ข้อ 14 ต้องตอบข้อไหนครับ

$z^{2556}= \bar z$
$\vert z^{2556}\vert=\vert\bar{z}\vert$
$\vert z \vert^{2556}=\vert z\vert$
$\vert z\vert^{2556}-\vert z\vert=0$
$\vert z\vert=0$ หรือ $\vert z\vert=1$
ถ้า $\vert z\vert=0$ $z=0$
ถ้า $\vert z\vert=1$
$z^{2556}=\bar{z}$
$z\cdot z^{2556}=z\cdot \bar{z}$
$z^{2557}=\vert z\vert^2=1^2$
$z^{2557}=1$
$z=\cos ( \displaystyle{\frac{2k\pi}{2557}})+i\sin ( \displaystyle{\frac{2k\pi}{2557}} )$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ $0$ ถึง $2556$ รวม $2557$ ค่า
รวมทั้งหมด $2558$ ค่า ครับ

ข้อ 30. นึกออกแต่วิธีแบบตรงไปตรงมาครับ (ซึ่งเหนื่อยมาก ตอนแก้สมการ diff กับ แยกตัวประกอบ)

โจทย้ให้หาค่าที่เป็นไปไปได้ของ $ \cos x +\cos y$ เมื่อ $ \tan x \cdot \tan y = 2$ และ $x,y$ เป็นมุมแหลม

จาก $ \tan x \cdot \tan y = 2 \Rightarrow \tan^2 x \cdot \tan^2 y = 4$

แทนเอกลักษณ์ $sec^2 \theta -tan^2\theta =1 $ จะได้ ท้ายที่สุด simplify เป็น $ \cos^2 x = \frac{\sin^2 y}{1+3\cos^2 y}$

ดังนั้น $ \cos x+ \cos y= \sqrt{\frac{1-cos^2 y}{1+3\cos^2 y}} + \cos y $

Take $ \cos^2 y = u$ ดังนั้น RHS = $ \sqrt{\frac{1-u}{1+3u}} + \sqrt{u} = f(u) $

สังเกตว่า $ u \in (0,1) \,\, , f(0) = f(1) =1$ และ f ต่อเนื่องใน [0,1]

พิจารณาค่าวิกฤตใน (0,1) โดย solve $ f'(u) =0 $

Simplify จนได้สมการ $ 16u = (1+3u)^3\cdot(1-u) \Rightarrow (3u-1)^3(u+1) =0$

แสดงว่ามีจุดเปลี่ยนโค้งจุดเดียวใน (0,1) ที่ $ u = \frac{1}{3}$ และ สังเกตว่า $f(\frac{1}{3}) > 1$

ดังนั้น All possible f(u) เมื่อ $ u \in (0,1)$ คือช่วง $( 1,f(\frac{1}{3}) ] = (1,\frac{2}{\sqrt{3}}] $

สมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 2556
 

ข้อ $14$ เส้นตรงที่ตัดกับพาราโบลาเพียง $1$ จุด โดยไม่สัมผัส คือ เส้นตรงใดๆ ที่ขนานกับแกนสมมาตร
เส้นตรงที่ตัดกับไฮเพอร์โบลาเพียง $1$ จุด โดยไม่สัมผัส คือ เส้นตรงใดๆ ที่ขนานกับแกนสังยุคเส้นใดเส้นหนึ่ง ยกเว้นแกนสังยุคทั้งสองแกน (ไฮเพอร์โบลาไม่ตัดกับแกนสังยุค) เช่นดังรูป

ตอบ ก

2558 นี่รวม 0 ด้วยใช่ไหมครับ ขอบคุณมากครับ

สมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 2556
 

นับ $0$ รวมด้วย

ข้อ 24 คิดอย่างไรหรอครับ

ข้อ $16$

ข้อมูลเป็นลำดับเลขคณิต บ่งว่า $x_n = x_1 + (n-1)d$
และ $\bar x = 51$ ก็จะได้
$(x_1+x_2+x_3+...+x_n) = 51n$

$\frac{n}{2}(2x_1 + ( n-1)d) = 51n$

จะได้
$2x_1 + ( n-1)d = 102$

เนื่องจาก $x_1 = 11$ ทำให้
$(n-1)d = 102-2(11) = 80$

พิสัย คือ $x_n-x_1 = (x_1 + (n-1)d) - x_1 = (n-1)d = 80$ #

ตามที่คุณ Thgx0312555 เฉลยข้อ 15. ค และอีกข้อครับคือข้อ 9. ค. จึงขอรบกวนช่วยอธิบายว่าข้อ 15 ว่าทำไมข้อ (2) ถึงถูกหน่อยครับ
และข้อ 9. ทำไมเราถึงทำนาย X จาก Y ได้ครับ

15. ลองเอา A x A transpose ดูครับ จะได้ เมตริกซ์ 2556x 2556 จะได้ว่าแถวต่อๆไป จะเป็นตัวประกอบ หรือพหุคูณแถวแรก ตาม det ถ้ามี แถวหรือหลักไหน เป็นตัวประกอบซึ่งกันและกัน det เท่ากับ 0 ครับ

9. $Y=a+bX$
จากความแปรปรวน มีค่าเท่ากันจะได้ $b=-1$
จากค่าเฉลี่ยบวกกันเท่ากับ 5 จะได้ $a+b=5$

จึงได้ความสัมพันธ์ $Y=5-X$
ดังนั้น ถ้า $Y=2$ จะได้ $X=3$ ครับ

ผมยังสงสัยข้อ 9. อยู่ครับ (แต่พิมพ์คำถามสั้นไปหน่อยเลยไม่ได้ประเด็นที่จะถาม) คือ ปกติถ้าเราหาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของ Y จาก X ได้ เช่นในโจทย์คือ Y = a+ bX เราจะยังไม่สามารถหาค่า X จาก Y ได้โดยอาศัยฟังก์ชันนี้ (หาได้แค่ Y จาก X) ด้วยเพราะว่าค่าที่ได้อาจจะไม่ถูกต้อง (เพราะจากกระบวนการหาความสัมพันธ์ฯ หาจากคนละค่า) จึงอยากทราบว่ากรณีนี้ทำไมถึงทำได้หรอครับ
สำหรับข้อ 15. ผมขอขอบคุณมากครับ "futuresk133"

ก็เหมือนแก้สมการปกติ ครับ
ถ้า $Y=5-X$ และ $Y=2$
จะได้ $X=3$

ทั้งนี้อาจจะมีคำตอบหลายค่า เช่น $1=X^2$, $X=1,-1$

และที่สำคัญ ก็ต้องเช็คคำตอบที่ได้ว่า สอดคล้องกับเงื่อนไขหรือไม่ เช่น $x$ อาจจะไม่อยู่ใน domain ที่กำหนดให้
ก็จะแก้ปัญหาเรืองที่ว่า ค่าที่ได้อาจจะไม่ถูกต้องได้ครับ

สำหรับข้อนี้ ให้ถือว่า domain เป็นจำนวนจริงไปเลย ก็จึงใช้คำตอบนี้ได้ครับ

ข้อ 9 ผมไม่เห็นด้วยครับ ถ้าเป็นผม ผมตอบ ง :)
http://www.rathcenter.com/Misc/Asso561109.jpg

ข้อ 9 ข้อมูลไม่พอแน่นอนครับ ถึงจะให้ x แล้วหา y ก็หาไม่ได้เหมือนกัน