โจทย์คณิตศาสตร์โลกช่วงชั้น 2

[nan_piglet]

นักวิ่ง a และ b ถ้าวิ่งบนถนนในแนวราบจะวิ่งได้เร็ว140 เมตร/นาที และ 100 เมตร/นาที ตามลำดับ
แต่ถ้าวิ่งลงเนินความเร็วของเขาแต่ละคนจะเพิ่มขึ้นจากความเร็วในแนวราบ 20 เมตร/นาที และถ้าวิ่งขึ้นเนิน
ความเร็วของเขาแต่ละคนก็จะลดลงจากความเร็วในแนวราบ 20 เมตร/นาที ถ้าเขาเริ่มวิ่งจากบนยอดเนินพร้อมๆกัน
และเมื่อวิ่งลงเนินจนถึงข้างล่าง เขาก็จะวิ่งย้อนกลับขึ้นไปใหม่ กลับไปกลับมาเช่นนี้ตลอด
ถ้าระยะทางเมื่อเริ่มนับจากตำแหน่งที่เขาวิ่งสวนกันครั้งที่ 3 เช่นกัน คิดเป็นระยะทาง 200 เมตร

จงหาระยะทางทั้งหมดของเนินเขาแห่งนี้

[คusักคณิm]

391.96 ครับ


วิธีทำ ค่อนข้าง ซับซ้อน คือสมมุติให้ เชิงเนิน ถึงยอด ระยะทาง x


หลักๆคือ หาจุดสวนทางครั้งที่ สาม ของ A กับ B โดย ให้จุดนี้อยู่ห่างจากเชิงเนิน ระยะ N


จะได้ว่า A วิ่ง ลง x ขึ้น x ลง x แล้ว ขึ้น N


B ลง x ขึ้น x ลง x-N โดย เวลาของทั้ง Aและ B จะเท่ากัน ก็หา N = (29/130) x


จากนั้นให้มองว่า การวิ่งขึ้นลง มีความเร็วเฉลี่ยต่อรอบ เท่ากับเท่าไหร่ ของ A มีความเร็ว เฉลี่ย ต่อรอบ = 960/7 B = 350/3


จากนั้นคำนวณดูว่า ถ้า A แซง B เป็นครั้งที่ 3 แสดงว่า ระยะทาง A- ระยะทาง B = 6x


จะได้ระยะทาง A ใน term x = (1728/43) x หรือ 40x กว่าๆ


แสดงว่า A จะแซง B ในครั้งที่ 3 เมื่อ A วิ่งไปได้ 20 รอบ และ B วิ่งไปได้ 17 รอบ


ก็นำมาคำนวณแบบ ละเอียด คือไม่ใช้ความเร็วเฉลี่ย แต่ใช้ความเร็วขาขึ้นขาลงแต่ละรอบ


ก็จะได้จุดที่แซงกัน ครั้งที่ 3 ใน term x = (4/15)x


จากนั้น เข้าสมการ (4/15)x + (29/130)x + 200 = x


แก้สมการ หาค่า X ได้ = 391.96 ครับ

จากวิชาการครับๆๆ:p

[banker]

สรุปความเร็ว ระยะทางของเนิน (x เมตร) ตามเรูปข้างล่างนี้

http://th.upload.sanook.com/embed/2942519779522d071d743784c86ea95d.jpg

ตอนแรก เริ่มต้นลงเนิน แน่นอนว่า a ต้องถึงเชิงเนินก่อน b
ตอนที่ a ถึงเชิงเนิน ใช้เวลา $\frac{x}{160}$ นาที
เวลา $\frac{x}{160}$ นาที b เพิ่งลงมาได้ระยะทาง $\frac{x}{160} \cdot 120 $ = $\frac{3}{4} x $ เมตร

http://th.upload.sanook.com/embed/74b68950a864d3cc8f153f136d1af123.jpg

ขณะนี้ ระยะทาง a กับ b ห่างกัน $\frac{1}{4}x$
ทั้งสองสวนทางกันครั้งแรกที่ ตำแหน่งหมายเลข 1 โดย a วิ่งขึ้น และ b วิ่งลง ด้วยความเร็วเท่ากัน (120 เมตรต่อนาที) จึงพบกันที่จุดกึ่งกลาง

สรุปว่า สวนกันครั้งแรก ที่ตำแหน่ง $\frac{1}{8}x$ จากเชิงเนิน

หลังสวนทางกัน a ก็ขึ้นเนินต่อด้วยระยะทาง $\frac{7}{8}x$ เมตร ก็ถึงยอดเนิน
ระยะทาง $\frac{7}{8}x$ เมตร a ใช้เวลา $\frac{\frac{7x}{8}}{120}$ = $\frac{7x}{8\cdot 120}$นาที

ทีนี้มาดู b หลังจากสวนทาง b ก็ลงเนินด้วยความเร็ว 120 เมตรต่อนาที ระยะทาง $\frac{1}{8}x$ ใช้เวลา $\frac{x}{8\cdot 120}$ นาที ก็ถึงเชิงเนิน

เหลือเวลาที่ b ขึ้นเนิน $\frac{7x}{8\cdot 120} - \frac{x}{8\cdot 120} = \frac{6x}{8\cdot 120} $ นาที

เวลา $\frac{6x}{8\cdot 120} $ นาที b ขึ้นไปได้เระยะทาง $\frac{6x}{8\cdot 120} \cdot 80 = \frac{1}{2}x$

ถึงตรงนี้ a อยู่ยอดเนิน และ b อยู่กึ่งกลางเนิน ดังรูป
http://th.upload.sanook.com/embed/6994ef8df9bce78da72c7e5bcf9b4af0.jpg

ทั้งสองวิ่งเข้าหากัน และสวนกันครั้งที่ 2
1 นาที ทั้งสองวิ่งเข้าหากันได้ระยะทาง 160+80 = 240 เมตร
ระยะทาง $\frac{1}{2}x$ ใช้เวลา $\frac{x}{2\cdot 240}$ นาที

เวลา $\frac{x}{2\cdot 240}$ นาที a วิ่งลงได้ระยะทาง $\frac{x}{2\cdot 240}\cdot 160 = \frac{1}{3}x$

สรุปว่า สวนทางครั้งที่ 2 ที่ตำแหน่ง $\frac{1}{3}x$ จากยอดเนิน

http://th.upload.sanook.com/embed/1663833472bfbef7d2ae410b01110cf9.jpg

b วิ่งขึ้นเนินต่อ ถึงยอด (ระยะทาง $\frac{1}{3}x$ ด้วยความเร็ว 80 เมตรต่อนาที)
b ใช้เวลา $\frac{x}{3 \cdot 80}$ นาที

ขณะเดียวกัน a ก็วิ่งลง
ตอนที่ b ถึงยอดใช้เวลา $\frac{x}{3 \cdot 80}$ นาทีนั้น a วิ่งลงได้ระยะทาง $\frac{x}{3 \cdot 80}\cdot 160$ = $\frac{2}{3} x$ นาที ซึ่งถึงเชิงเนินพอดี

สรุปตรงนี้ว่า b อยู่ยอดเนิน และ a อยู่เชิงเนิน จะวิ่งเข้าหากันด้วยความเร็วที่เท่ากันคือ 120 เมตรต่อนาที

ความเร็วเท่ากัน จะสวนกันหรือพบกันที่กึ่งกลางทางพอดี

แต่โจทย์บอกว่า = 200 เมตร

ดังนั้นเนินนี้จึงมีระยะทาง 400 เมตร ANS

[nan_piglet]

ขอบคุณค่ะ


จำนวนเต็ม 12 จำนวน ได้แก่ 1,2,3,...,12 นำมาจัดเรียงล้อมรอบเป็นรูปวงกลมคล้ายกับตัเลขบนหน้าปัดนาฬิกา
โดยกำหนดให้ค่าแตกต่างของจำนวนที่อยู่ติดกันสองจำนวนใดๆเป็น 2,3,4 ค่าใดค่าหนึ่ง
จากการเรียงภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว จะสามารถทำให้เกิดค่าแตกต่างเท่ากับ 4 ได้มากที่สุดกี่ครั้ง

[Furry]

ข้อหลังนี้ตอบ7ครั้งครับ..แต่ข้อแรกโจทย์ช่วงสุดท้าย..''ถ้าระยะทางเมื่อเริ่มนับจากตำแหน่งที่เขาวิ่งสวนกันครั้งที่ 3 เช่นกัน คิดเป็นระยะทาง 200 เมตร'' ผมอ่านแล้วงงงง.....อยากขอเปลี่ยนเป็น..'' ถ้าระยะทางจากยอดเนินถึงตำแหน่งที่เขาวิ่งสวนกันครั้งที่ 3 เป็น 200 เมตร '' ก็จะตรงตามที่คุณbankerสรุปช่วงท้ายพอดี...แต่โจทย์ที่เคยพิมพ์เผยแพร่โดยสสวท.เป็นดังนี้..''ถ้าจุดที่นักวิ่งAและBวิ่งสวนกันครั้งที่ สามห่างจากจุดที่นักวิ่งAวิ่งมาทัน(วิ่งแซง)นักวิ่งBครั้งที่สามเป็นระยะทาง200เมตร''...ถ้ายึดตามสสวท.ก็ต้องไปหาว่าจุดที่นักวิ่งAวิ่ งมาทัน(วิ่งแซง)นักวิ่งBครั้งที่สามอยู่ตรงไหนเสียก่อน..จึงจะหาระยะทางจากยอดเนินถึงเชิงเนินได้...

[nan_piglet]

ข้อหลังนี้คิดยังไงหรอคะ

ขอบคุณสำหรับแนวคิดดีๆนะคะ

[banker]

ตอบคำถามคุณnan_piglet

สรุป a และ b สวนกันครั้งที่ 3 ตรงกึ่งกลางเนิน

เมื่อ a ถึงยอดเนิน b ก็ถึงเชิงเนิน (ความเร็วเท่ากัน ระยะทางเท่ากัน)

คราวนี้มาดูว่า a จะแซง b ตรงไหน (a อยู่ยอดเนิน b อยู่เชิงเนิน)
http://th.upload.sanook.com/embed/2942519779522d071d743784c86ea95d.jpg

a ลงเนินด้วยความเร็ว 160 เมตรต่อนาที ถึงเชิงเนินใช้เวลา $ \frac{x}{160}$ นาที
เวลา $ \frac{x}{160}$ นาทีนาที b ขึ้นไปได้ระยะทาง $ \frac{x}{160} \times 80$ = $ \frac{x}{2} $ เมตร


ตอนนี้ a (อยู่เชิงเนิน) เริ่มกวด b ซึ่งอยู่กึ่งกลางเนิน

ระยะทาง $ \frac{x}{2} $ เมตร b ใช้เวลา $ \frac{x}{2}\times \frac{1}{80} $ นาที ก็ถึงยอดเนิน

เวลา $ \frac{x}{2}\times \frac{1}{80} $ นาที a ขึ้นไปได้ระยะทาง เวลา $ \frac{x}{2}\times \frac{1}{80} \times 120 = \frac{3x}{4} $ เมตร

สรุปภาพตอนนี้ b อยู่ยอดเนิน a กำลังขึ้นเนินและอยู่$\frac{3x}{4} $ เมตร
http://th.upload.sanook.com/embed/914fda6cd15e21a13605ff2b918ae3d4.JPG
ถัดจากนี้ เราจะหาว่าเมื่อ a ถึงยอดเนิน b จะอยู่ตรงไหน

ระยะทาง $\frac{x}{4} $ เมตร, $\ \ \ \ $ a ใช้เวลา $\frac{x}{4} \times \frac{1}{120}$ นาที ก็ถึงยอดเนิน

แล้วตอนนี้ b อยู่ตรงไหน

b ลงเนินด้วยความเร็ว 120 เมตรต่อนาที ได้ระยะทาง $\frac{x}{4} \times \frac{1}{120} \times 120 = \frac{x}{4}$ เมตร

ตอนนี้แหละครับ a จะแซง b แล้ว ..... ดูรูปอีกทีนะครับ
http://th.upload.sanook.com/embed/1b0d8ef4a7350fb6603ba45bbc4b7af3.jpg

ตอน a ทัน b ใช้เวลาเท่ากัน (ให้ b วิ่งได้ระยะทาง y เมตร)
เวลที่ a ใช้ = เวลาที่ b ใช้ ........(a 160เมตรต่อนาที b 120 เมตรต่อนาที)

$\dfrac{(\frac{x}{4}+y)}{160} = \dfrac{y}{120}$ ............(เวลา = $\frac{ระยะทาง}{ความเร็ว}$)

$y = \frac{3x}{4}$

นั่นก็แปลว่า a ทัน b ที่เชิงเนินพอดี

สรุปว่า สวนทางกันครั้งที่ 3 ที่กึ่งกลางเนิน หลังจากนั้นมาทันกันที่เชิงเนิน

โจทย์บอกว่า ''ถ้าจุดที่นักวิ่งAและBวิ่งสวนกันครั้งที่ สามห่างจากจุดที่นักวิ่งAวิ่งมาทัน(วิ่งแซง)นักวิ่งBครั้งที่สามเป็นระยะทาง200เมตร'

ดังนั้นเนินนี้สูง 400 เมตร ANS
(กว่าจะแซงได้ คนทำโจทย์เหนื่อยจัง):D

[nan_piglet]

จำนวนเต็ม 12 จำนวน ได้แก่ 1,2,3,...,12 นำมาจัดเรียงล้อมรอบเป็นรูปวงกลมคล้ายกับตัเลขบนหน้าปัดนาฬิกา
โดยกำหนดให้ค่าแตกต่างของจำนวนที่อยู่ติดกันสองจำนวนใดๆเป็น 2,3,4 ค่าใดค่าหนึ่ง
จากการเรียงภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว จะสามารถทำให้เกิดค่าแตกต่างเท่ากับ 4 ได้มากที่สุดกี่ครั้ง
ขอแนวคิดโจทย์หน่อยค่ะ

[banker]

ยังไม่ต่อยเข้าใจโจทย์ แต่ลองจัดหมวดต่าง 4 ได้ดังนี้
12 8 4
11 7 3
10 6 2
9 5 1

มีอบู่ 8 ครั้ง

[Furry]

''ถ้าจุดที่นักวิ่งAและBวิ่งสวนกันครั้งที่สามห่างจากจุดที่นักวิ่งAวิ่งมาทัน(วิ่งแซง)นักวิ่งBครั้งที่สามเป็นระยะทาง200เมตร''..รบกว นคุณbankerสรุปให้หน่อยครับว่านักวิ่งAวิ่งมาทัน(วิ่งแซง)นักวิ่งBครั้งที่1,2,3เมื่อใดบ้างครับ..ขอบคุณครับ

[banker]

จากที่ทำมาสองตอนข้างบนนี้ ได้ข้อสรุปว่า สวนกันครั้งที่สามตรงกึ่งกลางทาง
ไล่ทันกันครั้งแรกดังที่แสดงในตอนที่สอง

ถ้าต้องการรู้ว่าไล่ทันกันครั้งที่สามเมื่อไร ที่ไหน ก็ลองทำตามแนวทางวิธีคิดที่แสดงไว้ข้างต้น ก็จะได้คำตอบ

[Furry]

ขอบคุณคุณbankerมากครับ

[banker]

กลับมาบอกว่า เมื่อทำต่อแล้ว คำตอบยังเหมือนเดิม คือ เนินนี้สูง 400 เมตร

[Furry]

กลับมาขอบคุณอีกครั้งครับคุณbanker

[linlyse]

มีโจทย์คณิตศาสตร์โลกมาให้ช่วยคิด 3ข้อคะ

1.นำเลขจำนวนนับที่เรียงต่อเนืองกัน มาจัดแยกออกเป็นกลุ่มๆดังตัวอย่างต่อไปนี้
(1),(2,3),(4,5,6),...,(7,8,9,10),...
นั่นคือกลุ่มแรกมีเลขจำนวนนับอยู่ 1 จำนวน กลุ่มที่สองมีเลขจำนวนนับอยู่ 2 จำนวน กลุ่มที่สามมีเลขจำนวน
นับอยู่ 3 จำนวน เป็นเช่นนี้เรื่อยๆไป จงหาผลบวกของเลขจำนวนรับทุกจำนวนที่อยู่ในกลุ่มที่ 2007

2.จำนวนพาลินโดรมิก คือ จำนวนนับที่มีค่าเท่าเดิม ไม่ว่าจะอ่านจากซ้ายไปขวา หรือจากขวาไปซ้ายก็ตาม ตัวอย่างเช่น 11511 22222 10001
จงหาอัตราส่วนในรูปของเศษาส่วนอย่างตำ

ระหว่างจำนวนพาลินโดรมิกห้าหลักที่มีค่าเป็นพหุคูณของ 11 ทุกจำนวนกับจำนวนพาลินโดรมิกห้าหลักทั้งหมด
3. จำนวนตัวเลข 3 หลัก ซึ่งมีเลขโดดแต่ละหลักแตกต่างกัน เมื่อนำเลขโดดทั้งสามมาจัดเรียงเป็นจำนวนใหม่ จะได้ว่าค่าที่มากที่สุดและค่าที่น้อยที่สุดเป็นตัวเลข 3 หลักเมื่อตอนเริ่มต้น จงหาจำนวนตัวเลข3หลัก เมื่อตอนเริ่มต้นคือจำนวนใด

[banker]

มีโจทย์คณิตศาสตร์โลกมาให้ช่วยคิด 3ข้อคะ

1.นำเลขจำนวนนับที่เรียงต่อเนืองกัน มาจัดแยกออกเป็นกลุ่มๆดังตัวอย่างต่อไปนี้
(1),(2,3),(4,5,6),...,(7,8,9,10),...
นั่นคือกลุ่มแรกมีเลขจำนวนนับอยู่ 1 จำนวน กลุ่มที่สองมีเลขจำนวนนับอยู่ 2 จำนวน กลุ่มที่สามมีเลขจำนวนนับอยู่ 3 จำนวน เป็นเช่นนี้เรื่อยๆไป จงหาผลบวกของเลขจำนวนรับทุกจำนวนที่อยู่ในกลุ่มที่ 2007



กลุ่มที่ 1 มี 1 จำนวน
กลุ่มที่ 2 มี 2 จำนวน
กลุ่มที่ 3 มี 3 จำนวน
กลุ่มที่ 4 มี 4 จำนวน
.
.
.
กลุ่มที่ 2006 มี 2006 จำนวน

เมื่อรวมจำนวนจากลุ่มที่ 1 ถึงกลุ่มที่ 2006 มีทั้งหมด $\frac{(2006)(2006+1)}{2} = 2013021 $


ดังนั้นจำนวนสุดท้ายของกลุ่มที่ 2006 คือ 2013021
ดังนั้นจำนวนแรกของกลุ่มที่ 2007 คือ 2013022
จำนวนที่สองของกลุ่มที่ 2007 คือ 2013023
.
.
.
ดังนั้นจำนวนที่2007ของกลุ่มที่ 2007 คือ 2015028

ผลรวมของเลขจำนวนนับทุกจำนวนที่อยู่ในกลุ่มที่ 2007 = $(2013021\times 2007) + (1+2+3+....+2007)$

$4 040 133 147 + 2 015 028 = 4 042 148 175$

[banker]

3. จำนวนตัวเลข 3 หลัก ซึ่งมีเลขโดดแต่ละหลักแตกต่างกัน เมื่อนำเลขโดดทั้งสามมาจัดเรียงเป็นจำนวนใหม่ จะได้ว่าค่าที่มากที่สุดและค่าที่น้อยที่สุดเป็นตัวเลข 3 หลักเมื่อตอนเริ่มต้น จงหาจำนวนตัวเลข3หลัก เมื่อตอนเริ่มต้นคือจำนวนใด

อ่านแล้วไม่เข้าใจ จขกท.ช่วยดูโจทย์ให้หน่อยครับว่าที่โพสต์มาเหมือนต้นฉบับหรือเปล่า เหมือนๆจะตกข้อความบางข้อความหรือเปล่าครับ


เช่น
3. จำนวนตัวเลข 3 หลัก ซึ่งมีเลขโดดแต่ละหลักแตกต่างกัน เมื่อนำเลขโดดทั้งสามมาจัดเรียงเป็นจำนวนใหม่ จะได้ว่าผลต่างของค่าที่มากที่สุดและค่าที่น้อยที่สุดเป็นตัวเลข 3 หลักเมื่อตอนเริ่มต้น จงหาจำนวนตัวเลข3หลัก เมื่อตอนเริ่มต้นคือจำนวนใด


หรือแบบนี้
3. จำนวนตัวเลข 3 หลัก ซึ่งมีเลขโดดแต่ละหลักแตกต่างกัน เมื่อนำเลขโดดทั้งสามมาจัดเรียงเป็นจำนวนใหม่ จะได้ว่าผลบวกของค่าที่มากที่สุดและค่าที่น้อยที่สุดเป็นตัวเลข 3 หลักเมื่อตอนเริ่มต้น จงหาจำนวนตัวเลข3หลัก เมื่อตอนเริ่มต้นคือจำนวนใด


เป็นต้น

[linlyse]

-
ขอบคุณมากคะ สำหรับคำตอบข้อที่ 1 สำหรับข้อที่ 3 พิมพ์ตกหล่นไปจริงๆ ขอโทษคะ
3.จำนวนตัวเลข 3 หลักซึ่งมีเลขโดดแต่ละหลักแตกต่างกัน เมื่อนำเลขโดดทั้งสามมาจัดเรียงเป็นจำนวนใหม่ จะได้วาค่าที่มากที่สุดและค่าที่น้อยที่สุดเป็นตัวเลขสามหลัก ผลต่างระหว่างค่าที่มากที่สุดและค่าที่น้อยที่สุดจะมีค่าเท่ากับจำนวนตัวเลข 3 หลักเมื่อตอนเริ่มต้น จงหาจำนวนตัวเลข 3หลักเมื่อตอนเริ่มต้นคือจำนวนใด

[banker]

เลข 3 หลักจำนวนนั้นคือ 495

ค่าที่มากที่สุดคือ 954

และค่าที่น้อยที่สุด คือ 459

$ \ \ \ \ \ 9 5 4 $
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -$

$ \ \ \ \ $ \(\underline{4 5 9}\)


$ \ \ \ \ \ 4 9 5$
$ \ \ \ \ $ \(\underline{--}\)

[linlyse]

ขอบคุณมากนะค่ะคุณ BANKER สำหรับคำตอบทั้ง 2 ข้อ หูตาสว่างเลยค่ะ
วันนี้ขอความรู้เพิ่มเติมสมาชิกอีก 3 ข้อนะค่ะ
1. มีรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ารูปเล็กเขียนสัมผัสอยู่ภายในรูปวงกลม และมีรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ารูปใหญ่เขียนล้อม
รอบรูปวงกลม ถ้าพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ารูปใหญ่เท่ากับ 10 ตารางหน่วย จงหาว่าพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยม
รู ปเล็กเท่ากับกี่ตารางหน่วย

2.จากจำนวนนับ 1 2 3 4 5 ... ให้ตัดตัวเลขที่เป็นผลคูณของ 2 และผลคูณของ 3ทิ้งไป แต่ให้เก็บจำนวน
ที่เป็นผลคูณของ 5 ไว้ โดยมีจำนวนที่เหลือดังนี้ 1 5 7 10 11 13 15 17 19 20 23 25 29
30 ...
จากลำดับจำนวนตัวเลขข้างต้น จงหาจำนวนที่อยู่ในลำดับที่ 2006

3. ท่อส่งน้ำ 3 อัน คือ ท่อ A B และ C ทำงานร่วมกัน สามารถเติมน้ำให้เต็มถังในเวลา 6 ชั่วโมง
หลังจากท่อทั้งสามทำงานร่วมกันไป 2 ชั่วโมง ท่อ C ถูกปิด และท่อ A กับB ต้องใช้เวลาอีก 7 ชั่วโมงเพื่อเติมน้ำ
ให้เต็มถัง ถ้าสมมุติให้ท่อ C ทำงานเพียงท่อเดียว ท่อ C ต้องใช้เวลาในการเติมน้ำจนเต็มถังในเวลากี่ชั่วโมง

ทั้ง 3 ข้อ เป็นข้อสอบคณิตศาสตร์ที่ ฮ่องกง ปี 2551 ค่ะ

[คusักคณิm]

ขอบคุณมากนะค่ะคุณ BANKER สำหรับคำตอบทั้ง 2 ข้อ หูตาสว่างเลยค่ะ
วันนี้ขอความรู้เพิ่มเติมสมาชิกอีก 3 ข้อนะค่ะ
1. มีรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ารูปเล็กเขียนสัมผัสอยู่ภายในรูปวงกลม และมีรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ารูปใหญ่เขียนล้อม
รอบรูปวงกลม ถ้าพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ารูปใหญ่เท่ากับ 10 ตารางหน่วย จงหาว่าพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยม
รู ปเล็กเท่ากับกี่ตารางหน่วย

2.จากจำนวนนับ 1 2 3 4 5 ... ให้ตัดตัวเลขที่เป็นผลคูณของ 2 และผลคูณของ 3ทิ้งไป แต่ให้เก็บจำนวน
ที่เป็นผลคูณของ 5 ไว้ โดยมีจำนวนที่เหลือดังนี้ 1 5 7 10 11 13 15 17 19 20 23 25 29
30 ...
จากลำดับจำนวนตัวเลขข้างต้น จงหาจำนวนที่อยู่ในลำดับที่ 2006

3. ท่อส่งน้ำ 3 อัน คือ ท่อ A B และ C ทำงานร่วมกัน สามารถเติมน้ำให้เต็มถังในเวลา 6 ชั่วโมง
หลังจากท่อทั้งสามทำงานร่วมกันไป 2 ชั่วโมง ท่อ C ถูกปิด และท่อ A กับB ต้องใช้เวลาอีก 7 ชั่วโมงเพื่อเติมน้ำ
ให้เต็มถัง ถ้าสมมุติให้ท่อ C ทำงานเพียงท่อเดียว ท่อ C ต้องใช้เวลาในการเติมน้ำจนเต็มถังในเวลากี่ชั่วโมง

ทั้ง 3 ข้อ เป็นข้อสอบคณิตศาสตร์ที่ ฮ่องกง ปี 2551 ค่ะ

โปวเหลี่ยงก๊ก ปี 2549 ไม่ใช่หรอครับ :rolleyes:

รูปประกอบข้อ1 ครับ:great:

[banker]

3. ท่อส่งน้ำ 3 อัน คือ ท่อ A B และ C ทำงานร่วมกัน สามารถเติมน้ำให้เต็มถังในเวลา 6 ชั่วโมง
หลังจากท่อทั้งสามทำงานร่วมกันไป 2 ชั่วโมง ท่อ C ถูกปิด และท่อ A กับB ต้องใช้เวลาอีก 7 ชั่วโมงเพื่อเติมน้ำ
ให้เต็มถัง ถ้าสมมุติให้ท่อ C ทำงานเพียงท่อเดียว ท่อ C ต้องใช้เวลาในการเติมน้ำจนเต็มถังในเวลากี่ชั่วโมง




สามถัง ได้น้ำชั่วโมงละ $\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{1}{6}$ ถัง ..........(1)

สามถังทำงาน 2 ชั่วโมงได้น้ำ $\frac{2}{6}$ ถัง เหลือน้ำที่ยังไม่ได้เติม $\frac{4}{6}$ ถัง


A + B 7 ชั่วโมง เต็มถัง ได้น้ำ $\frac{4}{6}$ ถัง

A + B 1 ชั่วโมง เต็มถัง ได้น้ำ $ (\frac{4}{6} \times \frac{1}{7})$ ถัง ..........(2)


(1) - (2) $ \frac{1}{C} = \frac{1}{6} - (\frac{4}{6} \times \frac{1}{7}) = \frac{3}{42}$


C ท่อเดียวใช้เวลา $ \frac{42}{3} = 14 $ ชั่วโมง

[nongtum]

#22
แก้ที่ผิดให้ครับ
A + B 1 ชั่วโมง เต็มถัง ได้น้ำ $ (\frac{4}{6} \color{red}{\times} \frac{1}{7})$ ถัง ..........(2)


(1) - (2) $ \frac{1}{C} = \frac{1}{6} - (\frac{4}{6} \color{red}{\times} \frac{1}{7}) = \frac{3}{42}$


C ท่อเดียวใช้เวลา $ \frac{42}{3} = 1\color{red}{4} $ ชั่วโมง

[banker]

#22
แก้ที่ผิดให้ครับ

ขอบคุณครับ วันนี้เมาแต่เช้า :haha:

[banker]

1. มีรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ารูปเล็กเขียนสัมผัสอยู่ภายในรูปวงกลม และมีรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ารูปใหญ่เขียนล้อมรอบรูปวงกลม ถ้าพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ารูปใหญ่เท่ากับ 10 ตารางหน่วย จงหาว่าพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมรู ปเล็กเท่ากับกี่ตารางหน่วย



ข้อนี้ ถ้าอัตราส่วน $ \frac{พื้นที่หกเหลี่ยมเล็ก}{พื้นที่หกเหลี่ยมใหญ่} = \frac{3}{4}$

ก็จะตอบว่า พื้นที่หกเหลี่ยมเล็กที่อยู่ข้างใน = $7.5$ ตารางหน่วย


ปัญหาคือจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่า $ \frac{พื้นที่หกเหลี่ยมเล็ก}{พื้นที่หกเหลี่ยมใหญ่} = \frac{3}{4}$



มาพิสูจน์ดูครับ

พื้นที่สามเหลี่ยม $ AOB = \frac{\sqrt{3} }{4} AB\cdot AB = \frac{1}{2} OE \cdot AB $

$OE = \frac{\sqrt{3} }{2} AB$

แต่ $ OE = OD = \frac{\sqrt{3} }{2} AB = $ รัศมีวงกลม = ด้านของหกเหลี่ยมเล็ก

$ \frac{พื้นที่หกเหลี่ยมเล็ก}{พื้นที่หกเหลี่ยมใหญ่} = \dfrac{ \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot (\dfrac{\sqrt{3}} {2}\cdot AB)^2 }{\dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot AB^2} = \dfrac{3}{4}$

[linlyse]

เข้ามาขอบคุณ คุณBANKER ค่ะ ขอบคุณค่ะ ส่วนที่น้องคนรักคณิต บอกว่าสำหรับโจทย์ข้อนี้เป็นข้อสอบของปี 2549 ถูกต้องแล้วค่ะ

[banker]

2.จากจำนวนนับ 1 2 3 4 5 ... ให้ตัดตัวเลขที่เป็นผลคูณของ 2 และผลคูณของ 3ทิ้งไป แต่ให้เก็บจำนวน
ที่เป็นผลคูณของ 5 ไว้ โดยมีจำนวนที่เหลือดังนี้ 1 5 7 10 11 13 15 17 19 20 23 25 29 30 ... จากลำดับจำนวนตัวเลขข้างต้น จงหาจำนวนที่อยู่ในลำดับที่ 2006



เข้ามาบอกว่า ข้อนี้ยังคิดไม่ออก :D

วิธีที่ผมคิดคือ

1 หารูปแบบของจำนวนที่เหลือ (1 5 7 10 11 13 15 17 19 20 23 25 29 30 ... ) ก็ยังมองไม่ออกว่าเป็นรูปแบบใด


2. ใช้การคำนวน จากจำนวนนับ 1 2 3 4 5 ...30 มี 30 จำนวน เมื่อตัดออกมาแล้ว เหลือ 14 จำนวน (1 5 7 10 11 13 15 17 19 20 23 25 29 30 ) เพื่อคำนวนย้อนไปหาจำนวนที่2006 ก็ยังคิดไม่ออก

3. จำนวนเฉพาะ + จำนวนที่เป็นพหุคูณของ 5 รวมกันเท่ากับ 2006 จำนวน



เทพทั้งหลายไม่มาช่วยคิด ก็ช้าหน่อยครับ :haha:

[banker]

ไปนับดูแล้วครับ จำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 6090 มีจำนวนเฉพาะ 784 จำนวน และพหุคูณของ 5 อีก 1218 จำนวน รวมกันได้ 2002

หักจำนวนเฉพาะ 2 3 5 ออก เพิ่ม 1 เท่ากับ 2000 จำนวน

6090 6091 6092 6093 6094 6095 6096 6097 6098 6099 6100 6101 6102 6103

สีน้ำเงินคือ พหุคูณของ 2 หรือ 3 ตัดออก
สีส้มคือจำนวนเฉพาะ เอาไว้

6090 คือจำนวนที่ 2000
6091 คือจำนวนที่ 2001
6095 คือจำนวนที่ 2002
6097 คือจำนวนที่ 2003
6100 คือจำนวนที่ 2004
6101 คือจำนวนที่ 2005
6103 คือจำนวนที่ 2006
(6103 = 17 x 359)


นับจำนวนเฉพาะจนตาเหล่ไปเลยครับ :haha:

ข้อนี้ยังไม่ชัวร์ครับ รอเทพมาตรวจสอบ :D

[หยินหยาง]

2.จากจำนวนนับ 1 2 3 4 5 ... ให้ตัดตัวเลขที่เป็นผลคูณของ 2 และผลคูณของ 3ทิ้งไป แต่ให้เก็บจำนวน
ที่เป็นผลคูณของ 5 ไว้ โดยมีจำนวนที่เหลือดังนี้ 1 5 7 10 11 13 15 17 19 20 23 25 29
30 ...
จากลำดับจำนวนตัวเลขข้างต้น จงหาจำนวนที่อยู่ในลำดับที่ 2006


hint ใ้หใช้เรื่องเซตครับ

[banker]

แล้วตกลงคำตอบคืออะไรครับ

ประถมยังไม่เรียนเรื่องเซต

[หยินหยาง]

แล้วตกลงคำตอบคืออะไรครับ

ประถมยังไม่เรียนเรื่องเซต

คำตอบคือ 4300
แต่ข้อนี้เป็นข้อสอบประถมโลก อย่าว่าแต่เรื่องเซตเลยครับ:)

[คusักคณิm]

รู้ไว้ ไม่เสียหายครับ :unsure:
เชื่อเถอะครับ ตัวแทนไปคณิตประถมโลกไม่มีใครไม่รู้เรื่อง เซตหรอกครับ
อย่าว่าแต่เซตเลย ตรีโกณก็รู้เกือบทุกคนแล้ว

ข้อสอบบางข้อความรู้มัธยมปลายครับ :happy:

[linlyse]

ขออนุญาตนำข้อสอบ"โปว เหลียง ก๊ก"คณิตศาสตร์โลก ฮ่องกงที่ยังคิดไม่ออก อธิบายไม่ได้ มาขอความรู้สมาชิกอีกระลอกคะ ดังนี้
1.มีลูกหินที่มีลักษณะเหมือนกันทุกประการจำนวน 12 ลูก บรรจุอยู่ในถุงใบหนึ่ง กำหนดให้หยิบลูกหินเหล่านี้ออกมาจากถุงได้ครั้งละ 2 3 หรือ 4
ลูกเท่นั้น ถ้าต้องการหยิบลูกหินเหล่านี้ออกมาจากถุงจนหมด จงหาว่า จะมีวิธีการหยิบออกมาจากถุงได้ทั้งหมดกี่วิธีที่แตกต่างกัน โดยให้นับรวมทั้งวิธีในตัวอย่าง ต่อไปนี้ด้วย
ก. หยิบ 4 ลูก หยิบ 3 ลูก หยิบ 3 ลูก และสุดท้ายหยิบ 2 ลูก
ข. หยิบ 2 ลูก หยิบ 3 ลูก หยิบ 3 ลูก และสุดท้ายหยิบ 4 ลูก
ค. หยิบ 2 ลูก หยิบ 2 ลูก หยิบ 2 ลูก หยิบ 3 ลูก และสุดท้ายหยิบ 3 ลูก

2.มีเส้นคู่ขนานคู่หนึ่ง กำหนดจุด 6 จุดอยู่บนเส้นตรงแต่ละเส้นดังรูป จงหาว่า ถ้าใช้จุด 3 จุดใดๆจาก 12 จุดนี้ สร้างรูปสามเหลี่ยม จะสร้างได้ทั้งหมดกี่รูป


3.จากรูปที่กำหนดให้นี้ AE=30 cm CE=60cm BE=80cm และ DE=40cm ให้หาอัตราส่วนของพื้นที่รวมของ
พื้นที่รูปสามเหลี่ยม III และ IV กับพื้นที่รวมของรูปสามเหลี่ยม I และ II เท่ากับเท่าไร


4.ภาชนะบรรจุน้ำมีฝาปิดสนิท เป็นทรงกระบอกมีรัศมี 1 ซม. ต่อกับทรงกระบอกมีรัศมี 3 ซม. ดังรูป ก เมื่อตั้งภาชนะบรรจุน้ำไว้ ความสูงของน้ำในภาชนะเท่ากับ 20ซม. ดังในภาพตัดขวางรูป ข แต่เมื่อคว่ำภาชนะบรรจุน้ำลง ความสูงของน้ำในภาชนะเท่ากับ 28 ซม. ดังรูป ค จงหาความสูงทั้งหมดของภาชนะบรรจุน้ำนี้

ข้างล่างเป็นรูปประกอบของข้อ 2, 3, 4 ตามลำดับคะ :):cry::nooo::tired:

[banker]

4.ภาชนะบรรจุน้ำมีฝาปิดสนิท เป็นทรงกระบอกมีรัศมี 1 ซม. ต่อกับทรงกระบอกมีรัศมี 3 ซม. ดังรูป ก เมื่อตั้งภาชนะบรรจุน้ำไว้ ความสูงของน้ำในภาชนะเท่ากับ 20ซม. ดังในภาพตัดขวางรูป ข แต่เมื่อคว่ำภาชนะบรรจุน้ำลง ความสูงของน้ำในภาชนะเท่ากับ 28 ซม. ดังรูป ค จงหาความสูงทั้งหมดของภาชนะบรรจุน้ำนี้

ปริมาตรสองข้างเท่ากัน

$ (\pi 1 ^2 x ) + (\pi 3^2(20-x)) = (\pi 1^2(h_1 + x)) + (\pi 3^2(28 - h_1 - x))$

$x + 180 - 9x = h_1 + x +252 -9h_1 - 9x$

$h_1 = 9 $

ความสูงทั้งหมดของภาชนะบรรจุน้ำนี้ = $20+9 = 29 $ ซม.

[banker]

3.จากรูปที่กำหนดให้นี้ AE=30 cm CE=60cm BE=80cm และ DE=40cm ให้หาอัตราส่วนของพื้นที่รวมของ
พื้นที่รูปสามเหลี่ยม III และ IV กับพื้นที่รวมของรูปสามเหลี่ยม I และ II เท่ากับเท่าไร


ใช้หลัก พื้นที่สามเหลี่ยมกับอัตราส่วนของด้าน



ให้ $\bigtriangleup IV $ มีพื้นที่ $= x$ ตารางหน่วย

จะได้ $\bigtriangleup II = 2x, \ \ \ \bigtriangleup III = 4x \ \ \ \bigtriangleup I = 2x $

$(III + IV) : ( I + II) = (4x + x) : (2x +2x)$


$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 5 : 4$

[Furry]

2.จากจำนวนนับ 1 2 3 4 5 ... ให้ตัดตัวเลขที่เป็นผลคูณของ 2 และผลคูณของ 3ทิ้งไป แต่ให้เก็บจำนวน
ที่เป็นผลคูณของ 5 ไว้ โดยมีจำนวนที่เหลือดังนี้ 1 5 7 10 11 13 15 17 19 20 23 25 29
30 ...จากลำดับจำนวนตัวเลขข้างต้น จงหาจำนวนที่อยู่ในลำดับที่ 2006
จะลองตอบแบบประถมดูนะครับ..โจทย์ให้ตัวอย่าง1ถึง30มาเพราะอยากให้เราฝึกสังเกตก่อนจะคิดถึง
ลำดับที่2006...จากเลข1ถึง30จะพบว่าต้อง
หักออกด้วยจำนวนที่หารด้วย2ลงตัวจำนวน30หาร2คือ15ตัว
หักออกด้วยจำนวนที่หารด้วย3ลงตัวจำนวน30หาร3คือ10ตัว
บวกกลับด้วยจำนวนที่หารด้วย2คูณ3ลงตัวจำนวน30หาร6คือ5ตัว(เพราะหักซ้ำซ้อน)
บวกด้วยจำนวนที่หารด้วย2คูณ5ลงตัวจำนวน30หาร10คือ3ตัว
บวกด้วยจำนวนที่หารด้วย3คูณ5ลงตัวจำนวน30หาร15คือ2ตัว
ลบคืนด้วยจำนวนที่หารด้วย2คูณ3คูณ5ลงตัวจำนวน30หาร30คือ1ตัว(เพราะบวกซ้ำซ้อน)
เราจะพบว่า1ถึง30จะถูกหักออกและบวกเข้าจนเหลือ14ตัวตามที่โจทย์ให้มา
จากนั้นเอา14ไปหาร2006ได้143เศษ4
นำ143คูณ30ได้4290คราวนี้ก็เหลือแค่เศษ4
ต่อจาก4290ไปอีก4ตัวเลขที่ตรงตามเกณฑ์ที่กำหนดคือ4291,4295,4297และ4300
ดังนั้นจำนวนที่ต้องการคือ4300ครับ

[Furry]

2.มีเส้นคู่ขนานคู่หนึ่ง กำหนดจุด 6 จุดอยู่บนเส้นตรงแต่ละเส้นดังรูป จงหาว่า ถ้าใช้จุด 3 จุดใดๆจาก 12 จุดนี้ สร้างรูปสามเหลี่ยม จะสร้างได้ทั้งหมดกี่รูป
เริ่มจากการสร้างสามเหลี่ยมในข้อนี้ต้องใช้2กรณีครับ
กรณีแรก..จุด2จุดต้องอยู่บนเส้นที่1และจุดที่3ต้องอยู่บนเส้นที่2
กรณีที่2..จุด2จุดต้องอยู่บนเส้นที่2และจุดที่3ต้องอยู่บนเส้นที่1
กรณีแรกเลือกจุด2จุดบนเส้นที่1ได้5+4+3+2+1=15วิธีและเลือกจุดที่3ได้6วิธีเป็น15คูณ6=90วิธี
กรณีที่2พิจารณาแล้วจะได้จำนวนวิธีเหมือนกรณีแรกคือ90วิธี
ดังนั้นข้อนี้ตอบ90+90=180วิธีครับ

[linlyse]

เข้ามาขอบคุณมากๆค่ะ
ทั้งจอมยุทธ์ BANKER และจอมยุทธ์ FURRY
ยอดเยี่ยมเลยจริงๆค่ะ

[banker]

จำนวนเต็ม 12 จำนวน ได้แก่ 1,2,3,...,12 นำมาจัดเรียงล้อมรอบเป็นรูปวงกลมคล้ายกับตัเลขบนหน้าปัดนาฬิกา
โดยกำหนดให้ค่าแตกต่างของจำนวนที่อยู่ติดกันสองจำนวนใดๆเป็น 2,3,4 ค่าใดค่าหนึ่ง
จากการเรียงภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว จะสามารถทำให้เกิดค่าแตกต่างเท่ากับ 4 ได้มากที่สุดกี่ครั้ง

ข้อหลังนี้ตอบ7ครั้งครับ


คุณFurry ช่วยเฉลยให้หน่อยครับ

[linlyse]

มีโจทย์คณิตศาสตร์โลก"โปว เหลียง ก๊ก" มาให้สมาชิกช่วยเฉลยอีก 3 ข้อค่ะ

1.สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้าน 2 ด้านยาว 2006 หน่วยและ 6002 หน่วย ตามลำดับ ถ้ากำหนดให้ด้านที่สามของรูปสามเหลี่ยมรูปนี้ มีความยาวเป็นจำนวนเต็มบวก จงหาว่า จะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมแบบนี้ได้ทั้งหมดกี่รูปที่แตกต่างกัน(ข้อสอบปี 2549)

2.ถ้าจำนวนต่อไปนี้คือ 20062006...200601(มี2006อยู่จำนวน N ชุด อยู่หน้าจำนวน 01 ) สามารถหารด้วย 11 ได้ลงตัว จงหาว่า ค่าที่น้อยที่สุดของ N เท่ากับเท่าไร(ปี 2549)

3.มีลูกกวาดจำนวน 10 เม็ดอยู่ในขวดใบหนึ่ง อัลเบิร์ตถูกกำหนดให้สามารถหยิบลูกกวาดเหล่านี้ออกมาได้เพียงครั้งละ 1 เม็ด หรือครั้งละ 2 เม็ดเท่านั้น ถ้าเขาต้องการหยิบลูกกวาดทั้งหมดออกมาจากขวด ถามว่า เขาจะสามารถหยิบลูกกวาดทั้งหมดเหล่านี้ออกมาจากขวดได้ทั้งสิ้นกี่วิธีที่แตกต่างกัน(ปี2550)

[banker]

ข้อ 2 มีคำตอบให้ไหมครับ ไม่แน่ใจ

ตอบว่า N ที่น้อยที่สุดคือ 8 ถ้าใช่ก็จะมาแสดงวิธีคิดให้ (เดี๋ยวซือแป๋หยินหยางจะมาแซวอีก) :haha:

[banker]

1.สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้าน 2 ด้านยาว 2006 หน่วยและ 6002 หน่วย ตามลำดับ ถ้ากำหนดให้ด้านที่สามของรูปสามเหลี่ยมรูปนี้ มีความยาวเป็นจำนวนเต็มบวก จงหาว่า จะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมแบบนี้ได้ทั้งหมดกี่รูปที่แตกต่างกัน(ข้อสอบปี 2549)



โดยหลักของสามเหลี่ยมที่ว่า ด้านสองด้านรวมกันย่อมยาวกว่าด้านที่สาม
สมมุติเลขน้อยๆ ด้าน 2 ด้านของสามเหลี่ยมคือ 2 กับ 6 แปลว่าด้านที่ 3 ต้องน้อยกว่า 8 (ผลรวมสองด้าน )และมากกว่า 4 (ผลต่างสองด้าน) จึงจะสร้างสามเหลี่ยมได้ (คือ 2 6 5, 2 6 6, 2 6 7)

จากโจทย์

ผลรวมสองด้าน 2006+6002 = 8008
ผลต่างสองด้าน 6002-2006 = 3996

$8008 > ด้านที่สาม > 3996$

ด้านที่สามจึงมีความยาวตั้งแต่ 3997 ถึง 8007 = 4011 จำนวน

ตอบ 4011 รูป

[Scylla_Shadow]

2.ถ้าจำนวนต่อไปนี้คือ 20062006...200601(มี2006อยู่จำนวน N ชุด อยู่หน้าจำนวน 01 ) สามารถหารด้วย 11 ได้ลงตัว จงหาว่า ค่าที่น้อยที่สุดของ N เท่ากับเท่าไร(ปี 2549)


ให้ $\overline{a_1a_2a_3...a_n} $ เป็นจำนวนเต็มบวก n หลัก ซึ่งมีเลขโดดเป็น $a_1,a_2,...,a_n$ ตามลำดับ

จะได้ว่า 11 จะหาร $\overline{a_1a_2a_3...a_n} $ ก็ต่อเมื่อ 11 หาร 200601 มีการกระทำ $a_1-a_2+a_3-a_4+...+-1^{n+1}(a_n)$

เพราะว่า 2006 มีการกระทำ $a_1-a_2+a_3-a_4=-4$

ดังนั้น 200620062006...2006 มีการกระทำ$a_1-a_2+a_3-a_4+...+-1^{n+1}(a_n)=-4n$

เพราะฉะนั้น 200620062006...200601 มีการกระทำ$a_1-a_2+a_3-a_4+...+-1^{n+1}(a_n)=-4n-1$

ได้ว่าจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ 200620062006...200601 (มี2006อยู่ n ตัว) คือ n=8

[banker]

ข้อ 2 ถ้าผิด ก็มีเพื่อนหน้าแตกด้วยกันแล้ว :haha:



2.ถ้าจำนวนต่อไปนี้คือ 20062006...200601(มี2006อยู่จำนวน N ชุด อยู่หน้าจำนวน 01 ) สามารถหารด้วย 11 ได้ลงตัว

จงหาว่า ค่าที่น้อยที่สุดของ N เท่ากับเท่าไร(ปี 2549)



กฏของ 11 หารลงตัวมีอยู่ว่า
ผลต่างของ(ผลรวมหลักคี่)กับ(ผลรวมหลักคู่) = 0 หรือ 11 จำนวนนั้นหารด้วย 11 ลงตัว

ลองเขียนไปเรื่อยๆ (ระดับประถมก็ต้องอย่างนี้แหละ)

200601 --> N = 1 ผลรวมหลักคี่ = 2 หลักคู่ = 7 ผลต่าง = 5

2006200601 --> N = 2 ผลรวมหลักคี่ = 4 หลักคู่ = 13 ผลต่าง = 9

20062006200601 --> N = 3 ผลรวมหลักคี่ = 6 หลักคู่ = 19 ผลต่าง = 13
.
.
.

จเห็นว่า ทุกๆ N ที่เพิ่มขึ้น หลักคี่ จะเพิ่ม 2 และหลักคู่ จะเพิ่ม 6 ผลต่างจะเพิ่ม 4

เพิ่ม n ไปเรื่อยๆ จนผลต่างเป็น 11 หรือพหุคูณของ 11

ในที่นี้ N = 8 จะได้ ผลรวมหลักคี่เป็น 16 ผลรวมหลักคู่เป็น 49 ผลต่าง = 33 ซึ่งเป็นพหุคูณแรกของ 11

จึงตอบว่า N = 8

[banker]

ข้อนี้ ถ้ามองดีๆ

N = 1 จะได้หลักคี่ = 2N หลักคู่ = 6N+1

ผลต่างคือ (6N+1) -2N = 4N+1

4N+1 ตัวแรกที่เป็นพหุคูณของ 11 คือ N = 8

[linlyse]

ขอบคุณคำตอบของคุณพี่ BANKER มากค่ะ เข้าใจได้ง่ายดี
และขอบคุณน้อง SCYLLA SHADOW ที่ให้วิธีการคิดที่ล้ำลึก
เท่าที่สังเกตคุณ BANKER จะไม่ค่อยถนัดโจทย์เรื่องวิธีการสับเปลี่ยนหรือเปล่าคะ เพราะยังไม่ได้เฉลยให้อีก 2หรือ 3ข้อ ขอบคูรค่ะ

[banker]

เท่าที่สังเกตคุณ BANKER จะไม่ค่อยถนัดโจทย์เรื่องวิธีการสับเปลี่ยนหรือเปล่าคะ เพราะยังไม่ได้เฉลยให้อีก 2หรือ 3ข้อ ขอบคูรค่ะ

โจทย์เรื่องวิธีการสับเปลี่ยน มั่วไปหลายที ก็หน้าแตกกลับออกมาทุกที :haha:

ขอเวลาไปฝึกวิทยายุทธเรื่องนี้ก่อนครับ มีอาจารย์รอติวอยู่ 4 แผ่น (ยังไม่ได้เปิดดู) :haha:

[linlyse]

มีโจทย์คณิตศาสตร์โลกมาขอให้สมาชิกช่วยเฉลยอีก 4 ข้อค่ะ ขอบคุณคะ ดังนี้...

http://image.ohozaa.com/i7/rwl21.jpg (http://image.ohozaa.com/show.php?id=7bf2ba3b33f92caecd1ad20eedc9f93b)

http://image.ohozaa.com/i6/4dse2.jpg (http://image.ohozaa.com/show.php?id=52aa9e1f7ed930d853d9d7e0a73d7d96)

http://image.ohozaa.com/i3/x6dc3.jpg (http://image.ohozaa.com/show.php?id=101d2a4027f1e6c180a61ea15f49064f)

http://image.ohozaa.com/iu/yv434.jpg (http://image.ohozaa.com/show.php?id=4c0fa4f934235e80fbad85046df9593b)

[banker]

ของการแข่งขันอะไร ปีไหน หรือคละกันมาครับ

[linlyse]

เป็นข้อสอบ po leung kuk ฮ่องกง ปี 2549 และ 2550 คะ

[banker]

ข้อ 2 ก่อนนะครับ

[banker]

ต่อไป ข้อ 4 (ถ้าคำตอบผิด รีบทักท้วงด้วยนะครับ)

[หยินหยาง]

มาเสนอแนวคิดข้อ 2 ให้อีกวิธีเมื่อเจอโจทย์ลักษณะนี้ครับ

http://img12.imageshack.us/img12/7694/52768232.jpg

[banker]

ข้อ 1 ยังคิดไม่ออก แต่คลับคล้ายคลับคลาว่า เคยเห็น แต่ไม่ใช่แบบนี้
เป็นโจทย์ให้หาจำนวนสี่เหลี่ยมที่เส้นทแยงมุมตัดผ่าน (ดูเหมือนจะเป็นข้อสอบประกายกุหลาบหลายปีก่อน)

เท่าที่ลองลากๆดู พบว่า เส้นทแยงมุมจะตัดผ่าน"จุดตัด"มากที่สุดเมื่อเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ดังนั้นต้องหาความสัมพันธ์ระหว่าง จำนวนคอลัมน์ (c) กับ จำนวนแถว (r) อาจมี หรม. เข้ามาเกี่ยวข้องกับ c, r

คุณlinlyse ลองทำดูนะครับ

[linlyse]

ยังคิดไม่ออกค่ะ แต่ไม่น่าจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะ 3456 ถอดรากที่สองไม่ได้ **
คิดอย่างนี้ได้มั้ยคะ
พท 6X4 =24ตร.ซม ได้จุดตัด 3 จุด
พท 18X16= 288 ตร.ซม ได้จุดตัด 3X3=9จุด
พท 54X64=3456 ตร.ซม ได้จุดตัด 9X3=27 จุด

[banker]

มีแนวคิดอย่างไรครับ

[banker]

http://image.ohozaa.com/i3/x6dc3.jpg

ข้อนี้ตอบ 450 วิธีหรือเปล่าครับ

[หยินหยาง]

http://image.ohozaa.com/i3/x6dc3.jpg

ข้อนี้ตอบ 450 วิธีหรือเปล่าครับ

ผมคิดได้ 89 วิธีครับ

[LightLucifer]

#58
คิดอย่างไรหรอครับ รบกวนท่านพี่หยินหยางแสดงวิทยายุทธด้วย

[หยินหยาง]

อยากจะบอกว่าไม่มีความสามารถในการเฉลยแบบประถมครับ ผมให้แนวคิดแล้วไปต่อยอดดูก่อนนะครับ เพราะแสดงหมดเดี๋ยวไม่เร้าใจ
แนวคิดคือ ให้ x แทนจำนวนครั้งในการหยิบครั้งละ 1 เม็ด และ y แทนจำนวนครั้งในการหยิบครั้งละ 2 เม็ด
ดังนั้น $x+2y = 10$ แล้วพิจารณาว่า เป้นไปได้กี่กรณีที่สอดคล้องกับสมการดังกล่าว และแต่ละกรณีเป็นไปได้กี่วิธี น่าจะจะไม่ยากแล้วนะครับ

[LightLucifer]

#60
ขอบคุณมากเลยครับท่านพี่ที่ช่วยทำให้แก้ไขความโง่ของผู้น้อย
นับถือท่านพี่จริงๆ ^^

[banker]

อยากจะบอกว่าไม่มีความสามารถในการเฉลยแบบประถมครับ ผมให้แนวคิดแล้วไปต่อยอดดูก่อนนะครับ เพราะแสดงหมดเดี๋ยวไม่เร้าใจ
แนวคิดคือ ให้ x แทนจำนวนครั้งในการหยิบครั้งละ 1 เม็ด และ y แทนจำนวนครั้งในการหยิบครั้งละ 2 เม็ด
ดังนั้น $x+2y = 10$ แล้วพิจารณาว่า เป้นไปได้กี่กรณีที่สอดคล้องกับสมการดังกล่าว และแต่ละกรณีเป็นไปได้กี่วิธี น่าจะจะไม่ยากแล้วนะครับ


อ่านแล้วยังมึนๆอยู่ คุณหยินหยางช่วยแสดงวิธีทำให้หน่อยได้ไหมครับ :please:

[linlyse]

โจทย์อัลเบิร์ตหยิบลูกกวาด คิดโดยการแจกแจง คิดได้ 55 วิธี (ไม่แน่ใจว่าถูกต้องหรืดไม่) ดังนี้

1.หยิบครั้งละ 1 เม็ด 10 ครั้ง จะได้ 1 วิธี
2.หยิบครั้งละ 1 เม็ด 8 ครั้ง 2 เม็ด 1 ครั้ง จะได้ 9 วิธี
3.หยิบครั้งละ 1 เม็ด 6 ครั้ง 2 เม็ด 2 ครั้ง จะได้ 18 วิธี
4.หยิบครั้งละ 1 เม็ด 4 ครั้ง 2 เม็ด 3 ครั้ง จะได้ 16 วิธี
5.หยิบครั้งละ 1 เม็ด 2 ครั้ง 2 เม็ด 4 ครั้ง จะได้ 10 วิธี
6.หยิบครั้งละ 2 เม็ด 5 ครั้ง จะได้ 1 วิธี
รวมทั้งหมด 55 วิธี

[Onasdi]

ยังนับไม่ถูกครับ ต้องได้ 1 9 28 35 15 1 ครับ [ผมแอบใช้วิธีม.ปลายคำนวณนะครับ นับจริงๆคงไม่ไหว]

ลองดูวิธีนี้ครับ น่าจะเป็นวิธีประถม
การหยิบครั้งแรกสามารถเกิดได้ 2 แบบคือ
1. หยิบ 1 เม็ด ซึ่งจะเหลือในขวด 9 เม็ด
2. หยิบ 2 เม็ด ซึ่งจะเหลือในขวด 8 เม็ด
ดังนั้น จำนวนวิธีหยิบลูกกวาด 10 เม็ด = จำนวนวิธีหยิบลูกกวาด 9 เม็ด + จำนวนวิธีหยิบลูกกวาด 8 เม็ด
ดังนั้นเราควรไปเริ่มคิดขึ้นมาจากเลขน้อยๆมาครับ
จำนวนวิธีหยิบลูกกวาด 1 เม็ด = 1
จำนวนวิธีหยิบลูกกวาด 2 เม็ด = 2
ได้ จำนวนวิธีหยิบลูกกวาด 3 เม็ด = 1 + 2 = 3 [เพราะว่าสูตรข้างบนเป็นจริงเมื่อเปลี่ยนเลขเป็น 3, 2, 1]
ที่นี่ก็บวกขึ้นไปเรื่อยๆครับ
4 เม็ด: 2+3=5
5 เม็ด: 3+5=8
...
จนได้ จำนวนวิธีหยิบลูกกวาด 10 เม็ด = 89 ครับ
[ถ้าสังเกตดีๆ จะเห็นว่าตัวเลขพวกนี้คือ Fibonacci number (http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number) นั่นเอง]

[หยินหยาง]

อ่านแล้วยังมึนๆอยู่ คุณหยินหยางช่วยแสดงวิธีทำให้หน่อยได้ไหมครับ :please:

แนวคิดคือ ให้ x แทนจำนวนครั้งในการหยิบครั้งละ 1 เม็ด และ y แทนจำนวนครั้งในการหยิบครั้งละ 2 เม็ด
ดังนั้น x+2y=10 แล้วพิจารณาว่า เป้นไปได้กี่กรณีที่สอดคล้องกับสมการดังกล่าว และแต่ละกรณีเป็นไปได้กี่วิธี น่าจะจะไม่ยากแล้วนะครับ

เนื่องจาก x และ y ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก หรือ 0 ทำให้ได้เซตของคู่ลำดับ (x,y) มีดังนี้ คือ
(0,5), (2,4), (4,3), (6,2), (8,1) และ (10,0) ทั้งหมด 6 กรณี
กรณี (0,5) หมายถึง ไม่ได้มีการหยิบครั้งละ 1 เม็ด และหยิบครั้งละ 2 เม็ด 5 ครั้ง(22222) มีได้ 1 วิธี
กรณี (2,4) หมายถึง หยิบครั้งละ 1 เม็ด 2 ครั้ง และหยิบครั้งละ 2 เม็ด 4 ครั้ง (112222) มีได้ $\frac{6!}{2!4!} =15 $ วิธี
.......
ในทำนองเดียวกันก็ใช้หลักคิดนี้ไปทำแต่ละกรณีแล้วเอามารวมกันจะได้ 89 วิธีครับ:cool:

[banker]

ขอบคุณทั้ง คุณOnasdi และคุณหยินหยาง ครับ

[linlyse]

มาขอบคุณทุกๆคนที่ช่วยเฉลยให้ความกระจ่างด้วยค่ะ

[Onasdi]

2.จากจำนวนนับ 1 2 3 4 5 ... ให้ตัดตัวเลขที่เป็นผลคูณของ 2 และผลคูณของ 3ทิ้งไป แต่ให้เก็บจำนวน
ที่เป็นผลคูณของ 5 ไว้ โดยมีจำนวนที่เหลือดังนี้ 1 5 7 10 11 13 15 17 19 20 23 25 29
30 ...จากลำดับจำนวนตัวเลขข้างต้น จงหาจำนวนที่อยู่ในลำดับที่ 2006
จะลองตอบแบบประถมดูนะครับ..โจทย์ให้ตัวอย่าง1ถึง30มาเพราะอยากให้เราฝึกสังเกตก่อนจะคิดถึง
ลำดับที่2006...จากเลข1ถึง30จะพบว่าต้อง
หักออกด้วยจำนวนที่หารด้วย2ลงตัวจำนวน30หาร2คือ15ตัว
หักออกด้วยจำนวนที่หารด้วย3ลงตัวจำนวน30หาร3คือ10ตัว
บวกกลับด้วยจำนวนที่หารด้วย2คูณ3ลงตัวจำนวน30หาร6คือ5ตัว(เพราะหักซ้ำซ้อน)
บวกด้วยจำนวนที่หารด้วย2คูณ5ลงตัวจำนวน30หาร10คือ3ตัว
บวกด้วยจำนวนที่หารด้วย3คูณ5ลงตัวจำนวน30หาร15คือ2ตัว
ลบคืนด้วยจำนวนที่หารด้วย2คูณ3คูณ5ลงตัวจำนวน30หาร30คือ1ตัว(เพราะบวกซ้ำซ้อน)
เราจะพบว่า1ถึง30จะถูกหักออกและบวกเข้าจนเหลือ14ตัวตามที่โจทย์ให้มา
จากนั้นเอา14ไปหาร2006ได้143เศษ4
นำ143คูณ30ได้4290คราวนี้ก็เหลือแค่เศษ4
ต่อจาก4290ไปอีก4ตัวเลขที่ตรงตามเกณฑ์ที่กำหนดคือ4291,4295,4297และ4300
ดังนั้นจำนวนที่ต้องการคือ4300ครับ
มาอธิบายให้ฟังสำหรับคนที่ไม่เข้าใจครับ
คือคุณ Furry ใช้ความจริงที่ว่า จำนวนจะเหลือเท่าๆกันใน 1-30, 31-60, 61-90, ...
ซึ่งจริงเพราะว่า ให้ $a$ แทน 2 หรือ 3 หรือ 5 ครับ
สังเกตว่า ถ้า $a$ หาร $n$ ลงตัว แล้ว $a$ ก็จะหาร $n+30k$

[Onasdi]

ข้อ 1 แดงๆ

สังเกตครับว่า จำนวนจุดตัดเกี่ยวกับห.ร.ม.ของความยาวด้านทั้งสองยังไง

[linlyse]

1.มีลูกหินที่มีลักษณะเหมือนกันทุกประการจำนวน 12 ลูก บรรจุอยู่ในถุงใบหนึ่ง กำหนดให้หยิบลูกหินเหล่านี้ออกมาจากถุงได้ครั้งละ 2 3 หรือ 4
ลูกเท่นั้น ถ้าต้องการหยิบลูกหินเหล่านี้ออกมาจากถุงจนหมด จงหาว่า จะมีวิธีการหยิบออกมาจากถุงได้ทั้งหมดกี่วิธีที่แตกต่างกัน โดยให้นับรวมทั้งวิธีในตัวอย่าง ต่อไปนี้ด้วย
ก. หยิบ 4 ลูก หยิบ 3 ลูก หยิบ 3 ลูก และสุดท้ายหยิบ 2 ลูก
ข. หยิบ 2 ลูก หยิบ 3 ลูก หยิบ 3 ลูก และสุดท้ายหยิบ 4 ลูก
ค. หยิบ 2 ลูก หยิบ 2 ลูก หยิบ 2 ลูก หยิบ 3 ลูก และสุดท้ายหยิบ 3 ลูก

ขออนุญาตขุดโจทย์ข้อนี้ขึ้นมาอีกครั้งค่ะ อยากได้คำตอบและเฉลยวิธีทำด้วยคะ ขอบคุณค่ะ

[banker]

ข้อ 1 ยังคิดไม่ออก แต่คลับคล้ายคลับคลาว่า เคยเห็น แต่ไม่ใช่แบบนี้
เป็นโจทย์ให้หาจำนวนสี่เหลี่ยมที่เส้นทแยงมุมตัดผ่าน (ดูเหมือนจะเป็นข้อสอบประกายกุหลาบหลายปีก่อน)

เท่าที่ลองลากๆดู พบว่า เส้นทแยงมุมจะตัดผ่าน"จุดตัด"มากที่สุดเมื่อเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ดังนั้นต้องหาความสัมพันธ์ระหว่าง จำนวนคอลัมน์ (c) กับ จำนวนแถว (r) อาจมี หรม. เข้ามาเกี่ยวข้องกับ c, r

คุณlinlyse ลองทำดูนะครับ

กำลังหาความสัมพันธ์ระหว่าง c , r (พื้นที่) กับจุดตัด

สมมุติฐานว่า

$c\cdot r = 2\cdot \color{blue}{3^n}\cdot 4^n$

โดย $3^n$ คือจำนวนจุดตัด

ไม่รู้ถูกหรือเปล่า กำลังหาคำอธิบาย
- ข้างต้นเกิดจากการสังเกต
- ต้องพิสูจน์ว่า $3^n$ คือจุดตัดที่มากที่สุด
(ไม่มีอะไรครับ ....มาโพสต์บอกเฉยๆ ....เผื่อมีคนช่วยคิดด้วย):D

[Onasdi]

ผมลองแทนสูตรดู คิดว่าไม่จริงนะครับ เช่น c=2, r=2

ลองคิดดูว่า ถ้ามีจุดตัดอยู่บนเส้นทแยงมุม ก็แปลว่า มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งคล้ายกับ สามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นโดยเส้นทแยงมุม

[หยินหยาง]

ถ้าเข้าใจโจทย์ข้อ 1 ไม่ผิด
hint จำนวนจุดตัดที่จะเกิดมากที่สุดจะต้องเป็นสี่เหลี่ยมจตุรัส แต่พื้นที่ที่กำหนดให้คือ 3456 ตร.ซม.
หลักคิดก็คือ ให้ $3456 =k*a^2$ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด และ a เป็นจำนวนเต็มบวก คำตอบที่ได้คือ a+1

[linlyse]

http://image.ohozaa.com/i7/mathforum.jpg

[Onasdi]

ไม่ได้ครับ ลองทำต่อดู 6x4 ได้ 3 จุดครับ

[banker]

ถ้าเข้าใจโจทย์ข้อ 1 ไม่ผิด
hint จำนวนจุดตัดที่จะเกิดมากที่สุดจะต้องเป็นสี่เหลี่ยมจตุรัส แต่พื้นที่ที่กำหนดให้คือ 3456 ตร.ซม.
หลักคิดก็คือ ให้ $3456 =k*a^2$ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด และ a เป็นจำนวนเต็มบวก คำตอบที่ได้คือ a+1

จากสูตรของคุณหยินหยาง

k เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $a^2$เป็นกำลังสองสมบูรณ์คือ 6

$3456= 6 * 24^2$

ดังนั้นจุดตัดที่มากที่สุด คือ $24+1 = 25$ จุด

ถ้าใช่ก็คงต้องพิสูจน์ว่า

พื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉาก $=k*a^2$ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด และ a เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว
จุดตัดของเส้นทแยงมุมที่มากที่สุด = $a+1$

[Onasdi]

ผมคิดว่าที่มาของสูตรคุณหยินหยางคงมาจาก จำนวนจุดตัดของสี่เหลี่ยม $m\times n$ = ห.ร.ม.$(m,n)+1$
ลองพิสูจน์อันนี้ดูครับ

[linlyse]

ลองพลอตจุดตัดแล้วค่ะ สูตรของคุณ Onasdi น่าจะถูกต้อง
พท.6X576=3456 ตร.ซม ห.ร.ม. ของ 6 และ 576 คือ 6 จุดตัดคือ 6+1=7 จุด