เพชรยอดมงกุฎ ม.ต้น-ม.ปลาย'2547

[R-Tummykung de Lamar]

เอามาฝากครับ แต่มีเฉพาะรอบสองเท่านั้นนะครับ และ ที่ที่ผมนั่ง อยู่ห่างไกลจากจอที่เขาฉายมาก ...แถมที่ฉายก็ไม่ชัด ..ตาเปล่าแทบจะมองไม่เห็นครับ ..ขนาดใช้กล้องซูม 9.6 เท่า ยังไม่ค่อยชัดเลยครับ ..
ม.ต้น
ข้อที่ 1
กำหนดให้ a = \overbrace{1000\cdots0005}^{จำนวน\ \ 2004 \ \ ตัว}
b= \overbrace{1111\cdots1111}^{จำนวน\ \ 2005 \ \ ตัว}

จงหาผลบวกของเลขโดด ซึ่งเป็นผลลพธ์ของ (ab+1) \displaystyle{\frac{1}{2}}

ปล. ข้อนี้รู้สึกเค้าให้เวลาในการคิด 1 นาที

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 2
ผลบวกของจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมด ที่ n?-3 หารด้วย n-3 ลงตัว gxHogmjkwi

ปล. ข้อนี้ 1 นาทีเช่นกันครับ
ปล2.ที่ ? ผมอ่านไม่ออกครับ :D มีความเป็นไปได้ว่าเป็น 2,3,5,6 ลองดูภาพที่แนบมรานะครับ (แล้วคุณจะเห็นว่าไม่ชัดขนาดไหน ;) )
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000780-000001.jpg

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 3
กำหนวดจำนวนเต็มบวก a,b และ c โดยที่ a<b<c
ทำให้ \displaystyle{\frac{14}{15}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} แล้ว a3+b2+c มีค่าเท่าไร
ข้อนี้ 1 นาทีครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 4
นายสุดหล่อ และนางสาวสุดสวยเล่นการพนันชนิดหนึ่ง โดยการโยนเหรียญจำนวนหนึ่ง โดยที่นายสุดหล่อโยนเหรียญพร้อมกัน 3 เหรียญ และนางสาวสุดสวยโยนเหรียญพร้อมกัน 4 เหรียญ ถ้าใครได้จำนวนเหรียญที่ออกหัวมากกว่า ผู้นั้นจะเป็นผู้ชนะ

ถ้าความน่าจะเป็น ที่นายสุดหล่อจะชนะเท่ากับ \displaystyle{\frac{a}{b}} และ (a,b)=1 แล้ว a+b มีค่าเท่าใด

ปล.ข้อนี้ ร้สึกว่า นาทีครึ่งครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 5 ครับ
จากรูป ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ 14 หนาวย แนบในวงกลม และด้านทั้งสี่ ของรูปสี่เหลี่ยมเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม 4 วง ดังรูป พ.ท.ส่วนที่แรเงาเป็นเท่าไร

ข้อนี้ 1 นาทีครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000780-000004.jpg

[R-Tummykung de Lamar]

รายงานผล สถานการณ์ตอนนี้ครับ (ผ่านมา 5 ข้อ)
1.ปพน ถูกข้อแรกข้อเดียว
2.ฉายฉันท์ ถูกข้อ 5 ข้อเดียว
3.นรเทต ถูกข้อ 4 ข้อเดียว
4.พิทยพัฒน์ ยังไม่ถูก
5.เฉลิมชัย ยังไม่ถูก
6.ณัฐธา ยังไม่ถูก
7.ภาสินี ยังไม่ถูก
8.ทัตธนนันท์ ยังไม่ถูก
9.หรรษธร ถูกข้อ 3 ข้อเดียว
10.กานต์ ยังไม่ถูก

...สถานการณ์ตอนนี้เครียดมากครับ เวลาก็กดดัน (10ผู้เข้าแข่งขันบนเวที)

..ค่อยมาต่อวันหลังครับ

[gon]

โหดมากครับ. :mad: ข้อล่ะนาที ถ้าเป็นผมแข่งก็คงยังตอบไม่ถูกสักข้อแน่ ๆ เลย. รอบนี้เรียกว่าอะไรครับ. รอบแรกใช่รอบเจียระไนเพชรหรือเปล่า.

[R-Tummykung de Lamar]

รอบคัดเลือกจากแต่ละโรงเรียน คือ รอบคัดเลือกเพชร
รอบต่อมา คือ รอบเจียระไนเพชร ครับ
รอบสุดท้ายคือ รอบเพชรยอดมงกุฎครับ
ซึ่งข้อสอบที่นำมาคือ รอบเพชรยอดมงกุฎครับ ซึ่งคัดเหลือเพียง 10 คนแล้ว

[gon]

ขอลองข้อ 4 ก่อนนะครับ. 1 นาทีครึ่งไม่ทันจริง ๆ ด้วย นี่พยายามบีบเวลาให้เหลือไม่ถึง 3 นาทีแล้ว สุดยอดจริง ๆ

สุดหล่อโยนได้ 2^{3} = 8 แบบ
สุดสวยโยนได้ 2^{4} = 16 แบบ

กรณีที่ 1 : สุดหล่อโยนหัวขึ้น 3 เหรียญ สุดสวยโยนได้หัว 2 หรือ 1 หรือ 0 ศูนย์ จะมีได้
\frac{3!}{3!}(\frac{4!}{2!2!} + \frac{4!}{3!1!} + \frac{4!}{4!}) = 11

กรณีที่ 2 : สุดหล่อโยนหัวขึ้น 2 เหรียญ สุดสวยโยนได้หัว 1 หรือ 0 ศูนย์ จะมีได้
\frac{3!}{2!}(\frac{4!}{1!3!} + \frac{4!}{4!}) = 15

กรณีที่ 3 : สุดหล่อโยนหัวขึ้น 1 เหรียญ สุดสวยโยนได้หัว 0 ศูนย์ จะมีได้
(\frac{3!}{2!1!})(\frac{4!}{4!}) = 3

รวม 11 + 15 + 3 = 29

[:therefore] P(E) = \frac{29}{(2^3)(2^4)} = \frac{29}{128} \Rightarrow 29 + 128 = 157
ถูกไหมครับนี่. โอ. 1 นาทีครึ่งหรือ ?

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ gon:
ขอลองข้อ 4 ก่อนนะครับ. 1 นาทีครึ่งไม่ทันจริง ๆ ด้วย นี่พยายามบีบเวลาให้เหลือไม่ถึง 3 นาทีแล้ว สุดยอดจริง ๆ

สุดหล่อโยนได้ 2^{3} = 8 แบบ
สุดสวยโยนได้ 2^{4} = 16 แบบ

กรณีที่ 1 : สุดหล่อโยนหัวขึ้น 3 เหรียญ สุดสวยโยนได้หัว 2 หรือ 1 หรือ 0 ศูนย์ จะมีได้
\frac{3!}{3!}(\frac{4!}{2!2!} + \frac{4!}{3!1!} + \frac{4!}{4!}) = 11

กรณีที่ 2 : สุดหล่อโยนหัวขึ้น 2 เหรียญ สุดสวยโยนได้หัว 1 หรือ 0 ศูนย์ จะมีได้
\frac{3!}{2!}(\frac{4!}{1!3!} + \frac{4!}{4!}) = 15

กรณีที่ 3 : สุดหล่อโยนหัวขึ้น 1 เหรียญ สุดสวยโยนได้หัว 0 ศูนย์ จะมีได้
(\frac{3!}{2!1!})(\frac{4!}{4!}) = 3

รวม 11 + 15 + 3 = 29

[:therefore] P(E) = \frac{29}{(2^3)(2^4)} = \frac{29}{128} \Rightarrow 29 + 128 = 157
ถูกไหมครับนี่. โอ. 1 นาทีครึ่งหรือ ?



157 ถูกครับ :D

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 6 ครับ
กำหนดให้ P(x2+x) = 3x2-x โดยที่ x > 0
P(2) + P(6) เท่ากับเท่าไร

ข้อนี้ไม่แน่ใจว่าครึ่งนาทีหรือ 1 นาทีครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 7 ครับ
นายมนตรีซื้อกระดาษวาดเขียนแผ่นละ 3 บาท กระดาษกราฟ แผ่นละ 2 บาท กระดาษรายงาน 4 แผ่น 1 บาท ได้กระดาษ 100 แผ่น สิ้นเงิน 100 บาท พอดี เขามีวิธีซื้อกระดาษได้ทั้งหมดกี่วิที

ข้อนี้ นานหน่อย 1นาทีครั่งครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 8 ครับ
กำหนดระบบสมการ
x1+x2+x3=3
x2+x3+x4=6
x3+x4+x5=9
.
.
.
x18+x19+x20=54
x19+x20+x1=57
x20+x1+x2=60
จงหาค่าของ x1+x20

ข้อนี้ก็ 1 นาทีคึ่งครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 9 ครับ
จากรูป เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 รูป ซึ่งตั้งอยู่บนส่วนของเสนตรง AD โดยมีอีตราส่วนของความยาวเป็น 1 : 2 : 4 ถ้า AD เท่ากับ 14 หน่วยแล้ว รูปสามเหลี่ยม ABC มี พ.ท.เท่าไร

ข้อนี้ 1 นาทีครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000780-000013.jpg

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 10 ครับ
กำหนด a = [:sqrt]2+1 และ b= [:sqrt]2-1จงหาค่าของ
\displaystyle{\frac{a^3-3a^2-3a+1}{b^3-3b^2-3b+1}\ \ -\ \ \frac{b^3-3b^2-3b+1}{a^3-3a^2-3a+1}}

1นาทีครับ

[R-Tummykung de Lamar]

รายงานผล สถานการณ์ตอนนี้ครับ (ผ่านมา 10 ข้อ)
1.ปพน ถูกข้อ1 ,6 และ 9 \qquad รวม 3 คะแนน
2.ฉายฉันท์ ถูกข้อ 5 ,6 และ 9 \qquad รวม 3 คะแนน
3.นรเทต ถูกข้อ 4,6 และ 9 \qquad รวม 3 คะแนน
4.พิทยพัฒน์ ถูกข้อ 6 และ 9 \qquad รวม 2 คะแนน
5.เฉลิมชัย ถูกข้อ 6 และ 9 \qquad รวม 2 คะแนน
6.ณัฐธา ถูกข้อ 6 ข้อเดียว \qquad รวม 1 คะแนน
7.ภาสินี ถูกข้อ 6,8 และ 9 \qquad รวม 3 คะแนน
8.ทัตธนนันท์ ถูกข้อ 6 และ 9 \qquad รวม 2 คะแนน
9.หรรษธร ถูกข้อ 3 ,8และ9 \qquad รวม 2 คะแนน
10.กานต์ ถูกข้อ 9 ข้อเดียว \qquad รวม 1 คะแนน

จะเห็นว่ามีคนได้ 3 (ซึ่งเป็นคะแนนสูงสุด) ถึง 5 คน คือ ปพน ฉายฉันท์ นรเทศ ภาสินี และหรรษธร
อ.ณรงค์ ปั้นนิ่ม จึงออกมาบอกว่า ให้ 5 คนนี้แข่งต่อ แบบ แซทเทิลเดท หมายถึง แข่งเป็นข้อๆ ถ้าคนอื่นถูก แต่เราไม่ถูก เราก็ตกรอบ ..ครับ ก็เลยมีข้อ 11 ต่อ

[gon]

ข้อ 6 นี่ดูท่าจะออกมาช่วยนะครับ. ขอลองต่อข้อ 8
จับสมการพวกกันให้หมดจะได้ว่า 3(x_1 + x_2 + \cdots + x_{20}) = 3 + 6 + \cdots + 60
x_1 + x_2 + \cdots + x_{20} = 1 + 2 + \cdots + 20 = (10)(21) = 210
x_1 + x_{20} + (x_2 + x_3 + x_4) + (x_5 + x_6 + x_7) + \cdots + (x_{17} + x_{18} + x_{19}) = 210
x_1 + x_{20} + 3(2 + 5 + \cdots + 17) = 210 \Rightarrow x_1 + x_{20} = 210 - 3(3)(19) = 39

[Alberta]

:) 11 วิธีไม๊เอ่ย :) (สำหรับข้อ7นะครับ :p

[Alberta]

ขอแก้ครับได้4แบบไม๊

[Tony]

ข้อ 9. ตอบ 56 ตารางหน่วยไหมครับ :rolleyes:

[Tony]

ข้อ 3 ครับ
จะได้ a = 2
b = 3
c = 10
a3+b2+c = 27 :D

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ Alberta:
ขอแก้ครับได้4แบบไม๊

อนุญาต ครับ (!?!?)
...4แบบ ถูกแล้วครับ(แสดงวิธีคิดด้วยสิครับ)


ข้อความเดิมของคุณ Tony:
ข้อ 3 ครับ
จะได้ a = 2
b = 3
c = 10
a3+b2+c = 27 :D

ถูกเช่นกันครับ...

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 11 ครับ
จากรูป AE//BD \qquad AB = 5 หน่วย
ถ้า AE = a[:sqrt]2+b[:sqrt]6 หน่วย แล้ว a+b2 มีค่าเท่าไร

ข้อนี้ ..และ หลังจากนี้ รู้สึกว่า 1 นาทีครึ่งไม่ก็ 2 นาทีครับ
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000780-000022.jpg

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 12 ครับ
กำหนดให้ a> 0 และ a4x=3+2[:sqrt]2
ถ้า \displaystyle{\frac{a^{6x}-a^{-6x}}{a^{2x}-a^{-2x}}} =m
แล้ว m2+1 มีค่าเท่าไร

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 13 ครับ
กำหนด tan A = \displaystyle{\sqrt[3]{5\sqrt{13}+18}} , cot A = \displaystyle{\sqrt[3]{5\sqrt{13}-18}}
0<A<90[:degree] ค่าของ \displaystyle{\sqrt{tan^4 A+25tan^2 Acot^2 A+cot^4 A}} มีค่าเท่ากับเท่าไร

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 14 ครับ
กำหนด x3-3xy2 = 54 และ y3-3x2y = 297 ค่าของ x2+y2 เป็นเท่าไหร่

รู้สึกข้อนี้จะลดลงมาเหลือ 1 นาทีครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 15 ครับ
ถ้า \displaystyle{\frac{34}{13}} = a+ \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{b}{c}}}


(ข้างล่างคือ \ \ \displaystyle{\frac{b}{c}} นะครับ ..ตัวเล็กจัง)
แล้ว a2b2c หารด้วย 8 เหลือเศษเท่าไร (ข้อนี้รู้สึกว่า 1 นาทีครับ)

ขออภัยจริงๆครับ โจทย์คือ \displaystyle{\frac{34}{13}} =
นะครับ พิมพ์ตกไป

[gon]

ข้อ 15 นี่มันแปลก ๆ อยู่นะครับ. เพราะถ้าจัดรูปเป็น
34 = a + \frac{b+c}{b+2c}\, จะเห็นได้ว่า ถ้าโจทย์หมายถึง a, b, c เป็นจำนวนเต็มบวก (ใช่ไหม ดูจากโจทย์น่าจะหมายถึงแบบนั้น) แล้ว \frac{b+c}{b+2c} จะเป็นเศษส่วนที่ไม่เป็นจำนวนเต็มเสมอ

[gon]

ข้อ 14. นี่ก็แปลก คำตอบที่เป็นจำนวนจริงมันมีอย่างน้อย 3 คำตอบ และก็ยากด้วย ทำกันไปได้ไง ? ใครมีวิธีที่ง่ายกว่านี้บอกที รู้สึกเหนื่อยมาก ในที่นี้จะสมมติว่าได้ (x, y) เป็นจำนวนเต็มสวย ๆ คือ (x, y) = (6, -3) ก็ได้คำตอบ คือ 45

\quad\quad x^3 - 3xy^2 = 54 \quad \cdots (1)
\quad\quad y^3 - 3x^2y = 297 \quad \cdots (2)
สมมติให้ y = mx แทนลงใน (1) และ (2) จะได้ว่า
\quad\quad x^3(1 - 3m^2) = 54 \quad \cdots (3)
\quad\quad x^3(m^3 - 3m) = 297 \quad \cdots (4)
(3)/(4) : \quad\quad \displaystyle{ \frac{1 - 3m^2}{m^3 - 3m} = \frac{2}{11} } \Rightarrow 2m^3 + 33m^2 - 6m - 11 = 0 \quad :mad: \Rightarrow (2m + 1)(m^2 + 16m - 11) = 0 \quad:mad:
\therefore \quad\quad\quad\quad\quad m = \frac{-1}{2}, -8 \pm 5\sqrt{3}
ถ้า\quad m = -\frac{1}{2} \quad แทนลงใน \,(3) \, จะได้ว่า\, x = 6 \quad \therefore x^2 + y^2 = x^2(1 + m^2) = 36(\frac{5}{4}) = 45
ถ้า\quad m = -8 - 5\sqrt{3} \quad แทนลงใน \,(3) \, จะได้ว่า\, x = \quad \cdots \Rightarrow ทำต่อไม่ไหวแล้ว

[warut]

ข้อ 14. ผมยังไม่ได้คิดวิธีทำนะครับ แค่มาช่วยคุณ gon เช็คคำตอบก่อน

ข้อนี้โจทย์คงไม่ผิดครับ ผมลองเช็คด้วยคอมพิวเตอร์พบว่าคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ
\left(x,y\right)=\left(6,-3\right),
\left(-3+\frac{3\sqrt3}{2},\frac{3}{2}+3\sqrt3\right),
\left(-3-\frac{3\sqrt3}{2},\frac{3}{2}-3\sqrt3\right)
ซึ่งจากทั้ง 3 กรณีจะได้ x2 + y2 = 45 เหมือนกันหมดครับ

[gon]

แบบนี้ต้องมี Best Solution แน่ ๆ เลยครับ. :D แต่ผมยังหาไม่เจอ รู้สึกว่า sense ชักหายทุกวัน

[warut]

ลองคิดดูแล้วครับข้อ 14 ข้อนี้ก็คล้ายๆกับ TMO ข้อ 2 ที่ผมเคยทำไว้ (http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=619)น่ะครับ

จาก (x2 + y2)3 = (x3 - 3xy2)2 + (y3 - 3x2y)2 = 542 + 2972 = 91125
ดังนั้น x2 + y2 = 45 ครับผม

[gon]

จริงด้วยครับ. :p โอ... ผมทำอย่างคุณ warut ไปทีแล้วนะนี่ แต่ผมนั่งคิดในใจเท่านั้น แล้วสมองมันก็ตอบกลับมาตอนกระจายสองวงเล็บรวมกัน ว่าไม่เท่ากับตัวยกกำลังสาม เลยไปดาวอังคารเลยที่นี้... :eek:

[warut]

ข้อ 15 หายแปลกแล้วครับ เพราะคุณ R-Tummykung de Lamar (แอบ) มาแก้โจทย์ให้แล้ว :D

ยังไงก็ตามข้อนี้ต้องทำภายใต้สมมติฐานว่า \frac{b}{c} เป็นเศษส่วนอย่างต่ำนะครับ ไม่งั้นจะมีมากกว่าหนึ่งคำตอบ

จาก
\frac{34}{13}=2\frac{8}{13}=a+\frac{b+c}{b+2c}
ดังนั้น a = 2 และ \frac{b+c}{b+2c}=\frac{8}{13} เพราะ \frac{b+c}{b+2c}<1

เนื่องจาก (b, c) = 1 ดังนั้น (b + c, b + 2c) = 1 ด้วย
แสดงว่า b + c = 8 และ b + 2c = 13 นั่นคือ b = 3, c = 5
สรุปได้ว่า a2b2c = 180 หารด้วย 8 เหลือเศษ 4 ครับ

[<คิดด้วยคน>]

ข้อ 14) เพราะว่า (x3 - 3xy2) 2 + (y3 - 3x2 y) 2 = (x2 + y2) 3
ดังนั้น x2 + y2 = (542 + 2972) 1/3 = 45

[<คิดด้วยคน>]

โอ๊ะ ลืมดูไปว่า คุณ warut เฉลยไปแล้ว :D

[Alberta]

แงๆๆๆๆๆ...T_Tข้อ 15 ผมคิดไงก็ไม่ออก(ตอยที่โจทย์เป็น34อะครับ)
แงๆๆ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ Alberta:
แงๆๆๆๆๆ...T_Tข้อ 15 ผมคิดไงก็ไม่ออก(ตอยที่โจทย์เป็น34อะครับ)
แงๆๆ

ขออภัยอย่างสูงครับ :D

[R-Tummykung de Lamar]

ช่วยคิดข้อ 1 หน่อยครับ (ยากจัง) ... :D

[warut]

ไม่ทราบว่าที่โจทย์ถามหาคือผลบวกของเลขโดดของอะไรครับ [:sqrt]ab + 1 หรือ (ab + 1)/2

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
ไม่ทราบว่าที่โจทย์ถามหาคือผลบวกของเลขโดดของอะไรครับ [:sqrt]ab + 1 หรือ (ab + 1)/2

ผมว่าน่าจะ [:sqrt]ab+1 นะครับ :eek:

[warut]

อ๋อ...รู้แล้วว่าทำไมผมทำไม่ได้ซักที ก็เพราะเครื่องหมายปีกกาที่คลุมค่าของ a มันไม่ชัดเจน
ว่าคลุมเลขอะไรบ้าง ที่แท้มันก็คงคลุมเฉพาะเลข 0

ให้ x = 102005 ดังนั้น a = x + 5, b = (x - 1)/9 และ
ab+1=\frac{\left(x+5\right)\left(x-1\right)}{9}+1=
\frac{x^2+4x+4}{9}=\frac{\left(x+2\right)^2}{9}
เราจึงได้
\sqrt{ab+1}=\frac{x+2}{3}=\frac{10^{2005}+2}{3}=333\dots3334
โดยที่มีเลข 3 อยู่ทั้งหมด 2004 ตัว

ดังนั้นผลบวกของเลขโดดของ [:sqrt]ab + 1 จึงมีค่าเท่ากับ 3*2004 + 4 = 6016 ครับ

[R-Tummykung de Lamar]

สวัสดีอีกครั้งนะครับ หลังจากเรื่องวุ่นๆของสอบจบลงครับ ..ก็มาต่อกันเลยที่ข้อ 16 เลยนะครับ ยังเป็นของ ม.ต้นอยู่ ครับ เวลาที่ใช้คิดข้อต่อจากนี้ก็ค่อนข้างบีบรัดพอสมควร เอาเป็นว่าคิดให้เร็วที่สุดเท่าที่คิดได้ละกันนะครับ

ข้อที่ 16 ครับ
ถ้า (3,3,3) เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ
x2+y2+z2=xyz ........(1)
ถ้า (a,b,c) เป็นคำตอบของสมการ (1) โดยที่ 0<a<b<c และ a,b,c เป็นจำนวนเต็ม
จงหา ค่าของ a+b+c ที่น้อยที่สุด

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 17 ครับ
จากรูป AC = AD = DE = 2 หน่วย BC = tan 8
จงหา BE2--AB2
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000780-000043.gif

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 18 ครับ
จากรูป ให้ O,P และ Q เป็นจุกศก.ของวงกลม ถ้าวงกลม Q มีรัศมี 7 หน่วยแล้ว โซนสีเขียวมี พ.ท.เท่าไร (คล้ายกับแบ่งโซนสีเลย :D )
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000780-000044.gif

[gon]

ข้อ 16

ถ้า (3, 3, 3)\, เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ x^2 + y^2 + z^2 = xyz\,
จงหาจำนวนเต็ม (a, b, c) น้อยที่สุดซึ่ง 0 < a < b < c

\bf{Solve} : x^2 + y^2 = xyz - z^2 = z(xy - z)
\bf \quad \quad \because 3^2 + 3^2 + 3^2 = (3)(3)(3) \Rightarrow (3 + 3)^2 - 2(3)(3) + 3^2 = (3)(3)(3)
\bf \quad \quad \therefore 3^2 + 6^2 = 45 = z(18 - z) \Rightarrow z^2 - 18z + 45 = 0 \Rightarrow (z - 3)(z - 15) = 0
\bf \quad \quad \therefore (x, y, z) = (3, 3, 6) , (3, 6, 15) \Rightarrow (a, b, c) = (3, 6, 15) \Rightarrow a + b + c = 24 \, Ans

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ gon:
\bf \quad \quad \because 3^2 + 3^2 + 3^2 = (3)(3)(3) \Rightarrow (3 + 3)^2 - 2(3)(3) + 3^2 = (3)(3)(3)
\bf \quad \quad \therefore 3^2 + 6^2 = 45 = z(18 - z) \Rightarrow z^2 - 18z + 45 = 0 \Rightarrow (z - 3)(z - 15) = 0
มองไม่ออกครับว่าจากบรรทัดบนมาบรรทัดล่างมันเกี่ยวข้องกันยังไง

[gon]

คือผมค่อนข้างมั่วนิดนึง :D เพราะยังนึกไม่ออกว่าจะคิดตรง ๆ แบบมีหลักการยังไง ที่เข้าใจคือ โจทย์พยายามจะบอกว่า ควรจะนำ (3, 3, 3) มาใช้

เมื่อจัดรูปเป็น x2 + y2 = z(xy - x) ... (1)
กับ 32 + 62 = 45 ... (2)

ตรงนี้ผมทึกทักเอาว่า (x, y) = (3, 6) ครับ. ดังนั้น xy = 18 ซึ่งเมื่อนำไปแทนใน (1) ทางด้านขวามือของ (1) กับ (2) จึงควรเท่ากัน ส่วนจะน้อยที่สุดหรือเปล่าอันนี้ อันนี้ยังหาเหตุผลไม่ได้ครับ.

[warut]

อ๋อ...เข้าใจแล้ว...ขอบคุณครับ โจทย์ข้อนี้ผมยังไม่ได้คิด แต่ลองใช้คอมพ์เช็คดูได้ผลว่า
(3, 6, 15) เป็นคำตอบที่เล็กที่สุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขโจทย์แน่นอนครับ

โจทย์ยุคนี้ยากจริงๆ...เฮ้อ

[gools]

ข้อ 17 ครับ
\begin{array}{rcl}\because\qquad AB^{2}-BC^{2} & = & BD^{2}-AB^{2}=BE^{2}-BD^{2} \\
\text{จะได้ว่า }\qquad AB^{2} & = & \frac{BC^{2}+BD^{2}}{2} \\
\text{และ }\qquad BD^{2} & = & \frac{AB^{2}+BE^{2}}{2} \\
\therefore\qquad\qquad\quad\ \ AB^{2} & = & \frac{\frac{BE^{2}+AB^{2}}{2}+BC^{2}}{2} \\
3AB^{2}-2BC^{2} & = & BE^{2} \\
\therefore\qquad BE^{2}-AB^{2} & = & 3AB^{2}-2BC^{2}-AB^{2} \\
&=& 2(AB^{2}-BC^{2}) \\
&=& 4
\end{array}

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ gools:
\begin{array}{rcl}\therefore\qquad BE^{2}-AB^{2} & = & 3AB^{2}-2BC^{2}-AB^{2} \\
&=& 2(AB^{2}-BC^{2}) \\
&=& 4
\end{array}


[ 08 มีนาคม 2005 11:30: ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gools ]


ตรงนี้ผิดนิดนึงครับ
\displaystyle{AB^2-BC^2} ได้ \ \ \ 22 \ \ \ \ = \ \ 4 \ \ \ ครับ ดังนั้น \ \ \ \displaystyle{2(AB^2-BC^2)} \ \ \ ก็เท่ากับ 8 ครับ

[gools]

ขอบคุณที่บอกครับ
ช่วงนี้พลาดบ่อยเหลือเกิน :D

[R-Tummykung de Lamar]

ตั้งหัวข้อไว้ว่า เพชรยอดมงกุฎ ม.ต้น-ม.ปลาย'2547 แต่ยังไม่มี ม.ปลายเลยเนอะ :D ขุดมาต่ออีกดีกว่า ;)
ข้อที่ 19 ครับ
กำหนด n เป็นจำนวนนับ gn เป็น ห.ร.ม.ของ n2+111 กับ (a+3)2 ถ้า m มีค่าน้อยที่สุด ที่ทำให้ gm มีค่ามากที่สุด แล้ว
m + gm มีค่าเท่าไร

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 20 ครับ
ถ้า r เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0 และ \displaystyle{(r+\frac{1}{r})^2\ \ \ =\ \ \ 3\ \ \ \ \ } แล้ว จงหาค่าของ \displaystyle{r^3+\frac{1}{r^3}}

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 21 ครับ
ถ้า p และ q เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ x2+3x+5 เป็นตัวประอบของ x4+px2+q จงหา |p-q

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อนี้ข้อสุดท้ายของ ม.ต้นแล้วครับ :p :p
ข้อที่ 22 ครับ
จากรูป วงกลมทุกรูปเป็นวงกลมที่มีรัศมี ยาวเท่ากับ r เหมือนกัน วางเรียงกัน โดยที่วงกลมที่อยู่ติดกันจะสัมผัสกัน ตงหาบริเวณทั้งหมด ที่ปิดล้อมด้วยวงกลมสามวง ในเจ็ดวงนี้

ปล. ปพนได้แชมป์ครับ :D
http://www.mathcenter.net/webboard/upload_files/1-000780-000055.gif

[<คิดด้วยคน>]

ได้ p=1
q=25
ค่าสัมบูรณ์ p - q = 24 :rolleyes:

[R-Tummykung de Lamar]

[:ltop]------------[:rtop][:lvert]..ม.ปลาย..[:vert][br][:lbot]------------[:rbot]

[b] ข้อที่ 1 ครับ
จงหาจำนวนเต็มบวก a ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้
392|(992n+1+a[:dot]972n+1) ทุกๆค่า n ที่เป็นจำนวนนับ