|
ยังไม่มีคนมาตอบ งั้นผมขอเฉลยข้อ 57. ก่อนละกันครับ
57. $sin3^\circ = sin \frac{60^\circ-54^\circ}{2}$ และ เราทราบว่า $cos 6^\circ = \frac{\sqrt{18+6\sqrt{5}}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}$ |
อ้างอิง:
56. $sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}...$ ดังนั้นอสมการโจทย์สมมูลกับ $\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...=\sum_{n = 2}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\geq 0$ เขียนใหม่ได้ $\sum_{n = 2}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n =1}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}-\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}$ พิจารณา $\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}-\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}$ $=\frac{x^{4n+1}}{(4n+3)!}((4n+3)(4n+2)-x^2)$ จาก $n\geq 2$ $\therefore (4n+3)(4n+2)\geq (11)(10)=110$ $x^2<\frac{\pi^2}{4}<\frac{4^2}{4}=4 \rightarrow (2n+3)(2n+2)-x^2>110-4=106>0$ จาก $x>0$ ดังนั้น $\frac{x^{4n+1}}{(4n+3)!}((4n+3)(4n+2)-x^2)>0$ ดังนั้น $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}-\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}\geq 0$ ตามต้องการ โดยอสมการจะเป็นสมการเมื่อ $x=0$ |
โจทย์ข้อ 56 ผมแก้แล้วนะครับ
แนวคิดข้อ 56 ของคุณ owlpenguin ก็ถูกครับ แต่เป็นแนวเชิงalgebra ผมมีอีกวิธีเป็นการใช้ลิมิตและ identityเข้าช่วยครับ เพราะ $2sin\frac{x}{2}-sinx = 2sin\frac{x}{2}(1-cos\frac{x}{2}) = 4sin\frac{x}{2}sin^2\frac{x}{4}$ ดังนั้น $$2sin\frac{x}{2}-sinx < 4(\frac{x}{2})(\frac{x}{4})^2 = \frac{x^3}{8} ...(1)$$ (เพราะว่า $sin \alpha < \alpha ทุก \alpha>0$) แทนที่ ค่า x ด้วย $\frac{x}{2}, \frac{x}{4}, ..., \frac{x}{2^{n-1}}$ ใน (1) จะได้ $$2sin\frac{x}{4}-sin{x}{2} < \frac{1}{8}(\frac{x}{2})^3 ...(2)$$ $$2sin\frac{x}{8}-sin{x}{4} < \frac{1}{8}(\frac{x}{4})^3 ...(3)$$ ......... $$2sin\frac{x}{2^n}-sin\frac{x}{2^{n-1}} < \frac{1}{8}(\frac{x}{2^{n-1}})^3 ...(n)$$คูณสมการที่ (1) ถึง (n) ด้วย $1, 2, ..., 2^{n-1}$ แล้วจับบวกกันจะได้ $$2^nsin\frac{x}{2^n}-sinx < \frac{x^3}{8}(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2^{2n-2}})$$ $$\lim_{n \to \infty} (\frac{sin\frac{x}{2^n}}{\frac{x}{2^n}}x-sinx) \leqslant \frac{x^3}{8} \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{1}{4^k}$$ เนื่องจาก $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{1}{4^k} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$$ และ $$\lim_{n \to \infty} \frac{sin\frac{x}{2^n}}{\frac{x}{2^n}} = 1$$ เพราะฉะนั้น เราจะได้ $$x-sinx \leqslant \frac{x^3}{6}$$ ตามต้องการ :great: ส่วนข้อ 57 $cos6 = cos(60-54) = cos60cos54+sin60sin54$ $sin54 = cos36 =1-2sin^218 = 1-2(\frac{6-2\sqrt{5}}{16}) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$ $cos54 = \sqrt{1-sin^254} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ แทนค่า แล้วจัดรูปอีกนิด ก็จะได้อย่างข้างบนครับ ... ผมลืมบอกที่มาของ sin18 ครับ เพราะว่า $sin18 = sin\frac{\pi}{10} = cos\frac{2\pi}{5}$ จาก $2sin\frac{\pi}{5}cos\frac{\pi}{5} = sin\frac{2\pi}{5}$ และ $2sin\frac{2\pi}{5}cos\frac{2\pi}{5} = sin\frac{4\pi}{5} = sin\frac{\pi}{5}$ เมื่อคูรสองสมการแล้วจัดการทุกอย่าง เราจะได้ $cos\frac{\pi}{5}cos\frac{2\pi}{5}=\frac{1}{4}$ และ เพราะว่า $cos\frac{\pi}{5}-cos\frac{2\pi}{5} = 2sin\frac{3\pi}{10}sin\frac{\pi}{10}$ $=2cos\frac{\pi}{5}cos\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{2}$ และ ถ้าเราให้ $cos\frac{2\pi}{5} = x$ และ $cos\frac{\pi}{5} = y$ ดังนั้น $y-x = \frac{1}{2}$ และ $xy = \frac{1}{4}$ ในไม่ช้า เราจะได้ว่า $x = \frac{\sqrt{5}-1}{4} = sin18$ ครับ :great: |
อ้างอิง:
|
ขอโทนะครับที่รีบเฉลยไปหน่อย :D
59. Given $x= sin2570^\circ$ Evaluate $(8x^4+16x^3-6x^2-11x+1)^{2551}.$ |
ข้อ 56 นี่อสมการจะเป็นสมการเมื่อใดครับ?
ข้อ 58 นี่เหนื่อยจัง...:aah: $(tanx+tan4x)+(tan2x+tan3x)=0$ $\frac{sinxcos4x+sin4xcosx}{cosxcos4x}+\frac{sin2xcos3x+sin3xcos2x}{cos2xcos3x}=0$ $sin5x(\frac{1}{cosxcos4x}+\frac{1}{cos2xcos3x})=0$ $sin5x(\frac{cosxcos4x+cos2xcos3x}{cosxcos2xcos3xcos4x})=0$ $\therefore sin5x=0$ $\bigvee$ $cosxcos4x+cos2xcos3x=0$ and $cosxcos2xcos3xcos4x\not =0$ which implies $cosx\not =0$ If $sin5x=0$ then $5x=k\pi$ for some $k\in\mathbb{Z}$ If $sin5x\not =0$ then, $cosxcos4x+cos2xcos3x=0$ $cosx(2cos^22x-1)+cos2x(4cos^3x-3cosx)=0$ $2cosxcos^22x-cosx+4cos2xcos^3x-3cosxcos2x=0$ $cosx(2cos^22x-1+4cos2xcos^2x-3cos2x)=0$ $cosx(2cos^22x-1+2cos2x(1+cos2x)-3cos2x)=0$ $cosx(4cos^22x-cos2x-1)=0$ but from $cosx\not =0$, $\therefore 4cos^22x-cos2x-1=0$ $\cos2x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{8}\rightarrow 8cos2x=1\pm\sqrt{17}$ $\therefore$ If $tanx+tan2x+tan3x+tan4x=0$ then $5x=k\pi$ for some $k\in\mathbb{Z}$ or $8cos2x=1\pm\sqrt{17}$ |
อ้างอิง:
|
59.
จาก $cos3x=4cos^3x-3cosx$ $\therefore cos120=4cos^340-3cos40$ $8cos^340-6cos40+1=0$ จาก $x=sin2570^{\circ}=cos40^{\circ}$ ดังนั้น $8x^3-6x+1=0$ และจาก $8x^4+16x^3-6x^2-11x+1=x(8x^3-6x+1)+2(8x^3-6x+1)-1=(x+2)(8x^3-6x+1)-1=-1$ $\therefore (8x^4+16x^3-6x^2-11x+1)^{2551}=(-1)^{2551}=-1$ |
60. Solve the system $$\frac{sinx}{a} = \frac{siny}{b} = \frac{sinz}{c}$$ and $x + y + z = \pi$
|
ข้อ 59 ถูกแล้วครับ :great:
61. จงแสดงว่า $$\tan\alpha + \frac{1}{2}\tan\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{4}\tan\frac{\alpha}{4} + ... + \frac{1}{2^n}\tan\frac{\alpha}{2^n} = \frac{1}{2^n}\cot\frac{\alpha}{2^n}-2\cot 2\alpha$$ 62. Compute the sum $$\sum_{k = 1}^{n} \arctan\frac{2k}{2+k^2+k^4}$$ 63. Solve the system $$\sum_{i=1}^{n-1}x_i\sin\frac{i\pi}{n} = a_1$$ $$\sum_{i=1}^{n-1}x_i\sin\frac{2i\pi}{n} = a_2$$ $$\sum_{i=1}^{n-1}x_i\sin\frac{3i\pi}{n} = a_3$$ ..................... $$\sum_{i=1}^{n-1}x_i\sin\frac{(n-1)i\pi}{n} = a_{n-1}$$64. กำหนดให้ $\phi \in [0,2\pi]$ จงแก้สมการ $$(\sin 3\phi \sin 6\phi)^3+(\sin \phi \sin 2\phi)^3 = (\sin 4\phi \sin 5\phi)^3$$ 65. กำหนดให้ \[z = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}+1)i}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-1)i}\] จงหา \[\frac{z^{2551^{2552}}}{z^{2007^{2008}}}\] |
ทำไมโจทย์มันโหดร้ายจังครับ...:aah:
64. ขอเปลี่ยน $\phi$ เป็น $x$ เพื่อความสะดวกในการพิมพ์ จะได้ว่า $(sin3xsin6x)^3+(sinxsin2x)^3=(sin4xsin5x)^3$ $(\frac{cos3x -cos9x}{2})^3+(\frac{cosx-cos3x}{2})^3=(\frac{cosx-cos9x}{2})^3$ $(cos3x-cos9x)^3+(cosx-cos3x)^3=(cosx-cos9x)^3$ ให้ $cos3x-cos9x=a, cosx-cos3x=b$ ได้ว่า $a^3+b^3=(a+b)^3$ $3ab(a+b)=0$ ดังนั้น $cos3x-cos9x=0$ หรือ $cosx-cos3x=0$ หรือ $cosx-cos9x=0$ ถ้า $cos3x-cos9x=0$ จะได้ $cos3x=4cos^33x-3cos3x\rightarrow 4cos3x(cos^23x-1)=0$ นั่นคือ $x=\frac{k\pi}{6}$ สำหรับ $k=0,1,2,...,12$ ถ้า $cosx-cos3x=0$ ทำในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $x=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ ซึ่งจะพบว่ามันซ้ำกับในกรณีแรกทั้งหมด ถ้า $cosx-cos9x=0$ สุดท้ายจะกระจายได้ $256cos^9x-576cos^7x+432cos^5x-120cos^3x+8cosx=0$ จัดการแยกตัวประกอบ(อย่างไม่น่าเชื่อ)ได้ว่าจะสมมูลกับ $cosx(cosx+1)(cosx-1)(cosx+\frac{1}{\sqrt{2}})(cosx-\frac{1}{\sqrt{2}})(cosx-\frac{1+\sqrt{5}}{4})(cosx+\frac{1+\sqrt{5}}{4})(cosx-\frac{1-\sqrt{5}}{4})(cosx+\frac{1-\sqrt{5}}{4})=0$ ไ้ด้ (ขอตอบเป็นองศานะครับ) $x=90,270,180,0,360,135,225,45,315,144,216,36,324,72,288,108,252$ ทั้งหมด(ขอตอบเป็นองศานะครับ)คือ $x=0,30,36,45,60,72,90,108,120,135,144,150,180,210,216,225,240,252,270,288,300,315,324,330,360$ 61 Induction บน n ครับ |
:D ข้อ 64 เป็นข้อที่ผมคิดขึ้นมาเองครับ ความจริงมันมีเทคนิคในการทำนิดหน่อย ไม่จำเป็นต้องแยก factor ขนาดนั้นหรอกครับ (คุณ owlpenguin สุดยอดจริงๆ)
แต่ตรงบรรทัดที่ว่า $\cos x - \cos 9x = 0$ ทำได้อีกวิธีนึงนะครับ คือ $\cos x - \cos 9x = 0 \Rightarrow \sin 5x \sin 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{n\pi}{5}, \frac{n\pi}{4} , n\in \mathbb{Z}$ Identity: $a+b+c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3 = 3abc$ เพราะว่า $\sin 3\phi\sin 6\phi + \sin\phi\sin 2\phi - \sin 4\phi\sin 5\phi = 0$ จึงได้ว่า $$(\sin 3\phi\sin 6\phi)^3+(\sin\phi\sin 2\phi)^3+(-\sin 4\phi\sin 5\phi)^3 = 3(\sin 3\phi\sin 6\phi)(\sin\phi\sin 2\phi)(-\sin 4\phi\sin 5\phi) = -3\sin\phi\sin 2\phi\sin 3\phi\sin 4\phi\sin 5\phi\sin 6\phi$$ ดังนั้น คำตอบของสมการคือ คำตอบของ $$\sin\phi\sin 2\phi\sin 3\phi\sin 4\phi\sin 5\phi\sin 6\phi = 0$$ ซึ่ง ก็คือ $\phi = \frac{n\pi}{k}$ โดยที่ $k=1, 2, 3, 4, 5, 6$ ซึ่งจะมีคำตอบบางตัวซ้ำกัน และ เราเลือกจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ $0\leqslant\phi\leqslant 2\pi$ ครับ ข้อ 61 ยังมีวิธีอื่นนอกจาก Induction นะครับ |
ข้อ 60
$\frac{sinz}{c}=\frac{sin(x+y)}{c}$ เทียบแต่ละคู่ได้ว่า $asiny=bsinx$ $csinx=asinxcosy+asinycosx\rightarrow csinx=asinxcosy+bsinxcosx$ $csiny=bsinxcosy+bsinycosx\rightarrow csiny=asinycosy+bsinycosx$ $\therefore c(sinx+siny)=acosy(sinx+siny)+bcosx(sinx+siny)$ แต่จาก $x+y+z=\pi\rightarrow \therefore sinx+siny\not =0$ ดังนั้นจะได้ว่า $c=acosy+bcosx$ จาก $\frac{sinx}{a}=\frac{siny}{b}\rightarrow \therefore \frac{sinx}{a}=\frac{siny}{b}=\frac{sinx+siny}{a+b}$ $\therefore \frac{sinx+siny}{a+b}=\frac{sin(x+y)}{acosy+bcosx}$ คูณกระจายได้ว่า $asinxcosy+bsinxcosx+asinycosy+bsinycosx=asinxcosy+asinycosx+bsinxcosy+bsinycosx$ $bsinxcosx+asinycosy=asinycosx+bsinxcosy$ $asiny(cosy-cosx)=bsinx(cosy-cosx)$ แต่จาก $asiny=bsinx\not =0$ $\therefore cosx=cosy\rightarrow x=y$ จะได้อีกว่า $a=b, c=2acosx, z=\pi-2x$ จาก $c=2acosx\rightarrow cosx=\frac{c}{2a}\rightarrow x=arccos(\frac{c}{2a})$ (ซึ่งได้เนี่องจาก $0\leq arccosk\leq\pi$) และจาก $x=y\rightarrow\therefore y=arccos(\frac{c}{2a})$ และจาก $z=\pi-2x\rightarrow\therefore z=\pi-2arccos(\frac{c}{2a})=\pi-arccos(\frac{c^2}{2a^2}-1)$ ดังนั้น $x=y=arccos(\frac{c}{2a}), z=\pi-arccos(\frac{c^2}{2a^2}-1)$ |
อ้างอิง:
|
แก้ Solution ข้อ 60 ในความเห็นที่ 163 นะครับ
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:28 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha