ข้อสอบ PAT1 คณิต ครั้งที่ 2 ปีการศึกษา 2552 (สอบ ก.ค 52)

[sck]

กดดูเลยครับ :)
ข้อสอบ ความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1) รหัสวิชา 71 (http://www.niets.or.th/upload-files/uploadfile/5/b5ce858d70dcb3b5044052f8903d1598.pdf)

[gon]

คุณ sck ข่าวสารฉับไวเช่นเคยนะครับ :great:

[cenia]

อ่า ขอบคุณมากครับ ^^

[[SIL]]

Thx a lot :laugh:

[linlyse]

มีเฉลยมั้ย อยากได้ค่ะ

[cenia]

รบกวนทุกท่าน ขอ hint 47 หน่อยครับ

[[SIL]]

ใช้ความสัมพันธ์ที่ให้มาให้เกิดประโยชน์สูงสุด
ผมได้ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ อ่ะครับ

[B บ ....]

ได้เท่ากันครับ อิอิ
เออ ใครทำเสร็จแล้วมาโพสตืไว้บ้างนะครับ ได้ตรวจคำตอบกับ หรือใครมีเฉลยขอกันบ้างนะคร๊าบบบ

[B บ ....]

เออ ใครทำบ้างแล้ว มาโพสต์บ้างนะครับ อยากรู้
ปล. ขอ hint ข้อ 46 ครับ

[Marskoto]

อยากได้เฉลยอ่ะครับ เพราะอยากรู้ว่าผิดข้อไหนบ้างครับ เครียดมากเลย

[แมวสามสี]

ข้อ.46 f:{$1,2,3,...,n$}$\rightarrow ${$1,2,3,...,n$} เป็นฟังก์ชัน $1:1$ และทั่วถึงซึ่งสอดคล้องกับ

เงื่อนไข$f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = f(1) f(2) f(3) ... f(n) $

ต้องการ $f(1)-f(n)$ มีค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้

แสดงว่า $f(1) = n$ และ $f(n) = 1$ จากเงื่อนไข จะได้

$n + (n-1) + (n-2) +...+1 = n(n-1)(n-2) ...1$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\frac{n(n-1)}{2} = n!$

ลำดับของ $\frac{n(n-1)}{2} \quad$ คือ $1,3,6,10,15,...$

ลำดับของ $n! \qquad $ คือ $1,2,6,24,120,...$

จะเห็นว่า $\qquad\frac{n(n-1)}{2} = n!$ เมื่อ $ \quad n=3$

ดังนั้นจะได้ $\quad f(1) -f(n) \quad = \quad 3-1 \quad =\quad 2$

:D:D:D

[sck]

ขอวิธีทำข้อ 12 โดยใช้ตรีโกณมิติหน่อยครับ
พอรู้คำตอบว่าได้ข้อ 3. แต่มองวิธีคิดโดยใช้ตรีโกณไม่ออกเลย

[Kowit Pat.]

ขอวิธีทำข้อ 12 โดยใช้ตรีโกณมิติหน่อยครับ
พอรู้คำตอบว่าได้ข้อ 3. แต่มองวิธีคิดโดยใช้ตรีโกณไม่ออกเลย


แบบใช้ตรีโกณ (ขอโทษด้วยครับ ผมถนัดแต่ทำเรื่องง่ายให้เป็นเรื่องยาก :sweat:
ถ้าใครมีวิธีอื่น ช่วยเสนอแนะด้วยครับ นอกจากการเดา $3 - 4 - "5"$)

จากภาพที่มุม $A$ จะได้ $sin (A) = sin (m+n)$ ..............$1)$

จาก sin's law : $sin A = \frac{2x sin(B)}{3}$ .............$2)$

และ $sin (m+n) = sin(m)cos(n) +sin(n)cos(m) $
จัดรูป $sin (m+n) = \frac{(2x sin(B))(cos(n)}{5}+\frac{(8x sin(B))(cos(m))}{15}$.......$3)$

ให้ $2)$ = $3)$ จะได้
$3cos(n) +4cos(m) = 5$ ......................$4)$

จาก cosin's law จะได้ $cos(n) = \frac{61-4x^2}{60}$
และ $cos(m) = \frac{89-4x^2}{80}$

แทนค่า $cos(m)$ และ $cos(n)$ ลงใน $4)$ แล้วสมการจะได้
$x=2.5$ และ $BC = 2x = 5$:cry:

[Onasdi]

ให้ D เป็นจุดกึ่งกลางด้าน BC ใช้ กฎของ cosine กับสามเหลี่ยม ABD, ACD
ได้ $AB^2=AD^2+BD^2-2AD\cdot BD\cos \theta\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ ---(1)
และ $AC^2=AD^2+CD^2-2AD\cdot CD\cos (\pi-\theta)\,\,\,$ ---(2)
แต่ $BD=CD$ และ $cos \theta+\cos (\pi-\theta)=0$
จึงเอา (1)+(2) ได้ $$AB^2+AC^2=2AD^2+2BD^2$$
แทนตัวเลขลงไป $\displaystyle{4^2+3^2=2\Big(\frac{5}{2}\Big)^2+2x^2}$ :)

[Onasdi]

เคยเห็นอีกวิธีนึงครับ เป็นวิธีม.ต้น
เริ่มจากสามเหลี่ยม ABD กับ ACD มีพื้นที่เท่ากัน เพราะว่าฐานและส่วนสูงเท่ากัน
ใช้สูตรพื้นที่ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ได้ $\displaystyle{\frac{x+4+2.5}{2}\cdot\frac{x-4+2.5}{2}\cdot\frac{x+4-2.5}{2}\cdot\frac{-x+4+2.5}{2}=\frac{x+3+2.5}{2}\cdot\frac{x-3+2.5}{2}\cdot\frac{x+3-2.5}{2}\cdot\frac{-x+3+2.5}{2}}$
ไม่ไหวแล้ว ยอมแพ้

[bell18]

ขอบคุณครับ คุณ Onasdi เยี่ยมมากๆครับ

[bell18]

ตอนนี้คิดไป34ข้อแล้วได้คำตอบเป็น...
1.2 2.4 3.2 4.4 5.1 6.1 7.3 8.2 9.1 10.1
11.3 12.3 13.1 14.4 15.1 16.1 17.4 18.3 19.2 20.1
21.4 22.1 23.4 24.4 25.2 26.2 27.1 28.3 29.2 30.4
31.3 32.2 33.4 34.4
ใครคิดเสร็จแล้วช่วยต่อที่เหลือด้วยครับ

[sck]

ต่อข้อ 35. 2 36. 3 37. 2 38. 1 39. 4 40. 3
นอกนั้นยังไม่ได้คิดครับ

** ขอบคุณ คุณ Kowit Pat. และ คุณ Onasdi สำหรับวิธีคิดข้อ 12 นะครับ :)

[pakdee]

41. 3 41. 3 42. 2 43. 3 44. 1 45. 4 46. 1 47. 3 48. 1 49. 2
50. 3

[cenia]

อธิบายข้อ 37 หน่อยฮะ


ผมคิดได้ 58/143 วิธีอ่ะครับ

[Kowit Pat.]

คุณ sckลองดูข้อ 37 อีกครั้งหรือช่วยอธิบายหน่อยครับ

ผมได้ $\frac{58}{143}$ :ohmy:

[sck]

ข้อ 37 ได้ ข้อ 2. ครับ

ดันไปคูณเลขผิด คิดไว้ n(E) = 5x4x2+5x4x2+5x2x2+4x2x2 ดันได้ = 120 เฉยเลย
ที่ถูกต้อง 118 :p

ไปแก้ให้ละครับ

[bell18]

ข้อ38.ผมคิดได้ข้อ2.ครับ
ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[Onasdi]

ผมได้ข้อหนึ่งครับ คิดยังไงครับ
พลาดตรงนี้รึเปล่าครับ สามเหลี่ยม ฐาน=1 สูง=1 มีพื้นที่ 1/2 นะครับ

[berm]

ขอแนวคิดข้อ 47 หน่อยครับ

ขอบคุณมากครับ

[[SIL]]

จาก $\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n+1}} = 1$ จะได้
$\frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_{n+2}} = 1$ จับมาลบกันจะได้
$\frac{1}{a_{n+2}} = \frac{1}{a_{n}}$ ที่เหลือก็ต่อเองโลด

[berm]

เคลียร์ข้อนี่แล้วขอบคุณท่าน SIL มากๆครับผม

[bell18]

โอ้ววว...พลาดง่ายๆอย่างที่คุณ Onasdi บอกมาจริงๆ
ขอบคุณมากๆครับ

[vespa1]

รบกวนท่าจอมยุทธทั้งหลายชี้แนะ ข้อ 15 ทีนะคะ ไม่ไหวแล้วค่ะ พยายามมากๆๆแล้วค่ะ

[แมวสามสี]

รบกวนท่าจอมยุทธทั้งหลายชี้แนะ ข้อ 15 ทีนะคะ ไม่ไหวแล้วค่ะ พยายามมากๆๆแล้วค่ะ

ลองวาดกราฟดูครับ S เป็นพื้นที่ภายในวงกลมรวมเส้นรอบวง A, B กราฟเป็นรูปไฮเปอร์โบลา

ระยะทางระหว่าง p กับ q ที่น้อยที่สุดเมื่อ p กับ q เป็นจุดตัดของ A กับเส้นรอบวง S และ B กับเส้นรอบวง S ที่อยู่ในจตุภาคเดียวกันครับ

:D:D:D

ที่จริงจะเข้ามาเสนอวิธีคิด ข้อ 12

จากรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งมี D เป็นจุดกึ่งกลางของ BC

ถ้าเราต่อ AD ออกไปจนถึง E โดยให้ DE ยาวเท่ากับ 2.5 หน่วย

จะได้สี่เหลี่ยม ABEC เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่มีด้านประกอบมุมยาว 3 กับ 4 และมีเส้นทแยงยาว 5 หน่วย

จึงได้ว่ามุม ABE = มุม ABE = 90 องศา ดังนั้นในข้อนี้สี่เหลี่ยม ABEC จึงเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

BC จึงยาวเท่ากับ AE เท่ากับ 5 หน่วย

:D:D:D

[B-Hunter]

สวัสดีครับขอวิธีทำข้อ 21 กับ ข้อ 31 หน่อยครับ แบบว่าแกะไม่ออก

[แมวสามสี]

ข้อ 21. ให้ $A=\bmatrix{a & b \\ c & d} $ จะำได้$\vmatrix{a & b \\ c & d} =ad-bc = 4$........(1)

ทีนี้ก็ใช้$\left|A-3I\,\right| =0$ ได้ $ (a-3)(d-3)-bc=0$ ลองต่อดูครับ

ข้อ31. จาก $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^4-n^2} =A$

พิจารณา$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^4-n^2} =\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{(n^2-1)n^2}$

$\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{8\times 9}+ \frac{1}{15\times 16}+\frac{1}{24\times 25}+\frac{1}{35\times 36}+ \frac{1}{48\times 49}+ ...$

$\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{1}{3} -\frac{1}{4} +\frac{1}{8} -\frac{1}{9} +\frac{1}{15} -\frac{1}{16}+\frac{1}{24} -\frac{1}{25}+\frac{1}{35} -\frac{1}{36}+\frac{1}{48} -\frac{1}{49}+...$

$\qquad\qquad\qquad\qquad=( \frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{35}+\frac{1}{48}+...)-( \frac{1}{4} +\frac{1}{9} +\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+\frac{1}{49}+...)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad=( \frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+...) +(\frac{1}{8}+\frac{1}{24}++\frac{1}{48}+...)-\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

$\qquad\qquad\qquad\qquad=(\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+ \frac{1}{5\times 7}+...)+(\frac{1}{2\times 4}+\frac{1}{4\times 6}+ \frac{1}{6\times 8}+...)-\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

$\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{1}{2} (\frac{1}{1} -\frac{1}{3} +\frac{1}{3} -\frac{1}{5} +\frac{1}{5} -\frac{1}{7}+...)+\frac{1}{2} (\frac{1}{2} -\frac{1}{4} +\frac{1}{4} -\frac{1}{6} +\frac{1}{6} -\frac{1}{8}+...)-\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

$\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

$\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{3}{4}-\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

ได้$ \qquad A=\frac{3}{4}-\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

ดังนั้น $ \qquad \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{3}{4}-A$


:D:D:D

[hmang072]

แจก เฉลยข้อสอบ PAT 1 ครั้งที่ 2 (เฉลยแบบละเอียด) สอบวันที่ 11 ก.ค. 2552

เข้าไปดาวน์โหลดที่เว็บ

http://gat-pat-o-net.blogspot.com/2009/11/pat-1-2.html (http://gat-pat-o-net.blogspot.com/2009/11/pat-1-2.html)