PEMIC 2009

[คusักคณิm]

1. จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่คูณกับ 543 ได้ผลลัพธ์ลงท้ายด้วย 2009

2. ลินดารู้สึกดีใจในวันเกิดครบอายุ10ขวบของเธอในวันที่ 13 กค. 1991(13/7/91) เธอสังเกตเห็นว่าเมื่อเอาลำดับเลขวันคูณกับลำดับเลขเดือนได้ผลเท่ากับตัวเลขสองตัวท้ายของปี 13*7 = 91 ลินดาเริ่มคิดต่อไปว่าในรอบศตวรรษเดียวกันนี้จะมีวันเกิดของคนอื่นที่มีผลคูณแบบเดียวกันกับวันเกิดของเธอ และยิ่งน่าประหลาดใจที่ลินดาพบว่า น้องชายของเธอทั้งสองคนเมื่ออายุครบ10ปี วันนั้นก็จะให้ผลคูณเหมือนกับของลินดา ถ้าน้องชายทั้งสองคนนี้มีวันเกิดเรียงติดต่อกันจงหาว่าน้องชายที่อายุน้อยที่สุดเกิดในวันไหน

3.ฟิลิปนำจำนวนตั้งแต่1ถึง12มาจับคู่กันทั้งหมด 6คู่โดยให้ผลบวกของแต่ละคู่เป็นจำนวนเฉพาะนั้นเป็นจำนวนที่ไม่ซ้ำกันเลย จงหาว่าจำนวนเฉพาะที่เกิดจากการจับคู่นี้มีค่ามากที่สุดเท่ากับเท่าไหร่
4.ข้อ4.จากรูป รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่มีพื้นที่แรเงาเท่ากับ3/4ของพื้นที่สี่เหลี่ยมใหญ่ และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กมีพื้นที่แรเงาเป็น5/7ของพื้นที่สี่เหลี่ยมเล็ก อยากทราบอัตราส่วนระหว่างพื้นที่แรเงาของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ต่อสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก

http://img10.imageshack.us/img10/4058/pmwc.png
5.มีลำดับ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … สังเกตว่า ตั้งแต่ตัวเลขลำดับที่3เป็นต้นไป เกิดจากการนำลำดับสองลำดับก่อนมาบวกกัน อยากทราบว่าตัวเลขที่อยู่ในลำดับที่ 2009 เมื่อถูกหารด้วย 8แล้วเหลือเศษเท่าไหร่

6. 6.บนถนนอัมพาง มีบ้านอยู่ไม่เกิน 15 หลังโดยมีหมายเลข 1,2,3,... นางลัวอาศัยอยู่ในย่านถนนอัมพางโดยที่นางลัวไม่ได้อาศัยในบ้านหลังแรก.เมื่อนำหมายเลขของบ้านที่อยู่ก่อนถึงบ้านคุณลัวมาคูณกันมีค่าเท่ ากับผลคูณของหมายเลขบ้านที่อยู่ถัดจากคุณลัว มีบ้านกี่หลังที่อยู่บนถนนอัมพาง

7.
http://img230.imageshack.us/img230/3598/emic.png
8. A number consists of three different digits. If the difference between the largest and the smallest numbers obtained by rearranging these three digits is equal to the original number, what is the original three-digit number?


9. The last 3 digits of some perfect squares are the same and non-zero. What is the smallest possible value of such a perfect square?


10. Lynn is walking from town A to town B, and Mike is riding a bike from town B to town A along the same road. They started out at the same time and met 1 hour after. When Mike reaches town A, he turns around immediately. Forty minutes after they first met, he catches up with Lynn, still on her way to town B. When Mike reaches town B, he turns around immediately. Find the ratio of the distances between their third meeting point and the towns A and B.
11.http://img716.imageshack.us/i/emic2.png/
12.http://img641.imageshack.us/img641/4426/emic3.png
13.There are 10 steps from the ground level to the top of a platform. The 6th step is under repair and can only be crossed over but not stepped on. Michael walks up the steps with one or two steps only at a time. How many different ways can he use to walk up to the top of the platform?
14.For four different positive integers a, b, c and d, where a < b < c < d, if the product (d – c) × (c – b) × (b – a) is divisible by 2009, then we call this group of four integers a “friendly group”. How many “friendly groups” are there from 1 to 60?
15.
http://img693.imageshack.us/img693/1461/emic4.png

[ง่วงนอน]

อันดับ แรกคือแปลโจทย์

[banker]

อันดับ แรกคือแปลโจทย์

ตามคำขอ

อากู๋แปลให้ครับ :haha:

1. Kiran and his younger brother Babu are walking on a beach with Babu walking in front. Each of Kiran’s step measures 0.8 meter while each of Babu’s step measures 0.6 meter. If both of them begin their walk along a straight line from the same starting point (where the first footprint is marked) and cover a 100 meter stretch, how many foot-prints are left along the path? (If a footprint is imprinted on the 100 meter point, it should be counted. Consider two foot-prints as recognizable and distinct if one does not overlap exactly on top of the other.)

1. Kiran และ พี่ ชาย ของ เขา Babu เล็ก เดิน บน ชายหาด ที่ มี Babu เดิน หน้า. แต่ละ ขั้น ตอน ของ Kiran มาตรการ 0.8 เมตร ขณะ ที่ แต่ละ ขั้น ตอน Babu ของ มาตรการ 0.6 เมตร. หาก ทั้ง สอง เริ่ม เดิน ของ พวก เขา พร้อม สาย ตรง จาก จุด เริ่ม เดียวกัน (รอย แรก ที่ มี การ ทำ เครื่องหมาย) และ ครอบคลุม ยืด เมตร 100, วิธี การ เดิน เท้า หลาย พิมพ์ มี ซ้าย ตาม เส้นทาง หรือ ไม่ (ถ้า มี รอย ตรา ตรึง ใจ ใน จุด 100 เมตร ก็ ควร จะ นับ. พิจารณา สอง เท้า-พิมพ์ เป็น ที่ รู้จัก และ ชัดเจน หาก ไม่ ทับ ซ้อน ตรง ด้าน บน ของ อื่น ๆ.)

ref : http://translate.google.co.th/#

[ง่วงนอน]

งงเลยคับเนี้ย

[Tanat]

ให้อากู๋ไปทำหน้าที่ที่เขาถนัดดีกว่าไหมครับ :p

เวอร์ชั่นของผมตามนี้ครับ (หากผิดพลาดประการใดช่วยแก้ไข และแนะนำด้วยน่ะครับ :please:)

1.) Kiran และน้องชายของเขา Baru กำลังเดินอยู่บนชายหาด โดยมี Baru เดินนำหน้า แต่ละก้าวของ Kiran วัดระยะทางได้ 0.8 เมตร ขณะที่แต่ละก้าวของ Baru วัดระยะทางได้ 0.6 เมตร ถ้าทั้งสองคนเริ่มเดินไปตามทางเป็นเส้นตรง จากจุดเริ่มต้นเดียวกัน (ที่ซึ่งร้อยเท้ารอยแรกถูกทำเครื่องหมายไว้) และครอบคลุมไปไกล 100 เมตร ถามว่ามีรอยเท้าบนเส้นทางเดินจำนวนเท่าไร? (หากมีรอยเท้าใดอยู่บนจุดร้อยเมตรพอดีก็จะนำมานับด้วย พิจารณาสองร้อยเท้าที่จำได้และชัดเจน ถ้ารอยเท้าใดรอยเท้าหนึ่งไม่ไปทับพอดีเป๊ะกับรอยเท้าอื่่น)

[nong_jae]

เอ่อ หนูแปลเท่าที่จะแปลได้ค่ะ รบกวนช่วยตรวจสอบด้วยนะคะ

3. As shown in the following figure, we arranged the positive integers into a triangular shape so that the numbers above or on the left must be less than the numbers below or on the right and each line has one more number than those above. Let us suppose aij stands for the number which is in the i-th line from the top and j is the count from the left in the triangular figure(e.g. a43=9). If aij is 2009, what is the value of i+j?
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
…

3.เรียงจำนวนเต็มบวกเป็นรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นตัวเลขที่อยู่ด้านบน หรือ ด้านซ้าย ต้องน้อยกว่าตัวเลขที่อยู่ด้านล่าง หรือ ด้านขวา และในแต่ละแถวต้องมีตัวเลขมากกว่าแถวบนอยู่ 1 ตัว ให้ aij แทนตัวเลขที่อยู่แถวที่ i จากด้านบน และตัวที่ j จากด้านซ้าย เช่น a43=9 ถ้า aij=2009 จงหา i+j
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
...

4. Find the smallest positive integer whose product after multiplication by 543 ends in 2009.

4.จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่คูณกับ 543 ได้ผลลัพธ์ลงท้ายด้วย 2009

[Tanat]

เอ่อ หนูแปลเท่าที่จะแปลได้ค่ะ รบกวนช่วยตรวจสอบด้วยนะคะ

3. As shown in the following figure, we arranged the positive integers into a triangular shape so that the numbers above or on the left must be less than the numbers below or on the right and each line has one more number than those above. Let us suppose aij stands for the number which is in the i-th line from the top and j is the count from the left in the triangular figure(e.g. a43=9). If aij is 2009, what is the value of i+j?
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
?

3.เรียงจำนวนเต็มบวกเป็นรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นตัวเลขที่อยู่ด้านบน หรือ ด้านซ้าย ต้องน้อยกว่าตัวเลขที่อยู่ด้านล่าง หรือ ด้านขวา และในแต่ละแถวต้องมีตัวเลขมากกว่าแถวบนอยู่ 1 ตัว ให้ aij แทนตัวเลขที่อยู่แถวที่ i จากด้านบน และตัวที่ j จากด้านซ้าย เช่น a43=9 ถ้า aij=2009 จงหา i+j
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
...

4. Find the smallest positive integer whose product after multiplication by 543 ends in 2009.

4.จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่คูณกับ 543 ได้ผลลัพธ์ลงท้ายด้วย 2009

แปลได้ดีมากแล้วครับ

ปล.) คำว่า so that ในข้อที่3 ที่คุณ nong_jae แปลว่า "ดังนั้น" ไม่แน่ใจว่าในกรณีนี้ so that ทำหน้าที่เชื่อมประโยค 2 ประโยคเข้าด้วยกัน จะใช้เป็น "เพื่อว่า หรือ เพื่อให้" รึเปล่าครับ เดี๋ยวจะลองไปตรวจสอบดูความถูกต้องอีกทีครับ

[ง่วงนอน]

ให้อากู๋ไปทำหน้าที่ที่เขาถนัดดีกว่าไหมครับ :p

เวอร์ชั่นของผมตามนี้ครับ (หากผิดพลาดประการใดช่วยแก้ไข และแนะนำด้วยน่ะครับ :please:)

1.) Kiran และน้องชายของเขา Baru กำลังเดินอยู่บนชายหาด โดยมี Baru เดินนำหน้า แต่ละก้าวของ Kiran วัดระยะทางได้ 0.8 เมตร ขณะที่แต่ละก้าวของ Baru วัดระยะทางได้ 0.6 เมตร ถ้าทั้งสองคนเริ่มเดินไปตามทางเป็นเส้นตรง จากจุดเริ่มต้นเดียวกัน (ที่ซึ่งร้อยเท้ารอยแรกถูกทำเครื่องหมายไว้) และครอบคลุมไปไกล 100 เมตร ถามว่ามีรอยเท้าบนเส้นทางเดินจำนวนเท่าไร? (หากมีรอยเท้าใดอยู่บนจุดร้อยเมตรพอดีก็จะนำมานับด้วย พิจารณาสองร้อยเท้าที่จำได้และชัดเจน ถ้ารอยเท้าใดรอยเท้าหนึ่งไม่ไปทับพอดีเป๊ะกับรอยเท้าอื่่น)



โจทย์นี้ผมคิดว่ามันน่าจะเหมือนกับโจทย์ประเภท 1-10000 มีตตัวที่หารด้วย 6 หรือ 8 ลงตัวบ้าง

ซึ้นถ้าผมคิดไม่ผิดจะได้ 2504 ครับ

คือ หาตัวที่หารด้วย6 ลงตัว แล้วบวกอีก1 (เพราะ ก้าวแรกครับ) และหาตัวที่หาร8 ลงตัว แล้วบวก1

แล้วหาตัวที่หารด้วย ครน. ของ2ตัวนั้นลงตัวนั้นคือ 24 แล้วบวก1


จากนั้นนำมา บวก บวก ลบ
คับ

[Tanat]

โจทย์นี้ผมคิดว่ามันน่าจะเหมือนกับโจทย์ประเภท 1-10000 มีตตัวที่หารด้วย 6 หรือ 8 ลงตัวบ้าง

ซึ้นถ้าผมคิดไม่ผิดจะได้ 2504 ครับ

คือ หาตัวที่หารด้วย6 ลงตัว แล้วบวกอีก1 (เพราะ ก้าวแรกครับ) และหาตัวที่หาร8 ลงตัว แล้วบวก1

แล้วหาตัวที่หารด้วย ครน. ของ2ตัวนั้นลงตัวนั้นคือ 24 แล้วบวก1


จากนั้นนำมา บวก บวก ลบ
คับ

จำนวนที่ตอบมานั้น มากเกินไปรึเปล่าครับ ช่วยแสดงวิธีคิดอย่างละเอียดให้ดูหน่อยน่ะครับ :please:

[Puriwatt]

โจทย์นี้ผมคิดว่ามันน่าจะเหมือนกับโจทย์ประเภท $1-1000$ มีตัวที่หารด้วย 6 หรือ 8 ลงตัวบ้าง

คือ หาตัวที่หารด้วย 6 ลงตัว แล้วบวกอีก1 = 166 (เพราะ นับก้าวแรกครับ)

และหาตัวที่หาร 8 ลงตัว แล้วบวกอีก1 = 125

แล้วหาตัวที่หารด้วย ครน. ของ 6 กับ 8 ลงตัวนั้นคือ 24 แล้วบวกอีก1 = 41 (ก้าวที่ซ้อนทับกันพอดี)

ดังนั้นจะมีรอยเท้าทั้งหมด 166+125-41+1 = 251 รอย (เพราะ ต้องนับก้าวแรกด้วยครับ)

แก้คำตอบและให้ดูง่ายครับ :p

[Puriwatt]

3.จากรูปที่แสดงด้นล่าง ที่เราเรียงจำนวนเต็มบวกเป็นรูปสามเหลี่ยม เพื่อที่ตัวเลขที่อยู่ด้านบนหรือด้านซ้าย ต้องมีค่าน้อยกว่าตัวเลขที่อยู่ด้านล่าง หรือด้านขวา และในแต่ละแถวมีตัวเลขมากกว่าแถวด้านบนอยู่ 1 ตัวเสมอ กำหนดให้ aij แทนตัวเลขที่อยู่ในบรรทัดที่ i จากด้านบน และตำแหน่งที่ j นับจากด้านซ้าย( เช่น a43=9) ถ้า aij เป็น 2009 จงหาค่าของ i+j
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
...


4.จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ที่หลังจากคูณด้วย 543 แล้วได้ผลลัพธ์ลงท้ายด้วย 2009

ข้อ 3. ผมมองย้อนไปที่ตำแหน่ง j = 0 จะพบรูปทั่วไปคือ $a_{ij} = \dfrac{i(i-1)}{2}+j$

กรณี $a_{ij} = \dfrac{i(i-1)}{2}+j = 2009$ จะเกิดขึ้นเมื่อ $i(i-1) \leqslant 4018$ --> จะได้ค่า i = 63, j = 56

ดังนั้นค่าของ i+j = 63+56 = 119 :D

ข้อ 4. หลังจากคูณด้วย 543 แล้วได้ผลลัพธ์ลงท้ายด้วย 2009

หลักหน่วย เป็นเลข 3 (เพราะเป็นตัวเดียวที่คูณเลข 3 แล้วลงท้ายด้วย 9 ) 3x543 = 1,629
หลักสิบ เป็นเลข 6 (เพราะเป็นตัวเดียวที่คูณเลข 3 แล้วลงท้ายด้วย 8 ) 60x543 = *2,580 --> รวมได้ *4,209
หลักร้อย เป็นเลข 6 (เพราะเป็นตัวเดียวที่คูณเลข 3 แล้วลงท้ายด้วย 8 ) 600x543 = *5,800 --> รวมได้ *0,009
หลักพัน เป็นเลข 4 (เพราะเป็นตัวเดียวที่คูณเลข 3 แล้วลงท้ายด้วย 2 ) 4000x543 = *2,000 --> รวมได้ *2,009

จำนวนเต็มบวกนั้นก็คือ 4,663 ครับ :nooo:

[Puriwatt]

6. Philip arranged the number 1, 2, 3, ... , 11, 12 into six pairs so that the sum of the numbers in any pair is prime and no two of these primes are equal. Find the largest of these primes.

จำนวนเฉพาะที่เป็นไปได้คือ 3, 5, 7, 11, 13 ,17,19, 23

ลองจับคู่แบบผลรวมมากไปหาผลรวมน้อยได้ (12,11), (10,9), (8,5), (7,4), (6,1) และ (3,2)

ดังนั้นจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่ได้คือ 12+11 = 23 ครับ :D

[Puriwatt]

2. Water is leaking out continuously from a large reservoir at a constant rate. To facilitate repair, the workers have to first drain-off the water in the reservoir with the help of water pumps. If 20 pumps are used, it takes 5 full hours to completely drain-off the water from the reservoir. If only 15 pumps are used, it will take an hour longer. If the workers are given 10 hours to complete the job of draining-off the water, what is the minimum number of water pumps required for the job?

ปริมาณน้ำในถังเก็บเริ่มต้น คือ (20P+L)x5h = (15P+L)x6h = (nP+L)x10h

จากสมการ (20P+L)x5h = (15P+L)x6h --> จัดรูปใหม่ได้ (100-90)P.h = (6-5)L.h

ดังนั้นเราจะพบว่า 10P = 1L (หมายความว่า: อัตราการรั่วของน้ำ จะเทียบเท่ากับ การดูดด้วยปั๊ม 10 ตัว ครับ)

จะได้ว่าปริมาณน้ำในถังเก็บเริ่มต้น คือ (20P+10P)x5h = 150P.h = (nP+10P)x10h

--> จัดรูปใหม่ได้ 150 = (n+10)10 --> แก้สมการได้ n = 5

ต้องการปั๊มอย่างน้อย 5 ตัว สำหรับงานดูดน้ำออกจนหมดถังเก็บในเวลา 10 ชั่วโมงครับ :p

[กิตติ]

5.Linda was delighted on her tenth birthday, 13 July 1991 (13/7/91), when she realized that the product of the day of the month together with the month in the year was equal to the year in the century: 13×7 = 91. She started thinking about other occasions in the century when such an event might occur, and imagine her surprise when she realized that the numbers in her two younger brothers’ tenth birthdays would also have a similar relationship. Given that the birthdays of the two boys are on consecutive days, when was Linda’s youngest brother born?

5.ลินดารู้สึกดีใจในวันเกิดครบอายุ10ขวบของเธอในวันที่ 13 กค. 1991(13/7/91) เธอสังเกตเห็นว่าเมื่อเอาลำดับเลขวันคูณกับลำดับเลขเดือนได้ผลเท่ากับตัวเลขสองตัวท้ายของปี 13×7 = 91 ลินดาเริ่มคิดต่อไปว่าในรอบศตวรรษเดียวกันนี้จะมีวันเกิดของคนอื่นที่มีผลคูณแบบเดียวกันกับวันเกิดของเธอ และยิ่งน่าประหลาดใจที่ลินดาพบว่า น้องชายของเธอทั้งสองคนเมื่ออายุครบ10ปี วันนั้นก็จะให้ผลคูณเหมือนกับของลินดา ถ้าน้องชายทั้งสองคนนี้มีวันเกิดเรียงติดต่อกันจงหาว่าน้องชายที่อายุน้อยที่สุดเกิดในวันไหน

ในรอบศตวรรษนี้ ก็เหลือแค่1991-1999.....ตัวกำหนดคือ 91-99 จำนวนเดือนคือ1-12 นับจากนี้การเขียนเรียงกันแบบนี้ วัน/เดือน/ปี
1992 4x23 23/04/1992
1993 3x31 31/03/1993
1994 ไม่มี
1995 5x19 19/05/1995
1996 4x24 6x16 8x12 จะได้ 24/04/1996 16/06/1996 12/08/1996 8/12/1996
1997 ไม่มี
1998 ไม่มี
1999 9x11 11/09/1999 9/11/1999
ในจำนวนทั้งหมดมีวันเรียงกัน 23/04/1992กับ 24/04/1996
โจทย์ถามน้องชายที่อายุน้อยที่สุด
ต้องเลือก24/04/1996 เป็นวันเกิดครบ 10 ปี
ดังนั้นน้องชายคนนี้เกิดเมื่อ 24/04/1986

[คusักคณิm]

มาช่วยกันแปลต่อเถอะครับ

[กิตติ]

ในบล็อกของPEMIC......เขาแจกข้อสอบพร้อมเฉลยด้วย
PEMIC (http://pimc.wordpress.com/)

[กิตติ]

3. Philip arranged the number 1, 2, 3, ... , 11, 12 into six pairs so that the sum of the numbers in any pair is prime and no two of these primes are equal. Find the largest of these primes.

3.ฟิลิปนำจำนวนตั้งแต่1ถึง12มาจับคู่กันทั้งหมด 6คู่โดยให้ผลบวกของแต่ละคู่เป็นจำนวนเฉพาะนั้นเป็นจำนวนที่ไม่ซ้ำกันเลย จงหาว่าจำนวนเฉพาะที่เกิดจากการจับคู่นี้มีค่ามากที่สุดเท่ากับเท่าไหร่

[กิตติ]

ข้อ4...ผมฝากน้องคนรักคณิตช่วยตัดรูปแปะให้หน่อยครับ

ข้อ4.จากรูป รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่มีพื้นที่แรเงาเท่ากับ$\frac{3}{4}$ของพื้นที่สี่เหลี่ยมใหญ่ และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กมีพื้นที่แรเงาเป็น$\frac{5}{7} $ของพื้นที่สี่เหลี่ยมเล็ก อยากทราบอัตราส่วนระหว่างพื้นที่แรเงาของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ต่อสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก

[กิตติ]

5. Observe the sequence 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … . Starting from the third number, each number is the sum of the two previous numbers. What is the remainder when the 2009th number in this sequence is divided by 8?

5.มีลำดับ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … สังเกตว่า ตั้งแต่ตัวเลขลำดับที่3เป็นต้นไป เกิดจากการนำลำดับสองลำดับก่อนมาบวกกัน อยากทราบว่าตัวเลขที่อยู่ในลำดับที่ 2009 เมื่อถูกหารด้วย 8แล้วเหลือเศษเท่าไหร่

[กิตติ]

6. Ampang Street has no more than 15 houses, numbered 1, 2, 3 and so on. Mrs. Lau lives in one of the houses, but not in the first house. The product of all the house numbers before Mrs. Lau’s house, is the same as that of the house numbers after her house. How many houses are on Ampang Street?

6.บนถนนอัมพาง มีบ้านอยู่ไม่เกิน 15 หลังโดยมีหมายเลข 1,2,3,... นางลัวอาศัยอยู่ในย่านถนนอัมพางโดยที่นางลัวไม่ได้อาศัยในบ้านหลังแรก.เมื่อนำหมายเลขของบ้านที่อยู่ก่อนถึงบ้านคุณลัวมาคูณกันมีค่าเท่ ากับผลคูณของหมายเลขบ้านที่อยู่ถัดจากคุณลัว มีบ้านกี่หลังที่อยู่บนถนนอัมพาง

[banker]

6. Ampang Street has no more than 15 houses, numbered 1, 2, 3 and so on. Mrs. Lau lives in one of the houses, but not in the first house. The product of all the house numbers before Mrs. Lau’s house, is the same as that of the house numbers after her house. How many houses are on Ampang Street?

6.บนถนนอัมพาง มีบ้านอยู่ไม่เกิน 15 หลังโดยมีหมายเลข 1,2,3,... นางลัวอาศัยอยู่ในย่านถนนอัมพางโดยที่นางลัวไม่ได้อาศัยในบ้านหลังแรก.เมื่อนำหมายเลขของบ้านที่อยู่ก่อนถึงบ้านคุณลัวมาคูณกันมีค่าเท่ ากับผลคูณของหมายเลขบ้านที่อยู่ถัดจากคุณลัว มีบ้านกี่หลังที่อยู่บนถนนอัมพาง

2685


จากรูป บ้านนังลั๊วะ น่าจะอยู่ระหว่าง บ้านที่ 6 กับ บ้านที่ 9

เพราะด้านซ้ายคูณกันลงท้ายด้วย ศูนย์ ( 2 x 5) ด้านขวาก็ต้องมี ศูนย์ (x10)

ถ้าบ้านนังลั๊วะอยู่หลังที่ 6 ผลคูณด้านซ้ายจะเป็น 1x2x3x4x5 = 120 แต่ด้านขวา คูณกันไม่มี 120

ถ้าบ้านนังลั๊วะอยู่หลังที่ 7 ผลคูณด้านซ้ายจะเป็น 1x2x3x4x5x6 = 720 และด้านขวา คูณกัน 8 x 9 x 10 = 720

ดังนั้นบ้านนังลั๊วะอยู่หลังที่ 7 มีบ้านทั้งหมด 10 หลัง

[banker]

3. Philip arranged the number 1, 2, 3, ... , 11, 12 into six pairs so that the sum of the numbers in any pair is prime and no two of these primes are equal. Find the largest of these primes.

3.ฟิลิปนำจำนวนตั้งแต่1ถึง12มาจับคู่กันทั้งหมด 6คู่โดยให้ผลบวกของแต่ละคู่เป็นจำนวนเฉพาะนั้นเป็นจำนวนที่ไม่ซ้ำกันเลย จงหาว่าจำนวนเฉพาะที่เกิดจากการจับคู่นี้มีค่ามากที่สุดเท่ากับเท่าไหร่



11+12 = 23

10+9 = 19

8+5 = 13

7+4 =11

6+1 = 7

2+3= 5

ตอบ 23

[banker]

ข้อ4...ผมฝากน้องคนรักคณิตช่วยตัดรูปแปะให้หน่อยครับ

ข้อ4.จากรูป รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่มีพื้นที่แรเงาเท่ากับ$\frac{3}{4}$ของพื้นที่สี่เหลี่ยมใหญ่ และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กมีพื้นที่แรเงาเป็น$\frac{5}{7} $ของพื้นที่สี่เหลี่ยมเล็ก อยากทราบอัตราส่วนระหว่างพื้นที่แรเงาของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ต่อสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก

จัตุรัสใหญ่ มีพื้นที่ $x$ ตารางหน่วย

จัตุรัสเล็กมีพื้นที่ $y$ ตารางหน่วย


2687
พื้นที่ที่แหว่งหายไป (สีเหลือง) $= \frac{2}{7}y = \frac{1}{4}x$

$7x = 8y$



$\frac{พื้นที่แรเงาของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่}{พื้นที่แรเงาของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก} = \dfrac{\frac{3x}{4}}{\frac{5y}{7}} = \frac{3\times 7x}{20y} =\frac{24y}{20y} = \frac{6}{5}$

[กิตติ]

ข้อ7.สามเหลี่ยม$ABC$เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยที่มีมุม$B$เป็นมุมฉากและมีด้าน$BC$ยาวเท่ากับ 42 เซนติเมตร และด้าน$AB$ยาวเท่ากับ 56 เซนติเมตร เมื่อสร้างรูปครึ่งวงกลมโดยให้ด้าน$AC$เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและสร้างรูปเสี้ยววงกลม(หนึ่งในสี่ของวงกลม)ที่ใช้$BC$เป็นรัศมี จงหาพื้นที่แรเงาตอบในรูปตารางเซนติเมตร กำหนดให้$\pi =\frac{22}{7} $

[banker]

ข้อ7.สามเหลี่ยม$ABC$เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยที่มีมุม$B$เป็นมุมฉากและมีด้าน$BC$ยาวเท่ากับ 42 เซนติเมตร และด้าน$AB$ยาวเท่ากับ 56 เซนติเมตร เมื่อสร้างรูปครึ่งวงกลมโดยให้ด้าน$AC$เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและสร้างรูปเสี้ยววงกลม(หนึ่งในสี่ของวงกลม)ที่ใช้$BC$เป็นรัศมี จงหาพื้นที่แรเงาตอบในรูปตารางเซนติเมตร กำหนดให้$\pi =\frac{22}{7} $

HINT ตามรูปครับ
2705

[กิตติ]

8. A number consists of three different digits. If the difference between the largest and the smallest numbers obtained by rearranging these three digits is equal to the original number, what is the original three-digit number?

ข้อ8.จำนวนหนึ่งประกอบด้วยตัวเลขต่างกันสามตัวเลข(คงจะบอกอ้อมๆว่าเป็นตัวเลขสามหลัก) เมื่อทำการสลับตำแหน่งตัวเลขแล้วพบว่าจำนวนใหม่ที่เกิดขึ้นนั้น จำนวนที่มีค่ามากที่สุดมีค่ามากกว่าจำนวนที่มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับจำนวนตั้งต้นตัวแรกพอดี จงหาว่าจำนวนตั้งต้นนั้นคือเลขอะไร

[กิตติ]

9. The last 3 digits of some perfect squares are the same and non-zero. What is the smallest possible value of such a perfect square?

ข้อ9.มีจำนวนกำลังสองสัมบูรณ์ที่มีสามหลักท้ายเป็นตัวเลขเหมือนกันหมดและไม่ใช่เลขศูนย์ อยากทราบว่าจำนวนกำลังสองสัมบูรณ์นี้ที่มีค่าน้อยที่สุดคือจำนวนใด?

[กิตติ]

10. Lynn is walking from town A to town B, and Mike is riding a bike from town B to town A along the same road. They started out at the same time and met 1 hour after. When Mike reaches town A, he turns around immediately. Forty minutes after they first met, he catches up with Lynn, still on her way to town B. When Mike reaches town B, he turns around immediately. Find the ratio of the distances between their third meeting point and the towns A and B.

ข้อ10.ลินน์เดินจากเมืองAไปเมืองBและไมค์ขี่จักรยานจากเมืองBไปเมืองA บนถนนเส้นทางเดียวกันและเริ่มดินทางพร้อมกัน ลินน์และไมค์พบกันหลังจากเริ่มเดินทางได้หนึ่งชั่วโมง เมื่อไมค์ขี่จักรยานถึงเมืองAแล้วขี่กลับทันที.หลังจากพบกันครั้งแรกแล้ว 40 นาที ไมค์ก็พบลินน์อีกครั้งโดยที่ลินน์ยังเดินทางไปเมืองBอยู่.ถ้าไมค์ขี่จักรยานมาถึงเมืองBแล้วขี่กลับทันที จงหาว่าอัตราส่วนของระยะห่างของตำแหน่งที่พบกันครั้งที่สามกับเมืองAและระยะห่างของตำแหน่งที่พบกันครั้งที่สามกับเมืองB

แก้โจทย์ครับ..รีบแปลเลยแปลผิดเนื้อความ

[banker]

8. A number consists of three different digits. If the difference between the largest and the smallest numbers obtained by rearranging these three digits is equal to the original number, what is the original three-digit number?

ข้อ8.จำนวนหนึ่งประกอบด้วยตัวเลขต่างกันสามตัวเลข(คงจะบอกอ้อมๆว่าเป็นตัวเลขสามหลัก) เมื่อทำการสลับตำแหน่งตัวเลขแล้วพบว่าจำนวนใหม่ที่เกิดขึ้นนั้น จำนวนที่มีค่ามากที่สุดมีค่ามากกว่าจำนวนที่มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับจำนวนตั้งต้นตัวแรกพอดี จงหาว่าจำนวนตั้งต้นนั้นคือเลขอะไร

$9 5 4_ -$
$4 5 9$
-------
$4 9 5$

จำนวนตั้งต้นนั้นคือเลข $4 9 5$

[banker]

9. The last 3 digits of some perfect squares are the same and non-zero. What is the smallest possible value of such a perfect square?

ข้อ9.มีจำนวนกำลังสองสัมบูรณ์ที่มีสามหลักท้ายเป็นตัวเลขเหมือนกันหมดและไม่ใช่เลขศูนย์ อยากทราบว่าจำนวนกำลังสองสัมบูรณ์นี้ที่มีค่าน้อยที่สุดคือจำนวนใด?


$38\times 38 = 1444$

[กิตติ]

ข้อ11.ตามรูปที่กำหนดมาให้ จุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งห้ารูปเป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมและวงกลมมีรัศมี 1 เซนติเมตรเท่ากัน จงหาพื้นที่แรเงาทั้งหมดว่าเท่ากับกี่ตารางเซนติเมตร

[banker]

10. Lynn is walking from town A to town B, and Mike is riding a bike from town B to town A along the same road. They started out at the same time and met 1 hour after. When Mike reaches town A, he turns around immediately. Forty minutes after they first met, he catches up with Lynn, still on her way to town B. When Mike reaches town B, he turns around immediately. Find the ratio of the distances between their third meeting point and the towns A and B.

ข้อ10.ลินน์เดินจากเมืองAไปเมืองBและไมค์ขี่จักรยานจากเมืองBไปเมืองA บนถนนเส้นทางเดียวกันและเริ่มดินทางพร้อมกัน ลินน์และไมค์พบกันหลังจากเริ่มเดินทางได้หนึ่งชั่วโมง เมื่อไมค์ขี่จักรยานถึงเมืองAแล้วขี่กลับทันที.หลังจากพบกันครั้งแรกแล้ว 40 นาที ไมค์ก็พบลินน์อีกครั้งโดยที่ลินน์ยังเดินทางไปเมืองBอยู่.ถ้าไมค์ขี่จักรยานมาถึงเมืองBแล้วขี่กลับทันที จงหาว่าอัตราส่วนของระยะทางที่ไมค์จะพบลินน์เป็นครั้งที่สามต่อระยะทางระหว่างเมืองทั้งสอง


ใส่รูปไว้ก่อน เดี๋ยวหาวิธีทำแบบประถมๆ
2706



มาลองแบบประถมดู ไม่รู้เด็กจะเข้าใจไหม วันนี้เด็กๆไปสอบ สพฐ นานาชาติ รอบสองกัน เลยยังไม่ได้ติว


จากรูป
2711

ให้คนเดิน เดินด้วยความเร็ว 1 หน่วยต่อนาที มาถึงจุด C ได้ระยะทาง 60 หน่วย

เราจะเริ่มต้นกันที่จุด C
คนเดิน เดินจากจุด C ไปจุด Dได้ระยะทาง 40 หน่วย (40 นาที)(เส้นสีน้ำเงิน)
คนปั่นจักรยาน ปั่นจากจุด C ไปจุด A แล้ววกมาจุด D ได้ระยะทาง 60+60+40 = 160 หน่วย (เส้นสีแดง)
ในเวลาที่เท่ากัน (40 นาที) คนเดิน เดินได้ 40 หน่วย คนปั่น ปั่นได้ 160 หน่วย นั่นแปลว่า คนปั่น ปั่นเร็วกว่าคนเดิน 4 เท่า
จากข้อมูลนี้ทำให้เราทราบว่า ระยะทาง จาก B ถึง C (ปั่น 60 นาที) เท่ากับ 4x60 = 240 หน่วย (A ถึง B เท่ากับ 300 หน่วย)


คราวนี้มาดูรูปที่ 2


2712

คนเดิน เดินต่อจากจุด D มาถึงจุด E ได้ระยะทาง x หน่วย
ในขณะที่คนปั่น ปั่นจาก D มา B (ระยะทาง 200 หน่วย) แล้ววกกลับถึงจุด E เป็นระยะทาง 200 - x หน่วย รวมระยะทาง 400-x หน่วย

ทั้งสองใช้เวลาเท่ากัน ใช้สูตร ระยะทาง= เวลา x ความเร็ว จะได้

$ x = \frac{400-x}{4} \ \ \ $ (เร็วกว่า 4 เท่า ก็ต้องเอา 4 หาร, เวลาจึงจะเท่ากัน)

$x = 80$

จะได้ $ BE = 120 , \ \ AE = 300 - 120 = 180$

$AE : EB = 3 : 2$

ไม่รู้เด็กประถมจะเข้าใจไหม :haha:

[กิตติ]

13.There are 10 steps from the ground level to the top of a platform. The 6th step is under repair and can only be crossed over but not stepped on. Michael walks up the steps with one or two steps only at a time. How many different ways can he use to walk up to the top of the platform?

ข้อ13.จากพื้นขึ้นไปสู่ชานชลามีบันไดใช้เดินขึ้นทั้งหมด 10 ขั้นและช่วงนี้บันไดขั้นที่หกชำรุดต้องซ่อมแซม ทำให้ไม่สามารถก้าวขึ้นบนบันไดขั้นนี้ได้แต่สามารถเดินก้าวข้ามผ่านไปได้.ไมเคิลเดินขึ้นบันได้ได้เพียงหนึ่งหรือสองขั้นเท่านั้น จงหาว่าไมเคิลจะเดินขึ้นบันไดไปถึงบนชานชลาได้ทั้งหมดกี่วิธี

[กิตติ]

14.For four different positive integers a, b, c and d, where a < b < c < d, if the product (d – c) × (c – b) × (b – a) is divisible by 2009, then we call this group of four integers a “friendly group”. How many “friendly groups” are there from 1 to 60?

ข้อ14.มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสี่จำนวนคือ$a,b,c และd$ โดยที่$a < b < c < d$. ถ้าผลคูณของ$(d – c) × (c – b) × (b – a) $หารด้วย2009ลงตัว.เราเรียกกลุ่มตัวเลขทั้งสี่จำนวนนี้ว่า"กลุ่มพันธมิตร".ระหว่างเลข1ถึง60มีจำนวน"กลุ่มพันธมิตร"กี่กลุ่ม

[กิตติ]

ข้อ15.มีแผนภาพวงกลมตามที่แสดงโดยมีวงกลมห้าวงแต่ละวงคือ$A,B,CและD$ ต้องการระบายสีลงในวงกลมแต่ละวงด้วยสีที่ไม่ซ้ำกันโดยที่วงกลมสองวงที่เชื่อมกันด้วยเส้นตรงนั้นต้องระบายด้วยสีที่ต่างกัน ถ้ามีสีให้เลือระบายได้เพียง 5 สี จงหาว่ามีจำนวนวิธีในการระบายสีลงบนแผนภาพตามเงื่อนไขข้างต้นทั้งหมดกี่วิธี
แก้โจทย์ครับ.....แก้ตรงตัวแดงครับ กลับมาดูอีกทีแล้วต้องแก้จริงๆ

[กิตติ]

ผมน่าจะแปลโจทย์ครบแล้ว...ถ้ามีคนช่วยเฉลยจนหมดแล้ว ผมจะแปลวิธีการคิดที่เขาแนบมาในเอกสาร ว่าเหมือนหรือแตกต่างจากที่ช่วยกันเฉลยยังไง ถือว่าเป็นการเรียนรู้วิธีมองและแก้โจทย์
ขอบคุณคุณอาBankerมากเลยครับ....บอร์ดนี้สนุกและน่าเข้ามา เพราะคุณอาBankerช่วยแปะวิธีคิดให้หลานๆน้องๆได้ศึกษา นับถือในน้ำใจและความเสียสละ เพราะสิ่งที่ทำนั้นไม่มีใครบังคับและไม่มีรางวัลอะไรเลย.....จากใจจริงครับ

[กิตติ]

แก้โจทย์ข้อ10ใหม่ครับ..คุณอาBanker ผมแปลตกหล่น...ขออภัยในความสะเพร่า
ข้อ10...ผมคิดได้3:2 ใช้การสมมุติตัวแปรเอา ซึ่งเด็กประถมอาจเข้าใจยาก....ลองคิดวิธีอธิบายที่ง่ายกว่าดีกว่า

[กิตติ]

ข้อ14.มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสี่จำนวนคือ$a,b,c และd$ โดยที่$a < b < c < d$. ถ้าผลคูณของ$(d – c) × (c – b) × (b – a) $หารด้วย2009ลงตัว.เราเรียกกลุ่มตัวเลขทั้งสี่จำนวนนี้ว่า"กลุ่มพันธมิตร".ระหว่างเลข1ถึง60มีจำนวน"กลุ่มพันธมิตร"กี่กลุ่ม

ลองแยกตัวประกอบของ$2009$ออกมาก่อนจะได้ว่า$2009=7\times 7\times 41$ ซึ่งตัวประกอบนี้จะแปลงไปเป็น$(d – c) × (c – b) × (b – a) $ซึ่งบอกถึงระยะห่างระหว่างตัวเลขที่ต้องการหา ดังนั้นระยะห่างมากที่สุดจากตัวมากที่สุดถึงตัวน้อยที่สุดคือ$7+7+41 = 55$ ดังนั้นโจทย์บอกว่าผลคูณดังกล่าวหารด้วย $2009$ลงตัว คำว่าลงตัวคือได้ผลลัพธ์เป็น$1,2,3,...$ ซึ่งโจทย์กำหนดให้หาชุดตัวเลขที่อยู่ระหว่าง $1-60$ ถ้าผลหารนั้นเป็น 2 แสดงว่าผลคูณดังกล่าวจะเท่ากับ$2\times7\times7\times41$ ซึ่ง 2ต้องถูกนำไปคูณกับเลขตัวอื่นเพื่อให้คงไว้เป็นการคูณของจำนวนสามจำนวน ก็จะได้ชุดตัวเลขว่าคือ$(7,14,41)$ กับ$(7,7,81)$ ซึ่งทั้งสองกรณีเป็นไปไม่ได้เพราะโจทย์กำหนดแค่ระหว่าง$1-60$ ผลต่างระหว่างตัวมากสุดกับน้อยสุดเกิน60...สรุปคือ ผลคูณของสามจำนวนนี้ต้องเท่ากับ 2009 เท่านั้น
เริ่มจากเลข 60 เป็นตัวมากสุดจะได้ชุดตัวเลขดังนี้คือ
$(5,46,53,60),(5,12,53,60),(5,12,19,60)$
ถ้าจำนวนมากที่สุดคือ 55 จะเกิดชุดตัวเลขไม่ได้เพราะ ตัวที่น้อยที่สุดคือ 0 ซึ่งไม่มีในโจทย์ที่กำหนด
ดังนั้นตัวเลขมากที่สุดที่เป็นไปได้คือค่า$d$ คือ 56,57,58,59และ60 ทั้งหมด 5 จำนวนแต่ละจำนวนทำให้เกิดชุดตัวเลขได้3ชุด.....รวมแล้วได้ทั้งหมด 15 ชุดตัวเลข

[กิตติ]

ข้อ10.ลินน์เดินจากเมืองAไปเมืองBและไมค์ขี่จักรยานจากเมืองBไปเมืองA บนถนนเส้นทางเดียวกันและเริ่มดินทางพร้อมกัน ลินน์และไมค์พบกันหลังจากเริ่มเดินทางได้หนึ่งชั่วโมง เมื่อไมค์ขี่จักรยานถึงเมืองAแล้วขี่กลับทันที.หลังจากพบกันครั้งแรกแล้ว 40 นาที ไมค์ก็พบลินน์อีกครั้งโดยที่ลินน์ยังเดินทางไปเมืองBอยู่.ถ้าไมค์ขี่จักรยานมาถึงเมืองBแล้วขี่กลับทันที จงหาว่าอัตราส่วนของระยะห่างของตำแหน่งที่พบกันครั้งที่สามกับเมืองAและระยะห่างของตำแหน่งที่พบกันครั้งที่สามกับเมืองB

http://learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/math10.JPG

ลองคิดแบบสมมุติตัวแปร สมมุติให้ลินน์เดินด้วยความเร็ว$u$ กม./ชม.และไมค์ขี่จักรยานด้วยความเร็ว$v$ กม./ชม. เวลาที่ใช้มีหน่วยเป็นชั่วโมง ดังนั้น 40 นาทีคือ$\frac{2}{3} $ของชั่วโมง
ในการพบกันครั้งที่สอง ไมค์ขี่ได้ระยะทางเท่ากับ$u+u+\frac{2}{3}u = \frac{8}{3} u $
ระยะทาง =ความเร็วxเวลา จะได้ว่า $\frac{8}{3} u = \frac{2}{3}v $ ดังนั้น $ v =4u$
ในการพบกันรอบสาม ลินน์เดินไปได้ไกลห่างจากจุดพบกันครั้งที่สองเท่ากับ $ut$ ส่วนไมค์ขี่ได้ระยะทางเท่ากับ$(v-\frac{2}{3}u )+(v-\frac{2}{3}u )-ut = vt$, แทน$ v =4u$ ลงในสมการ
$(4u-\frac{2}{3}u )+(4u-\frac{2}{3}u )-ut = 4ut$
$\frac{20}{3}u = 5ut$
$t = \frac{4}{3} $ ชั่วโมง

อัตราส่วนของระยะห่างของตำแหน่งที่พบกันครั้งที่สามกับเมืองAและระยะห่างของตำแหน่งที่พบกันครั้งที่สามกับเมืองB
= $\frac{u+\frac{2}{3}u+\frac{4}{3}u }{4u-\frac{2}{3}u-\frac{4}{3}u } $
= $\frac{3u}{2u}$
= $\frac{3}{2}$

เขียนไว้ก่อนกลัวลืมครับ

[banker]

แก้โจทย์ข้อ10ใหม่ครับ..คุณอาBanker ผมแปลตกหล่น...ขออภัยในความสะเพร่า
ข้อ10...ผมคิดได้3:2 ใช้การสมมุติตัวแปรเอา ซึ่งเด็กประถมอาจเข้าใจยาก....ลองคิดวิธีอธิบายที่ง่ายกว่าดีกว่า

แบบเด็กประถม ตาม reply ข้างบน ที่มาเพิ่มเติมวันนี้ ไม่ทราบพอจะใช้ได้ไหมครับ
(แปลว่า เด็กจะเข้าใจไหม)

[กิตติ]

http://learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/math10.JPG

ลองนั่งคิดอีกทีตอนเช้า....ในการพบกันรอบสองนั้น ไมค์ขี่จักรยานไล่หลังมาทันหลังจากถึงเมืองA ดังนั้นในเวลา 60+40 คือ100 นาที ไมค์ขี่จักรยานได้ระยะทางมากกว่าลินน์เท่ากับระยะทางระหว่างเมืองAถึงเมืองB เท่ากับผลบวกของความเร็วของไมค์กับลินน์
ถ้าพิจารณาจากหลังการสวนกันครั้งแรก ระยะทางที่ไมค์ทำได้ใน40นาทีนั้นมากกว่าของลินน์เท่ากับ 2เท่าของระยะจากจุดแรกที่พบกันถึงเมืองA(ระยะจากจุดแรกที่พบกันถึงเมืองAเท่ากับความเร็วของลินน์ คือ $u$) ระยะทางที่เกิดขึ้นมาจากความเร็วของไมค์ที่มากกว่าลินน์ จะได้ว่าในเวลา$\frac{2}{3} $ชั่วโมง ไมค์ทำระยะทางได้มากกว่าคือ $2u$ ดังนั้นในเวลา1ชั่วโมงจะทำได้ระยะทางมากกว่า เท่ากับ $2u\times\frac{3}{2} =3u $ ดังนั้นความเร็วของไมค์เท่ากับ$3u+u=4u$
หาเวลาในการพบกันครั้งที่สาม สมมุติให้การพบกันในครั้งที่สามเป็นการสวนกัน(ถ้าสมมุติผิด ตัวเลขที่ได้จะฟ้องออกมาเอง ไม่ต้องคิดมาก)แสดงว่าไมค์ขี่จักรยานไปกลับได้1รอบแล้ว จากที่เรารู้ว่าระยะทางของเมืองAถึงเมืองBเท่ากับผลบวกของความเร็วทั้งสอง ดังนั้นระยะทางเท่ากับ$4u+u=5u$ ในการขี่จักรยานไปกลับ 1 รอบไมค์ใช้เวลา $\frac{5u+5u}{4u} =2.5$ชั่วโมง ใช้เวลาตรงนี้ไปคิดว่าลินน์เดินมาถึงตรงไหน ลินน์เดินทางมาถึงครึ่งทางระหว่างเมือง แสดงว่าเมื่อไมค์ถึงเมืองB ลินน์กำลังเดินมาถึงครึ่งทางเหลืออีกครึ่งทางคือ$2.5u$ สัดส่วนของระยะทางที่จะมาเจอกันนั้นคือแบ่งไปตามอัตราส่วนความเร็วเพราะใช้เวลาเคลื่อนที่เท่ากัน ดังนั้นระยะทาง$2.5u $ถูกแบ่งเป็นห้าส่วนโดยลินน์ได้ไปหนึ่งส่วน ไมคค์ได้ไป4ส่วน ดังนั้นระยะทางที่ลินน์อยู่นั้นห่างจากเมืองAเท่ากับ$\frac{5u}{2}+(\frac{5u}{2}\times \frac{1}{5} )$ $\rightarrow $ $\frac{5u}{2}+\frac{u}{2}$ $\rightarrow $ $3u$ จะได้ว่าระยะทางที่เหลือจากจุดที่ลินน์ยืนไปยังเมืองBเท่ากับ $5u-3u=2u$ จะได้อัตราส่วนเท่ากับ $\frac{3u}{2u} $......ตอบว่า$3:2$

[banker]

ข้อ11.ตามรูปที่กำหนดมาให้

2713
จุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งห้ารูปเป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมและวงกลมมีรัศมี 1 เซนติเมตรเท่ากัน จงหาพื้นที่แรเงาทั้งหมดว่าเท่ากับกี่ตารางเซนติเมตร

หิน HINT

ตามรูป หาพื้นที่แรเงา ในรูป องศา
โดยใช้ความรู้เรื่อง มุมภายในสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา



2714

ตอบ $ 2 \pi \ $ หรือ $ \ \frac{44}{7}$ ตารางหน่วย

[กิตติ]

วิธีของคุณอาbankerน่าสนใจครับ เพราะถ้าสมมุติตัวแปร เด็กๆอาจงง การกำหนดให้ความเร็วของการเดินเป็น 1 กม./ชม.ช่วยให้เด็กคำนวณได้เลย ผมว่าน่าจะอธิบายให้เด็กเข้าใจได้ง่ายที่สุดแล้ว เป็นผมก็จะใช้วิธีนี้ แต่ลืมทุกที มันชินกับการสมมุติตัวแปร จนลืมว่าเด็กประถมยังไม่คุ้นเหมือนผม :great::great::great:

[banker]

15.
http://img693.imageshack.us/img693/1461/emic4.png

ข้อ15.มีแผนภาพวงกลมตามที่แสดงโดยมีวงกลมห้าวงแต่ละวงคือA;B;CและD ต้องการระบายสีลงในวงกลมแต่ละวงด้วยสีที่ไม่ซ้ำกันและส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างวงกลมสองวงนั้นต้องระบายด้วยสีที่ไม่ซ้ำกับสีของว งกลมสองวง(ที่ส่วนของเส้นตรงนั้นเชื่อมอยู่) ถ้ามีสีให้เลือระบายได้เพียง 5 สี จงหาว่ามีจำนวนวิธีในการระบายสีลงบนแผนภาพตามเงื่อนไขข้างต้นทั้งหมดกี่วิธี


คอมบิท ไม่ถนัด

ข้อนี้ไม่แน่ใจนะครับ

2734

A วางได้ 3 ตำแหน่งดังรูป

แต่ละตำแหน่งวางได้ 4+3+2+1 = 10 แบบ

ดังนั้นจึงระบายสีได้ทั้งหมด 30 แบบ

[banker]

2735

ข้อ7.สามเหลี่ยม$ABC$เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยที่มีมุม$B$เป็นมุมฉากและมีด้าน$BC$ยาวเท่ากับ 42 เซนติเมตร และด้าน$AB$ยาวเท่ากับ 56 เซนติเมตร เมื่อสร้างรูปครึ่งวงกลมโดยให้ด้าน$AC$เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและสร้างรูปเสี้ยววงกลม(หนึ่งในสี่ของวงกลม)ที่ใช้$BC$เป็นรัศมี จงหาพื้นที่แรเงาตอบในรูปตารางเซนติเมตร กำหนดให้$\pi =\frac{22}{7} $

$AC^2=42^2+56^2$

$AC= 70$

$P+N = \frac{1}{2}\times \frac{22}{7} \times 35^2 = 1925$ .....(*)

$M+N = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 42^2 = 1386$ .....(*)

$M+Q = \frac{1}{2} \times42 \times56 = 1176$ .....(*)

(*)+(***) $ \ \ (P+Q)+(M+N) = 1925+1176=3101$

$ \ \ (P+Q)+(1386) =3101$

$ \ \ (P+Q) = 1715$

[banker]

5.มีลำดับ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ? สังเกตว่า ตั้งแต่ตัวเลขลำดับที่3เป็นต้นไป เกิดจากการนำลำดับสองลำดับก่อนมาบวกกัน อยากทราบว่าตัวเลขที่อยู่ในลำดับที่ 2009 เมื่อถูกหารด้วย 8แล้วเหลือเศษเท่าไหร่



หลังจากพยายามหาว่าลำดับที่ 2009 คือจำนวนใด เป็นเวลา 3 วัน ก็พบสัจธรรมข้อหนึ่งว่า

อย่าพยายามไปหาเลย เสียเวลาเปล่าๆ ความรู้หางอึ่งอย่างผม หาไม่ได้หรอก :haha:




เมื่อหาลำดับที่ 2009 ไม่ได้ ก็ต้องหาวิธีอื่นต่อไป

โจทย์ถามเรื่องเศษจากการหาร เราก็ลองหารดู


1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,....

หารด้วย 8 จะได้เศษดังนี้
1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 7, 0, 1, 1, 2, 3,...

เจอเลขวนแฮะ1 ชุด มี12 ตัว

ดังนั้น 2009 หารด้วย 12 ได้ 167 เหลือเศษ 5 ซึ่งตรงกับเศษอันดับที่ 5 และบังเอิญตรงกับเลข 5

5555555555 เล่นง่ายๆอย่างนี้แหละ 55555555:haha:

[กิตติ]

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,....
ตอนแรกผมก็เสียเวลาไปครึ่งวันเพื่อหาจำนวนที่ 2009 แต่ก็ต้องยอมแพ้ไปก่อน คุ้นว่าในบอร์ดนี้เคยมีคนพูดถึงเลขฟีโบนัชชี ก็เลยไปค้นดู...ตายเลย...มันใช่จริงๆ ตัวเลขแบบทับทบไปเรื่อยๆคิดหาจำนวนที่2009จริงก็คงตายไปก่อน แอบไปเปิดดูเฉลยที่เขาพิมพ์มาให้ถึงได้ร้องอ้อ...เฉลยแบบเดียวกับคุณอาBankerเลย เมื่อกี้เลยลองคิดเล่นๆว่าถ้ามีจำนวนแรกหารด้วย7เหลือเศษ5, จำนวนที่สองหารด้วย7เหลือเศษ4 และจำนวนที่สามหารด้วย7เหลือเศษ2 ผลรวมของจำนวนนี้หารด้วย7เหลือเศษเท่าไหร่ .....
อาbankerครับ...:please::please::please:

[banker]

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,....
ตอนแรกผมก็เสียเวลาไปครึ่งวันเพื่อหาจำนวนที่ 2009 แต่ก็ต้องยอมแพ้ไปก่อน คุ้นว่าในบอร์ดนี้เคยมีคนพูดถึงเลขฟีโบนัชชี ก็เลยไปค้นดู...ตายเลย...มันใช่จริงๆ ตัวเลขแบบทับทบไปเรื่อยๆคิดหาจำนวนที่2009จริงก็คงตายไปก่อน แอบไปเปิดดูเฉลยที่เขาพิมพ์มาให้ถึงได้ร้องอ้อ...เฉลยแบบเดียวกับคุณอาBankerเลย เมื่อกี้เลยลองคิดเล่นๆว่าถ้ามีจำนวนแรกหารด้วย7เหลือเศษ5, จำนวนที่สองหารด้วย7เหลือเศษ4 และจำนวนที่สามหารด้วย7เหลือเศษ2 ผลรวมของจำนวนนี้หารด้วย7เหลือเศษเท่าไหร่ .....
อาbankerครับ...:please::please::please:

ก็เอาเศษมาบวกกัน แล้ว หารด้วย 7 อีกที จะเหลือเศษ 4

ผมนึกแบบจัดผลไม้ใส่กล่อง กล่องแรกเหลือ 5 ผล กล่องที่สองเหลือ 4 ผล กล่องที่สามเหลือ 2 ผล

ที่เหลือๆก็กวาดมาใส่กล่องได้อีก 1 กล่อง 7 ผล

คราวนี้เหลือเศษไม่เต็มกล่อง 4 ผล ซึ่งก็คือเศษจริงๆ

[กิตติ]

http://img693.imageshack.us/img693/1461/emic4.png

ข้อนี้ผมคิดได้ 240 แบบ ผมเอาแต่ละขั้นตอนมาคูณกัน เพราะเป็นงานต่อเนื่องกัน ไม่ได้เสร็จไปเองแต่ละขั้นตอนโดยไม่มีผลต่องานขั้นอื่น
ตำแหน่งแรกสมมุติว่าเลือกลงวงกลมAก่อนก็ได้เลือกสีระบายได้5 แบบ จากนั้นวนไประบายวงกลมBซึ่งเลือกได้ 4 สี วนไประบายวงกลมCเลือกได้ 3 สี จากนั้นวนไประบายวงกลมD เลือกได้ 2 สี วงกลมสุดท้ายคือวงกลมEนั้น ไม่มีเส้นตรงต่อไปหาวงกลมB แสดงว่าใช้สีเดียวกับBก็ได้ และยังมีสีที่ยังไม่ได้ระบายอีกหนึ่งสี รวมแล้ววงกลมEเลือกสีระบายได้ 2 สี รวมแผนภาพที่เกิดขึ้นตามเงื่อนไขดังกล่าวเท่ากับ $5\times 4\times 3\times 2\times 2 = 240$แบบ

[Black dragon]

14.For four different positive integers a, b, c and d, where a < b < c < d, if the product (d ? c) &times; (c ? b) &times; (b ? a) is divisible by 2009, then we call this group of four integers a ?friendly group?. How many ?friendly groups? are there from 1 to 60?
น่าจะ
ถ้ามีจำนวน 4 จำนวน โดย A<B<C<D และ (d-c)(c-b)(b-a) หาร 2009 ลงตัว เรียกว่า 'กลุ่มเพื่อน' จงหาว่ามี 'กลุ่มเพื่อน' กี่ชุด ระหว่าง 1 - 60

[กิตติ]

14.For four different positive integers a, b, c and d, where a < b < c < d, if the product (d – c) &times; (c – b) &times; (b – a) is divisible by 2009, then we call this group of four integers a “friendly group”. How many “friendly groups” are there from 1 to 60?
น่าจะ
ถ้ามีจำนวน 4 จำนวน โดย A<B<C<D และ (d-c)(c-b)(b-a) หาร 2009 ลงตัว เรียกว่า 'กลุ่มเพื่อน' จงหาว่ามี 'กลุ่มเพื่อน' กี่ชุด ระหว่าง 1 - 60
พอดีไปหาในwikipedia....Divisibility_rule (http://en.wikipedia.org/wiki/Divisibility_rule)

มีประโยคที่ว่า....Any integer is divisible by 1.
คงจะหมายถึงจำนวนใดๆย่อมหารด้วย1ลงตัว ....คงไม่แปลว่าจำนวนใดๆหาร1ลงตัว
ตอนแรกผมก็ว่าน่าจะแปลแบบที่คุณBlack Dragonแปล เพราะปกติเท่าที่ผมจำได้ถ้าเป็นประโยคที่ประธานถูกกระทำน่าจะเป็นverb to beตามด้วยfuture tense....อย่าง Som is killed....ประธานถูกฆ่า
ลองอีกประโยคหนึ่ง....It is divisible by 10, and the tens digit is even.
คงแปลว่า...จำนวนนี้หารด้วย10ลงตัวและตัวเลขในหลักสิบเป็นเลขคู่
คำตอบ...360: is divisible by 10, and 6 is even.
คือ 360 360หารด้วย10ลงตัวและ6ก็เป็นเลขคู่
ภาษาอังกฤษเชิงคณิตศาสตร์อาจไม่ตรงกับที่เคยเรียนมามั้งครับ....