ข้อสอบแข่งขันคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

[Eddie]

ขอความกรุณาเพื่อนๆสมาชิก ช่วยแนะนำวิธีคิดโจทย์ข้อนี้ให้ด้วยครับ

ขอบคุณมากครับ :)
Eddie
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000767-000000.gif

[Eddie]

:p
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000767-000001.gif

[TOP]

27. ข้อนี้ ตัวเลข 15 ที่ได้มา ไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับ สามเหลี่ยม และสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้ง 3 รูปมากนัก (ทำไมต้องเป็น 15 :confused: ) หากเราไม่สนใจตัวเลขนี้ และมองว่ามันคือ x ก็จะพบว่าเราสามารถขยับจุด O ไปมาในสามเหลี่ยมได้ตามใจชอบ (เพราะไม่ว่าขยับไปตำแหน่งใด ก็จะหาค่า x ตัวใหม่ สำหรับตำแหน่งนั้นได้เสมอ) ยิ่งไปกว่านั้น หากเราสนใจกรณีพิเศษคือ จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน [:delta] DFX ด้วย (หรือย้ายจุด O มาที่จุด S) ก็จะพบว่า FC = FG, DY = DC และ XG = XY ดังนั้นในกรณีนี้ FC2 + DY2 + XG2 = FG2 + DC2 + XY2 = 15 ตารางเซนติเมตร ดังนั้นหากจะให้เดาอย่างรวดเร็ว โดยไม่ต้องคิดและตรวจสอบคำตอบ ก็ต้องเดาว่า 15 ตารางเซนติเมตร

แต่หากต้องการพิสูจน์ สังเกตว่า [:angle] FCO และ [:angle] FGO เป็นมุมฉาก ดังนั้นจุด F, G, O และ C อยู่บนวงกลมเดียวกันที่มี OF เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง พิจารณาในทำนองเดียวกันกับวงกลม ที่มี OD และ OX เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้นจะได้

\begin{array}{rcl}
\overline{FG}^2 + \overline{OG}^2 & = & \overline{FC}^2 + \overline{OC}^2 \\
\overline{XY}^2 + \overline{OY}^2 & = & \overline{XG}^2 + \overline{OG}^2 \\
\overline{DC}^2 + \overline{OC}^2 & = & \overline{DY}^2 + \overline{OY}^2 \\
\text{จับ 3 สมการรวมกันจะได้} & & \\
\overline{FG}^2 + \overline{XY}^2 + \overline{DC}^2 + (\overline{OG}^2 + \overline{OY}^2 + \overline{OC}^2) & = & \overline{FC}^2 + \overline{XG}^2 + \overline{DY}^2 + (\overline{OG}^2 + \overline{OY}^2 + \overline{OC}^2) \\
\overline{FG}^2 + \overline{XY}^2 + \overline{DC}^2 & = & \overline{FC}^2 + \overline{XG}^2 + \overline{DY}^2
\end{array}

ปล. สังเกตว่า [:angle] FXD ไม่จำเป็นต้องเป็นมุมฉาก
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000767-000002.gif

[warut]

ข้อ 1. ใน 1 ปีอธิกสุรทินจะมีอยู่ทั้งหมด 52 สัปดาห์กับอีก 2 วันเพราะ 52 x 7 + 2 = 366
ดังนั้นจะมีวันอาทิตย์ 53 วันก็ต่อเมื่อวันอาทิตย์ที่ 53 ตกอยู่ในเศษ 2 วันนี้วันใดวันหนึ่ง
ภายใต้สมมติฐานว่าโอกาสที่เศษ 2 วันนี้จะเริ่มที่วันใดมีค่าเท่าๆกัน แล้วเราจะได้ค่า
ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ 2/7 [:approx] 0.28571 (ตอบข้อ 2.)

แต่ในความเป็นจริง โอกาสที่เศษ 2 วันนี้จะเริ่มที่วันใดอาจไม่ได้มีค่าเท่ากันทุกวันก็ได้
ผมก็เลยทำการคำนวณต่อไปโดยอาศัยสูตรของคุณ TOP (http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=740) และความจริงที่ว่าปฏิทินที่
เราใช้อยู่ในปัจจุบันนั้นมีคาบเท่ากับ 400 ปี ผลออกมาคือ ใน 400 ปีนั้นมีปีอธิกสุรทิน
อยู่ทั้งหมด 97 ปี มีปีที่วันอาทิตย์ตกอยู่ในเศษ 2 วันนั้นอยู่ 28 ปี ดังนั้นค่าความน่าจะเป็น
ที่ถูกต้องจริงๆแล้วคือ 28/97 [:approx] 0.28866 (ถ้าผมคิดไม่ผิดนะครับ :D)

[Eddie]

ขอบคุณมากครับพี่ TOP ที่ช่วยแนะนำวิธีแก้ปัญหาโจทย์ข้อ 27 ผมได้แนวคิดจากคำแนะนำของพี่อย่างมากครับ
ผมขอความกรุณาพี่ช่วยแนะนำการแก้ปัญหาโจทย์อีก 2-3 ข้อ นะครับ ผมได้ลองทำดูแล้วแต่ยังไม่สามารถแก้ปัญหาได้ครับ หวังว่าคงไม่เป็นการรบกวนเกินไปนะครับ ขอบคุณมากๆ ครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000767-000004.gif

[Eddie]

พี่ warut , พี่ gon , พี่ nooonuii , คุณ R-Tummykung de Lamar เข้ามาช่วยผมตอบปํญหาด้วยนะครับ ผมจะรบกวนถามแนวคิดเฉพาะข้อที่ผมกับน้อง ลองทำกันดูแล้วแต่ทำไม่ได้น่ะครับ

ขอบคุณทุกท่านมากครับ :)
Eddie

[Eddie]

อีกข้อหนึ่งนะครับ :)
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000767-000006.gif

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 11 ครับ
ตอบข้อ 1 คือ 30 กม./ชม.ครับ
สมมติว่า เกินไป x กม./ชม.
รายรับ = k1x .....(1)
รายจ่าย = k1x2...(2)
ถ้าขับด้วยอัตราเร็ว 40 กม./ชม. คือ เกินไป 20 กม./ชม.
รายรับกับรายจ่ายเท่ากัน จะได้สมการว่า
20k1=400k2
k1=20k2
นำไปแทนนใน (1)

รายรับ = 20k2x
รายจ่าย = k2x2
จะได้กำไรสูงสุดเมื่อ รายรับ - รายจ่าย มีค่ามากที่สุด ซึ่งรายรับลบรายจ่ายคือ

20k2x - k2x2
เป็นพาลาโบลาคว่ำ ค่า x ที่จุดสูงสุด คือ 10 ครับ \bigg(\ \ \displaystyle{\frac{-b}{2a}}\bigg)
แสดงว่าเกินไป 10 จาก 20 ก็คือ 30 กม./ชม. นั่นเองครับ :D

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 21 ครับ
ตอบว่า 7 กม./ชม.
ให้ระยะทางครั้งแรก คือ a
อัตราเร็วน้ำนิ่ง = x กม./ชม.
อัตราเร็วกระแสน้ำ =y กม./ชม.
ได้สมการคือ \displaystyle{\frac{z}{x-y}}=5 \ \ \ \ \ กับ \ \ \ \displaystyle{\frac{z}{x+y}} =2
5x-5y=2x+2y
y= \displaystyle{\frac{3}{7}}x
ดังนั้น อัตราเร็วตามน้ำคือ x + \displaystyle{\frac{3}{7}}x \ \ \ = \displaystyle{\frac{10}{7}}x \ \ \ \ \ กม./ชม.
และ อัตราเร็วทวนน้ำคือ x - \displaystyle{\frac{3}{7}}x\ \ \ = \displaystyle{\frac{4}{7}}x \ \ \ \ กม./ชม.


ให้ระยะทางของการพายเรือครั้งที่ 2 คือ b จะได้สมการคือ
\displaystyle{\frac{b}{\frac{10}{7}x}=3\ \ \ \ \ \ \ และ \ \ \ \ \ \frac{b-2}{\frac{4}{7}x}=7}
ได้ \displaystyle{\frac{30}{7}x} = 4x+2
แก้สมการได้ x= 7 ครับ
ดังนั้น อัตราเร็วพายเรือน้ำนิ่ง คือ 7 กม./ชม.

[TOP]

ถ้าเป็นโจทย์แนวกระแสน้ำ มีอยู่ข้อหนึ่งน่าสนใจดีครับ

ศาสตราจารย์สติเฟื่องท่านหนึ่ง เดินขึ้นบันไดเลื่อนในห้างพันธุ์ทิพย์ ด้วยความเร็วคงที่ 1 ขั้นบันไดเลื่อนต่อวินาที เมื่อท่านเดินถึงบันไดเลื่อนชั้นบนสุด ก็นึกขึ้นได้ว่าลืมบัตร ATM ที่เพิ่งเบิกเงินสดไว้ในตู้ ATM ชั้นล่าง บังเอิญช่วงเวลานั้น ยังไม่มีใครขึ้นบันไดเลื่อน ท่านจึงตัดสินใจวิ่งย้อนลงบันไดเลื่อน ด้วยความเร็ว 3 ขั้นบันไดเลื่อนต่อวินาที เมื่อท่านเก็บบัตร ATM ได้แล้ว ก็เกิดอาการสนุกลองเดินขึ้น และวิ่งลงบันไดเลื่อนแบบเดิมอีกครั้ง แต่คราวนี้ท่านสังเกตว่า ในขาขึ้นท่านเดินผ่านขั้นบันไดเลื่อน 18 ขั้น และในขาลงท่านวิ่งผ่านขั้นบันไดเลื่อน 90 ขั้น อยากทราบว่า ณ เวลาหนึ่ง เรามองเห็นขั้นบันไดเลื่อนกี่ขั้น ?

ปล. เมื่อกี้ลองเขียนโปรแกรมตรวจสอบดูแล้ว มีปีที่วันอาทิตย์ตกอยู่ในเศษ 2 วันนั้นอยู่ 28 ปี จริงครับ :)

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ TOP:
ปล. เมื่อกี้ลองเขียนโปรแกรมตรวจสอบดูแล้ว มีปีที่วันอาทิตย์ตกอยู่ในเศษ 2 วันนั้นอยู่ 28 ปี จริงครับ :)
ขอบคุณมากครับที่ช่วยเช็คตัวเลขให้ นึกว่าจะไม่มีใครสนใจแนวคิดนอกกรอบของผมแล้วซะอีก

[warut]

จากโจทย์บันไดเลื่อนของคุณ TOP ตกลงตอนวิ่งขึ้นนี่ใช้ความเร็ว 3 ขั้นต่อวินาทีใช่มั้ยครับ

[TOP]

ไม่ใช่ครับ
เดินขึ้น 1 ขั้นต่อวินาที
วิ่งลง 3 ขั้นต่อวินาที
ทำแบบนี้ทั้ง 2 รอบ

ผมแก้ไขข้อความในโจทย์แล้ว คงอ่านแล้วเข้าใจตรงกันนะครับ :)

[warut]

เข้าใจแล้ว...ถ้างั้นตอบ 45 ขั้น ถูกไหมครับ (โจทย์แบบนี้เป็นแบบที่ผมกลัวที่สุดเลย)

[TOP]

ถูกต้องนะคร้าบบบ... :D

[gon]

ข้อ 21. เสนออีกวิธีดังนี้ครับ.
สมมติให้ระยะทางระหว่างจุดทั้งสองเป็น S กม.
[:therefore] จากข้อมูลชุดแรกจึงได้ว่า Vทวน = S/5 และ Vตาม = S/2

จากข้อมูลชุดที่สอง : เมื่อเขาพายตามน้ำไป 3 ชั่วโมง ก็จะได้ระยะทาง (S/2) [:multiply] 3 = 3S/2 จากนั้นเมื่อเขาพายทวนน้ำขึ้นมาอีก 7 ชั่วโมง ก็จะได้ระยะทาง (S/5) [:multiply] 7 = 7S/5 ซึ่งยังเหลืออีก 2 กม. ก็จะกลับมาจุดเดิมที่พายออกไป

เราจึงมีสมการเป็น \frac{3S}{2} = \frac{7S}{5} + 2 ซึ่งเมื่อแก้สมการจะได้ว่า S = 20

[:therefore] Vทวน = S/5 = 4 กม./ชม. , Vตาม = S/2 = 10 กม./ชม. [:right] นิ่ง = (ตาม + ทวน)/2 = (10 + 4)/2 = 7 กม./ชม.