อ้างอิง:
เลื่อนเส้นมัธยฐานเเล้วกำหนดจุด $A(a,a) , B(b,2b)$ จะได้จุด $(0,0)$ เป็นจุด centroid ไปโดยปริยาย ... ทำให้กำหนดจุด C ได้เป็น $C(-a-b,-a-2b)$ (จากสูตรหาจุด centroid เอาสามจุดมาบวกกันหาร 3) เเละได้ว่าพื้นที่สามเหลี่ยมนี้ .. หาจากการตั้ง det ได้เป็น $|\frac{3}{2}(ab)|$ จาก $AB=60$ จะได้ $$(a-b)^2 + (2b-a)^2 = 3600$$ $$2a^2 -6ab+5b^2 = 3600 ... (1)$$ จากที่ AC ตั้งฉากกับ BC $$(\frac{2a+2b}{2a+b})(\frac{a+4b}{a+2b})=-1$$ $$2a^2 + 5b^2 = -\frac{15}{2}ab$$ เอาไปเเทนใน (1) จะได้ $ab = -\frac{800}{3}$ ทำให้ได้พื้นที่เป็น $|-\frac{3}{2}\cdot \frac{800}{3}| = 400$ |
อ้างอิง:
|
121. กำหนดสามเหลี่ยม ABC จงพิสูจน์ว่า ถ้า
$$\frac{\sin^2{A} + \sin^2{B}+\sin^2{C}}{\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}} = 2$$ แล้ว ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก 122. กำหนดให้ $a,b,c,d \in \mathbf{R}$ ที่ทำให้ $a^6+b^6+c^6+d^6 = 3^6$ จงหาค่าสูงสุดของ $$(a+\sqrt[6]{13})^6+(b+\sqrt[6]{15})^6+(c+\sqrt[6]{17})^6+(d+\sqrt[6]{19})^6$$ 123. จงหาค่า $\lambda$ ที่ทำให้ สมการ $\lambda x^3-x^2-x-(\lambda+1) = 0$ และ $\lambda x^2-x-(\lambda+1) = 0$ มีรากเหมือนกัน และจงแก้สมการ 124. จงแก้สมการ $$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = (x+5)(x+6)(x+7)(x+8)$$ 125. จงแก้ระบบสมการ (ข้อนี้ มีคนเคยโพสท์ไว้นานแล้ว ในบอร์ดนี้ แต่ผมยังไม่เห็นใครโพสท์วิธีทำเลย :nooo: ผมทำไม่ได้ T_T) $$\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}} = \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}$$ $$\sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)} = \frac{2}{9}$$ 126. กำหนดให้ $\displaystyle{\frac{m}{n} = 1+\frac{1}{2}+....+ frac{1}{67}}$ เมื่อ $m,n$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงพิสูจน์ว่า $3$ หาร $m$ ไม่ลงตัว 127.จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่ทำให้ $n^4+6n^3+11n^2+3n+31$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ 128. จงหาเลขตัวสุดท้ายของจำนวน $17^{1996}$ 129. กำหนดให้ $ 0< x < \pi$ จงหาค่าต่ำสุุดของ $$\frac{9x^2\sin^2{x}+4}{x\sin{x}}$$ 130. จงแก้สมการ $$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7} = \sqrt[4]{x+80}$$ |
อ้างอิง:
$17^{\phi (10)}\equiv 1(mod10)$ $17^4\equiv 1(mod10)$ $17^{1996}\equiv 1(mod10)$ เลขหลักสุดท้าย คือ 1 |
อ้างอิง:
$$\frac{(x+1)(x+2)}{(x+5)(x+6)} =\frac{(x+7)(x+8)}{(x+3)(x+4)} $$ $$\frac{x^2+3x+2}{x^2+11x+30} =\frac{x^2+15x+56}{x^2+7x+12} $$ $$1+\frac{-8x-28}{x^2+11x+30} =1+\frac{8x+44}{x^2+7x+12} $$ $$\frac{-2x-7}{x^2+11x+30} =\frac{2x+11}{x^2+7x+12} $$ $$\frac{-2(x+5)+3}{(x+5)(x+6)} =\frac{2(x+4)+3}{(x+3)(x+4)} $$ $$\frac{-2}{x+6}+\frac{3}{(x+5)(x+6)} =\frac{2}{x+3} +\frac{3}{(x+3)(x+4)} $$ $$2(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+6} )=3(\frac{1}{(x+5)(x+6)}-\frac{1}{(x+3)(x+4)} )$$ $$2(\frac{2x+9}{(x+3)(x+6)} )=3(\frac{(x^2+7x+12)-(x^2+11x+30)}{(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)}) $$ $$2(\frac{2x+9}{(x+3)(x+6)}) =3(\frac{-4x-18}{(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)} )$$ $$2(2x+9)=-6(\frac{2x+9}{(x+4)(x+5)} )$$ $(Note:x=4.5)$ $$-\frac{1}{3} =\frac{1}{(x+4)(x+5)} $$ $$x^2+9x+20=-3$$ $$x^2+9x+23=0$$ $$x=\frac{-9\pm \sqrt{81-92} }{2}=x=\frac{-9\pm \sqrt{-11} }{2}$$ $\therefore x=4.5$ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ------------------------------- วิธีนี้เป็นวิธีของคุณ Rosalynn จาก $a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2$ $$((x+1)^2+3(x+1)+1)^2=((x+6)^2+3(x+6)+1)^2$$ $$(x^2+5x+5)^2=(x^2+13x+41)^2$$ $x^2+5x+5=x^2+13x+41$ หรือ $x^2+5x+5=-x^2-13x-41$ $0=8x+36$ หรือ $2x^2+18x+46=0$ $x=-4.5$ หรือ $x^2+9x+23$ (ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริงตามข้างบน) $\therefore x=-4.5$ |
อ้างอิง:
$$=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)(1)+(-3n+31)$$ $$=(n^2+3n+1)^2$$ $$-3n+31=1 $$ $$\therefore n=10$$ |
อ้างอิง:
$(1)-(2);\lambda -1=\frac{1}{x}$ ถ้าหา $\lambda $ จากคำถามแรกได้ก็แก้ x ออกมาได้ |
อ้างอิง:
$$\frac{9x^2\sin^2{x}+4}{x\sin{x}} = 9xsinx + \frac{4}{xsinx} \geqslant 2\sqrt{9xsinx \times \frac{4}{xsinx}} = 12$$ ดังนั้นค่าต่ำสุดเป็น 12 (จากอสมการ AM-GM) |
อ้างอิง:
คูณ 2 เข้าไปจะได้ $$2cos^2{A}+2cos^2{B}+2cos^2{C} = 2$$ $$cos2A + cos2B + 2cos^2(A+B) = 0$$ $$2cos(A+B)cos(A-B) + 2cos^2 (A+B) = 0$$ $$cos(A+B)=0 หรือ cos(A-B) + cos(A+B) = 0$$ $$cosC = 0 หรือ 2cosAcosB = 0$$ $$cosC = 0 หรือ cosA = 0 หรือ cosB = 0$$ จะกรณีไหนๆก็ได้ว่ามุมสักมุมเป็นมุมฉาก นั่นคือสามเหลี่ยมนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก |
อ้างอิง:
จากสมการที่ (2) จะได้ $(a+1) = ax^2 - x$ เเทนในสมการที่ (1) $$ax^3 - x^2 - x - (ax^2-x) = 0$$ $$ax^3 - x^2(a+1) = 0$$ $$x=0 หรือ ax - (a+1) = 0$$ $$x=0 หรือ x=1+\frac{1}{a}$$ ถ้า $x=0$ เเทนกลับไปสมการไหนๆ ก็ได้ $a=-1$ เมื่อลองเเก้สมการก็พบว่ามีรากซ้ำจริง ถ้า $x=1+\frac{1}{a}$ เเทนกลับสมการที่ (2) จะได้ $2=0$ เป็นไปไม่ได้ ได้เเค่ $a=-1$ -----> $\lambda=-1$ |
ข้อ 125 ยากนะครับต้องตั้งอสมการออกมาอสมการนึง(แก้ไม่ได้ด้วยอสมการสำเร็จรูปด้วยสิ :died:) แล้วบีบซ้ายขวา
$\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2} \geq \dfrac{2}{1+xy}$ โดย $x,y \in \mathbf{R}-(-1,1) $ ) |
อ้างอิง:
กำลังจะสอบ TOEFL พรุ่งนี้ เลยเตรียมสอบอยู่เลยไม่มีเวลามาอัพเดทอะครับ ขอโทษสมาชิกทุกคนด้วย |
อ้างอิง:
ส่วนรสรินทำแบบนี้ค่ะ จาก $(a)(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2$ เรากลับมาที่สมการของเราค่ะ เราบวก 1 ไปทั้งสองข้าง จะได้ $((x+1)^2+3(x+1)+1)^2=((x+6)^2+3(x+6)+1)^2$ $(x^2+5x+5)^2=(x^2+13x+41)^2$ ซึ่งเราจะคำตอบทั้งสามของสมการออกมาค่ะ :kiki: |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$$(a+\sqrt[6]{13})^6+(b+\sqrt[6]{15})^6+(c+\sqrt[6]{17})^6+(d+\sqrt[6]{19})^6\leqslant (\sqrt[6]{a^6+b^6+c^6+d^6}+\sqrt[6]{13+15+17+19})^6=5^6 $$ ถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ $\leqslant 0$ จะได้ค่าน้อยกว่า $5^6$ แน่นอน ค่าสูงสุดของ $(a+\sqrt[6]{13})^6+(b+\sqrt[6]{15})^6+(c+\sqrt[6]{17})^6+(d+\sqrt[6]{19})^6$ คือ $5^6=15625$ เกิดที่ $a=\frac{3\sqrt[6]{13} }{2} ,b=\frac{3\sqrt[6]{15} }{2},c=\frac{3\sqrt[6]{17} }{2},d=\frac{3\sqrt[6]{19} }{2}$ ข้อนี้เกิน ม.ปลาย มากไปหน่อยนะครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 11:29 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha