิดผลคูณที่มีค่าเป็น -1 จำนวนมากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้

พิจารณากรณีที่มีสมาชิก n ตัว โดยที่ n เป็นจำนวนคู่ เราก็จะแบ่งสมาชิกออกเป็น 2 พวก คือ -1 กับ 1 อย่างละ n/2 ตัว

\bmatrix{-1 & -1 & -1 & \cdots &-1\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1}

จะเห็นได้ว่าในแถวที่ 1 เมื่อจับคู่คูณกันเองจะได้ผลลัพธ์เป็น {\frac{n}{2} \choose 2} \, และ แถวที่สอง จับคู่คูณกันเองจะได้ผลลัพธ์เป็น {\frac{n}{2} \choose 2} \, ส่วนเมื่อคูณในแนวทแยงก็จะได้ -(\frac{n}{2})(\frac{n}{2})

นั่นคือ เมื่อรวมกันทั้งหมดก็จะได้ 2{\frac{n}{2} \choose 2} - (\frac{n}{2})(\frac{n}{2}) = 2(\frac{n}{2})(\frac{n}{2} - 1)(\frac{1}{2}) - -(\frac{n}{2})(\frac{n}{2}) = (\frac{n}{2})(\frac{n}{2}-1-\frac{n}{2}) = -\frac{n}{2}

ทีนี้เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ เราก็ตั้งแบบเดิม แต่เราจะมีตัวเลือกว่าจะเติมตัวที่ไม่มีคู่นี้เป็นอะไรดี ซึ่งเราก็จะพบว่าไม่ว่าจะเติมจำนวนอะไร ก็จะไม่กระเทือนคือได้ ศูนย์เสมอ เพราะเดิมเรามี -1 กับ 1 อยู่เป็นจำนวนเท่า ๆ กัน

ดังนั้น ในข้อนี้นอกไปจากคำตอบแบบแรก คือมี -1 กับ 1 อยู่อย่างละ 1273 จำนวน และ 0 อีกจำนวน ยังสามารถเป็น (-1,-1,...,-1,1,1,...,1) โดยมี -1 อยู่ 1274 จำนวน และ 1 อยู่ 1273 จำนวน หรือ มี -1 อยู่ 1273 จำนวน และ 1 อยู่ 1274 จำนวน

[R-Tummykung de Lamar]

ช่วยข้อนี้หน่อยครับ (สมาคม ม.ปลาย)
ถ้า \displaystyle{\frac{sin\ x+sin\ y+sin\ z}{sin\ (x+y+z)}=\frac{cos\ x+cos\ y+cos\ z}{cos\ (x+y+z)}\ =\ 2\qquad} แล้ว
จงหาค่าของ \displaystyle{sin\ x\ sin\ y+sin\ y\ sin\ z+sin\ z\ sin\ x}

[gon]

สมาคม ฯ ปีนี้ข้อเติมคำ ไม่ธรรมดาครับ. เกือบทุกข้อทำเอาผมสะอึกอย่างน้อย 2 ที ข้อตรีโกณชุดนี้ก็สนุกครับ. ทำเสร็จแล้วได้ความรู้ใหม่
ให้ A = \sin x \cdot \sin y + \sin y \cdot \sin z + \sin z \cdot \sin x
และ B = \cos x \cdot \cos y + \cos y \cdot \cos z + \cos z \cdot \cos x
ขั้นที่ 1 สมมติให้ \displaystyle { \frac{\sin x + \sin y + \sin z}{\sin(x + y + z)} = \frac{\cos x + \cos y + \cos z}{\cos(x + y + z)} = m }
\therefore \quad (\sin x + \sin y + \sin z) = m \cdot \sin(x+y+z) \quad \cdots (1)
\therefore \quad (\cos x + \cos y + \cos z) = m \cdot \cos(x+y+z) \quad \cdots (2)
(1)^2 + (2)^2 : 3 + 2A + 2B = m^2 \Rightarrow B = \frac{m^2 - 3 - 2A}{2} \quad \cdots (3)

ขั้นที่ 2 :
\sin x \cdot (1) + \cos x \cdot (2) + \sin y \cdot (1) + \cos y \cdot (2) + \sin z \cdot (1) + \cos z \cdot (2) ก็จะได้ว่า
3 + 2A + 2B = m[\cos(x+y) + \cos(y+z) + \cos(z+x) ] = m[B - A]
แต่จาก (3) จึงได้ว่า
m^2 = m[B - A] \Rightarrow m = B - A \Rightarrow B = m + A \quad \cdots (4)
(3) = (4) : \frac{m^2 - 3 - 2A}{2} = m + A \Rightarrow m^2 - 3 - 2A = 2m + 2A
\therefore \quad 4A = m^2 - 2m - 3 \Rightarrow A = \frac{(m-3)(m+1)}{4}
ในข้อนี้ \, m = 2 : \Rightarrow A = \frac{(2-3)(2+1)}{4} = -\frac{3}{4}

หมายเหตุ : B = \frac{(m+3)(m-1)}{4} \, และใน ขั้นที่ 2 เราจะได้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจในกรณีทั่วไป คือ ถ้า
\frac{\sin A_1 + \sin A_2 + \cdots + \sin A_n}{\sin(A_1 + A_2 + \cdots + A_n)} = \frac{\cos A_1 + \cos A_2 + \cdots + \cos A_n}{\cos(A_1 + A_2 + \cdots + A_n)}
แล้วแต่ละเศษส่วนจะมีค่าเท่ากับ
\cos(A_1+A_2+ \cdots + A_{n-1}) + \cos(A_1 + A_2 + \cdots + A_{n-2} + A_n) + \cdots + \cos(A_2 + A_3 + \cdots + A_{n-1})
ด้วย เช่น ถ้า \displaystyle { \frac{\sin x + \sin y + \sin z + \sin w}{\sin(x + y + z + w)} = \frac{\cos x + \cos y + \cos z + \sin w}{\cos(x + y + z + w)}}
แล้วแต่ละเศษส่วนจะมีค่าเท่ากับ
\cos(x+y+z) + \cos(x+y+w) + \cos(x+z+w) + \cos(y+z+w)

[warut]

กว่าจะตามความคิดคุณ gon ตรงขั้นที่ 2 ทัน แทบแย่แน่ะ เพิ่งมารู้ว่าต้องใช้เอกลักษณ์แบบนี้
\sin x\sin(x+y+z)+\cos x\cos(x+y+z)
=\cos((x+y+z)-x)=\cos(y+z)=\cos y\cos z-\sin y\sin z

[warut]

โจทย์ข้อ 22 (http://www.mathcenter.net/samakom/2547/2547p03.shtml) น่าจะมีปัญหาอย่างที่คุณ gon บอกจริงๆด้วยล่ะครับ

ผมคิดว่าระดับม.ปลายนี่เรียนแค่ real matrix ยังไม่คลุมไปถึง complex matrix ใช่เปล่าครับ
ปัญหาก็คือ matrix A ขนาด 3 x 3 ที่สอดคล้องกับสมการ A2 = A - I ไม่ใช่ real matrix
ทุกอันเลยครับ ดังนั้นถ้าจะทำข้อนี้ก็ต้องทำแบบ complex matrix เท่านั้นน่ะครับ
ซึ่งผมก็ไม่คิดว่าผู้ออกข้อสอบต้องการให้เป็นเช่นนั้น อย่างไรก็ตามถ้าทำแบบ complex
เราจะได้ว่าข้อความ (1) ในโจทย์ผิด และข้อความ (2) ถูกครับ

พิสูจน์ว่า A ไม่ใช่ real matrix
จะเห็นว่า A เป็น invertible matrix และ A-1 = I - A เพราะ A(I - A) = A - A2 = I
จาก A2 = A - I = -A-1 ดังนั้น A3 = -I
นั่นคือ (det A)3 = (-1)3 = -1 เพราะ A มีมิติ 3 x 3
แสดงว่า det A = -1, e[:pi]i/3, e-[:pi]i/3
ถ้า A เป็น real matrix แล้ว det A ต้องเท่ากับ -1
เนื่องจาก (A + I)2 = A2 + 2A + I = 3A
ดังนั้น (det(A + I))2 = 33det A
ถ้า det A = -1 เราจะได้ det(A + I) = [:plusminus]3[:sqrt]3i
แสดงว่า A + I ไม่ใช่ real matrix ดังนั้น A จึงไม่ใช่ real matrix ด้วย

พิสูจน์ว่าข้อความ (1) ในโจทย์ผิด
จาก A2 = A - I เอา A-1 คูณตลอดจะได้ A = I - A-1 หรือ A + A-1 = I
แต่เรารู้ว่า A-1 = (adj A)/(det A)
ดังนั้น A + (adj A)/(det A) = I
ถ้า det A = -1 เราจะได้ A - adj A = I
แต่ถ้า det A [:notequal] -1 นั่นคือ det A = e[:plusminus][:pi]i/3 เราจะได้ว่าA+\frac{adj A}{\det A}=A-adj A+\left(1+\frac{1}{\det A}\right)adj A=I
แสดงว่า
A-adj A=I\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{\det A}\right)adj A=0\Leftrightarrow adj A=0\Leftrightarrow(\det A)A^{-1}=0
แต่ det A [:notequal] 0 และ A-1 [:notequal] 0 ดังนั้นในกรณีที่ det A = e[:plusminus][:pi]i/3 เราจะได้ว่า A - adj A [:notequal] I
สรุปได้ว่า A - adj A ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ I นั่นคือข้อความ (1) ในโจทย์ผิด

พิสูจน์ว่าข้อความ (2) ในโจทย์ถูก
เนื่องจาก (det(A + I))2 = 33det A [:notequal] 0 เพราะ A invertible
ดังนั้น det(A + I) [:notequal] 0 นั่นคือข้อความ (2) ในโจทย์ถูก

ใครพอมีเวลาก็ช่วยเช็คการพิสูจน์ของผมให้หน่อยนะครับ เพราะมันยาวมากมีโอกาสผิดพลาดสูง
ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[aaaa]

ข้อตรีโกณอาจจะมองแบบนี้ก็ได้ครับ (วิธีของคุณ gon ยอดเยื่อมจริงๆ แต่เผอิญผมมองเฉลยแล้วนึกถึง เอกลักษณ์ ของ Euler)
จากเงื่อนไขโจทย์แปลงเป็นสมการในเทอมของจำนวนเชิงซ้อนได้ดังนี้

e^{ix}+e^{iy}+e^{iz}=2e^{i(x+y+z)}

เอา เทอม e^{i(x+y+z)} หารตลอดจะได้

e^{-i(y+z)}+e^{-i(z+x)}+e^{-i(x+y)}=2

แปลงกลับในเทอมของ sine, cosine ได้เป็นสองสมการ (1)

\cos(y+z)+\cos(z+x)+\cos(x+y)=2,\qquad\sin(y+z)+\sin(z+x)+\sin(x+y)=0

ยกกำลังสองและบวกกัน (ใช้เอกลักษณ์ \sin^2a+\cos^2a=1 และสูตรผลต่าง cosine) จะได้

4=3+2(\cos(y+z-z-x)+\cos(z+x-x-y)+\cos(x+y-y-z))=3+2(\cos(y-z)+\cos(z-x)+\cos(x-y))

ดังนั้น (2)

\cos(y-z)+\cos(z-x)+\cos(x-y)=\frac{1}{2}

เมื่อเอาสมการ (2) ลบสมการแรกของ (1) แล้วหารด้วยสองจะได้คำตอบคือ -3/4

[warut]

เข้าใจแล้วล่ะ...คนออกโจทย์คงมีแนวคิดในการสร้างโจทย์แบบที่คุณ aaaa บอกนี่เอง
นับถือในฝีมือของคุณ aaaa จริงๆเลยครับ

[gon]

ขอบคุณ คุณ warut สำหรับแนวคิดข้อ 22 น่ะครับ. เดี๋ยวขอเวลาผมย่อยสลายแนวคิดต่าง ๆ ก่อน จับปลาหลายมือครับ. ตอนนี้ก็ทำอย่างอื่นอีกด้วย

ข้อตรีโกณ วิธีของคุณ aaaa ก็เยี่ยมครับ. :D สงสัยผมคงต้องหัดคิดอะไร ๆ แบบจำนวนเชิงซ้อนให้มาก ๆ บ้างแล้ว

ขอผมอธิบายแนวคิดของ ข้อ เมทริกซ์ข้อที่ 22 หน่อยนะครับ. ว่าผมงงอะไรอย่างไง ผมลองคิดดูสมมติว่า n = 2, 3 จะเกิดอะไรขึ้น

กรณีที่ n = 2 : โดย Cayley-Hamilton theorem (http://mathworld.wolfram.com/Cayley-HamiltonTheorem.html) ผมก็จะสามารถสร้างเมตริกซ์ทั้ง Real และ Complex ที่มีสมบัติว่า A2 = A - I ได้แน่ ๆ 2 แบบ ที่มี det A = 1 ([:notequal] -1) เช่น
\bmatrix{0 & -1 \\ 1 & 1} , \bmatrix{\omega - 1 & \omega \\ 2 & -\omega} , \, \omega = e^{\frac{\pi\bf{i}}{3}}
ที่งงก็คือ ทำไม det A [:notequal] -1 ทั้งที่ถ้าเล่น A2 = A - I ก็จะได้ว่า det A = -1 ค่าหนึ่ง และ จะรู้ได้ไงว่า det A = 1 จากเงื่อนไขที่ให้มาดังกล่าว :confused:

มาลองดูกรณีที่ n = 3 ดูบ้าง
จาก A2 = A - I หรือ I = A(I - A) เราสรุปได้ว่า det A [:notequal] 0 หรือ A เป็น Non-Singular Matrix ซึ่งมีอินเวอร์สการคูณ เมื่อนำ A คูณตลอดจะได้ A3 = -I หรือ A3 + I = 0 จากตรงนี้ผมลองหาเมทริกซ์ที่มีสมบัติ A3 + I = 0 จะได้ เช่น \bmatrix{0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
อันนี้ชัดเจนว่า det A =-1 แต่ที่งงก็คือ เมื่อ A มีอินเวอร์สการคูณ ก็ย่อมที่จะนำ A-1 มาคูณ A3 + I = 0 ได้ ซึ่งก็จะย้อนกลับไปสู่เงื่อนไข A2 = A - I ซึ่งดู ๆ แล้วก็น่าที่จะเป็นความสัมพันธ์แบบก็ต่อเมื่อ (if and only if) แต่เมื่อตรวจสอบจะพบว่า เมทริกซ์ดังกล่าว กลับไม่มีสมบัติ A2 = A - I :confused:

ที่ผมพยายามจะสรุปก็คือ ไม่มี เมทริกซ์ใดเลย (ไม่แน่ใจว่าใช้ได้กับ Complex ด้วยหรือไม่) ที่มีสมบัติว่า A2 = A - I ทั้งนี้เพราะถ้ามี เราก็จะได้ว่า I = A(I - A) นั่นคือ
|A| \ne 0 \quad \cdots (1)
แต่ A2 = A - I ดังนั้นจะได้ว่า A3 - A2 - A = 0 นั่นคือ
|\lambda I - A | = \lambda^3 - \lambda^2 - \lambda = 0
ซึ่งเมื่อ \lambda = 0 \, เราก็จะได้ว่า |-A| = 0 \Rightarrow | A | = 0 ซึ่งขัดแย้งกับ (1) แบบนี้ได้หรือเปล่า

ซึ่งเมื่อไม่มีเทริกซ์ A ดังกล่าว ทั้งข้อ (1) และ (2) ก็ไม่รู้จะตอบอะไร เพราะมันไม่มีอะไรให้ตอบ หรือ ถ้าจะตอบผมว่าก็ควรจะตอบว่า จริงทั้งคู่ เพราะถ้าเหตุเป็นเท็จ ผมจะสรุปผลอย่างไรก็น่าจะถูกทั้งนั้น

[warut]

สำหรับกรณีที่ n = 2
เนื่องจาก A3 = -I ดังนั้น (det A)3 = (-1)2 = 1 เพราะ n = 2
ดังนั้นถ้า det A เป็นจำนวนจริงแล้ว det A = 1 ได้ค่าเดียวครับ (ไม่สามารถเป็น -1 ได้)

สำหรับกรณีที่ n = 3 ผมขอยกตัวอย่างเปรียบเทียบดังนี้ครับ
สมมติว่ามีสมการพหุนามอยู่อันหนึ่งคือ x2 - x + 1 = 0 ----- (1)
เอา x + 1 ไปคูณสมการ (1) เราจะได้ x3 + 1 = 0 ----- (2)
ซึ่งเราจะพบว่า x = -1 เป็นรากของสมการ (2)
แต่ถ้าเรานำ x = -1 ไปแทนในสมการ (1) จะพบว่าไม่เป็นจริง! ฉันใดก็ฉันนั้นแหละครับ
รากทุกรากของ (1) เป็นรากของ (2)
แต่ไม่ใช่ทุกรากของ (2) จะเป็นรากของ (1)

ส่วน matrix A ที่ทำให้ A2 = A - I มีแน่นอนครับ เช่น A = e[:pi]i/3I หรือ
\pmatrix{e^{\pi i/3}&0&0\\0&e^{\pi i/3}&0\\0&0&e^{-\pi i/3}}

[gon]

อ้อ.ใช่ ๆ กรณี n = 2 ผมเบลอตัวเลขเอง :p
กรณี n = 3 ทีแรกที่ผมตั้งใจจะหาให้ได้ก็คือ Real Matrix ที่มีสมบัติดังกล่าว แต่หายังไงก็หาไม่ได้สักที เพราะผมเข้าใจว่าโจทย์น่าจะหมายถึง Real Matrix แต่ตอนนี้ก็โอเคแล้ว ขอบคุณคุณ warut อีกทีครับ. สมาคม ฯ ปีนี้ดุเดือดจริง ๆ ถ้าวารสารสมาคม ฯ ฉบับหน้าลงข้อสอบพร้อมเฉลยยังไงก็รบกวนคุณ warut ดูให้ด้วยนะครับ. ว่าเขาจะให้คำตอบออกมาแบบไหน อยากรู้จริง ๆ.

[warut]

สรุปอีกทีนะครับ

ถ้าการพิสูจน์ของผมไม่ผิด ก็แปลว่า real matrix A ขนาด 3 x 3 ทุกอันที่ A3 = -I
จะต้องไม่ใช่คำตอบของสมการ A2 = A - I

ในเมื่อคำตอบทุกอันของสมการ A2 = A - I ไม่ใช่ real matrix ก็ไม่มีเหตุผลอะไรอีก
ที่จะต้องคิดว่า det A ต้องเป็นจำนวนจริงเท่านั้น ดังนั้นข้อความ (1) ในโจทย์จึงผิด

ผมก็อยากเห็นเฉลยในหลายๆข้อมาก ออกมาเมื่อไหร่ผมจะ scan มาเอามาแปะไว้ให้ที่นี่ครับ

[nooonuii]

เข้ามายืนยันข้อ matrix ครับว่าไม่มี real matrix ขนาด 1x1 และ 3x3 ที่มีคุณสมบัติว่า A2-A+I=0 ส่วนขนาดอื่นมีหมดครับ แต่ที่ผมพิสูจน์ผมใช้ Rational Canonical Form ซึ่งค่อนข้างจะเป็น advanced linear algebra น่ะครับ แต่ถ้าใครสนใจจะเขียนให้ดูอีกทีครับ

[warut]

ขอบคุณคุณ nooonuii มากครับที่ช่วยเข้ามาเช็คให้อีกแรง

แต่เอ๊...ผมคิดว่าไม่น่าจะมี real matrix A ขนาด n x n โดยที่ n เป็นเลขคี่
ที่สอดคล้องกับสมการ A2 - A + I = 0 เลยนะครับ เพราะการพิสูจน์ (แบบง่ายๆ)
ของผมข้างบนเนี่ยมันใช้ได้ไม่เฉพาะกับกรณี n = 3 เท่านั้นนะครับ แต่มันใช้ได้
กับทุกกรณีที่ n เป็นเลขคี่เลย ยังไงรบกวนคุณ nooonuii ช่วยตรวจสอบการ
"พิสูจน์ว่า A ไม่ใช่ real matrix" ของผมข้างบนให้ด้วยนะครับ หรือคุณ nooonuii
จะช่วยหาตัวอย่าง real matrix ขนาด 5 x 5 ที่สอดคล้องกับสมการดังกล่าวมาให้สักอันก็ได้
แต่การพิสูจน์ขั้นสูงนี่ไม่ต้องเสียเวลาพิมพ์หรอกครับเพราะผมอ่านไม่เข้าใจแน่นอน

[nooonuii]

อืมใช่แล้วครับ คุณ warut ผมลองดูใหม่แล้วพบว่า

real matrix ที่มีคุณสมบัตินี้จะต้องมี minimal polynomial เป็น x2-x+1 ซึ่งจะทำให้ characteristic polynomial อยูในรูป (x2-x+1)k ดังนั้น characteristic polynomial มีกำลังเป็นเลขคู่เสมอ นั่นหมายความว่า ขนาดของ matrix จะต้องเป็นเลขคู่เสมอครับ

อันนี้ตัวอย่างของ matrix ขนาด 4x4 ซึ่งมีคุณสมบัตินี้ครับ

\bmatrix{0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1}

[warut]

ขอบคุณอีกครั้งครับ ถ้าอย่างนี้ผมก็ค่อนข้างมั่นใจแล้วว่าการพิสูจน์ของผมถูกต้อง
ก็คงเหลือแต่รอดูว่าเฉลยจะออกมาอย่างไร

[warut]

จากเฉลยข้อสอบในวารสารของสมาคมฯ ครับ

ข้อ 2. ในเฉลยได้D_{f\circ g}-R_{f\circ g}=\big[-\frac{7}{3},-\frac{5}{3}\big)\subset(-3,-1)นั่นคือข้อ ข. ถูกครับ

ข้อ 8. ในเฉลยเขาเปลี่ยนตัวเลือกข้อ ค. เป็นf\left(\frac{1}{z}\right)=
\frac{f(z)}{z\cdot\bar z}\quad\text{เมื่อ}\quad z\ne0ตรงกับที่คุณ gon คาดไว้ครับ และข้อ ค. นี้คือข้อที่ถูกต้อง

ข้อ 22. ในเฉลยยังยืนกรานให้ A - adj A = I ครับผม :p

ข้อ 32. เขาเปลี่ยนโจทย์เป็น z^3+az^2+(1+i)z-i=0 และได้คำตอบเป็น |a| = [:sqrt]2 ครับ